Rätsel - die Ameise auf dem Gummiband

[tomS]

Man stelle sich ein ideales Gummiband vor, das sich gleichmäßig unendlich lang ausdehnen kann. Man stelle sich weiterhin eine ideale, punktförmige Ameise vor.

Wenn das Gummiband zum Zeitpunkt 0 einen Kilometer Länge misst und zu diesem Zeitpunkt die Ameise sich an einem Ende des Gummibandes befindet, und wenn sich das Gummiband um einen Kilometer pro Sekunde ausdehnt, während die Ameise sich mit einem Zentimeter pro Sekunde fortbewegt, dann stellt sich die Frage:
Erreicht die Ameise das andere Ende des Gummibandes, und wenn ja wie lange braucht er?

Wie lautet die allgemeine Lösung, wenn das Gummiband zu Beginn die Länge L[down]0[/down] hat, sich zu jedem Zeitpunkt t um einen beliebigen Faktor a(t) ausdehnt, also L(t) = L[down]0[/down] a(t), und wenn die Ameise die konstante Geschwindigkeit v=c hat?

[Alexander]

Intuitiv würde ich sagen, dass die Ameise, die sich mit einem Zentimenter pro Sekunde auf einem Gummiband bewegt, dass sich in derselben Zeit um 10[up]5[/up] Zentimeter ausdehnt, keinerlei Chance hat, das Ende des Gummibandes zu erreichen, denn in der Zeit, in der sie einen Zentimeter hat, ist das Gummiband bereits 2*10[up]5[/up]-1 Zentimeter bezüglich der Ameise länger. Diese Überlegung hat mich auf Konvergenz geführt, ich habe mir überlegt, dass, wie erwähnt, nach einer Sekunde 2*10[up]5[/up]-1, nach zwei Sekunden 3*10[up]5[/up]-2, nach 4*10[up]5[/up]-3 usw. Das hat mich zu folgender Formel gebracht (wobei n=Sekunden, y=von Ameise zurückgelegte Strecke in Zentimetern, s die zurückzulegende Strecke):

s = n*10[up]5[/up]-y

Ich dachte, wenn dieser Ausdruck konvergiert, dann kommt die Ameise am Ende des Bandes an. Da dem aber nicht so ist, behaupte ich, dass die Ameise niemal ankommt.

Die von dir geforderte allgemeine Formel würde ich nach dieser (womöglich falschen?) Überlegung mit

s = L0 a(t)-v

[tomS]

Intuitiv würde ich sagen, dass die Ameise, die sich mit einem Zentimenter pro Sekunde auf einem Gummiband bewegt, dass sich in derselben Zeit um 10[up]5[/up] Zentimeter ausdehnt, keinerlei Chance hat, das Ende des Gummibandes zu erreichen, ...

Wenn es so einfach wäre, hätte ich die Aufgabe wohl nicht gestellt ;-)

Tip: der bereits zurückgelegte Weg wird im selben Verhältnis gedehnt wie das gesamte Band.

Anmerkung: ich habe die Aufgabe gestellt, weil sie a) immer wieder als Analogon zum Lichtweg in einem expandierenden Universum genannt wird und b) ein beliebtes Rätsel zum Aufstellen von DGLs ist.

[positronium]

Die beiden Fragen unterscheiden sich, denke ich.
Bei der ersten wird ein konstanter Wert addiert, weil Du schreibst: "...das Gummiband um einen Kilometer pro Sekunde ausdehnt..."
Bei der zweiten Frage sprichst Du aber von "...sich zu jedem Zeitpunkt t um einen beliebigen Faktor...", wobei aber die Formel "L(t) = L[down]0[/down] a(t)" doch wieder auf ersteren Fall schliessen lässt. Meinst Du mit a(t) eine lineare Funktion mit a(0)=1? Oder doch beliebige Faktoren?

Wahrscheinlich willst Du auf die Expansion des Universums (Skalenfaktor) hinaus. Das kann ich leider nicht berechnen.

Mein Ansatz ist der: Ich lege die Ameise in den Koordinatenursprung und lasse sie dort. Dann definiere ich zwei Punkte S (Startpunkt der Ameise) und Z (Zielpunkt). Dann gilt für die Randbedingungen:
S(0)=0
Z(0)=L0
für die Länge aus Deinem Posting
L(t)=L0*a(t)
und die beiden Gleichungen
S'(t)=-c-L'(t)*-S(t)/L(t)
Z'(t)=-c+L'(t)*Z(t)/L(t)
Ich würde also die Punkte mit c nach links wandern lassen (Ameise bleibt bei 0 statt sich mit c nach rechts zu bewegen), und subtrahiere bzw. addiere den jeweiligen Anteil der Längenveränderung.
Aber das lässt sich nicht lösen - da ist also ein dicker Wurm drin.

[Timm]

Die Analogie des expandierenden Universums kam mir zwar in den Sinn, aber ich habe sie gleich wieder verworfen, weil das Universum zu keinem Zeitpunkt einen Rand und einen Mittelpunkt hat. Allerdings könnte man die Enden des Gummibandes miteinander identifizieren.
Wenn man bei der Analogie bleibt, verläuft die Expansion "gebremst", denn der Längenzuwachs ist unabhängig von der bereits erreichen Länge konstant ("wenn sich das Gummiband um einen Kilometer pro Sekunde ausdehnt"). Insofern würde ich es der Ameise zutrauen, das andere Ende zu erreichen.

Mit DGL's mußte ich mich vor vielen Jahrzehnten mal ein bißchen beschäftigen um den Matheschein zu kriegen aber das ist alles inzwischen bis zur Unkenntlichkeit verblaßt.

Gruß, Timm

[Skeltek]

Quotient zweier Ableitungen A´/B´ : Ist es eine Nullfolge für t->unendlich, erreicht die Ameise das Ende niemals, strebt der Wert gegen unendlich, erreicht sie es.

man definiert Geschwindigkeit der Ameise als die Ableitung von A=[Gummibandlänge hinter Ameise/Gesammtlänge Gummiband]
Längenzunahme der Reststrecke ist B´=[Gesammtlänge-Gummibandlänge hinter Ameise]

Hab heute noch nicht geschlafen, hoffe ich hab mich nicht verzettelt. Normiert man die km und cm Angaben und nimmt als Einheit einfach die Anfangslänge des Gummibandes ist es viel einfacher.

[tomS]

Die Analogie mit dem Universum wird klarer, wenn man sich statt eines eindimensionalen Bandes ein zweidimensionales, unendliches Gummituch denkt, auf dem einfach zwei Punkte markiert werden. Der Startpunkt der Ameise entspricht dann einem Stern, der ein Photon (eben die Ameise) aussendet, der Zielpunkt entspricht der Erde. Die Frage ist dann, ob und wann uns das Licht dieses Sternes erreicht.

Diese Analogie hift aber nicht bei lösen.

Man kann zunächst den allgemienen Fall betrachten





der spezielle Fall lautet dann





Die DGL wird wie folgt aufgestellt:

Zunächst betrachten wir die infinitesimale Expansion des gesamten Bandes



Um diesen Faktor werden alle Längen zu jedem Zeitpunkt gedehnt.

Nun betrachten wir die Wanderung der Ameise



im ersten = steckt nur die infinitesimale Betrachtung der Wanderung; die beiden Klammern nach dem zweiten = bedeuten, dass die Ameise zum Einen eine infinitesmale Strecke c dt zurücklegt, die zum Anderen zugleich um den oben berechneten Faktor gedehnt wird.

Ausmultiplizieren Vernachlässigen infinitesimaler Größen dt² zweiter Ordnung (wie üblich bei einem derartigen Ansatz) sowie Zusammenfassen liefert die DGL



Diese kann man direkt zu lösen versuchen. Einfacher wird es jedoch, wenn man statt x eine mit L reskalierte Größe xi betrachtet, so dass der Gesamtlänge zu jedem Zeitpunkt Eins und dem Weg der Ameise ein gewisser Bruchteil davon entspricht.



Einsetzen in die DGL liefert auf der linken Seite



sowie auf der rechten Seite



Zwei Terme heben sich weg, so dass die neue DGL in xi die einfachere Form



annimmt.

So, jetzt seid ihr wieder dran ...

[Alexander]

Ich bin mir nicht sicher, ob ich die letzte Gleichung verstehe; was bedeutet die Ableitung von Zeta?

[tomS]

nicht zeta, xi ;-)

nun, anstelle der Zeitabhängigkeit von x betrachten wir die Zeitasbhängigkeit von xi; dabei fällt die triviale Zeitabhängigkeit von L über a teilweise heraus, d.h. die DGL in xi ist einfacher als die in x.



Daraus folgt durch Trennung der Variablen





Also





Und jetzt ist auch klar, wie man berechnet, ob die Ameise jemals das Ende des Bandes erreicht. In der reskalierten Gleichung gilt dies genau dann, wenn es ein t=T gibt, für das xi gleich eins wird, also wenn

[MaxG]

Darf ich fragen, wo mehr solcher Rätsel zu finden sind? Ich würde mich damit gerne beschäftigen, aber da ich auch nicht vorgaukeln will, dass ich strebhaft sei: Mein Onkel - ein Zahnmediziner hat nach solchen Rätseln gefragt und ich wollte ihm den Gefallen tun und ein paar für ihn raussuchen...
Nebenbei nochmal ein Dankeschön an dich Tom für die gute Erklärung und das schöne Rätsel - ich hab übrigens vor der Variablentrennung den Anschluss verloren, aber die Lösung hab ich wenigstens im Nachhinein verstanden.
mfg

[tomS]

z.B. hier http://www.matheplanet.com/ oder natürlich googeln

[MaxG]

Natürlich^^ ... Verzeihung und danke!

mfg

[Alexander]

Ich denke, das werde ich mir auch mal zu Gemüte führen; denn wiewohl ich jeden Schritt von Tom's Rechnungen gut nachvollziehen konnte, selber wäre ich auf eine andere Lösung gekommen (wie am ersten Beitrag unschwer zu erkennen ist ).

[tomS]

drei Anmerkungen:

1) man muss diese allgemeine Lösung erst noch auf den Spezialfall L(t) = L[down]0[/down] + ut anwenden, d.h. a(t) = L(t)/L[down]0[/down] = 1 + ut/L[down]0[/down]
2) in Abhängigkeit der genauen Form von a(t) kann die Ameise den ursprünglich mit L[down]0[/down] markierten Punkt erreichen oder auch nicht
3) du kannst mit einem Computerprogramm (oder Excel) den Fall testen, dass das Laufen der Ameise und das Dehnen des Bandes jeweils um eine feste Strecke abwechselnd geschieht

[tomS]

Natürlich^^ ... Verzeihung und danke!

und hier - da gibt's auch die Ameise auf dem Gummiband: http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Puzzles