0,999...=1?

[Pippen]

Vorab: Ich bin blutiger Laie . Trotzdem (oder gerade deswegen) treibt mich o.g. Problem um.

Ich gehe davon aus, dass gilt 0,999...=1 und zwar aufgrund folgenden Beweises:

1. x=0,999...
2. 10x=9.99...
3. 10x-x=9,99...-0,999...
4. 9x=9
5. x=9

Mich interessiert dabei Schritt 3 & 4. Nach welcher Rechenregel ist es eigentlich erlaubt, so einfach unendliche Zahlen zu subtrahieren und worauf beruht wiederum diese Rechenregel? ME liegt da der Grund für das Auseinanderfallen von Intuition und Mathematik. So wie jmd. meint, dass 0,999... eben nie 1 erreichen wird, so würde man wohl auch meinen, dass die Subtraktion zweier unendlicher Zahlen nie eine endliche Zahl hervorbringen kann, weil aufgrund der definierten Struktur von unendlichen Zahlen immer noch eine Dezimalstelle hinzugefügt werden kann bzw. weil es sich eben um zwei Folgen (9,99... & 0,999...) handelt, die unendlich gegen 10 und 1 gehen (aber diese Grenzwerte nie erreichen), d.h. per se nie eine ganze Zahl ergeben können. ME ist das die Krux: Es mag unendlich periodische Dezimalzahlen geben, aber darf man mit ihnen auch so einfach rechnen wie mit endlichen Dezimalzahlen? Und wenn ja, warum?

Ich persönlich würde gern das Rechnen mit unendlichen Zahlen wie 0,999... verbieten und lieber diese Zahl lediglich als Grenzwertbetrachtung zu 1 auffassen...und damit kann man dann ja rechnen, aber es würde nicht dieses leidige 0,999...=1 gelten. Damit würden Intuition und math. Logik wieder übereinstimmen. Was meint ihr?

[Skeltek]

Für mich ist das lediglich ein Problem der Notation von Werten. Dezimalsystem usw.
Natürlich musst du, wenn du dir schon einen Kopf um die Periodizität der Schreibweise Sorgen machst, auch beweisen, ob du unendlich lange Folgen einfach addieren oder subtrahieren kannst.

Es gibt unendlich lange Folgen unendlicher Reihen, die jeweils andere Grenzwerte ergeben, je nachdem, in welcher Reihenfolge man aufsummiert.

Eigentlich ist es von deinem Subtraktionslogarythmus abhängig, ob du immer einen Rest übrig hast, von dem du die jeweils nachfolgende Kommastelle der anderen Zahl abziehst. Anfangen tust du beim subtrahieren auch ganz links...

Ich sehe eigentlich schon eine Notwendigkeit um deinen Schritt 1->2 zu beweisen. Wie willst du denn die Zahl zehn mal aufaddieren?

[tomS]

Die Notation 0,999... bedeutet sinngemäß, die Summation 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... durchzuführen. Dabei ist die Differenz zu 1 in diesem Grenzfall unendlich vieler Summanden tatsächlich 0. Und daher ist es zutreffend, dass 0,999... = 1 geschrieben wird.

[wilfried]

Guten Tag

@Pippen

na das mit dem Anfänger kann ich verstehen, aber blutig ... dann brauchst Du ne nette Krankenschwester

Das, was Du ansprichst heisst in der Mathematik epsilontik. Darunter wird die Fehlerbehandlung verstanden.
Dazu folgende grundlegenden Dinge, an denen Du Deine Frage beantwortet finden wirst:

1. Eine Ziffer ist eine mathematische Größe, deren Gewicht von der Stelle abhängt, an der sie sich befindet.
2. Eine Folge von Ziffern ergibt eine Zahl, deren Gewicht von der Anzahl der Zifferen als auch von der Trennung (Dezimaltrennung) abhängt.
3. Es gibt natürliche Zahlen -ohne Trennung (Deziamtrennung)
4. Es gibt reelle Zahlen, diese besitzen eine Trennung

Soweit, meine ich sollte das klar sein.

5. Zahlen werden in endlicher Länge geschrieben, auch wenn sie unendliche Ziffernfolgen haben sollten

Mit 5 habe ich Dein Problem beschrieben.

Eine 1 kann eine 1 sein, wenn diese als natürliche Zahl niedergeschrieben wird.
Eine 1 kann eine Zahl sein, der Art



Dieses epsilon ist die Abweichung von der Zahl, in diesem Fall 1. Schreibst Du:
0.999 meint dies:
3 Stellen hinter der Trennung (hier als Dezimaltrennung aufgefasst) sind bekannt, die anderen nicht. Der Fehler ist demnach:


warum geteilt durch 2? nun, die 4. Stelle kann größer 0.5, die 3,. Stelle kleiner 0,5 betragen. Soll heissen: Deine letzte Stelle ist nicht exakt, sie kam durch Rundung zustande.

Genau sind demnach 2 Stellen hinter dem Komma, die dritte ist "gemogelt", heisst gerundet.

Dein sogenannter Beweis verzichtet auf diese Information und setzt zwei Dinge als Tatsachen:

a) alle Stellen innerhalb Deiner Multiplikation für sind exakt - Du multiplizierst 2 oder 3 oder auch n (exakt meint: Fehler = 0)
b) es gibt nicht mehr Stellen als diese 2, 3 oder n, so dass Du bei Deiner Multiplikation lediglich diese Anzahl kennst und keinen Fehler berücksichtigst.

Demzufolge ist Dein Ergebnis direkt abhängig von der Anzahl der Stellen und du erhälst eine scheinbar genau Größe, deren Wert sich wundersam verhält, denn wenn Du den durch 10 teilst, dann bekommst Du ....

na was ist das dann?????

Jetzt sag nur nicht 9 oder 99 .... denk mal nach und lies nochmal, was ich oben schrieb....

Netten Gruß

Wilfried

[seeker]

Es muss heißen:
5. x =1

Dein Problem rührt daher, dass 1/3 eine Zahl ist, die nicht als Dezimalzahl (komplett) hingeschrieben werden kann!

Man tut es aber dennoch und erhält dann 0,33333... , diese Punkte "..." und deine Probleme.
(Alternativ kann man es auch so hinschreiben, wie Tom gesagt hat: 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... - die Punkte bleiben dennoch.)

3 x 0,33333... = 0,9999....

Aber eigentlich ist gemeint:
3 x 1/3 = 1

Was bedeutet nun dieses "..."?
"..." bedeutet: Es geht immer so weiter!

Und da hake ich selbst auch etwas. Das scheint mir eigentlich etwas unsauber zu sein.

Denn:
Man ersetzt 1/3, was eine aktual (jetzt!) genau definierte SACHE ist durch einen nicht endenden VORGANG: 0,333333... mit der Anweisung: "Hänge immer noch eine "3" hinten dran und höre nie damit auf!"
Dadurch kann man aber 1/3 nie genau erreichen, sondern nur annähern. Anschließend (wenn man mit dieser Dezimalzahl rechnen will) tut man so, als wäre man schon mit "nie aufhören" fertig (was einen Widerspruch darstellt). Genau dann gilt nämlich (und nur dann):

1/3 = 0,33333...
und
3 x 1/3 = 0,9999... = 1


Grüße
seeker

[wilfried]

Guten Tag seeker

Du machst Dir selber einen Fallstrick:
Du schreibst einen gemeinen Bruch und setzt diesen auf eine Stufe mit der Dezimalschreibweise oder anderem Bezugssystem.
Nun ist dabei das zu beachten, was ich oben schrieb, das mit dem epsilon. Das kennzeichnet die Abweichung, den Fehler bezüglich des gemeinen Bruchs. Im Falle, dass die Berechnung der Ziffernfolge aus dem gemeinen Bruch heraus nicht endlich ist, wie das bei 1/3 ist, muss natürlich irgendwann aufgehört werden mit schreiben....sonst ... Papier Papier Papier ... aber kein weiterer Erkenntnisgewinn.
Ist die Weiterführung des Ergebnisses periodisch, so macht man einen Strich über die Ziffern dieser sich wiederholenden Ziffernfolge und schreibt die drei Punkte.
Ist die Weiterführung des Ergebnisses periodisch in einer Ziffer, wie im Bsp 1/3, da ist es die 3, so verzichtet man auf den Srich und schreibt nur die drei Pünktchen.
In jedem Fall aber strebt der Fehler erst gegen Null, wenn man diese Periodizitäten betrachtet und entsprechend die Grenzwertbetrachtung durchgeführt hat. Im Beispiel ist das einfach: man lässt die 3 hinter dem Komma gegen eine unendlich lange Folge aus lauter 3 gehen. Somit wird der Fehler immer geringern, bis er in der Unendlichkeit gegen Null strebt. Er kann aber auch gegen einen fixen Wert streben.

Ein wenig klarer?

Netten Gruß

Wilfried

[breaker]

Das ist es nicht unbedingt, was ich als 'Epsilontik' bezeichnen würde. Kein Mathematiker würde bei seiner Arbeit von Fehlerrechnung oder dergleichen sprechen.

Ich versuche mal, die mathematische Seite dieses Problems genau zu beleuchten und (hoffentlich) verständlich zu erklären.
Wie Tom schon geschrieben hat, ist 0,999... ein Symbol für den Grenzwert einer Folge, das man eben suggestiv gewählt hat. Ich versuche mal zu erklären, was man unter "Grenzwert einer Folge" versteht.
Der Begriff Folge bezeichnet in der Mathematik eine unendliche Serie von Zahlen, x[down]1[/down],x[down]2[/down],x[down]3[/down],x[down]4[/down],x[down]5[/down],... z.B.
1,2,3,4,5,6,7,...
oder
1,1,1,1,1,1,...
oder
1,1/2,1/3,1/4,1/5,...
usw.
Nun kann es bei manchen Folgen sein, dass es eine Zahl x gibt, der sich die Folgenglieder "beliebig nahe annähern". Wenn eine solche Zahl existiert, bezeichnet man diese als Grenzwert dieser Folge. Damit ist konkret folgendes gemeint:
Eine Zahl x heißt Grenzwert der Folge x[down]1[/down],x[down]2[/down],x[down]3[/down],x[down]4[/down],x[down]5[/down],... , wenn zu jeder vorgegebenen positiven Zahl ab einem bestimmten Folgenglied, alle darauffolgenden Folgenglieder eine Differenz zu x haben, die kleiner als ist.
Puh, es ist gar nicht so leicht, das so zu formulieren, dass es einfach klingt. Ich versuche es mal ein wenig zu erklären. Also angenommen, ich habe eine Zahl x und will wissen, ob sie der Grenzwert der Folge x[down]1[/down],x[down]2[/down],x[down]3[/down],x[down]4[/down],x[down]5[/down],... ist. Was muss ich tun?
Naja, der obigen Definition folgend, geben wir uns mal irgendeine positive Zahl vor, z.B. . Als nächstes muss ich mir die Differenzen |x-x[down]1[/down]|,|x-x[down]2[/down]|,|x-x[down]3[/down]|,|x-x[down]4[/down]|,... anschauen. Was oben gefordert ist, ist nun, dass ab einem bestimmten x[down]n[/down] diese Differenzen immer kleiner bleiben, als .
Wie oben gefordert, muss dies aber für alle gelten, die man vorgeben könnte. D.h. wenn ich vorgebe, muss es wieder ein x[down]n[/down] geben, so dass ab diesem die Differenzen zu x kleiner, als werden (das wird im allgemeinen ein anderes x[down]n[/down] sein).
Beispiel:
Schauen wir mal, ob eine der drei obigen Folgen einen Grenzwert besitzt:
1. Die Folge 1,2,3,4,5,...
Diese hat offenbar keinen Grenzwert, denn wenn sie einen Grenzwert x hätte, dann müsste für ein bestimmtes n gelten: |x-x[down]i[/down]|<0,5 für alle i>n (da diese Ungleichung beispielsweise für gelten muss). Das kann aber niemals sein, denn wenn |x-x[down]i[/down]|<0,5 für irgendein i gelten würde, dann wäre auf jeden Fall |x-x[down]i+1[/down]|>0,5 da alle Folgenglieder den Abstand 1 haben.
2. Die Folge 1,1,1,1,1,...
Hier ist es klar, dass es einen Grenzwert gibt, und dieser ist x=1, denn es gilt offenbar: |x-x[down]i[/down]|=|1-1|=0 für jedes beliebige i, also gilt insbesondere für jedes beliebige .
3. Die Folge 1,1/2,1/3,1/4,...
Diese ist interessanter, da sie einen Grenzwert hat, diesen aber nie annimmt. Ich behaupte, diese Folge hat den Grenzwert 0.
Beweis: Wir müssen zeigen, dass zu jedem vorgegebenen gilt: ab einem bestimmten i.
Sei irgendein vorgegeben. Dann gibt es ein n, sodass (nämlich jedes ). Offenbar gilt dann auch für alle i>n, was zu zeigen war.

Folgen, die einen Grenzwert besitzen, nennt man konvergent. Die Mathematiker formulieren den Begriff "Grenzwert" meist etwas puristischer. Die gägnige Definition lautet:
Eine Zahl x heißt Grenzwert einer Folge x[down]1[/down],x[down]2[/down],x[down]3[/down],... , wenn es zu jedem eine natürliche Zahl n gibt, sodass für alle i>n.
Das ist genau das, was wir oben schon formuliert und diskutiert haben. Man kann die Grenzwertdefinition umformulieren, zu:
Eine Folge x[down]1[/down],x[down]2[/down],x[down]3[/down],... hat genau dann den Grenzwert x, wenn die Folge |x-x[down]1[/down]|,|x-x[down]2[/down]|,|x-x[down]3[/down]|,... den Grenzwert 0 hat.
Davon werden wir nun Gebrauch machen.

Es folgt ein letztes Beispiel:
Betrachten wir nun die Folge 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ...
Hat diese einen Grenzwert? Und wenn ja, welchen?
Behauptung: Die obige Folge hat den Grenzwert 1.
Beweis: Sei irgendein vorgegeben. Wir betrachten die Folge |x-x[down]1[/down]|,|x-x[down]2[/down]|,|x-x[down]3[/down]|,...
Diese ist offenbar gegeben durch 0.1,0.01,0.001,0.0001,... . Es muss also gezeigt werden, dass diese Folgenglieder irgendwann kleiner werden (und bleiben), als . Um dies lückenlos zu beweisen, schreiben wir die Folge kurzerhand um zu 10[up]-1[/up],10[up]-2[/up],10[up]-3[/up],... . Dann lautet die Forderung:
Finde ein n, sodass für alle i>n. Dies wird von jedem erfüllt (kann man nachrechnen).
Damit ist aber die Aussage bewiesen, und es gilt:
Die Folge 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ... hat einen Grenzwert, und dieser hat den Wert 1.

1 ist also die Zahl, für die die Differenzen zu den Folgengliedern 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ... für große n verschwindend klein werden. Nicht mehr und nicht weniger.

Wenn man nun noch nicht wüsste, welchen Wert der Grenzwert der Folge hat, könnte man sich sagen: "Diese Folge hat irgendeinen Grenzwert, den wir mit 0,999999... bezeichnen" und anschließend zeigen, dass dieser Grenzwert eigentlich 1 ist. Deshalb ist es übrigens absolut kein Problem, dass am Ende von 0,999999... die drei Punkte stehen, da es nur eine Schreibweise ist. Ich hätte den Grenzwert hier auch wieder mit x anstelle von 0,999999... bezeichnen können, das wäre genau so exakt, bzw. unexakt.
In diesem Sinne gilt 0,999999... = 1.


Hoffe, das hat irgendwie weitergebracht.

[wilfried]

Guten Tag breaker

ohha ..

. Kein Mathematiker würde bei seiner Arbeit von Fehlerrechnung oder dergleichen sprechen.

Da hast Du aber ein Missverständnis angesprochen:

Fehler heisst in diesem Fall nicht: ich habe mich verrechnet oder meine Berechnungen sind fehlerhaft im Sinne unkorrekt durchgeführt.

Fehler heisst in diesem Falle: meine Berechnungen weisen einen natürlichen Fehler auf, beispielsweise wegen Abbruch der Berechnung an der dritten Stelle oder so. Du kannst das natürlich auf wissenschaftlicher formulieren, dann müssten wir über die Fehlerquadrate etc sprechen, aber Pippen sagte ganz klar:

er ist Anfänger und kein Profi, also wollen wir den guten Pippen auch nicht verwirren mit jetzt hochgestochenen Erläuterungen.

Deine Erläuterungen sind ja auch richtig, aber ich meine für Pippen ein wenig zuviel des Guten

Netten Gruß

Wilfried

[Pippen]

Ich werde immer verwirrter: Je mehr ich darüber nachdenke, desto einleuchtender erscheint es mir, dass 0,9~ nicht genau gleich 1 ist, sondern eben unendlich gegen 1 läuft und aus pragmatischen Gründen gesagt wird, dass beides gleich ist, weil es bei normalem Rechnen unschädlich ist. Ist das so? Ändert sich das bei höherer Mathematik? Gibt es einen Standardbeweis (denn "meiner" funktioniert tatsächlich nicht)?

So verstehe ich übrigens auch breakers:

Wenn man nun noch nicht wüsste, welchen Wert der Grenzwert der Folge hat, könnte man sich sagen: "Diese Folge hat irgendeinen Grenzwert, den wir mit 0,999999... bezeichnen" und anschließend zeigen, dass dieser Grenzwert eigentlich 1 ist. Deshalb ist es übrigens absolut kein Problem, dass am Ende von 0,999999... die drei Punkte stehen, da es nur eine Schreibweise ist. Ich hätte den Grenzwert hier auch wieder mit x anstelle von 0,999999... bezeichnen können, das wäre genau so exakt, bzw. unexakt.
In diesem Sinne gilt 0,999999... = 1.

Dann würde es mir einleuchten. Wenn aber die Mathematik tatsächlich behauptet, dass 0,9~=1 ist, dann hätte ich echt ein Problem.

[Pippen]

Noch eine Frage zu meinem Ausgangs"beweis":

1. x=0,999...
2. 10x=9.99...
3. 10x-x=9,99...-0,999...
4. 9x=9
5. x=1

Ist dieser Beweis nicht fehlerhaft?

Nach diesem Beweis kann x zwei formale Prädikate, einmal "0,9~" und einmal "1" zugleich annehmen. Darf sowas überhaupt sein? Ist das nicht widersprüchlich?

Und selbst wenn das sein könnte: Wenn x zugleich "0,9~" und "1" sein kann, woraus folgt dann, dass beides gleich ist, d.h. das eine hat doch mit dem anderen nix zu tun oder?

[seeker]

Es fehlt:
6. 0,999... = 1, da x = x
q.e.d.

Man kann das natürlich noch klarer mithilfe von Folgen ausdrücken, aber ich glaube, dass das passt. Gerade 6. war ja zu beweisen. Du kannst nicht beweisen, dass 0,999.. = 1 gilt und dann hinterher sagen, dass das nicht sein kann- sonst widersprichst du dir ja selber. Im Grunde beweist es, dass es (mindestens) zwei Schreibweisen von "1" gibt, die dasselbe aussagen, genau wie 1/3 und 0,333... nach dieser Logik auch dasselbe sind (eben nur unterschiedlich hingeschrieben).
Man muss also aufpassen, dass man nicht eine Schreibweise mit dem, was gemeint ist, verwechselt bzw. gleichsetzt.

Das mit der Schreibweise war mir wichtig und ich wollte einfach noch etwas näher beleuchten, was man da eigentlich tut. Grenzwert ist klar, Fehler ist klar.
Ich will das noch etwas weiter spinnen, werde es jedoch in dem Thread "Wann ist eine Zahl eine Zahl?" versuchen, denn da wurde das begonnen und ich hab's leider dann verschlafen...


Grüße
seeker

[tomS]

Ich versuche nochmal die wesentliche Idee zusammenzufassen.

Man schreibt x=0.999... und versucht, die Differenz zwischen diesem x und 1 zu berechnen, also d = |x-1|. Man stellt fest, dass dieses d kleiner ist als jede beliebige Zahl größer Null. D.h. letztlich, dass nur d=0 (im Grenzfall unendlich vieler Dezimalstellen in 0.999...) in Frage kommt. Damit ist d=0 und somit x=1.

[breaker]

Schön zusammengefasst, Tom.

Um nochmal den Versuch von Pippen zu diskutieren:

Noch eine Frage zu meinem Ausgangs"beweis":

1. x=0,999...
2. 10x=9.99...
3. 10x-x=9,99...-0,999...
4. 9x=9
5. x=1

Ist dieser Beweis nicht fehlerhaft?

Naja, wenn ich das richtig sehe, muss man schon beim Schritt von 1. nach 2. einhaken. Der Schritt stimmt zwar meiner Meinung nach, ist aber nicht ganz offensichtlich. Man weiß eigentlich a priori gar nicht, was 9,9 ist. Wie auch 0,9 kann es eigentlich nur als Schreibweise für einen Grenzwert zu verstehen sein.
Sinnvoll wäre sicherlich die Definition als Grenzwert der Folge 9, 9.9, 9.99, 9.999, ... (was auch gerade dem Zehnfachen der vorherigen Folge entspricht).
Um dann die Gleichung 10⋅0,9 = 9,9 zu zeigen (was gerade dem Schritt von 1. nach 2. entspricht), müsste man zeigen, dass das Zehnfache des Grenzwertes der Folge gleich dem Grenzwert des Zehnfachen der Folge ist.
Das ist nicht trivial!
Es ist ein Resultat aus der Analysis, dass dies für konvergente Folgen immer zutrifft, aber streng genommen müsste man das beweisen.

Falls das etwas zu abgefahren war, sollte man einfach mitnehmen: Wenn man mit unendlichen Dezimalzahlen rechnet, und es richtig machen will, muss man sich den Kopf zerbrechen. Wenn man das tut, kommt in der Regel heraus, dass man fast immer mit unendlichen Dezimalzahlen genau so rechnen kann, wie mit endlichen, aber das ist eben nicht unmittelbar klar.

[Pippen]

Ich möchte das Problem an einer einzigen Frage "nageln":

Gibt es in der Mathematik IRGENDEINEN BEREICH wo es einen Unterschied macht, ob man mit 0,9~ oder 1 rechnet?

Wenn das der Fall ist, dann kann man nicht mehr sagen 0,9~=1, sondern nur noch: 0,9~ *rund* 1 oder? Denn auf wikipedia steht, dass "=" für identische Ausdrücke steht und dann wären ja 0,9~ und 1 nicht vollumfänglich identisch.

[Skeltek]

Also Leute, zerbrecht euch nicht den Kopf.

1=
0,9 + 0,1=
0,9 + 0,09 + 0,01=
0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,001=
0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + 0,0001= usw
Es ist doch völlig irrelevant, wie oft man die letzte Ziffer 1 splittet. Es ist nur eine Art und Weise das aufzuschreiben. Nur weil der Kopf ein Problem bei der Notation und beim auswerten dieser Schreibweise sieht, muss da noch lange keins sein.

0,3333333.... im Dezimalsystem schreibt man auch 0,1 im Dreier-Zahlensystem.
Zahlen bringen in der Regel lediglich Relationen zwischen zwei Werten zum Ausdruck. Es kann doch net von der Schreibweise abhängig sein, ob man damit ein Problem hat oder nicht?
Die Zahl ist endlich, der Logarythmus zum aufschreiben unendlich lang, der Logarythmus um sie auszulesen unendlich lang -> das verändert noch lange nix an der ursprünglichen Zahl.

[Pippen]

@skeltek: 0,9~ ist aber nunmal nicht 0,9+0,1, sondern 0,9+0,09+....

Daher will ich meine Frage an die Mathenerds hier wiederholen: Gibt es in der Mathematik IRGENDEINEN BEREICH wo es einen Unterschied macht, ob man mit 0,9~ oder 1 rechnet? Denn wenn das der Fall ist, dann kann "0,9~=1" keine wahre Aussage sein.

Ich verstehe nicht, wie sich da alle Mathematiker einig sein können. Ich kann ja noch nachvollziehen, dass es beim Rechnen keinen Unterschied macht, ob man mit 0,9~ oder 1 rechnet, weil der "Abstand" zwischen beiden Zahlen so unendlich klein ist. Aber es kann doch kein Zweifel daran bestehen, dass gilt: 1>0,9~. Die unendliche Periode mag sich unendlich an 1 annähern, aber es erreicht 1 nie. Wieso sehen das die Mathematiker anders und vor allem in völliger Einigkeit?

[breaker]

Schau dir diese Argumentation nochmal an:

Ich versuche nochmal die wesentliche Idee zusammenzufassen.

Man schreibt x=0.999... und versucht, die Differenz zwischen diesem x und 1 zu berechnen, also d = |x-1|. Man stellt fest, dass dieses d kleiner ist als jede beliebige Zahl größer Null. D.h. letztlich, dass nur d=0 (im Grenzfall unendlich vieler Dezimalstellen in 0.999...) in Frage kommt. Damit ist d=0 und somit x=1.

Hier wird nicht gezeigt, dass der Abstand von 0,9 und 1 "unendlich klein" ist, sondern, dass er exakt 0 ist!

Wenn deine Aussage "1>0,9" richtig wäre, dann würde bei 1-0,9 etwas übrig bleiben. Nach obiger Argumentation kann das aber nicht sein.

[positronium]

Wieso sehen das die Mathematiker anders und vor allem in völliger Einigkeit?

Ist das wirklich so? - Ich bin ja kein Mathematiker.

Zu dem Beweis aus Deinem ersten Posting.
Dieser ist meiner Meinung nach falsch.
Punkt 3 kann nicht nach Punkt 4 umgeformt werden, weil die beiden Zahlen 10x und x eine unterschiedliche Genauigkeit hinter dem Komma haben. x hat dort eine Genauigkeit von unendlich vielen Stellen und 10x hat eine von unendlich - 1 Stellen.
Punkt 4 muss also lauten: 9x = 8,9...91

[Pippen]

Schau dir diese Argumentation nochmal an:

Ich versuche nochmal die wesentliche Idee zusammenzufassen.

Man schreibt x=0.999... und versucht, die Differenz zwischen diesem x und 1 zu berechnen, also d = |x-1|. Man stellt fest, dass dieses d kleiner ist als jede beliebige Zahl größer Null. D.h. letztlich, dass nur d=0 (im Grenzfall unendlich vieler Dezimalstellen in 0.999...) in Frage kommt. Damit ist d=0 und somit x=1.

Hier wird nicht gezeigt, dass der Abstand von 0,9 und 1 "unendlich klein" ist, sondern, dass er exakt 0 ist!

Wenn deine Aussage "1>0,9" richtig wäre, dann würde bei 1-0,9 etwas übrig bleiben. Nach obiger Argumentation kann das aber nicht sein.

Hi breaker, danke für deine Mühen.

Wieso ist d=0? Was auch immer d ist, es kann nie Null sein, weil das Zeichen "0,9~" aussagt, dass hinter dem Komma unendlich viele Dezimalstellen mit einer 9 kommen und dass damit 1 nicht erreicht wird. Auch noch soviele Dezimalstellen mit einer 9 hinter dem Komma können diese Qualität der Zahl 0,9... doch nicht ändern. Wieso argumentiert die sonst so eisenhart exakte Mathematik auf einmal mit "letztendlich ist d=0", was eben genaugenommen nicht stimmt. Die ganzen Beweise die angeboten werden, gehen ja schon davon aus, dass es prinzipielle sein kann, dass 0,9~ und 1 gleich sein können. Nach meiner mathematischen Vorstellung kann das nicht sein. Auch wenn zwischen 0,9~ und 1 keine weitere Zahl mehr liegt, so heißt das eben nicht, dass die beiden Zahlen gleich sind, sondern eben nur sehr doll bei einander liegen. Ich muss ehrlich sagen, mein logisches Denken steckt in der Krise...es fühlt sich so an, als ob jeder meint, dass 1:0 auf einmal 0 ist und nur ich es nicht raffe. Wo sind die klaren Beweise?

[seeker]

Leute, ich glaube ihr hängt an einer Eigentümlichkeit von Unendlichkeiten.

Ich versuch's mal anders zu erklären.
Schauen wir uns mal breakers Rechnung an:
1 - 0,999... = ?

Es käme ja im Grunde das hier heraus:

1 - 0,999... = 0,000...1

Die Punkte bedeuten: Unendlich viele Nuller!
Man könnte auch glauben, dass das die erste (rationale) Zahl größer Null wäre, die also direkt auf die Null folgt.

Es ist nun aber so, dass dieser Ausdruck einen Widerspruch darstellt, weil nach unendlich vielen Nullen nicht noch eine Eins kommen kann, weil es dann nicht unendlich viele Nullen sein können. Anders gesagt: Der Ausdruck behauptet gleichzeitig, dass eine ENDLOSE Folge der Ziffer Null vorliegt an deren ENDE eine Eins steht. Das geht nicht!

Daher gilt 1 - 0,999... = 0,000... = 0 ,und zwar exakt!

Aus einem ganz ähnlichen Grund gilt auch z.B.:

Unendlich = Unendlich - 1 = Unendlich +1 = Unendlich x 2 = Unendlich / 2

Eine Unendlichkeit ist in diesem Sinne (wie man sieht) keine Zahl.

Grüße
seeker

[Pippen]

Leute, ich glaube ihr hängt an einer Eigentümlichkeit von Unendlichkeiten.

Ich versuch's mal anders zu erklären.
Schauen wir uns mal breakers Rechnung an:
1 - 0,999... = ?

Es käme ja im Grunde das hier heraus:

1 - 0,999... = 0,000...1

Die Punkte bedeuten: Unendlich viele Nuller!
Man könnte auch glauben, dass das die erste (rationale) Zahl größer Null wäre, die also direkt auf die Null folgt.

Es ist nun aber so, dass dieser Ausdruck einen Widerspruch darstellt, weil nach unendlich vielen Nullen nicht noch eine Eins kommen kann, weil es dann nicht unendlich viele Nullen sein können. Anders gesagt: Der Ausdruck behauptet gleichzeitig, dass eine ENDLOSE Folge der Ziffer Null vorliegt an deren ENDE eine Eins steht. Das geht nicht!

Daher gilt 1 - 0,999... = 0,000... = 0 ,und zwar exakt!

Aus einem ganz ähnlichen Grund gilt auch z.B.:

Unendlich = Unendlich - 1 = Unendlich +1 = Unendlich x 2 = Unendlich / 2

Eine Unendlichkeit ist in diesem Sinne (wie man sieht) keine Zahl.

Grüße
seeker

Vielen Dank seeker, das kann ich sogar nachvollziehen . Freilich frage ich mich dann, warum man 0,9~ nicht gleich als inkonsistenten Term ausrangiert, so ähnlich wie bei der Division durch Null eben einfach verbieten.

Denn:

1. Die Mathematiker haben eine Zahl in Form von 0,9~, die eindeutig definiert ist als: Null Komme Neun Periode, woraus folgt, dass 1 nicht erreicht wird, sondern sich nur unendlich genau daran annähert. Das klingt soweit plausibel.

2. Dann merken sie auf einmal, dass es bei Rechenanwendungen!!! mit dieser Zahl zu Widersprüchen kommt. Doch anstatt den Widerspruch zu beheben und evtl. sogar 0,9~ per Axiom zu 1 zu machen, doktort man lieber an der Definition von Unendlichkeit herum. Auf einmal heißt unendlich nicht nur unendlich viele Dezimalstellen mit einer 9, sondern ergibt sogar noch auf wundersame Weise einen Qualitätssprung zur 1. Das ist extrem contraintuitiv, denn Unendlichkeit hat gewöhnlich rein quantitativen Charakter. Wenn ich entlang einer Gerade unendlich viele Schritte gehe, dann bleibe ich dennoch auf dieser Gerade und gehe nicht auf einmal im Kreis.

[tomS]

Man betrachte die zwei Zahlen x=1 und x'=0.9~. Wenn ihre Differenz d = x-x' Null ist, dann sind beide Zahlen gleich, denn dann ist x' = x-d = x-0 = x. Also berechnet man d = x-x' und findet, dass d kleiner ist als jede beliebige gedachte Zahl größer Null. Anders ausgedrückt, es gibt keine Zahl zwischen und Null und d (probier's aus). Wenn aber d nicht größer ist als Null, und auch nicht kleiner, dann muss es gleich Null sein - und damit x=x'.

[Pippen]

Man betrachte die zwei Zahlen x=1 und x'=0.9~. Wenn ihre Differenz d = x-x' Null ist, dann sind beide Zahlen gleich, denn dann ist x' = x-d = x-0 = x. Also berechnet man d = x-x' und findet, dass d kleiner ist als jede beliebige gedachte Zahl größer Null. Anders ausgedrückt, es gibt keine Zahl zwischen und Null und d (probier's aus). Wenn aber d nicht größer ist als Null, und auch nicht kleiner, dann muss es gleich Null sein - und damit x=x'.

Das ist doch ein Taschenspielertrick:

Die Zahl 0,9~ ist ein math. Objekt mit der hier mal vereinfachten Aussage: ich laufe unendlich gegen 1 ohne 1 zu erreichen. Die Zahl 1 ist ein math. Objekt mit der Aussage: 1. Subtrahiert man 1-0,9~ dann bleibt da notwendig ein Rest (d), weil nunmal 0,9~ als math. Objekt kleiner als 1 eingeführt wurde, wie ich es im ersten Satz geschrieben habe; man kann diese Festlegungen nicht einfach so ändern, die sind fix (alles andere wäre widersprüchlich). Ja, d wäre unendlich klein gegen 0 laufend, aber eben nicht genau 0, sondern immer größer als 0. Dass d unendlich gegen 0 läuft ist unschädlich, wir können d lediglich nicht klar konstruieren...und selbst das stimmt nicht: wir könnten einfach schreiben d= limes 0 oder so ähnlich, um zu zeigen, dass diese Zahl eben da ist aber nicht konstruierbar.Dass diese Zahl nicht konkret benennbar/konstruierbar ist dürfte doch wohl kein Problem in einem Gebiet sein, dass sich der vollständigen Induktion rühmt, Grenzwertbetrachtungen kennt, 1:0 schonmal als nicht definiert ansieht oder mit irrationalen Zahlen arbeitet.

Ich hoffe es wird klar, wo das Problem liegt, nämlich bei der Frage: Was bedeutet die Zahl 0,9~? Und weil wohl alle Mathematiker diese Zahl als 0,999...mit unendlicher 9er-Periode ansehen, steht a priori fest, dass sie 1 nie erreicht und es immer einen Rest zwischen ihr und 1 geben muss. Dieser Rest liegt im Unendlichen, aber die Mathematiker haben sonst auch kein Problem damit, Unendlichkeiten zu verwenden, warum hier? Freilich könnte es sein, dass es Axiome gibt, die sowas im Bereich der Zahlensysteme oder Grundrechenoperationen verbieten, zB wenn festgelegt ist, dass jede Zahl eindeutig konstruierbar sein muss und bei periodischen Dezimalzahlen ansonsten die naheste ganze Zahl gilt. Und da d nicht eindeutig konstruierbar ist (0,00...1 ist nicht konstruierbar ohne sich in Widersprüche zu verwickeln) und 0 die nächste Zahl, wäre d=0 und ich würde es verstehen.

[tomS]

Man betrachte die zwei Zahlen x=1 und x'=0.9~. Wenn ihre Differenz d = x-x' Null ist, dann sind beide Zahlen gleich, denn dann ist x' = x-d = x-0 = x. Also berechnet man d = x-x' und findet, dass d kleiner ist als jede beliebige gedachte Zahl größer Null. Anders ausgedrückt, es gibt keine Zahl zwischen und Null und d (probier's aus). Wenn aber d nicht größer ist als Null, und auch nicht kleiner, dann muss es gleich Null sein - und damit x=x'.

Das ist doch ein Taschenspielertrick:

Die Zahl 0,9~ ist ein math. Objekt mit der hier mal vereinfachten Aussage: ich laufe unendlich gegen 1 ohne 1 zu erreichen.

Das ist keine Taschenspielertrick und es vor allem nicht so, dass die Eigenschaft ohne 1 zu erreichen vorhanden wäre. Es ist im Gegenteil so, dass es darum geht, diese Eigenschaft zu zeigen oder zu widerlegen. Man muss zunächst eine widerspruchfreie Definition von 0,9~ als Grenzwert einführen und dann die Eigenschaften untersuchen. Dabei erhält man als Ergebnis, dass 0,9~ = 1.

Es steht nicht a priori fest, dass sie 1 nie erreicht und es immer einen Rest zwischen ihr und 1 geben muss (in der Mathematik steht sehr wenig a priori fest). Du bist herzlich aufgefordert, eine Zahl anzugeben, die zwischen 0,9~ und 1 liegt. Wenn du explizit zeigen kannst, dass diese Zahl größer 0 ist, dann hast du bewiesen, dass die Mathematik hier inkonsistent ist. Wenn du das aber nicht hinkriegst, dann musst du meinen Beweis akzeptieren, dass es diese Zahl nicht gibt und dass 0,9~ = 1.

Das Objekt 0,9~ ist konstruierbar; es ist allerdings nicht endlich konstruierbar - aber das ist auch nicht gefordert.

[seeker]

@Pippen:
Ich glaube ich verstehe dein Problem recht gut, da ich mich einmal auch genau damit auseinandergesetzt habe.
Die Sache scheint einfach der Intuition zuwiderzulaufen - und daran muss man sich erst einmal gewöhnen.
Das fällt schwer. Wenn man sich aber der gezeigten zwingenden Logik aussetzt, dann kommt man irgendwann zum Schluss, dass eben die Intuition hier versagt, die Logik gewinnt und man umdenken muss.

Freilich frage ich mich dann, warum man 0,9~ nicht gleich als inkonsistenten Term ausrangiert, so ähnlich wie bei der Division durch Null eben einfach verbieten.

Zur Division durch Null muss ich noch was zu sagen:
Das ist das, was man in der Schule lernt, aber es ist eine "Lüge für Kinder" (siehe: Terry Pratchett, Ian Stewart, Jack Cohen, Die Gelehrten der Scheibenwelt ) .
Soll heißen: Das ist vereinfacht dargestellt. Es ist nämlich nicht so, dass da irgendwas verboten wäre.

Wenn man z.B. folgendes hat:

1 / 0 = ?

Dann kann man mal versuchen das auszurechnen, indem man sich der Null so annähert:

1/ 0,1 = 10
1/ 0,01 = 100
1/ 0,001 = 1000
1/0,0001 = 10000
usw.

In der Mathematik sagt man, man bildet den Limes gegen Null für den Nenner des Bruchs, macht ihn also beliebig klein und sagt am Ende, dass das Ergebnis von beliebig klein mit dem Ergebnis von unendlich klein gleichzusetzen ist (ich glaube genau hier liegt der Knackpunkt, das ist der Sprung, den man macht).
(Genauer formuliert nimmt man in Mathe die Formel f(x) = 1/x und bildet den Limes von x gegen Null und schaut wo f(x) dabei hinläuft.)

Was kommt dabei heraus?
Das hier:

1/0 = Unendlich

Da aber Unendlich in diesem Sinne keine Zahl, insbesondere keine bestimmte Zahl mehr ist, muss man sagen:

Der Ausdruck 1/0 ist unbestimmt-unendlich! Also unbestimmt, nicht verboten!

Grüße
seeker