|R| > |N|?

[Pippen]

Ist es wirklich so, dass in der Mathematik gelten soll: Die unendliche Menge der reellen Zahlen hat mehr Elemente (Zahlen) als die unendliche Menge der natürlichen Zahlen? Das erscheint mir sehr contraintuitiv. Wenn R mehr Elemente/Zahlen als N hätte, dann könnte man N problemlos via "n+1"-Axiom aufstocken. ME wird daher mit der sog. Mächtigkeit von R gegenüber N was anderes gemeint. Könnte das jmd. laienverständlich erklären?

[seeker]

Ich habe mich hier auch schon mit den Unendlichkeiten herumgeschlagen...
Hast du hier schon reingeschaut?
viewtopic.php?f=15&t=1370

Ich würde sagen, dein Problem kommt daher, dass du den Begriff "mehr" verwendest - und das natürlich in einer Weise, wie wir ihn aus dem normalen Leben kennen, im Sinne von "größere An-ZAHL". Das führt hier zu nichts.
Deshalb hat man in der Mathematik den Begriff der "Mächtigkeit" eingeführt.
Man kann in diesem Sinne nicht sagen, dass die reellen Zahlen "mehr" Elemente als die natürlichen Zahlen haben, denn beide haben unendlich viele Elemente. Unendlich = Unendlich

Dennoch gibt es einen Unterschied:
Man kann zum einen zeigen, dass die natürlichen Zahlen abzählbar sind, also ist N abzählbar-unendlich, wohingegen die reellen Zahlen nicht abzählbar sind.
Außerdem kann man zeigen, dass wenn man jeder natürlichen Zahl genau eine reelle Zahl zuordnet, dass dann trotzdem noch immer unendlich viele reelle Zahlen übrigbleiben, die nicht zugeordnet worden sind. Daher sagt man, dass die Menge der reellen Zahlen mächtiger als die Menge der natürlichen Zahlen ist.

Abzählbar bedeutet, dass man allen Elementen einer Menge eine Nummer zuordnen kann. Man kann sie also durchnummerieren.
Genauer: Wenn ich z.B. anfange die Elemente von N zu zählen und dies unendlich lang tue, dann erwische ich alle Elemente von N. Wenn ich dasselbe mit R mache, dann erwische ich nicht alle Elemente, da ich selbst nach unendlichen Zeitspannen nicht vorankomme: Wenn ich z.B. bei der Null anfange, dann komme ich einfach nicht von der Null weg (z.B. bis zur 1). Zwischen zwei schon nummerierten Zahlen finde ich nämlich immer noch eine weitere Zahl, die dazwischen liegt und erst noch nummeriert werden muss.

Schau auch mal hier rein:
http://de.wikipedia.org/wiki/Hilberts_Hotel
http://de.wikipedia.org/wiki/Abz%C3%A4hlbarkeit

Alles klar?

Grüße
seeker

[tomS]

@seeker: danke für die Erklärung.

Eine kurze Anmerkung meinerseits. "Zählen" bedeutet, Elementen einer Menge natürliche Zahlen 1, 2, 3, ... zuzuordnen. Das kann einfach funktionieren, oder es ist etwas komplizierter wie im Falle der geraden Zahken 2, 4, 6, ... (sind das nun weniger oder nicht?) oder es klappt gar nicht, wie bei den reellen Zahlen. Die Mathematiker sind da ziemlich streng, d.h. wenn es irgendeine Methode gibt, die Elemente einer Menge und die der natürlichen Zahlen paarweise und vollständig einander zuzuweisen, dann nennen sie die Menge gleichmächtig mit den natürlichen Zahlen (das kann auch eine unanschauliche Zuordnung sein, Hauptsache sie funktioniert). Genauso streng sind sie im Falle der größeren Mächtigkeit wie bei den reellen Zahlen, wobei man hier beweisen muss, dass eine derartige Zuordnung prinzipiell nicht existieren kann.

M.E. am wenigsten intuitiv ist die Aussage, dass man die reellen Zahlen und die Punkte in einem n-dimensionalen Raum paarweise miteinander in Beziehung setzen kann, d.h. dass z.B. in einem Intervall [0,1] der reellen Zahlen und im R³ "gleichviele" Punkte enthalten sind. Aber eine exxplizite Konstruktion ist dann eigentlich sofort offensichtlich nachvollziehbar ...

[rick]

Was ist denn dann eigentlich mit den Archimedische Axiom , ist halt dann keine Mächtigkeit sondern die Anordnung ?

[Pippen]

Ok, da das nun geklärt ist mein eigentliches Rätsel:

1. Wir definieren einen Punkt E (=Erde).
2. Wir definieren einen Punkt A (=Alienraumschiff, welches mit c fliegen kann).
3. Wir definieren die Entfernung zwischen E und A mit "unendlich viele" LJ.
4. Angenommen A hat nun unendlich viel Zeit, um zu E zu gelangen.

Wird A E je erreichen? (Einige in einem anderen Forum meinten, hier komme es auf die Mächtigkeit der beiden konkurrierenden Unendlichkeiten an, was ich aber bezweifle, weil - und ich wurde ja durch euch bestätigt - die Mächtigkeit eher die Struktur der Unendlichkeitszählung darlegt als die Unendlichkeit selber (=Anzahl der Elemente). Ich glaube, durch 3. ist eine Ankunft logisch und mathematisch ausgeschlossen, egal wieviel Zeit A hat. Was meint ihr?

[seeker]

Du kommst vielleicht auf Fragen...

Also zunächst stehe ich persönlich real existierenden Unendlichkeiten recht kritisch gegenüber: Ich glaube nicht, dass es so etwas in der Natur gibt.
Aber gut, lassen wir das...
Dann würde ich gerne das Raumschiff durch einen Lichtstrahl ersetzen und als Bezugssystem unsere Erde wählen (denn sonst müsste man vielleicht noch überlegen was im BS der Aliens passiert).
So! Dann würde ich dir folgen und sagen, dass das nichts mit Mächtigkeiten zu tun hat.

Ich würde sagen, dass die Frage fehlerhaft ist.
Genauer: 3. ist nicht definierbar

Du nimmst nämlich mit deiner Frage an, dass es einen Ort "unendlich weit weg" von der Erde gäbe. Den gibt es aber nicht.
"Unendlich" ist in diesem Zusammenhang keine fertige Sache (Ort, Abstand), sondern ein nicht endender Prozess (=Vorgang). Als Sache ist sie hier gar nicht definiert.
Genauso gut könntest du die Zahl suchen, die von der Null am weitesten entfernt ist und behaupten, das wäre die liegende Acht und dann versuchen von ihr wieder zur Null herunterzuzählen.
Die liegende Acht ist aber gar keine Zahl. Du kannst die Unendlichkeit durch Zählen nicht erreichen und nicht verlassen.

Grüße
seeker

[Skeltek]

Das ist eigentlich relativ einfach. A wird die Erde erreichen, nach genau unendlich vielen Jahren? Die Frage ist, ob du unendlich lange darauf warten kannst.
Unendlich lange/oft bis zum Eintreffen eines Ereignisses ist mit niemals gleichzusetzen.
Nach unendlicher Zeit wird A definitiv E erreicht haben, also nie.

Das mit der Entfernung hat Seeker ja schon treffend erklärt. Eine "nicht endliche" Entfernung(unendlich weit weg) bedeutet, daß das Objekt nirgendwo im Universum existiert. Es ist bei keinem nennbaren Abstand existent.

Im übrigen müssen Objekte zwangsläufig auch eine endliche Größenrelation zueinander haben um füreinander existent zu sein. Wäre das Alien bereits hier, würdest du es nicht merken, wenn es im Vergleich zu deiner Größe eine unendliche Ausdehnung hätte.
Deshalb besteht eine Fläche auch nicht aus unendlich vielen Punkten, sondern enthält lediglich unendlich viele Punkte.

[tomS]

Die Mathematiker haben dafür eine "Lösung", die nämlich das aktual Unendliche vermeidet und mit dem potentiell Unendlichen rechnet. Dabei wird unendlich als Grenzwert verstanden, so dass dieser sozusagen unter Kontrolle ist und man ggf. endliche Größen ableiten kann. Im obigen Beispiel würde man die Entfernung S (zunächst endlich) und die Wartezeit T (zunächst ebenfalls endlich) beide gegen Unendlich streben lassen, wobei man das Verhältnis S/T = c konstant hält.

Noch eine Anmerkung: dfie in diesem Beispiel vorkommenden Mächtigkeiten sind alle identisch, das hat nichts mit dem oben diskutierten Beispiel R und N zu tun. Man zeigt sehr einfach, dass zwei beliebige Intervalle aus R, nämlich z.B. [0,1] und [0,L] dieselbe Mächtigkeit haben, da man die Zahlen in diesen Intervallen einander paarweise und vollständig zuzuweisen kann. Das funktioniert mittels der Funktion f(x) = Lx.

[seeker]

Noch eine kleine Anmerkung:
Etwas mathematisch "gegen Unendlich streben lassen" bedeutet, dass man es immer weiter (end-los) wachsen lässt und schaut, wohin der Wert geht.
Mit diesem Trick vermeidet man Dinge wie z.B. "x = Unendlich/Unendlich" und kommt stattdessen zu beliebig großen, stets endlichen Zahlen, mit denen man rechnen kann.
Obwohl man so nicht mit "Unendlich" selbst rechnet, kann man dennoch Aussagen darüber machen.

Beispiel:

f(x) = x/(x^2+1)

Wenn ich wissen will wohin die Funktion geht, wenn x gegen Unendlich strebt, kann ich Zahlen einsetzen.
Ich lasse die Zahlen beliebig groß werden: 1, 2, 3, ..., 1000, ...1000000, ...., 10^100, 10^100+1, ...

f(1) = 1/2
f(2)= 1/5
f(10) = 10/101 = 0,099
f(1000) = 1000/(10^6+1) = 0,001
f(10^6) = 0,000001
...

Man sieht schon, wohin die Reise geht: Der Funktionswert von f(x) strebt (konvergiert) mit wachsendem x gegen einen festen Wert, nämlich den Wert 0.
Er erreicht die Null nie (= erst im Unendlichen), aber er nähert sich der Null beliebig nahe an.
Nicht nur das. Unsere Funktion nähert sich dabei auch gleichzeitig einer anderen, einfacheren Funktion beliebig nahe an:
g(x) = 1/x

Grüße
seeker

[Pippen]

Die Mathematiker haben dafür eine "Lösung", die nämlich das aktual Unendliche vermeidet und mit dem potentiell Unendlichen rechnet. Dabei wird unendlich als Grenzwert verstanden, so dass dieser sozusagen unter Kontrolle ist und man ggf. endliche Größen ableiten kann. Im obigen Beispiel würde man die Entfernung S (zunächst endlich) und die Wartezeit T (zunächst ebenfalls endlich) beide gegen Unendlich streben lassen, wobei man das Verhältnis S/T = c konstant hält.

Und was würde das für das Rätsel bedeuten? Wenn S und T gegen unendlich laufen, dann bedeutet das ja, dass das Raumschiff die Erde nie erreichen wird, denn der Grenzwert von S wird ja - unabhängig was T macht - gerade nie erreicht. Das wäre ja immerhin eine Antwort im Gegensatz zu seekers: "Die Aufgabe ist sinnlos". (Dieses Rätsel ist i.Ü. nur ein Beispiel, ihr könnt gerne für Erde und Alienraumschiff irgendwelche Punkte benennen.)

[seeker]

Deine Frage ist so nicht eindeutig beantwortbar, weil Informationen fehlen.
Du fragst im Grunde: Unendlich/Unendlich = ?
Das ist nicht definiert, da es unendliche viele mögliche Antworten gibt.
Du kannst hinter das "=" irgendeine Zahl einsetzen und auch "Unendlich" - die Gleichung stimmt immer und ist somit in sich widersprüchlich, womit sie nie stimmt.
http://de.wikipedia.org/wiki/Unendlich# ... perationen

Man kann deine Frage aber umformulieren, indem man "unendlich" durch "beliebig" ersetzt.
Außerdem muss man eine Zusatzinformation in die Frage einfügen. Das ist das, was Tom mit "S/T=c" meint.

Man könnte z.B. fragen:

Ein Raumschiff sei beliebig weit von der Erde entfernt, wobei gilt, dass seine Entfernung S immer c*T beträgt: S = c*T.
Wird ein beliebiges Raumschiff die Erde in der Zeit T wieder erreichen können, wenn es eine Relativgeschwindigkeit < c in Richtung Erde hat?
Leicht zu beantworten...

Grüße
seeker

[Barde]

Und was würde das für das Rätsel bedeuten? Wenn S und T gegen unendlich laufen, dann bedeutet das ja, dass das Raumschiff die Erde nie erreichen wird, denn der Grenzwert von S wird ja - unabhängig was T macht - gerade nie erreicht. Das wäre ja immerhin eine Antwort im Gegensatz zu seekers: "Die Aufgabe ist sinnlos". (Dieses Rätsel ist i.Ü. nur ein Beispiel, ihr könnt gerne für Erde und Alienraumschiff irgendwelche Punkte benennen.)

Ich denke, man muss die Ausgangsfrage rückwärts aufrollen: Wenn uns etwas (Raumschiff, Lichtstrahl, wasauchimmer) erreicht HAT, könnte es durchaus die "Unendlichkeit" hinter sich haben. Dies würde halt nur zwanglsläufig (bzw. äquivalent) heißen, es existierte schon immer und war schon immer unterwegs zu uns. Stell dir die Funktion f(x)=x vor. Nach der zitierten Argumentation dürfte es ja keine definierten Funktionswerte geben, da alle Werte für x und y im negativ Unendlichen "beginnen" und somit dort "gefangen" wären. Trotzdem gibt es für jedes x den Funktionswert y. Eben weil sie nicht in der Unedlichkeit "begonnen" haben, sonder weil sie nie begonnen haben. Egal wo man hinsiet, es gibt "ein x" mit "seinem y". Ebenso müsste man sich eine als aktual unendlich angenommene Raumzeit als fertiges Koordinatensystem vorstellen, wo es für jedes Objekt zur jeder Zeit einen klar definierten Ort gibt, egal wie weit man in die Vergangenheit zurück geht. Mit anderen Worten: Dieses Raumschiff wäre nie gebaut worden und nie gestartet. Es existierte schon immer und war schon immer in unsere Richtung unterwegs. Dann würde es uns zwangläufig zu einem bestimmten Zeitpunkt passieren.

[seeker]

Im übrigen müssen Objekte zwangsläufig auch eine endliche Größenrelation zueinander haben um füreinander existent zu sein.

Auf diesen wichtigen Punkt bin ich auch schon durch eigene Überlegungen gestoßen...
Jetzt muss ich doch mal nachfragen:
Ist das mal streng logisch hergeleitet worden? Weißt du z.B. ein Buch oder eine Abhandlung, wo man das nachlesen kann?

Grüße
seeker

[Pippen]

Und was würde das für das Rätsel bedeuten? Wenn S und T gegen unendlich laufen, dann bedeutet das ja, dass das Raumschiff die Erde nie erreichen wird, denn der Grenzwert von S wird ja - unabhängig was T macht - gerade nie erreicht. Das wäre ja immerhin eine Antwort im Gegensatz zu seekers: "Die Aufgabe ist sinnlos". (Dieses Rätsel ist i.Ü. nur ein Beispiel, ihr könnt gerne für Erde und Alienraumschiff irgendwelche Punkte benennen.)

Ich denke, man muss die Ausgangsfrage rückwärts aufrollen: Wenn uns etwas (Raumschiff, Lichtstrahl, wasauchimmer) erreicht HAT, könnte es durchaus die "Unendlichkeit" hinter sich haben. Dies würde halt nur zwanglsläufig (bzw. äquivalent) heißen, es existierte schon immer und war schon immer unterwegs zu uns. Stell dir die Funktion f(x)=x vor. Nach der zitierten Argumentation dürfte es ja keine definierten Funktionswerte geben, da alle Werte für x und y im negativ Unendlichen "beginnen" und somit dort "gefangen" wären. Trotzdem gibt es für jedes x den Funktionswert y. Eben weil sie nicht in der Unedlichkeit "begonnen" haben, sonder weil sie nie begonnen haben. Egal wo man hinsiet, es gibt "ein x" mit "seinem y". Ebenso müsste man sich eine als aktual unendlich angenommene Raumzeit als fertiges Koordinatensystem vorstellen, wo es für jedes Objekt zur jeder Zeit einen klar definierten Ort gibt, egal wie weit man in die Vergangenheit zurück geht. Mit anderen Worten: Dieses Raumschiff wäre nie gebaut worden und nie gestartet. Es existierte schon immer und war schon immer in unsere Richtung unterwegs. Dann würde es uns zwangläufig zu einem bestimmten Zeitpunkt passieren.

Das stünde aber in Widerspruch zur Prämisse, dass die Entfernung von Raumschiff zur Erde unendlich viele LJ betragen.

[seeker]

Ich schlage vor die Frage zu vereinfachen um mehr Klarheit zu bekommen:

Nehmen wir zwei Planeten: Die Erde und Planet U.
Planet U soll nun (per. Def.) von der Erde aus gesehen (aktual) unendlich weit weg von der Erde sein.
Wir schicken ein Raumschiff (oder einen Laserstrahl) in Richtung von Planet U, das sich mit c bewegt und niemals mit dieser Bewegung aufhört (= unendlich lange = ohne Ende).
Frage: Wird unser Raumschiff Planet U jemals erreichen?
Anwort: NEIN!

Entweder müssen wir sagen, dass die Frage sinnlos ist, weil es einen aktual (="jetzt", "wirksam") unendlich entfernten Planeten nicht geben kann oder -falls wir behaupten es gäbe ihn dennoch- müssen wir sagen, dass er auch in un-endlichen Zeitspannen niemals zu erreichen ist. (Im Grunde läuft das auf dasselbe hinaus.) Man müsste sagen, dass unser Raumschiff den Planeten erst erreicht, nachdem es unendlich lange unterwegs war - und das ist ein Widerspruch: Nach unendlich kann es nicht geben!

Die Frage ist gleichbedeutend ist mit der Frage ob man beim unaufhörlichen Hochzählen (1,2,3, 4...) jemals zu einer größten Zahl gelangt, an der das Zählen aufhört.
Diese größte Zahl (nennen wir sie U) kann es aus Sicht des Hochzählenden gar nicht geben, weil man ja immer noch zu einer Zahl U+1 weiter zählen kann.
Postuliert man dennoch eine "Zahl", bei der das nicht mehr möglich sein soll, so kann man umgekehrt feststellen, dass dieses "Ding" jenseits dessen sein muss, was selbst durch (unaufhörliches) Zählen erreichbar ist.
Daher kommt man hier entweder zu einem Widerspruch (Eine Zahl die die durch Zählen nicht erreichbar ist soll durch Zählen erreicht werden können!) oder man erkennt an, dass ein solches Ding aus unserer Sicht gar keine Zahl mehr ist.
Genauso ist eine "(aktual) unendliche Entfernung" gar keine Entfernung mehr, etwas jenseits aller Entfernung.
Ergo: Planet U existiert (aus unserer Sicht) nicht!

Hilft dir das weiter?

Grüße
seeker

[Pippen]

Ich schlage vor die Frage zu vereinfachen um mehr Klarheit zu bekommen:

Nehmen wir zwei Planeten: Die Erde und Planet U.
Planet U soll nun (per. Def.) von der Erde aus gesehen (aktual) unendlich weit weg von der Erde sein.
Wir schicken ein Raumschiff (oder einen Laserstrahl) in Richtung von Planet U, das sich mit c bewegt und niemals mit dieser Bewegung aufhört (= unendlich lange = ohne Ende).
Frage: Wird unser Raumschiff Planet U jemals erreichen?
Anwort: NEIN!

Das sehe ich eben genauso. Nun aber hole ich zum eigentlichen Schlag aus! Nach Beantwortung dieser Frage sollte man nämlich folgendes ebenfalls als möglich annehmen: Wir haben wieder unsere Erde als Bezugspunkt. Dass was wir als Universum begreifen ist eigentlich nur eine Galaxie inmitten anderer Galaxien. Das Licht der Sterne in unserer Galaxie erreicht uns, weil sie nicht so weit/endlich von uns entfernt sind. Das Licht der anderen Galaxien erreicht uns nicht, weil diese unendlich weit weg sind. Wir nehmen weiter an, dass das alles schon seit Ewigkeiten statisch und homogen ist (d.h. wir ignorieren mal den Urknall & Co. und vertreten die ganz alte und klass. Theorie des unendlich alten, großen und homogenen Universums). Daher auch der dunkle Himmel, d.h. das Olberssche P. spricht nicht notwendig gegen ein unendliches (weites und altes) & statisches Universum!

[seeker]

Ok. Ich verstehe deine Logik und stimme dir soweit zu.

Wir sind in der Diskussion auf zwei Punkte gestoßen, die wir näher betrachten sollten:

1. Was bedeutet "unendlich"? Wir haben gesehen, dass es anscheinend zwei verschiedene Unendlichkeitskonzepte gibt:
Die aktuale Unendlichkeit ("schon jetzt") und die potentielle Unendlichkeit ("es geht immer so weiter").

2. Soweit es aktuale Unendlichkeiten betrifft scheinen wir ein starkes Argument gefunden zu haben, dass diese nicht im Universum verwirklicht sein können - nicht in dem Sinne, als dass man sie als "real" bezeichnen könnte.

Wir müssen jetzt beleuchten, was in deinem Szenario mit einem "unendliches (weites und altes) & statisches Universum" gemeint sein kann.
Um welche Unendlichkeit handelt es sich in diesem Konzept? Es handelt sich m.E. um ein aktual unendlich weites Universum, gegen das das Olberssche Paradoxon letztlich keine Widerlegung liefern kann. Da stimme ich zu. Wegen 2. kann man ein solches Universum aber nicht als "real" bezeichnen.

Wir müssten nämlich Sternenansammlungen "hinter der potentiellen Unendlichkeit" annehmen. Das kann man postulieren (und den Widerspruch dabei hinnehmen) - nur wären sie für uns nicht real, wenn man von "real" fordert, dass es irgend etwas mit uns zu tun hätte, mit unserem Teil eines solchen Universums. Es gäbe (gab nie und wird nie geben) keinerlei kausale Wechselwirkung zwischen unserem Bereich und dem Bereich "nach der Unendlichkeit", welcher damit vollständig eigenständig und abgetrennt wäre. Wir müssten sagen: Er ist nicht Teil unseres Universums, es gibt ihn nicht in unserem Universum! Damit hätten wir aber eher ein Multiversumskonzept mit mehreren völlig unabhängigen, getrennten Universen und nicht ein Konzept mit einem aktual unendlichen Universum.

Beste Grüße
seeker

[Barde]

Das sehe ich eben genauso. Nun aber hole ich zum eigentlichen Schlag aus! Nach Beantwortung dieser Frage sollte man nämlich folgendes ebenfalls als möglich annehmen: Wir haben wieder unsere Erde als Bezugspunkt. Dass was wir als Universum begreifen ist eigentlich nur eine Galaxie inmitten anderer Galaxien. Das Licht der Sterne in unserer Galaxie erreicht uns, weil sie nicht so weit/endlich von uns entfernt sind. Das Licht der anderen Galaxien erreicht uns nicht, weil diese unendlich weit weg sind. Wir nehmen weiter an, dass das alles schon seit Ewigkeiten statisch und homogen ist (d.h. wir ignorieren mal den Urknall & Co. und vertreten die ganz alte und klass. Theorie des unendlich alten, großen und homogenen Universums). Daher auch der dunkle Himmel, d.h. das Olberssche P. spricht nicht notwendig gegen ein unendliches (weites und altes) & statisches Universum!

Das sehe ich anders. Und genau das wollte ich mit dem letzten Beispiel zeigen, da man ja ahnen konnte, worauf du hinaus wolltest. In deinem letzten Beispiel gehst du von einem im Moment unendlich weit entfernten Objekt aus (was, wie ich denke, gar nicht existieren kann, da zwei Objekte immer eine endliche Entfernung zueinander haben, wie seeker und andere vorher schon an Beispielen verdeutlichten), welches sich auf ein anderes Objekt zubewegt. Das bedeutet, dass es dafür unendlich viel Zeit braucht, also nie ankommt.
In der "alten" Ausgangsfrage ging es aber um ein unendlich altes Universum. D.h., die "Unendlichkeit" ist bereits "vergangen". Und darauf wollte ich in meinem letzten Beitrag hinaus. In "unendlicher Zeit" hat jedes Objekt mit konstanter Geschwindigkeit auch einen unendlichen Weg zurückgelegt. Also auch das Licht. Das bedeutet, dass uns in einem unendlich alten, statischen Universum auf jeden Fall das Licht von unendlich vielen Sternen erreicht haben muss. Somit müsste der Himmel also mit Sternen lückenlos "gefüllt" sein.

[Barde]

Wir müssten nämlich Sternenansammlungen "hinter der potentiellen Unendlichkeit" annehmen. Das kann man postulieren (und den Widerspruch dabei hinnehmen) - nur wären sie für uns nicht real, wenn man von "real" fordert, dass es irgend etwas mit uns zu tun hätte, mit unserem Teil eines solchen Universums. Es gäbe (gab nie und wird nie geben) keinerlei kausale Wechselwirkung zwischen unserem Bereich und dem Bereich "nach der Unendlichkeit", welcher damit vollständig eigenständig und abgetrennt wäre. Wir müssten sagen: Er ist nicht Teil unseres Universums, es gibt ihn nicht in unserem Universum! Damit hätten wir aber eher ein Multiversumskonzept mit mehreren völlig unabhängigen, getrennten Universen und nicht ein Konzept mit einem aktual unendlichen Universum.

Beste Grüße
seeker

"Hinter der Unendlichkeit", ob aktual oder potenziell, gibt es ja nicht. Auch wenn das Universum unendlich groß ist, gibt es keinen unendlich weit entfernten Stern. Jeder Stern, den es gibt, hat einen endlichen Abstand zu uns. Genau, wie du auch schon dargelegt hast, jedes Zahlenpaar eine endliche Differenz hat. Und die kausale Wechselwirkung hätte in solchem Universum auch unendlich viel Zeit, sich auszubreiten. Somit gäbe es gar keine Bereiche, die nicht in (bei wachsendem Abstand gegen Null tendierender) Wechselwirkung stünden.
Auch hier muss man bedenken, dass "unendlich" nur ein Begriff ist, die Grenzenlosigkeit, das nicht vorhandene Ende bzw. den nicht vorhandenen Anfang, sowohl räumlich als auch zeitlich, zu beschreiben. Die Unendlichkeit als real existierende Barriere gibt es nicht. Sie wäre das genaue Gegenteil.

[Skeltek]

Ihr vergesst jedoch eine Sache:
Das Universum muss nur hinreichend groß genug und alt sein, damit ein nicht expandierendes gleichmäßig mit Sternen versetztes Universum hell leuchtet.

Man kann ausrechnen, wie groß es sein muss, damit der Himmel im Durchschnitt mit x% der Sonnenintensität leuchtet.
Der Anteil der nicht erleuchteten Fläche aufsummiert ist direkt vom Radius abhängig.

Anteil des nicht erleuchteten Himmels = alpha^r ; mit 0<alpha<1; wählt man alpha=1/2, so kann man einen "Halbwärtsradius" R für die nicht erleuchtete Himmelsfläche nennen; wenn sich r um R erhöht, halbiert sich die verbleibende dunkel Himmelsfläche.

Das heißt: Damit der himmel 99% so hell leuchtet wie die Sonne, ist nur ein hinreichend großes Universum mit homogener Sternverteilung notwendig.

Im übrigen müssen Objekte zwangsläufig auch eine endliche Größenrelation zueinander haben um füreinander existent zu sein.

Auf diesen wichtigen Punkt bin ich auch schon durch eigene Überlegungen gestoßen...
Jetzt muss ich doch mal nachfragen:
Ist das mal streng logisch hergeleitet worden? Weißt du z.B. ein Buch oder eine Abhandlung, wo man das nachlesen kann?

Grüße
seeker

Sorry, wäre mir nicht bekannt, falls es nen logischen phylosophischen oder mathematischen Beweis für sowas gäbe. Wenn man ehrlich ist, ist das glaube zu offensichtlich um eine längere Ausarbeitung darüber zu machen. Der Satz gilt jedoch nur für Objekte innerhalb des Universums. Das Universum als "Ganzes" ist ja ein rein abstrakter Begriff und nichts, was irgendwie in die Realität "eingebettet" ist oder man als Sache auffassen könnte.

[Pippen]

1. Man kann durchaus und sogar leicht definieren, dass es ein Objekt "Galaxie A" (im physikalischen Sinne) gibt und der Abstand Galaxie A-Erde unendlich viele LJ beträgt. Dann gilt das, was seeker schon gesagt hat: Wir wüßten nie von diesem Objekt ähnlich wie in einem Multiversum. Freilich spricht das in keiner Weise gegen seine Existenz, auch nicht, wenn es unendlich viele Weg- oder Zeiteinheiten von uns entfernt wäre. Nur weil wir etwas per se nie wahrnehmen können, kann es trotzdem existieren (wer das als puristischer Physikerpositivist anders sieht, möge hier einfach mal mein Konzept akzeptieren, denn sonst wären wir ja "schnell" fertig )

2. Wenn unser Universum unendlich alt und unendlich groß wäre und wenn es statisch und homogen wäre, dann würde mein Konzept schlicht sagen: Wir sind offensichtlich Teil einer Galaxie, die wir als Universum bezeichnen, wo uns das Licht erreicht. Dahinter gibt es weitere - unendlich viele und unendlich alte Universen - die wir jedoch nie sehen werden, weil das Licht auch bei unendlich viel Zeit keine unendlich große Strecke zurücklegen kann.

3. Und da komme ich nochmal auf Barde zurück, der offensichtlich vertritt, dass (theoretisch) ein Photon einen unendlich weit entfernten Punkt in unendlicher Zeit erreichen kann. Das glaube ich nicht, aber seit dem ich verstehe, dass 0,9~=1 ist, bin ich vorsichtig geworden. Für mich gilt: Sobald ich eine unendliche Strecke zwischen zwei als physikalisch existierenden Objekten A und B definiere ist per dieser Definition das Erreichen von B unmöglich, auch wenn man ewig Zeit dafür hätte. Mathematisch kann man das offenbar nicht mehr sinnvoll formulieren und logisch ist es unmöglich, dass wenn ich "kein Ende" einer Strecke definiere, dieses erreicht werden kann, d.h. die Unendlichkeit der Zeit unterliegt gegen jede Unendlichkeit des Raumes!!! Das wird ich irgendwie weird *g*.

[seeker]

@Barde:

"Hinter der Unendlichkeit", ob aktual oder potenziell, gibt es ja nicht.

Ich denke, wir meinen dasselbe. Ich sage statt "gibt es ja nicht" einfach "für uns nicht real".
Im Grunde scheinen wir das Problem nun IMHO recht gut am Wickel zu haben und man kann es nun nur noch besser und detaillierter ausformulieren.

@Skeltek:
Du hast m. E. recht und das hatten wir schon und sollten wir nicht vergessen.
(Und ich muss das später evtl. noch genauer anschauen, evtl. abschätzend berechnen: Warum ist der Himmel in unserem realen Universum so verdammt dunkel? Wie groß ist die Sternendichte im sichtbaren Universum? Welchen Einfluss haben Abschattungen und Gas/Staubwolken?)

Ich habe pippens Spezialuniversum (um genau dein Argument zu umgehen) nun so verstanden:

Wir stellen uns ein kleines Universum vor (das nur lokal isotrop ist) indem wir eine (kugelförmige) Sternenansammlung annehmen, in der wir sitzen.
Um diese Kugel herum soll unendlich viel leerer Raum sein, bis r = unendlich. Danach sollen überall wieder Sternenansammlungen wie die unsere sein.

@pippen:

die Unendlichkeit der Zeit unterliegt gegen jede Unendlichkeit des Raumes!!!

Warum kommst du zu diesem Schluss?
Weil du einen aktual unendlichen Raum annimmst und eine nur potentiell unendliche Zeit. Das muss man aber nicht unbedingt tun. Was, wenn auch schon alle Zeit vergangen wäre und wir einen "Nicht-Zeitpunkt" danach betrachten wollen? Das Problem ist (und es ist nur unser Problem, da in unserem Denken so verankert), dass wir die Zeit gerne als Prozess denken, als etwas, das "voranschreitet", während wir den Raum als Sache denken, als etwas das schon so ist , wie es ist und sich nicht verändert (hier: nicht wächst).
Prozesse führen zum Konzept der potentiellen Unendlichkeit, Sachen führen zum Konzept der aktualen Unendlichkeit.

Zu 1.:
Man kann es aber nicht eindeutig definieren. Man definiert in Wahrheit: "Es ist irgendwo JENSEITS" - und damit sagen wir eben, dass wir nicht sagen können, dass das Objekt physikalisch existiert. Mit diesem Postulat gleichwertig wären Aussagen wie z.B.: "Im Jenseits ist ist der Himmel und Gott", "Außerhalb unseres Universums gibt es weitere von uns völlig unabhängige Universen", "Es gibt höhere Dimensionen und auch geistartige Sphären in denen weitere Welten existieren, die mit uns nicht wechselwirken." usw.

Verstehst du? Man kann das alles glauben oder auch nicht - aber man kann das prinzipiell nicht wissen - nicht einmal auf rein logischer Grundlage.

Grüße
seeker

[Pippen]

@Barde:
Ich habe pippens Spezialuniversum (um genau dein Argument zu umgehen) nun so verstanden:

Wir stellen uns ein kleines Universum vor (das nur lokal isotrop ist) indem wir eine (kugelförmige) Sternenansammlung annehmen, in der wir sitzen.
Um diese Kugel herum soll unendlich viel leerer Raum sein, bis r = unendlich. Danach sollen überall wieder Sternenansammlungen wie die unsere sein.

Jo.

@pippen:

die Unendlichkeit der Zeit unterliegt gegen jede Unendlichkeit des Raumes!!!

Warum kommst du zu diesem Schluss?
Weil du einen aktual unendlichen Raum annimmst und eine nur potentiell unendliche Zeit. Das muss man aber nicht unbedingt tun. Was, wenn auch schon alle Zeit vergangen wäre

Stimmt. Man könnte schlicht keine Aussage darüber treffen, ob der Punkt P dann erreicht wäre. Mit zwei aktualen Unendlichkeiten läßt sich nicht rechnen.

Man kann es aber nicht eindeutig definieren. Man definiert in Wahrheit: "Es ist irgendwo JENSEITS" - und damit sagen wir eben, dass wir nicht sagen können, dass das Objekt physikalisch existiert. Mit diesem Postulat gleichwertig wären Aussagen wie z.B.: "Im Jenseits ist ist der Himmel und Gott", "Außerhalb unseres Universums gibt es weitere von uns völlig unabhängige Universen", "Es gibt höhere Dimensionen und auch geistartige Sphären in denen weitere Welten existieren, die mit uns nicht wechselwirken." usw.

Verstehst du? Man kann das alles glauben oder auch nicht - aber man kann das prinzipiell nicht wissen - nicht einmal auf rein logischer Grundlage.

Das sehe ich anders. ME kann man sehr wohl zwei Punkte/Orte/Planeten/etc. A und B mit unendlichem Abstand definieren und damit existieren sie auch, unabhängig davon, dass wir das nie wissen/erfahren könnten. Natürlich kann man auch - so wie du sagen: Das machen wir nicht, das bringt uns nicht weiter und naturwissenschaftlich ist das sogar geboten. Aber rein logisch geht das, schon deshalb weil da kein Widerspruch auftritt.

[Barde]

@Barde:

"Hinter der Unendlichkeit", ob aktual oder potenziell, gibt es ja nicht.

Ich denke, wir meinen dasselbe. Ich sage statt "gibt es ja nicht" einfach "für uns nicht real".
Im Grunde scheinen wir das Problem nun IMHO recht gut am Wickel zu haben und man kann es nun nur noch besser und detaillierter ausformulieren.

Sehe ich auch so. Nur meine ich halt, dass man auf Grund der Bedeutung von "unendlich" solche Formulierungen erst gar nicht zulassen kann.

Und darum geht es mir auch im Weiteren:

Ich habe pippens Spezialuniversum (um genau dein Argument zu umgehen) nun so verstanden:

Wir stellen uns ein kleines Universum vor (das nur lokal isotrop ist) indem wir eine (kugelförmige) Sternenansammlung annehmen, in der wir sitzen.
Um diese Kugel herum soll unendlich viel leerer Raum sein, bis r = unendlich. Danach sollen überall wieder Sternenansammlungen wie die unsere sein.

Ein r = unendlich gibt es nicht. Und schon gar kein "dahinter". Solche Multiversumsblasen kann es nur geben, wenn jedes Multiversum begrenzt, also endlich, ist und dahinter bzw. außerhalb weitere Multiversen sind. (Die Betonung liegt dabei auf "solche". Denn es wäre auch denkbar, dass unendlich große Multiversen "nebeneinander" in einem höherdimensionalen Hyperraum existieren. Trotzdem wäre das nächste Multiversum nicht hinter der Unendlichkeit des einen, sondern außerhalb. Vergleichbar mit Parallelen.)

@Pippen:
Ansonsten gebe ich seeker absolut recht. Du definierst einfach mal, dass es unendlich große räumliche Abstände zwischen zwei Objekten geben kann, anderseits aber fasst du zeitliche Unendlichkeit wieder "richtig" auf. Wenn du einfach mal unendlich auf diese Art definierst, was meiner Auffassung nach nicht zulässig ist, musst du dies auch auf die Zeit anwenden. Dann wird die Strecke der Länge "unendlich" in dem Zeitabschnitt der Dauer "unendlich" zurückgelegt.

die wir jedoch nie sehen werden, weil das Licht auch bei unendlich viel Zeit keine unendlich große Strecke zurücklegen kann.

Natürlich bin ich der Auffassung, dass ein Objekt mit konstanter Geschwindigkeit, ob Lichtgeschwindigkeit oder meinetwegen nur 1 m/s, in unendlicher Zeit eine unendlichen Weg zurück legt. Eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit ist in einem Weg-Zeit-Diagramm nunmal eine Gerade mit der Steigung v.
Welche endliche Strecke legt denn Licht deiner Auffassung nach in unendlicher Zeit zurück und wie hast du das errechnet?

Und nochmal:

ME kann man sehr wohl zwei Punkte/Orte/Planeten/etc. A und B mit unendlichem Abstand definieren und damit existieren sie auch, unabhängig davon, dass wir das nie wissen/erfahren könnten. Natürlich kann man auch - so wie du sagen: Das machen wir nicht, das bringt uns nicht weiter und naturwissenschaftlich ist das sogar geboten. Aber rein logisch geht das, schon deshalb weil da kein Widerspruch auftritt.

Der Abstand ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Dieser kann nicht "unendlich" sein, da 1. unendlich keine Zahl ist und kein Wert ist, und 2. könnte man, selbst wenn man dies krampfhaft ignoriert, überhaupt nicht mehr unterscheiden, welche Verbindung nun "kürzer" oder "länger" ist.

Zur Verdeutlichung nochmal der Vergleich mit Zahlen. Es gibt die Zahl "unendlich" nicht. Und demnach gibt es auch keine Zahl größer als unendlich. Warum sollte es also im Universum plötzlich einen Abstand geben, der größer als unendlich ist? Denn genauso müsstest du die unendliche Zeit auffassen: Das Universum existiert ewig und geht man Tag danach unter. Ich hoffe doch mal, dass dies für dich so unsinnig klingt, wie es ist. Genauso ist es aber auch mit dem unendlichen Raum.

[Pippen]

@Barde:
Ansonsten gebe ich seeker absolut recht. Du definierst einfach mal, dass es unendlich große räumliche Abstände zwischen zwei Objekten geben kann, anderseits aber fasst du zeitliche Unendlichkeit wieder "richtig" auf. Wenn du einfach mal unendlich auf diese Art definierst, was meiner Auffassung nach nicht zulässig ist, musst du dies auch auf die Zeit anwenden. Dann wird die Strecke der Länge "unendlich" in dem Zeitabschnitt der Dauer "unendlich" zurückgelegt.

Da hast du Recht und wir stimmen ja dann darin überein, dass die Frage unbeantwortet bleibt - sei es weil man sie als unzulässig zurückweist, sei es weil niemand entscheiden kann ob eine unendlich lange Strecke in unendlich langer Zeit nun zurückgelegt werden kann oder nicht, weil unendlich eben zu unbestimmt ist.