Würfeln

[Pippen]

A und B beschließen einen Wettwürfelwurf zu machen. Würfelt A eine 6, dann hat er gewonnen. Man nimmt B's Würfel. A weiß nicht, ob B's Würfel in Ordnung oder manipuliert ist; er kennt B kaum. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann A seinen 6-er Wurf voraussagen?

ME gilt: P(6) = 1/2 x 1/6 = 1/12, d.h. A muss mit einer geringeren Wahrscheinlichkeit für einen 6er Wurf als üblich rechnen.

Bei einem korrekten (ungezinkten oder sonst den Zufall nicht manipulierenden) Würfel beträgt P(6)=1/6. Das weiß A (wie das bei einem gezinkten Würfel ist, kann niemand sagen, weil es auf die Art/Weise der Gezinktheit ankäme). A muss nun aber zusätzlich kalkulieren, dass der Würfel entweder korrekt oder unkorrekt (bewusst oder unbewusst gezinkt) ist. Die Chance kann er nur mit 50/50 angeben, da er keine weiteren Infos hat. Das führt zu o.g. Einschätzung.

Was meint ihr zu meiner Lösung?
Wieso wird in der Stochastik eigentlich nicht stanrdardmäßig ein sog. Zufallsabschlag gemacht. Denn P(6)=1/6 gilt eben nur für einen "perfekten Würfel", denn man allzu oft eben nicht hat. Wäre da nicht eine Art Abschlagskonstante sinnvoll - gerade für die Praxis...man denke daran, wenn man die Wahrscheinlichkeiten von Fehlern in Schaltungen usw. berechnet.

[Skeltek]

Es gibt sicherlich mehrere Tausend oder auch mehr Arten, wie man einen Würfel manipulieren kann. Zählst du nun alle möglichen Arten des Betrugs auf(z.B. auf jeder Würfelseite eine 1, 2 oder so) und stellst dem ganzen die einzige Möglichkeit der ungezinkten Würfel gegenüber, wird die Chance daß A mit ungezinkten Würfeln eine 6 würfelt verschwindend gering.
Da man davon ausgehen muss, daß jede Art von Würfel gleich wahrscheinlich mit dem einzig ungezinkten ist [...] ist die Chance genau den Würfel vor sich zu haben, der auf allen Seiten unterschiedliche Zahlen stehen hat fast null. ;-P

[tomS]

M.E. kann man doch nur Folgendes sagen: für einen ungezinkten Würfel gilt für die Augenzahl n P(n)=1/6; für einen gezinkten Würfel sind diese P(n) unterschiedlich, wobei man nur weiß, dass die Summe über alle P(n) Eins ergibt.

Bei einer großen Zahl Z an Würfen kann man P(n) aus P(n)=N(n)/Z abschätzen - das war's.

[Keplerfan]

Einer Anekdote nach ist ein genialer Mathematiker mal an folgender Frage gescheitert:

Herr Maier macht eine Wanderung. In 3 Stunden läuft er 3 km. Wie viele Kilometer hat er nach 6 Stunden geschafft?

Der Mathematiker hat "instinktiv" erkannt, dass die Frage nicht vollständig gestellt ist - es wird ja nichts darüber gesagt, dass die Geschwindigkeit sich nicht ändern darf. Deshalb konnte er keine Lösung finden.
So ähnlich erscheint mir die oben genannte Frage auch - ohne entsprechende Annahmen kann man nicht viel dazu sagen.

[Skeltek]

Das hatten wir ja schon mit der "zwei Brüder" Fragestellung. Meiner Meinung nach ist es immer noch egal, daß Mädchen/Jungen Chance in der Gesellschaft 50/50 beträgt, solange man nicht weiß, nach welchen Auswahlkriterien der Moderator die Familie ausgesucht hat. Ob er fragt wie hoch die Wahrscheinlichkeit für 2 Jungen oder zwei Mädchen ist... welche der beiden Fragen er stellt ist direkt abhängig davon wie das Zufallspärchen ausgesucht wurde.
Je nachdem welche Frage er stellt, kann man direkt Rückschlüsse auf die Situation ziehen in der man sich befindet.

Ob er sagt:
Mindestens ein Junge, wie hoch Chance daß es zwei Jungen sind
oder
Mindestens ein Mädchen, wie hoch Chance daß es zwei Mädchen sind

kann man nicht zwangsläufig darauf schließen, ob seine mögliche Auswahl an Fragestellungen direkt von dem zuvor ausgewählten Geschwisterpärchen abhängig ist, oder ob die Frage zuerst ausformuliert wurde und erst danach solange ein Geschwisterpärchen erwürfelt wurde, für das so eine fragestellung überhaupt möglich ist.

Wir konnten uns damals nicht auf eine Lösung einigen, bzw ich hab akzeptiert, daß alle anderen anderer Meinung sind als ich ^^

Je nachdem wie bei der Fragestellung vorgegangen wurde, beträgt die Chance entweder 1/3 oder 1/2

[belgariath]

[...] ME gilt: P(6) = 1/2 x 1/6 = 1/12 [...]

Unter der Annahme dass der Würfel gezinkt sein kann würde ich P(6) anders berechnen, man darf nicht einfach 1/6 mit 1/2 multiplizieren. Ich würde P(6) so berechnen
P(6) = [ (Anzahl der unter N Würfeln ungezinkten Würfel) x 1/6 + (Anzahl der unter N Würfeln gezinkten Würfel) x P[down]gezinkt[/down](6) ] / N
Diese Formel könnte man (*) nennen.
Hierbei ist P[down]gezinkt[/down](6) die Wahrscheinlichkeit auf dem gezinkten Würfel eine 6 zu würfeln.

Davon abgesehen stimme ich nicht mit deiner Annahme von 1/2 überein

[...] Die Chance kann er nur mit 50/50 angeben, da er keine weiteren Infos hat. Das führt zu o.g. Einschätzung. [...]

Das sehe ich anders. Die Annahme einer 50/50 Verteilung würde bedeuten, dass jeder zweite Würfel auf Erden gezinkt ist. Meiner Erfahrung nach ist aber nicht jeder zweite Würfel gezinkt. Ich habe schon ziemlich viele Würfelspiele gespielt und noch nie ist mir ein gezinkter Würfel untergekommen. Wenn ich also A wäre, wäre die Annahme 1/2 x 1/6 nicht sinnvoll. Sinnvoller erscheint mir die Annahme dass z.B. einer von Tausend Würfeln gezinkt ist. Dann wäre gemäß (*):
P(6) = [ 999 x 1/6 + 1 x P[down]gezinkt[/down](6) ] / 1000
Hierbei ist P[down]gezinkt[/down](6) die Wahrscheinlich auf dem gezinkten Würfel eine 6 zu würfeln.

Aber okay wenn A nur Gauner als Spielgesellen hat ist die Annahme von 1/2 schon okay aber dennoch müsste dann wieder nach (*) die Formel
P(6) = [ 1 x 1/6 + 1 x P[down]gezinkt[/down](6) ] / 2
lauten

[Barde]

Ich sehe es auch so, dass die Wahl von "1/2" völlig willkürlich ist. Hier versagt die Mathematik sowieso (ohne eine solche Vorkenntnis, wie viele Betrüger bzw. gezinkte Würfel es gibt) und man muss sich auf die gute, alte Menschenkenntnis, also einer Mischung aus Erfahrung und Bauchgefühl, verlassen.
Ist im Grunde wie beim Pokern: Man kann sich fragen, wie wahrscheinlich es ist, dass der Gegner ein besseres Blatt hält, aber im Endeffekt hält er nunmal das Blatt, das er hat. Wenn man die unbewusste oder gespielt bewusste Körpersprache des Gegenübers lesen kann, ist einem wesentlich mehr geholfen, als mit Mathematik. Bluff oder nicht Bluff (bzw. Betrug oder Ehrlichkeit) läßt sich nunmal im Einzelfall in keine Formel und keine Wahrscheinlichkeit pressen.

Zum (in Realität nie ganz) perfekten Würfel: Da die Würfel insgesamt zufällig unperfekt sind, macht es keinen Sinn, anders als mit dem idealisierten 1/6 für jede Seite zu rechnen. Für die Gesamtheit aller unperfekten Würfel ist das nämlich korrekt. Wenn man die konkreten Wahrscheinlichkeiten der "Augen" für einen bestimmten Würfel wissen will, muss man dies halt empirisch ermitteln. Anders geht's nicht.

[Stephen]

Es kommt darauf an, was man unter einem "gezinkten" Würfel versteht. Naheliegend wäre natürlich, wenn damit eine bestimmte Zahl am ehesten gewürfelt werden soll.
In diesem Fall würde ich eine lange Würfelserie aufstellen und die gewonnenen Resultate (z.B. 1=15%, 2=15%, 3=15%, 4=15%, 5=15%, 6=25%) in die ganz normale Wahrscheinlichketsberechnung einbeziehen...

Eine ähnliche Diskussion hatten wir in diesem thread

Habe mich damals aber auch etwas schwer getan...

Gruß
Steffen

[Skeltek]

Es ist egal wie viele gezinkte Würfel existieren, solange die spielende Person bereit ist, ausschließlich diese einzusetzen.
Ohne weitere Informationen beträgt die Wahrscheinlichkeit eines Betrugs 50%. Man weicht nur von diesem Wert ab, weil man seine eigenen Erfahrungen, Urteil und subjektive Meinung einfließen lässt.

[Barde]

Dann gehst du davon aus, dass jeder Zweite ein Betrüger ist. Warum? Warum nicht jeder Fünfte? Warum nicht 9 von 10? Das alles ist ohne Vorwissen völlig willkürlich und trägt somit absolut nichts zur Problemlösung bei.
Wenn du abschätzen solltest, wieviele Schafe in einer Herde schwarz sind, würdest du auch einfach von 50% ausgehen und mit diesem Ansatz die Aufgabe lösen wollen?

[Keplerfan]

Warum gerade 50%, und nicht z.B. 25%? Es ist doch nichts über die Wahrscheinlichkeit bekannt. Diese müsste erst ermittelt werden; solange sie nicht bekannt ist, ist 50% mE ein Wert wie jeder andere.
Ein Pessimist würde eher 75% wählen und ein Optimist eher 25%, ohne mehr Recht oder mehr Unrecht zu haben.

[Skeltek]

Sorry, aber wenn man nicht weiß was ein Betrüger oder eine Münze ist, ist Zahl einfach nur eine von zwei möglichen Zuständen.
Keiner der beiden Zustände ist zu bevorzugen!
Wenn man sein Leben auf aggi oder örks wetten müsste und stirbt wenn man falsch liegt, sind beide Wörter gleich wahrscheinlich das Leben zu retten, wenn man ansonsten gar nichts über das Spiel weiß.

Ein Eremit, der seit Geburt völlig isoliert lebt, wird so auch nicht wissen, ob in einer größeren Gesellschaft Betrüger oder Ehrliche wahrscheinlicher sind.

[Pippen]

Meine Überlegung zu A's Sicht:

1. Die Wahrscheinlichkeit von 50% für einen perfekten Würfel ist die einzig begründebare Wahrscheinlichkeit. Denn zweifellos gilt: Entweder der Würfel ist perfekt oder nicht. Für alles andere gibt es keine Hinweise im Fall und daher darf man als Mathematiker auch nicht davon ausgehen bzw. darüber spekulieren. Daher ist P (perfekter Würfel)= 1/2.

2. Neben dem Würfel-überhaupt-in-Ordnung-Ereignis kommt nun noch das eigentliche Würfelereignis hinzu. Beide Ereignisse bedingen einander. Für P (imperfekter Würfel) läßt sich das nicht angeben, aber sehr wohl für den Variantenbaum eines perfekten Würfels, nämlich die uns allseits bekannte Wahrscheinlichkeit 1/6. Genau das interessiert unseren A auch nur, denn wie schon oben gilt: Er hat keine weiteren Infos, könnte also für einen gezinkten Würfel in der Tat nichts vorhersagen.

3. Als Gesamtergebnis erhält man so 1/12 = (1/2 * 1/6).

Mich interessiert erstmal ob mein Gedankengang gangbar oder ob er selbst bereits irgendwie inkonsistent ist, denn ich habe in Stochastik praktisch keine oder kaum!!! Kenntnisse. Dann interessiert mich natürlich auch, wie ihr den Fall lösen würdet. Ein "unlösbar" lasse ich nicht gelten. Der Fall bietet reichhaltige Informationen und Stochastik lebt doch nunmal davon, dass einiges schlicht unbekannt ist/bleibt, oder?

[tomS]

Wenn du wissen willst, wie groß die Wahrscheinlichkeit eines gezinkten Würfels ist, dann müsstest du im wesentlichen folgendes tun:

Wie stark weichen die einzelnen Wahrscheinlichkeitern von 1/6 ab? Z.B. wenn die 6 mit einer Wsk. von 1/5 kommt, dann könntest du sagen, dass der Würfel mit einer Wsk. von 80% gezinkt ist (die Zahl 60% ist hier ein willkürliches Beispiel).

Für derartige Berechnungen benötigt man m.W.n. sog. ein- oder zweiseitige Tests, Irrtums-Wsk. erster und zweiter Art (ich vermute irrtümlich, der Würfel ist gezinkt, aber er ist es nicht; ich vermute irrtümlich, der Würfel ist nicht gezinkt, aber er ist es), etc. Ich kenne das mit verschiedenen Zufallsgrößen, aber beim Würfel geht es ja um sechs verschiedene, aber nicht unabhängige Wahscheinlichkeiten. Ich bin sicher, man kann das berechnen, aber es ist hochgradig kompliziert.

Ich würde die Frage mal auf dem Matheplaneten http://www.matheplanet.com/ im Stochastikbereich stellen.

[Keplerfan]

Müsste ich dazu als Spieler aber nicht wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass ich mich irre?
Und läuft das nicht wieder darauf hinaus, wie wahrscheinlich es ist, dass der andere ein Betrüger ist? (Wie man es z.B. aus der Kriminalstatistik erfahren könnte, wenn alle Betrüger geschnappt werden würden.)

Im Prinzip kann jede Zahl des Würfels eine beliebige Wahrscheinlichkeit im Bereich haben, solange nur gilt
. (Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Würfel eine Zahl zwischen 1 und 6 fällt, ist 100%.)

Um nun die Wahrscheinlichkeit eines Würfelwurfs zu berechnen, wenn ich die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Seiten des Würfels nicht kenne, müsste ich doch zumindest wissen, wie oft die verschiedenen Zahlen auftreten. In der Realität z.B. beim Monopoly ist die mit Abstand häufigste Verteilung wohl . Diese tritt (geratene Zahl) mit leichten Abweichungen ca. 1.000.000 mal häufiger auf als die Verteilung (es wird immer nur die 1 gewürfel). Wenn ich aber auch nichts darüber weiß, wie oft welche Wahrscheinlichkeiten auftreten, kann man mE über das Ergebnis des Wurfs nicht viel sagen. Es könnte ja sein, dass A und B sich auf einem fremden Planeten befinden, auf dem es nur Würfel gibt, die immer die 6 als Ergebnis liefern. Die Wahrscheinlichkeit, sich auf einem solchen fremden Planeten zu befinden, ist zwar in der Realität sehr klein, muss aber (z.B. aus Erfahrung) bekannt sein.

Wenn es auf dem Matheplaneten dazu eine Lösung gibt, würde sie mich auch interessieren.

[tomS]

Es ist doch ganz einfach: du wirfst den Würfel Z mal und zählst mit N(n), wie häufig die Augenzahl n erscheint; das ergibt eine relative Häufigkeit P(n) = N(n)/Z. Nun kannst du aus dem Vergleich der P(n) mit 1/6 die VERMUTUNG ableiten, dass der Würfel gezinkt ist. In Abhängigkeit der Zahlen Z, N(n) bwz. P(n) kannst du dann berechnen, wie groß die Wsk. ist, dass diese VERMUTUNG zutrifft, oder eben dass sie falsch ist. Und genau das müsstet woanders erfragen - ich kann da nicht weiterhelfen.

[Skeltek]

Die Frage war glaube ich eher, ob man ohne vorheriges Testen eine Wahrscheinlichkeit dafür angeben kann, ob gemogelt wird oder nicht...

[Keplerfan]

Vielleicht müsste man die Frage auch präzisieren. Geht es um die beste Strategie (als Spieler), oder darum, ob man das Ergebnis vorhersagen kann?
Das ist ja nicht unbedingt das Gleiche.

Eine beste Strategie könnte z.B. sein, bei völliger Unkenntnis aus den 6 Würfelseiten eine völlig (gleichverteilt) zufällig auszuwählen. Dann weiß ich aber immer noch nichts über die Wahrscheinlichkeit, mit der der Würfel dann später tatsächlich eine bestimmte Seite zeigt und kann somit das Ergebnis auch im Rahmen einer Wahrscheinlichkeit nicht vorhersagen.

Beispiel: Spieler wählt eine gleichverteilt zufällige Zahl, der Würfel zeigt später zu 100% die 6 (was der Spieler nicht weiß). Der Spieler gewinnt mit Wahrscheinlichkeit 1/6, obwohl er die Wahrscheinlichkeit (die nicht 1/6 für jede Seite ist) nicht kennt. Seine Vorhersage wäre also zu 5/6 falsch gewesen. Ohne weiteren Test wird er dies nun nie erfahren.

[Pippen]

Die Frage war glaube ich eher, ob man ohne vorheriges Testen eine Wahrscheinlichkeit dafür angeben kann, ob gemogelt wird oder nicht...

Genau. Ihr würfelt um euer Leben, dass euch nur geschenkt wird, wenn ihr eine 6 würfelt. Ihr wißt nur, dass für einen korrekten Würfel P(6)=1/6 ist und dass der Würfel aber evtl. nicht korrekt sein kann. Mehr wißt ihr nicht und mehr dürft ihr daher auch nicht in eure Rechnungen mit ein beziehen. Daher habt ihr hier zwei sich bedingende Ereignisse: Korrektheit des Würfels (1) und das eigentliche Würfeln (2).

(1) Hier kann nicht einfach spekulativ darüber gerechnet werden, ob und wie der Würfel unkorrekt ist, wie toms das tut, denn es gibt nur den Anhaltspunkt: korrekt oder unkorrekt, d.h. P(korrekter Würfel)=1/2. In welcher Weise der Würfel unkorrekt ist, wissen wir nicht, es gibt zig Varianten des Gezinktseins mit unterschiedlichen Auswirkungen.

(2) Beim Würfeln kann euch nur der Fall eines korrekten Würfels interessieren, denn bei einem unkorrekten fehlen sämtliche Angaben zur Art und Weise seiner Unkorrektheit. P (unkorrekter Würfel) wäre unbestimmbar zwischen 0 und 1. P (korrekter Würfel) wäre 1/6.

So und nun muss man doch nach der Stochastik beide Ereignisse multiplizieren, denn sie hängen ja voneinander ab. Das ergibt 1/12. Ich halte das Ergebnis auch praktisch für schlüssig. Denn man kann nie so ohne Weiteres davon ausgehen, dass ein Würfel korrekt ist, schon weil es immer mal wieder winzige Fabrikationsfehler gibt.

[Keplerfan]

Dann müsste man aber doch bei einem Test über mehrere Würfel diese Wahrscheinlichkeit beobachten. Ich behaupte, dass es schwer ist, nur bei jedem 12. Wurf eine Sechs zu würfeln, auch wenn man nach jedem Wurf den Würfel wechselt.

[Skeltek]

Man kann nicht nach jedem Wurf den Planeten, Universum und Realität wechseln.
Die meisten in unserer Gesellschaft würden sich nicht zutrauen zu mogeln. Man darf nicht unseren Durchschnitt für den Erwartungswert halten.

Selbst wenn geht es eher darum, die Chance auf die 6 schon beim ersten Wurf anzugeben, ohne zu wissen, wie hoch die tatsächliche Chance auf Betrug ist.

[Keplerfan]

Wie müsste also ein Experiment aussehen, das die Wahrscheinlichkeit 1/12 überprüft und eventuell bestätigt?

[Barde]

Mal vom komplett falschen Ansatz, für eine völlig unbekannte Wahrscheinlichkeit einfach 50% anzunehmen, abgesehen, ist 1/12 auch in der Folge falsch.

Mal aufgedröselt:
1/12 wäre nur unter folgenden Bedingungen richtig:
1. Man hat 2 Würfel (oder irgendeine gerade Anzahl) von denen einer korrekt und der andere manipuliert ist (bzw. eben genau die Hälfte aller Würfel.)
2. Der manipulierte Würfel hat überhaupt keine "6".
NUR dann hätte man eine Wahrscheinlichkeit von 1/2, überhaupt eine 6 würfeln zu können und dann eben 1/6 dafür, genau jene 6 zu würfeln. Zusammengestzt aus den alternativen Möglichkeiten ergibt sich dann 1/2*1/6 + 1/2 *0 = 1/12.
Wenn der Würfel nur so manipuliert ist, dass die 6 unwahrscheinlicher wird, dann würde die 0 durch die Wahrscheinlichkeit für eine 6 beim manipulierten Würfel ersetzt werden müssen. Vorausgesetzt, der Würfel ist dahingehend manipuliert, dass die 6 seltener gewürfelt wird, gilt für die Wahrscheinlichkeit p für eine 6 also 1/12 < p < 1/6. Genaueres kann man aber ohne weitere Kenntnisse auch dann nicht sagen.

Zu dem auf-irgendwas-wetten-müssen, damit man nicht erschossen wird:
Ob das eigene Leben davon abhängt, verändert keine Wahrscheinlichkeiten. Wenn ich auf ein Ereignis setzen MUSS, dessen Wahrscheinlichkeit mir völlig unbekannt ist, weil mein Leben davon abhängt, läßt das diese Wahrscheinlichkeit doch nicht plötzlich metaphysisch zu 50% werden, damit mir eine faire Chance bleibt.
Würfeln wird nicht zum Münzwurf, bloß weil ich nicht weiß, wieviele Seiten der Würfel hat.

[seeker]

Yep!
1/12 kann schon deshalb nicht richtig sein, weil ich mit derselben Begründung dann auch 1/12 für jedes andere Ergebnis angeben müsste.
Das gäbe dann aber in der Summe nur 6/12, was zu einem Widerspruch führt.

Grundsätzlich:
Man kann nur dann etwas begründet bewerten, wenn Informationen vorliegen.
Die Mathematik ist ja kein Zaubermittel, die daran irgend etwas ändert: Wenn keine Information vorliegt, dann kann ich auch nichts ausrechnen - ich kann höchstens raten.

Selbst wenn eine Statistik vorliegt bleibt es schwierig: Nehmen wir an, dass per Statistik jeder 1000ste Würfel gezinkt ist.
Was sagt das dann über den Würfel aus, der vor mir liegt?
Antwort: Eigentlich gar nichts!
Wenn 1 Million Würfel vor mir liegen sagt mir die Statistik etwas aus. Wenn es aber nur einer ist, dann kann ich die Statistik eigentlich nicht berücksichtigen.
Denn: Die Statistik ist ja nicht ursächlich dafür verantwortlich, ob der Würfel vor mir gezinkt ist oder nicht. Dafür gibt es ganz andere Gründe (= wirkliche Ursachen), die mit den Methoden der Statistikerhebung u. U. nichts zu tun hatten und die ich entweder abschätzen kann oder nicht (z.B. könnte mein Gegner allgemein als Schlitzohr bekannt sein oder ich beobachte, dass mein Gegner zu viel Glück hat).

Grüße
seeker

[Keplerfan]

Absoluter Blödsinn ist das nun auch nicht. Der Einfachheit halber wechsle ich für die folgende Argumentation mal vom Würfel zum Münzwurf, wo die "keine Seite ist zu bevorzugen"-Strategie einfach darin besteht, mit gleicher Wahrscheinlichkeit, also 1/2, auf Kopf oder Zahl zu setzen.

Die Münze sei in unbekannter Weise gezinkt, so dass sie mit der Wahrscheinlichkeit auf die Kopf- und mit der Wahrscheinlichkeit auf die "Zahl" Seite fällt. Diese Wahrscheinlichkeit ist dem Spieler aber nicht bekannt.

Der Spieler fragt sich nun, was die beste Strategie ist, um eine möglichst große Gewinnchance zu erhalten. Diese Strategie besteht dabei darin, mit einer Wahrscheinlichkeit auf Kopf und mit einer Wahrscheinlichkeit auf die Zahl zu setzen. Wie soll er nun diese Strategie am besten wählen?

Antwort: Er gewinnt laut dem oben gesagten mit einer Wahrscheinlichkeit
.

Wählt man nun als Spieler , so wird die Gewinnchance unabhängig von der "Gezinktheit" der Münze . (Diese Zahl kürzt sich raus.) In diesem Sinne ist die "alle Seiten sind gleichberechtigt"-Strategie tatsächlich am besten. (Es ist klar, dass meine Gewinnchance bei unbekannt gezinkter Münze nicht größer als 1/2 sein kann.) Trotzdem kann ich aber nicht sagen, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Münze nach dem Wurf tatsächlich Kopf oder Zahl zeigen wird. 50-50 ist für den Spieler am besten, macht aber keine Aussage über das Ergebnis des Wurfs.