Mengen und vollständige Induktion

[Pippen]

Ich definiere zunächst die Menge N mit den Elementen aller nat. Zahlen, so wie es mir einsichtig erscheint (Peano's Formulierung ist mir irgendwie suspekt bzw. verstehe ich nicht so ganz):

1. 0 € N
2. x: irgendeine Zahl
3. x’: Nachfolger von x
4. ~(x’ = 0)
5. x’ = x+1
6. If x € N then x’ € N.

Jetzt kann ich mittels logischer Verfahren untersuchen, ob bestimmte Zahlen, zB hier mal die Zahl 3, Element der Menge N aller natürlichen Zahlen ist?

a) Wir wissen wegen Axiom 1, dass 0 € N.
b) Aus 6. & 5. ergibt sich: If 0 € N then (0+1=) 1 € N. Da 0 € N (1.), folgt 1 € N (modus ponens)
c) Aus 6. & 5. ergibt sich weiter: If 1 € N then (1+1=) 2 € N. Da 1 € N (aus b), folgt 2 € N (modus ponens)
d) Aus 6. & 5. ergibt sich weiter: If 2 € N then (2+1=) 3 € N. Da 2 € N (aus c), folgt 3 € N (modus ponens)

Daher ist die Zahl 3 Element der Menge N aller natürlichen Zahlen, q.e.d.

Findet ihr meine Definition von N und die Beweisführung anhand dessen schlüssig – und wenn ja, wie kann man zeigen, dass sobald x’ auf die 0 als ultimativen Vorgänger rückführbar ist, zu N gehört, denn wenn ich mit meiner Methode beweisen müsste, dass 100 eine natürliche Zahl ist, wäre ich ziemlich aufgeschmissen. Ginge allein!!! anhand meiner Vorgaben aus 1.-6. und noch grundsätzlicheren logischen und mengentheoretischen Verfahren eine vollständige Induktion und wie sähe die Formulierung aus?

[tomS]

Ich denke, du musst bzw. kannst gar nicht beweisen, dass 100 eine natürliche Zahl ist, da du in deinem Axiomensystem keine Unterscheidung treffen kannst; es gibt ja nur natürliche Zahlen. Oder verstehe ich da etwas falsch?

[Pippen]

Ich denke, du musst bzw. kannst gar nicht beweisen, dass 100 eine natürliche Zahl ist, da du in deinem Axiomensystem keine Unterscheidung treffen kannst; es gibt ja nur natürliche Zahlen. Oder verstehe ich da etwas falsch?

Hm...was hat denn Peano so viel anders definiert als ich? Ich denke nämlich, dass ich sehr nah an seinen Festlegungen bin....

[tomS]

Hat Peano die natürlichen Zahlen definiert, konstruiert, oder bewiesen? (ich weiß das nicht mehr, das ist ca. 20 Jahre her; schau doch mal in eine Vorlesung bzw.ein Skript Algebra I oder Analysis I)

[breaker]

Wie Peano das gemacht hat, weiß ich auch nicht auswendig, aber wenn man erst die reellen Zahlen definiert und dann die natürlichen Zahlen als Teilmenge der reellen charakterisieren will, dann reichen meiner Meinung nach weniger Axiome. Man setzt

1. 0€N
2. x€N => x+1€N

Dann kann man die natürlichen Zahlen als Schnittmenge aller Teilmengen der reellen Zahlen definieren, die 1. und 2. erfüllen.
Wenn man diesen Weg wählt, dann kann man leicht mit Induktion zeigen, dass 100€N. Man kann sogar die viel allgemeinere Aussage

A(n): Es gilt 1+1+...+1 €N
(wobei die 1 n-mal addiert werden soll)

zeigen.

Induktionsanfang: 1€N folgt direkt aus 1. und 2., da 1=0+1.
Induktionsvoraussetzung: Gelte 1+...+1 € N (mit n Summanden).
Indktionsschritt: Sei x:=1+...+1 (n Summanden). Nach 2. gilt dann auch x+1=1+...+1+1 € N.
qed.

Aber dafür braucht man eben schon die reellen Zahlen (wir haben ja benutzt, dass es eine Addition gibt, und dass 0+1=1 gilt).
Ob das auch so geht, ohne vorher die reellen Zahlen zu haben, weiß ich nicht auswendig, aber da sehe ich die gleichen Probleme wie Tom. Zusätzlich müsste man darüber nachdenken, ob dein 5. Axiom überhaupt Sinn macht, denn was ist "1" und was ist "+", wenn es noch keine reellen Zahlen gibt?

[tomS]

Wie Peano das gemacht hat, weiß ich auch nicht auswendig, aber wenn man erst die reellen Zahlen definiert und dann die natürlichen Zahlen als Teilmenge der reellen charakterisieren will, dann reichen meiner Meinung nach weniger Axiome.

Aber so macht man das sicher nicht, denn wenn man bereits die reellen Zahlen hat, benötigt man keine weiteren Axiome mehr, da die natürlichen Zahlen mit ihren Eigenschaften ja schon in den reellen Zahlen enthalten sind; man benötigt dann Axiome für die reellen Zahlen sowie daraus abgeleitete Sätze für die natürliche Zahlen

[breaker]

Ja, das stimmt, eigentlich sind das dann keine Axiome mehr.
Ist aber auf jeden Fall eine Möglichkeit, die natürlichen Zahlen mathematisch sauber zu definieren.

Wie gesagt, ohne irgendeine voorgegebene Struktur sehe ich dann (mindestens) die gleichen Probleme wie Du.

[Pippen]

Na dann mal so:

1. Beweise mir doch mal jmd., dass das Symbol "3" zu N (also den natürlichen Zahlen) gehört!
2. Beweise mir doch mal jmd., dass es unendlich viele nat. Zahlen gibt!

[tomS]

zu 2. (unter der Voraussetzung, dass die Addition '+1' ebenfalls eine natürliche Zahl definiert): Nehmen wir an, N sei die letzte natürliche Zahl, dann ist aber N'=N+1 ebenfalls eine natürliche Zahl, also kann N nicht letzte natürliche Zahl sein, sondern höchstens N+1. usf.

[breaker]

Es sei angemerkt, dass hierbei die Annahme
"Jede nach oben beschränkte Teilmenge der natürlichen Zahlen besitzt ein größtes Element"
benutzt wurde.

Mir kommt die ganze Diskussion hier etwas ungeordnet vor. Es wird mit Addition und Anordnung argumentiert, obwohl man diese beiden Begriffe in diesem Stadium eigentlich noch gar nicht zur Verfügung hat.

Zu 1.:
Wenn dir jemand beweisen soll, dass das Symbol "3" zu den natürlichen Zahlen gehört, dann musst du erst klare Definitionen der natürlichen Zahlen und des Symbols "3" angeben, sonst hat man ja nichts, mit dem man argumentieren könnte.

[tomS]

Es sei angemerkt, dass hierbei die Annahme
"Jede nach oben beschränkte Teilmenge der natürlichen Zahlen besitzt ein größtes Element"
benutzt wurde.

Nö, habe ich das benutzt?

Mir kommt die ganze Diskussion hier etwas ungeordnet vor.

Stimmt.

[breaker]

Ach stimmt, sorry, bin etwas verpeilt.
Das waren ja die ganzen natürlichen Zahlen, die Du benutzt hast.
Vergiss es

[Skeltek]

Kein echter Induktionsbeweis; das ist eher "probieren"...
Bei deinem "Beweis" musst du trotzdem jedes Element durchgehen bis du bei Zahl x angekommen bist. Es ist nicht möglich aus deinem Induktionsanfang und Schritt direkt auf die 100 zu schließen. Außerdem weißt du bevor du nicht unendlich viele Zahlen ausprobiert hast, ob die 100 wirklich in N liegt.

[breaker]

Kein echter Induktionsbeweis; das ist eher "probieren"...
Bei deinem "Beweis" musst du trotzdem jedes Element durchgehen bis du bei Zahl x angekommen bist. Es ist nicht möglich aus deinem Induktionsanfang und Schritt direkt auf die 100 zu schließen. Außerdem weißt du bevor du nicht unendlich viele Zahlen ausprobiert hast, ob die 100 wirklich in N liegt.

Den Einwand verstehe ich nicht. Ich sehe kein Problem bei dem Induktionsbeweis. Genau in der Art verlaufen alle Induktionsbeweise.
Man muss auch nicht unendlich viele Zahlen durchprobieren, bis man bei der 100 angekommen ist, sondern höchstens (sogar genau) 100...

[Skeltek]

Du kannst nicht prüfen, ob du bei der 100 angekommen oder schon dran vorbei bist, wenn du es so aufziehst. Irgendwann biste bei 10^90 angekommen und weißt immer noch nicht ob Pi drin liegt oder nicht.
Die natürlichen Zahlen sind zunächstmal einfach ein axiomatisches Konstrukt.

[breaker]

Es soll damit ja auch nicht geprüft werden, ob beliebige relle zahlen in N liegen, sondern es soll bewiesen werden, dass die 1 beliebig oft aufaddiert in N liegt.

[seeker]

Bemerkenswert bei Konzepten, wie z.B. den Natürlichen Zahlen, finde ich, dass wir schon wissen was die Natürlichen Zahlen sind/sein sollen, bevor wir sie definiert haben. Wir haben schon im Voraus eine Vorstellung im Kopf, wie sie aussehen sollen. Erst hinterher versuchen wir diese Vorstellung mit einer Definition exakt auszudrücken bzw. zu präzisieren. Wo aber kommt diese Vorstellung her, wenn es noch gar keine Definition gibt?

Grüße
seeker

[positronium]

Wo aber kommt diese Vorstellung her, wenn es noch gar keine Definition gibt?

Bestimmt sind wir evolutionär darauf vorbereitet, zählen zu können (hat man ja auch schon bei einigen Tieren bewiesen), weil Stückzahlen, Mengen etc. für unser Überleben wichtig sind. Aber das nur nebenbei gesagt.
Mathematik beruht meiner Meinung nach für uns ganz und gar auf dieser Fähigkeit. Zwar habe ich keine Ahnung, wie Mathematiker die natürlichen Zahlen definieren, beweisen oder was weiss ich, aber trotzdem bin ich mir sicher, dass es ohne diese Grundveranlagung nicht gehen würde. Das fängt ja schon bei der 1 an. Sie ist ein Symbol für "ein Stück", die Definition eines Symbols für etwas fundamentales, das nicht fundamentaler sein könnte.

[Skeltek]

Ich glaube natürliche Zahlen sind erstmal ein Konstrukt im Kopf, das durch eine Abbildung der Realität in den Kopf zustande kommt. Dieses Bild divergiert manchmal bis ins Grundschulalter wo es dort dann korrigiert wird. Kinder lernen erstmal von 1 aufwärts zählen bis 10, wo dann der nächste Schritt bis 100 drauf konstruiert wird. Danach merken sie langsam, was es mit dem Übertrag auf sich hat.
Je nachdem ob sich die Kinder das multiplizieren als Flächen vorstellen, Einheiten oder Gitterpunkte erleichtert es ihnen unter Umständen Kommutativ- und Assoziativgesetze zu verstehen. Manchen fällt es sogar schwer die Zahlen auf die Realität zu beziehen und lineare Abschätzung für die Zahlen/Mengengrößen zu erlernen.

Daß man in der Oberstufe oder Studium das ganze verinnerlicht hat und versucht exakt definiert auf Papier zu bringen, heißt nicht, daß es schon immer da war(man hat halt vergessen, daß man zählen erstmal lernen musste und hält es für intuitiv angeboren).

Außerdem ging es im Thread nicht nur um natürliche Zahlen sondern auch um Induktionsbeweis, ob Zahl x drin liegt in N oder nicht.

[positronium]

Daß man in der Oberstufe oder Studium das ganze verinnerlicht hat und versucht exakt definiert auf Papier zu bringen, heißt nicht, daß es schon immer da war(man hat halt vergessen, daß man zählen erstmal lernen musste und hält es für intuitiv angeboren).

Ich denke, in der Schule lernt man nicht die Zahlen selbst, sondern man lernt Symbole und Worte für das vorhandene Bewusstsein für Zahlen. Natürlich kann ein Kleinstkind nicht richtig darauf reagieren, wenn man beispielsweise sagt: Lege fünf Murmeln in die Schüssel. Aber es sollte doch dazu in der Lage sein, für jeden Finger an seiner Hand eine in die Schüssel zu legen. (Die Zeit, als ich in dem Alter war, ist aber schon ein paar Wochen her, also könnt' ich's nicht beschwören.)

[MaxG]

Naja, das dürfte so nicht stimmen. Kleine Kinder im Alter von 2-5? oder so malen auch nicht richtig den Menschen. Sie malen überhaupt keine Finger. Sie malen keinen Hals und keine Arme wenn ich das richtig in Erinnerung habe. Es gibt halt Tests bei Kinderärzten, meine ich. Und da beachten die Kinder nur wirklich nicht, wie viele Finger jeder Mensch hat.

Ob das jetzt wirklich aussagt, ob es nicht angeboren ist, weiß ich nicht, aber ich halte es doch für eine wage Behauptung, den Kindern zu bescheinigen, dass sie von Geburt an zählen können.

[positronium]

Naja, das dürfte so nicht stimmen. Kleine Kinder im Alter von 2-5? oder so malen auch nicht richtig den Menschen. Sie malen überhaupt keine Finger. Sie malen keinen Hals und keine Arme wenn ich das richtig in Erinnerung habe. Es gibt halt Tests bei Kinderärzten, meine ich. Und da beachten die Kinder nur wirklich nicht, wie viele Finger jeder Mensch hat.

Weil sie die Finger nicht abzählen, weil es nebensächlich ist, und weil das Bild im grossen zählt, würde ich sagen. Aber ein anderes Beispiel: Man nehme zwei dreijährige Zwillinge und kaufe beiden ein Eis; der eine bekommt eine Kugel und der andere zwei. Aber wie erwähnt, kann ich eigentlich nur vermuten.

[Skeltek]

Wenn jeder von uns dasselbe Gesicht malt, malt jeder nur die Details auf, die er sich gemerkt hat. Mehr merken wir uns am Gesicht nicht, weil es gar nicht nötig ist. Der Rest wird unterbewusst ergänzt bzw gar nicht als fehlend wahrgenommen. Jeder malt ein anderes Bild und zum Teil würde ein dritter gar nicht merken, daß die beiden Bilder dieselbe Person darstellen sollen. Bei Zwillingen zwingt man sich bewusst genauer hinzugucken...

Beim Zählen und Denken ist auch so viel verinnerlicht bzw wird unterbewusst als einzig überhaupt möglicher Sachverhalt wahrgenommen, weil der Verinnerlichungsprozess(wie beim Springen, Laufen oder Fahrradfahren) bereits vergessen wurde und nur noch das Resultat vorliegt.

Ich kann mich noch genau erinnern, wie ich mir noch herleiten musste, wieso 3x7x27=7x27x3 ist. Wer würde als Erwachsener noch an der intuitiv unbestrittenen Drehbarkeit eines dreidimensionalen Quaders zweifeln?


So intuitiv das Zählen auch erscheinen mag, kann man den Bildungsprozess aus dem Kopf im Studium nocheinmal aufsplitten(auch wenn man es als Kind nicht formal axiomatisch macht; nach 1 kommt 2... usw)

[MaxG]

So intuitiv das Zählen auch erscheinen mag, kann man den Bildungsprozess aus dem Kopf im Studium nocheinmal aufsplitten(auch wenn man es als Kind nicht formal axiomatisch macht; nach 1 kommt 2... usw)

Also ich weiß ja nicht, was du damit meinst, für mich fühlt sich das Studium aber derzeit nur an, wie eine Gehirnwäsche (besonders Mathematik), denn was trivial sein soll etc. das ist meiner Meinung nach schwer auf die Reihe zu kriegen.

Insgesamt hört sich dein Post aber sehr plausibel an^^.