Beweis für Gleichmächtigkeit der unendlichen Mengen N und R?

[tomS]

Das ist jetzt schon ein bisschen Off-topic - aber die Mathematik liefert doch eine präzise Formulierung für die Unschärfe

[seeker]

Das war klar, dass das kommt... und vielleicht hast du auch Recht.
Ich bin da noch am Nachdenken, zugegeben! Immerhin haben wir ja das Problem der Wahl noch nicht im Griff: Warum wird in der QM gerade die eine Möglichkeit realisiert und keine andere?
(Ich meine den Kollaps der Wellenfunktion.)

Und: Wissen wir sicher, dass die Wahrscheinlichkeiten selbst nicht auch wieder einer Unschärfe unterliegen?

Viele Grüße
seeker

[Skeltek]

Das ist die Frage, die mich schon öfter beschäftigt hat wie einige sicher bereits gemerkt haben. Ist die Wahrscheinlichkeit für etwas in der Physik ein rationaler Wert? Hängt wieder mal davon ab, ob Zeitspannen rational sind...

[seeker]

Schön, dass ich nicht alleine mit solchen Gedanken bin.
An diesem Punkt offenbart sich des Pudels Kern so mancher Diskussionen - nicht in unseren Argumentationen, sondern in unseren Intentionen.

Grüße
seeker

[tomS]

Ich habe die Sache mit dem Auswahlaxiom jetzt noch einmal nachgelesen.

Es scheint zwar Mainstream zu sein dieses Axiom auch bei R zu akzeptieren, aber alle Leute tun das offenbar nicht. Im Grunde scheint mir, dass Skeltek einfach so eine Position vertritt, die dem Konstruktivismus nahesteht (mit dem ich zugegeben auch liebäugle).

Von daher gibt es bei eurer Diskussion, wie mir scheint, kein "Recht haben" und "Unrecht haben", wie z.B. hier:

Es muss möglich sein die Elemente die man zieht zu benennen.

Nein; man muss nur sicherstellen, dass man jedes Element genau einmal zieht.

Das kann man wohl so oder so sehen... Darüber werden sich wohl auch manche Experten streiten.

Korrekt.

Meine Aussage "man muss nur sicherstellen, dass man jedes Element genau einmal zieht" bekommt im Kontext des Auswahlaxioms eine andere Bedeutung "man muss sicherstellen, dass man aus einer unendlichen Familien unendlicher Mengen aus jeder Menge genau eine Zahl zieht". Die Aussage steht weiterhin, nur die Frage ist, was "sicherstellen" bedeutet.

Das Auswahlaxiom stellt dies sicher - wenn es denn "wahr" ist - was bei einem Axiom ja immer so eine Sache ist.

[seeker]

Interessant finde ich noch dies:

Das Auswahlaxiom ist von der überwiegenden Mehrheit der Mathematiker akzeptiert. In vielen Zweigen der Mathematik, darunter auch neuere wie die Nichtstandardanalysis, führt es zu besonders ästhetischen Ergebnissen. Die Konstruktivistische Mathematik ist jedoch ein Mathematikzweig, der auf das Auswahlaxiom bewusst verzichtet. Darüber hinaus gibt es weitere Mathematiker, darunter viele der theoretischen Physik nahestehend, die das Auswahlaxiom ebenfalls nicht verwenden, insbesondere wegen kontraintuitiver Konsequenzen wie dem Banach-Tarski-Paradoxon. Dies führt zu der Fragestellung, ob sich Sätze, für deren Beweis üblicherweise das Auswahlaxiom verwendet wird, wie z. B. der Satz von Hahn-Banach, so abschwächen lassen, dass sie ohne Auswahlaxiom bewiesen werden können, aber dennoch alle wichtigen Anwendungen abdecken.

http://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom

... gerade da, wo es um theoretische Physik geht.

Beste Grüße

seeker

[tomS]

Außer evtl. im Falle von Hahn-Banach und der Existenz von Orthonormalbasen (Schauderbasen) von Hilberträumen kenne ich keinen für die Physik relevanten Satz, für den man das Auswahlaxiom benötigt.

[Skeltek]

Eine Überlegung meinerseits war, daß es in einem hinreichend komplexen System Relationen gibt, deren Existenz nicht ermittelt werden kann.
Nehmen wir mal die Menge aller Relationen über N; es ist nicht möglich sie aufzuzählen, zu ordnen oder ein zufälliges Element auszuwählen.
Der Beweis müsste ähnlich verlaufen wie bei Cantors Beweis der überabzählbarkeit reeler Zahlen. Es existiert übrigens auch keine Funktion, die aus der Menge der reelen Zahlen ein "zufälliges" Element zieht. So ist es auch bei den Relationen. Relationen in einem System, von deren Existenz wir nicht wissen und die wir nicht konstruieren können, sind überabzählbar und unbekannt. Sieht man die Relationen als Mengenelemente ist es unmöglich alle zu erfassen oder aus unserer Menge eine zu ziehen, die uns unbekannt ist.

[Pippen]

Ich möchte nochmal zurückkommen auf die Frage, ob die Mächtigkeit einer Menge eine Aussage dazu trifft, wer mehr Elemente hat. Offenbar gilt, dass R mächtiger ist als N und ich versuche zu zeigen, dass das eben nicht heißt, dass R mehr Elemente hat als N, sondern nur, dass es keinen (im voraus bestimmten) Algorithmus gibt, der sicherstellen kann, dass jeder reelle Zahl eine vorherbestimmte nat. Zahl zugeordnet werden kann (was eine ganz andere Aussage ist).

1. Wir nehmen an: R > N, hier gemeint: R hat mind. ein Element R(x) mehr als N, so wie zB die Menge {1, 2, 3} ein Element mehr hat als die Menge {1, 2}, nämlich {3}.
2. R und N haben unendlich viele Elemente.
3. Da N also unendlich ist, könnte R(x) jederzeit durch ein neues N(x) ausgeglichen werden (ich spare mir die Formalisierung), womit sofort ein Widerspruch zu 1. entsteht, so dass 1. nicht gelten kann.

R und N haben also quantitativ keinen Unterschied - wie soll auch eine unendliche Menge größer sein als eine andere unendliche Menge - oder anders herum: Wie soll eine leere Menge A kleiner sein als eine andere leere Menge B? R und N haben lediglich einen strukurellen Unterschied bei der Anordnung ihrer Elemente, der durch den Mächtigkeitsbegriff ausgedrückt wird.

[Skeltek]

Hängt davon ab, wie du R definierst. N hat abzählbar unendlich viele Elemente. R besteht aus einer Menge abzählbaren Elemente PLUS einer Menge überabzählbarer Elemente...

[seeker]

Es ist richtig, dass es sinnlos ist zu sagen, dass R "mehr" Elemente hätte als N.

Die Sache hat auch eine sprachliche Komponente - was hier unumgänglich ist, denn wir reden darüber auch in Worten.

Folgender Umstand: Das Wort "mehr" bezieht" sich immer auf eine endliche Anzahl von Dingen, z.B. auf eine endliche Anzahl von Elementen in einer Menge (im Vergleich).
Diese endliche Anzahl kann mit einer anderen endlichen Anzahl verglichen werden. Beim Ergebnis eines solchen Vergleichs benutzen wir dann die Worte "mehr", "weniger" oder "gleich viel" (was man auch mit entsprechenden mathematischen Zeichen ausdrücken kann).

Allein aus diesem Umstand sollte klar werden, dass es keinen Sinn macht das Wort "mehr" auf etwas Unendliches anwenden zu wollen.
Genau deshalb hat man dafür das Wort "Mächtigkeit" eingeführt und definiert, um auch unendliche Mengen irgendwie erfassen zu können.
"Mächtigkeit" ist dabei aber definitiv ein anderer Begriff als "Anzahl" und nicht zu verwechseln; es gibt nur gewisse Ähnlichkeiten.

Grüße
seeker

[Pippen]

@seeker: Ja, genauso habe ich es auch gemeint. Wie wäre es aber mit folgendem: Wir definieren zu R (unendliche Menge reeller Zahlen) eine Menge R2, dergestalt, dass R2 doppelt soviele Elemente habe wie R. Würde damit nicht per definitionem gelten: R2>R, d.h. R2 hätte mehr Elemente als R? Damit könnte man dann auch mit "verschiedenen" Unendlichkeiten "rechnen", auch wenn die Einführung von einfachen, doppelten oder mehrfachen Unendlichkeiten vielleicht gewöhnungsbedürftig wäre...wäre das rein formal konstruierbar?

[seeker]

Hmm...
Ich würde sagen, dass man zunächst zwar alles definieren kann, was man will - ob so eine Definition aber auch sinnvoll (begründbar) und konsistent (eindeutig) ist, steht auf einem anderen Blatt. Der Begriff "doppelt" macht aus den schon genannten Gründen genauso wenig Sinn, wie der Begriff "mehr", wenn man ihn auf unendliche Mengen anwendet. Du müsstest schon genau definieren, was du mit "doppelt" meinst. Das "doppelt" unserer Sprache könnte es nicht sein, es müsste etwas anderes meinen.
Von daher meine ich, dass so eine Definition nichts bringt. Unsere Definition von "Mächtigkeit" hingegen läuft darauf hinaus, dass R2 genauso mächtig ist wie R, was wiederum (im Widerspruch zu dir) aussagt, dass deine "verschiedenen" Unendlichkeiten eben doch nicht verschieden sind. Mit deinem Vorschlag müsste man also gleichzeitig den Begriff "Mächtigkeit" aufgeben, was m. E. kein Fortschritt wäre, sondern ein Rückschritt.

Nebenbei:
Wichtig wäre noch zu verstehen, dass endliche Mengen eine ANZAHL von Elementen haben, denen man also eine Zahl zuordnen kann, während unendliche Mengen eine UNZAHL von Elementen haben, denen man also so keine Zahl zuordnen kann.

"Mächtigkeit" ist dabei aber definitiv ein anderer Begriff als "Anzahl" und nicht zu verwechseln; es gibt nur gewisse Ähnlichkeiten.

Ich möchte das noch etwas genauer sagen:
"Mächtigkeit" ist dabei ein weiterer/universellerer Begriff als "Anzahl" (bzw. "Größe"), weil man ihn (im Unterschied zu "Anzahl") sowohl auf endliche als auch auf unendliche Mengen anwenden kann.
"Mächtigkeit" auf endliche Mengen angewendet ist dort quasi identisch mit "Anzahl", auf unendliche Mengen angewendet nicht.
Das ist der Reiz an dem Begriff "Mächtigkeit": Er kann beides, kann mehr leisten als der Begriff "Anzahl" bzw. "Größe".

Grüße
seeker

[Pippen]

Hmm...
Ich würde sagen, dass man zunächst zwar alles definieren kann, was man will - ob so eine Definition aber auch sinnvoll (begründbar) und konsistent (eindeutig) ist, steht auf einem anderen Blatt. Der Begriff "doppelt" macht aus den schon genannten Gründen genauso wenig Sinn, wie der Begriff "mehr", wenn man ihn auf unendliche Mengen anwendet. Du müsstest schon genau definieren, was du mit "doppelt" meinst. Das "doppelt" unserer Sprache könnte es nicht sein, es müsste etwas anderes meinen.

Es würde festgelegt, dass R2 aus der Menge R (alle reellen Zahlen) besteht und zusätzlich zB jede Zahl von R nochmal, also doppelt, enthält. Nur mal zur Veranschaulichung eine Sequenz: R {...; 0,1; 0,01;...}; R2 {...; 0,1; 0,1; 0,01; 0,01;...}. Wenn also gilt: R(x € R), dann gilt: R2 (x € R *2), d.h. obwohl R unendlich viele Zahlen enthält, würde R2 irgendwie mehr Zahlen als R enthalten müssen. Das könnte man mit allen möglichen Mengen so machen - es gäbe dann nicht mehr nur eine Unendlichkeit, sondern größere und kleinere Unendlichkeiten - genau über die Anzahl sagt ja die Mächtigkeit (jedenfalls bei unendlichen Mengen) nichts.

p.s. Ob das Sinn macht, interessiert mich erstmal nicht so. Ich frage mich vielmehr, ob meine Überlegung überhaupt konsistent ist, denn irgendwie haben wir ja vorher geklärt, dass es eigentlich nicht möglich ist zu sagen, dass eine unendliche Menge A eine größere Anzahl an Elementen hat als eine andere unendliche Menge B. Aber was, wenn B von Anfang an jedes Element von A doppelt in sich hat, während es bei A nur je einmal enthalten ist. Ein einfacher Verweis auf die Unendlichkeit von A würde dann nicht reichen, weil alle Elemente von A mit denen man B erreichen können wöllte, in B ja sofort und gleich doppelt vorhanden wären, d.h. B wäre per defin. immer größer iSv Anzahl der enthaltenen Elemente, oder? Kann mir jmd. das Gegenteil beweisen oder sonst irgendwie aufzeigen? Denn mir scheint meine Idee fehlerhaft, schon weil niemand sie in 3000 Jahren Mathematik ernsthaft vertreten hat (und sie wäre ja auch intuitiver als die doch recht konstruiert erscheinende Mächtigkeitsdiskussion).

[rick]

noch abgefahrenen ist, dass R[up]n[/up] und R gleichmächtig sind

Das sollte R^2 sein

[breaker]

R und N haben lediglich einen strukurellen Unterschied bei der Anordnung ihrer Elemente, der durch den Mächtigkeitsbegriff ausgedrückt wird.

Diese Aussage ist riesengroßer Unsinn.
Ich hab hier mal ne weile nichts mehr geschrieben, weil eigentlich alles gesagt war, aber nachdem ich das gelesen hatte, konnte ich nicht anders.

[Pippen]

R und N haben lediglich einen strukurellen Unterschied bei der Anordnung ihrer Elemente, der durch den Mächtigkeitsbegriff ausgedrückt wird.

Diese Aussage ist riesengroßer Unsinn.
Ich hab hier mal ne weile nichts mehr geschrieben, weil eigentlich alles gesagt war, aber nachdem ich das gelesen hatte, konnte ich nicht anders.

Ich wollte damit ausdrücken, dass die Mächtigkeit bei unendlichen Mengen nichts über deren Anzahl aussagt, sondern "nur" über deren verhältnismäßige Zuordnungsstruktur, so dass man eben nie sagen kann: R hat mehr Zahlen als N.

[tomS]

noch abgefahrenen ist, dass R[up]n[/up] und R gleichmächtig sind

Das sollte R^2 sein ;)

Nein, R[up]n[/up] ist schon richtig; es gilt für beliebige n

[tomS]

@seeker: Ja, genauso habe ich es auch gemeint. Wie wäre es aber mit folgendem: Wir definieren zu R (unendliche Menge reeller Zahlen) eine Menge R2, dergestalt, dass R2 doppelt soviele Elemente habe wie R. Würde damit nicht per definitionem gelten: R2>R, d.h. R2 hätte mehr Elemente als R?

So nicht; wie man am Beispiel der natürlichen 0, 1, 2, 3, 4, und der geraden Zahlen 0, 2, 4, 6, 8, ... sieht, sind die "doppelt so vielen" Elemenet der natürlichen Zahlen doch "gleichviele" wie die der natürlichen Zahlen.

... könnte man dann auch mit "verschiedenen" Unendlichkeiten "rechnen", ...wäre das rein formal konstruierbar?

Genau das hat Georg Cantor konstruiert

http://de.wikipedia.org/wiki/Transfinite_Arithmetik

[rick]

noch abgefahrenen ist, dass R[up]n[/up] und R gleichmächtig sind

Das sollte R^2 sein

Nein, R[up]n[/up] ist schon richtig; es gilt für beliebige n

*G, das kam falsch rüber, ich meinte damit das Beispiel von Pippen oben drüber, mit den R2 und R, das wäre der Fall mit n=2. Und, dann hab ich mich auf deine Aussage bezogen, das die gleichmächtig sind.

[Skeltek]

R ist die Vereinigung aller endlichen und unendlichen Zeichenketten.
Die transzendeten Zahlen um die es speziell geht sind -by design/definition- das Komplementär zu allen abzählbaren Zahlen in allen möglichen Zahlen.
Man kann Q^n für n-> unendlich ordnen, solange n endlich bleibt. Die nicht abzählbaren Zahlen bilden den Rand dieser Menge; also die Gesammtheit aller Ziffernfolgen, die keinem endlichen Algorythmus folgen.
Ich liebäugel da sehr mit den Konstruktivisten: Meiner Meinung nach gibt es diese Zahlen, sie existieren aber nicht(wenn man sich etwas aus dem Unterschied macht).

[breaker]

Ich versuch' mal, vielleicht, ein paar Sachen klarzustellen, bzw. zu verstehen:

R ist die Vereinigung aller endlichen und unendlichen Zeichenketten.

Wenn Du damit Zeichenketten aus den Ziffern von 0 bis 9 meinst, dann von mir aus. Dennoch wäre es sinnvoller, R als die Menge dieser Zeichenketten zu bezeichnen, und nicht als deren Vereinigung.

Die transzendeten Zahlen um die es speziell geht sind -by design/definition- das Komplementär zu allen abzählbaren Zahlen in allen möglichen Zahlen.

1. Meinst Du wirklich transzendente Zahlen, oder vielleicht irrationale? Wenn Du transzendent meinst, warum sollen gerade die das Komplement der abzählbaren Zahlen sein??
2. Was soll eine abzählbare Zahl sein? Eine Menge kann abzählbar sein, aber nicht eine Zahl. Vielleicht meinst Du mit "allen abzählbaren Zahlen" sowas wie die "größte abzählbare Teilmenge der reellen Zahlen". Letzteres wäre zwar imemrhin ein Objekt, das begrifflich Sinn machen würde, allerdings existiert so etwas sicherlich nicht, da man zu jeder abzählbaren Teilmenge von R eine weitere Zahl hinzunehmen kann, ohne die Abzählbarkeit zu verlieren.

Man kann Q^n für n-> unendlich ordnen, solange n endlich bleibt.

Diese Aussage ergibt keinen Sinn.

Man kann Q^n für jede natürliche Zahl n ordnen.

Dem würde ich nicht widersprcehen.

Die nicht abzählbaren Zahlen bilden den Rand dieser Menge; also die Gesammtheit aller Ziffernfolgen, die keinem endlichen Algorythmus folgen.

Der Rand von Q in R sind alle reellen Zahlen. Darunter fallen sowohl alle Zahlen, die men mit einem endlichen Algorithmus konstruieren kann, als auch alle anderen.

[Skeltek]

1. Meinst Du wirklich transzendente Zahlen, oder vielleicht irrationale? Wenn Du transzendent meinst, warum sollen gerade die das Komplement der abzählbaren Zahlen sein??

Wurzeln sind auch irrational. Trotzdem kann man die Wurzeln aller rationalen Zahlen alle abzählen.

Wenn Du damit Zeichenketten aus den Ziffern von 0 bis 9 meinst, dann von mir aus. Dennoch wäre es sinnvoller, R als die Menge dieser Zeichenketten zu bezeichnen, und nicht als deren Vereinigung.

Die Vereinigung einer abzählbaren Menge und einer überabzählbaren Menge ist dasselbe, wie wenn ich die Verinigung aus allen beteiligten Elementen bilde. Mit unendlichen Zeichenketten meinte ich nicht endende Ziffernfolgen, die keinem Algorythmus folgen.

[breaker]

1. Meinst Du wirklich transzendente Zahlen, oder vielleicht irrationale? Wenn Du transzendent meinst, warum sollen gerade die das Komplement der abzählbaren Zahlen sein??

Wurzeln sind auch irrational. Trotzdem kann man die Wurzeln aller rationalen Zahlen alle abzählen.

Dennoch ergibt die Aussage, dass die transzendenten Zahlen per Definition das Komplement der abzählbaren Zahlen sind, nicht wirklich Sinn.
Es gilt lediglich die Aussage, dass das Komplement der transzendenten Zahlen in den reellen Zahlen eine abzählbare Menge ist, aber das ist eben eine andere Aussage, aus der sich insbesondere keine besondere Rolle der transzendenten Zahlen im Zusammenhang mit Abzählbarkeit folgern lässt.

[Skeltek]

Die Menge aller algebraischen reelen Zahlen ist abzählbar.
Ich habe die Definition so verstanden, daß die transzendenten Zahlen die Menge aller nicht durch eine algebraische Gleichung endlichen Grades darstellbaren Zahlen sind. Für mich deckt sich das relativ wohl mit meiner Aussage.
Da hast du natürlich recht, daß man auch eine endliche Teilmenge der transzendenten Zahlen abzählen kann. Trotzdem bilden die transzendenten Zahlen eine überabzählbare Menge.