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Vorstellung in beliebiger Anzahl Dimensionen

Mathematische Fragestellungen
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positronium
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Vorstellung in beliebiger Anzahl Dimensionen

Beitrag von positronium » 2. Feb 2012, 19:17

Hallo allerseits,

man möchte sich ja mathematisches immer gerne vorstellen.
Für
0 Dimensionen kann man das auf einen booleschen Werte reduzieren (also, in der Form "existiert"/"existiert nicht"), in
1 Dimension hat man gleich Längen oder auch Längenverhältnisse im Kopf, bei
2 Dimensionen sieht man gleich ein Koordinatensystem vor sich, und in
3 Dimensionen denken wir ohnehin immer.

Bis hier hin hat wohl kaum jemand Probleme, sich grundlegendes vorzustellen.
Aber dann wird es schwieriger; man (ich gehe davon aus, dass es jedem so geht) muss sich Eselsbrücken bauen.
Jetzt möchte ich hier einmal fragen: Wie geht Ihr bei so etwas vor?
Ich habe mir ein paar "Standardwerkzeuge" zurecht gelegt, die ich entweder im Kopf oder am Computer zur Veranschaulichung von Dimensionen grösser 3 nutze:
- Zum ersten natürlich die Reduzierung auf weniger Dimensionen, wenn das geht.
Ansonsten versuche ich,
- die Zeit als zusätzliche räumliche Dimension zu nutzen,
- stelle mir diese in Helligkeitsstufen oder Farben vor, oder
- zerlege 4D-Daten in nebeneinander stehende 3D-Schnitte.

Was sind Euere Taktiken?

Gruss

positronium

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Re: Vorstellung in beliebiger Anzahl Dimensionen

Beitrag von tomS » 2. Feb 2012, 23:02

In der ART Reduzierung der räumlichen Dimension um eins, dann wieder die Zeit als zusätzliche Dimension
Gruß
Tom

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Re: Vorstellung in beliebiger Anzahl Dimensionen

Beitrag von Skeltek » 3. Feb 2012, 07:47

Du kannst z.B. jedem Punkt eines Würfels eine Farbe zuordnen(möglichst einen fließenden Farbverlauf innerhalb des Würfels ohne "Sprünge")
Ändert sich der Farbverlauf zeitlich, kannst du den Farbton in einem Punkt als vierte Eigenschaft/Koordinate dem Würfel zuordnen.
Ein absolut rechteckiger 4-dimensionaler Würfel hätte also zu jedem Zeitpunkt in allen Punkten immer dieselbe Farbe.
Ist der Farbwechsel zeitlich nicht gleichmäßig, so sind die Kanten des Würfels nicht orthogonal.
Sind die Farben zu einem Zeitpunkt nicht alle gleich, so sind die Kanten der vierten Dimension nicht orthonormal.

Nur ein Beispiel wie man sich das vorstellen kann.
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  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

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Re: Vorstellung in beliebiger Anzahl Dimensionen

Beitrag von rick » 3. Feb 2012, 09:50

Warum sollte ich mir versuchen was vorzustellen, wozu wir Menschen eh nicht in der Lage sind. 4D, wenn eine Dimension die Zeit ist, ist ja noch recht leicht vorstellbar(Solang es nur Trajektorien oder so sind), nur wirds halt mit dem Zeichnen problematisch, aber wie Tom schon meinte, kann man das ja dann auf x,y,t reduzieren.

Für höhere Dimensionen würde ich darauf verzichten, mir das bildlich vorzustellen. Unsere Vorstellung wäre wahrscheinlich eh nicht richtig. Ich lasse mich da dann immer von der Mathematik lenken. Wenn ich also in 30 Dimensionen rechne, na und? Dann hat mein Vektor eben anstatt von 3 Komponenten 30, was solls :). Solang die Mathematik keine dimensionalen Beschränkungen hat, kann man sie doch nehmen. Dafür ist sie doch doch da.

Und was die Bilder auf dem PC angeht. Wenn du dir Feldbilder zeichnest, dann stellen diese auch nicht korrekt das Feld da. Es sind eben nur Feldlinien, die dir helfen zu erahnen wie das Feld aussehen könnte. Aber vorstellen, kann man es sich dadurch noch lange nicht richtig. In 2D zb. kann ich mir vielleicht ein Skalar-Potenzialfeld gut vorstellen zb. als Gebirge oder so, mit der 3ten Dim der Werte. Aber ein Vektorfeld? Jeden Punkt im Raum 3 Werte zuweisen ist schon ein starkes Stück :).

positronium
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Re: Vorstellung in beliebiger Anzahl Dimensionen

Beitrag von positronium » 3. Feb 2012, 11:31

Vielen Dank für Euere Antworten!

@Skeltek: Interessanter Ansatz! Den werde ich mir noch genauer durch den Kopf gehen lassen.
rick hat geschrieben:Für höhere Dimensionen würde ich darauf verzichten, mir das bildlich vorzustellen. Unsere Vorstellung wäre wahrscheinlich eh nicht richtig. Ich lasse mich da dann immer von der Mathematik lenken. Wenn ich also in 30 Dimensionen rechne, na und? Dann hat mein Vektor eben anstatt von 3 Komponenten 30, was solls :). Solang die Mathematik keine dimensionalen Beschränkungen hat, kann man sie doch nehmen. Dafür ist sie doch doch da.
Ja, damit hast Du schon Recht, sobald man einmal Formeln hat. Aber wie gehst Du vor, wenn Du die Aufgabe erst aufstellst? Du hast eine Idee, und dann musst Du einen bestimmten Ansatz finden. Wie entscheidest Du Dich für einen möglichen? - Ich versuche, mir das Problem bildlich vorzustellen. Ich wüsste nicht, wie ich das anders angehen könnte. Vor einiger Zeit habe ich mal einen Algorithmus geschrieben, der mir aus einem Feld die Äquipotentialflächen als Netz aus Dreiecken heraus gerechnet hat. Um mir über einen brauchbaren Ansatz klar zu werden, bin ich halb dösend in meinem Sessel gehangen, und meine linke Hand musste als Dreiecksmodell herhalten, und die rechte war das Kreuzprodukt. Ich weiss echt nicht, wie man so etwas lösen könnte, ohne es sich bildlich vorzustellen.
rick hat geschrieben:Und was die Bilder auf dem PC angeht. Wenn du dir Feldbilder zeichnest, dann stellen diese auch nicht korrekt das Feld da. Es sind eben nur Feldlinien, die dir helfen zu erahnen wie das Feld aussehen könnte. Aber vorstellen, kann man es sich dadurch noch lange nicht richtig. In 2D zb. kann ich mir vielleicht ein Skalar-Potenzialfeld gut vorstellen zb. als Gebirge oder so, mit der 3ten Dim der Werte. Aber ein Vektorfeld? Jeden Punkt im Raum 3 Werte zuweisen ist schon ein starkes Stück :).
Ist alles richtig, aber es hilft eben doch.

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Re: Vorstellung in beliebiger Anzahl Dimensionen

Beitrag von Skeltek » 3. Feb 2012, 21:25

Wenn du dir eine Drehung eines n-dimensionalen Würfels vorstellst, so kann man ihn um n verschiedene Achsen drehen.

Man kann auch einen Eckpunkt als Koordinatenursprung nehmen und je nach Drehung des Würfels(ein Teil ragt in negative Koordinatenbereiche), diesem ein positives oder negatives Volumen zuordnen. (Hängt analog z.B. ein Quadrat im 2dimensionalen exakt zur Hälfte unter der x Achse, ist das Volumen 0)
Dreht man den Anfangswürfel(Volumen positiv, Kanten paralell zu den Koordinatenachsen) immer um 90° um eine beliebige Achse, kann man jeder Verkettung von Drehungen eine Permutation einer n-elementigen Menge zuordnen und das Volumen wenn erwünscht auch komplexwertig(Volumen ist nicht mehr positiv oder negativ, sondern das Spatprodukt durchläuft n! verschiedene "Farben" wenn man dem irgendein Wort überhaupt zuordnen kann) auffassen.

Dreht man den Würfel jedoch schiefwinkling zu allen Koordinatenachsen, gibt es verschiedene Schnittmengen mit den unterschiedlichen Quadranten, wobei das Volumen dann als Summe dieser verschiedenen Schnittmengen aufaddiert werden kann.

Das findet man in keinem Mathebuch; etwas ähnliches habe ich mir selbst hergeleitet um mir Operationen/Drehungen im n-dimensionalen besser vorstellen zu können. Leider besitzt das menschliche Gehirn nicht die Kapazitäten, um sich jeden Teilaspekt so eines Vorgangs gleichzeitig vorzustellen. Die Menge der Ecken, Richtungen und Schnittmengen nimmt mit der Zahl der Dimensionen n leider prortional n! zu.
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  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

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Re: Vorstellung in beliebiger Anzahl Dimensionen

Beitrag von positronium » 3. Feb 2012, 23:01

Was ich einmal in Zusammenhang mit der Darstellung von 4D-Würfeln gesehen habe, war eine Verallgemeinerung der Projektion auf eine niedrigere Dimension. Das war genau so wie die Projektion eines 3D-Objektes unter Berücksichtigung der perspektivischen Verkleinerung auf 2D, aber es wurde eben noch eine Dimension mehr "geplättet". Interessant fand ich das, aber ob das aussagekräftig ist, steht wieder auf einem anderen Blatt.
Gerade sehe ich, dass so etwas auch auf Wikipedia zu finden ist: http://de.wikipedia.org/wiki/4D und http://de.wikipedia.org/wiki/Tesserakt

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Re: Vorstellung in beliebiger Anzahl Dimensionen

Beitrag von Gepakulix » 4. Feb 2012, 16:22

Eine etwas andere Vorstellungsmoeglichkeit von einer Welt mit beliebigen Dimensionen geht über die numerische Simulation:

Bei der numerischen Simulation des Wellenverhalten entlang einem Faden (1-Dimensional) benötigt man ein Memory, in dem jedem Punkt 2 benachbate Punkte zugeordnet werden (Punkt links und Punkt rechts)

Bei der numerischen Simulation einer Temperatur auf einer Kochplatte (2-Dimensional) genügt es, das Memory im Rechner so zu organisieren, dass jeder Punkt (Pixel) 4 benachbarte Pixel hat (Punkt links, Punkt rechts, Punkt vorne, Punkt hinten).

Bei der numerischen Simulation eines Drucks in einem Raum (3-Dimensional) genügt es das Rechner-Memory so zu organisieren, dass jeder Pixel 6 benachbarte Punkte hat (links, rechts, vorne, hinten, unterhalb, oberhalb).

Bei der numerischen Simulation des zeitlichen Temperaturverlaufs im Wasser eines Schwimmbades (4-Dimensional) genügt es das Rechner-Memory so zu organisieren, dass jeder Pixel 8 benachbarte Punkte hat(links, rechts, vorne, hinten oben, unten, Zustand vor einer pico-Sekunde, Zustand in einer pico-Sekunde).

Etwas allgemeingefasst: Der Unterschied von verschieden dimensionalen Räumen liegt nur in der Anzahl der benachbarten Punkte pro Pixel (zumindest in der Simulation. Da aber die numerische Simulation häufig die beste Möglichkeit ist um die Wirklichkeit nachzu bilden, könnte diese Behauptung auch für die Wirklichkeit gelten? )

Gruss, Gepakulix

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