Was ist Mathematik

[tomS]

Zusammenfassend kann man sagen, dass ein hinreichend mächtiges Axiomensystem entweder unvollständig (also mindestens einen wahren, aber unbeweisbaren Satz enthält) oder widersprüchlich ist (wenn man zeigen kann, dass alle Sätze beweisbar sind,dann muss zwingend ein Widerspruch enthalten sein).

Diese Erkenntnis führte zum Zusammenbruch des Hilbertschen Proramms,die Widerspruchsfreiheit der Mathematik zu beweisen.

Ein berühmtes Beispiel ist die Cantorsche Kontinuumshypothese, für die sich aus Arbeiten von Gödel und Cohen ergibt, dass sie im Rahmen von ZFC unbeweisbar, d.h. von ZFC logisch unabhängig ist. Genauer besaen die Resutate: Wenn das Axiomensystem ZFC widerspruchsfrei ist (was nicht beweisbar sein darf gemäß Gödels Satz), dann ist sowohl "ZFC + Kontinuumshypothese" als auch "ZFC + nicht-Kontinuumshypothese" widerspruchsfrei.

[Timm]

(wenn man zeigen kann, dass alle Sätze beweisbar sind,dann muss zwingend ein Widerspruch enthalten sein).

Das klingt im ersten Moment grotesk, ist aber zwingend. Noch eine Randbemerkung zu Gödel: In seinem Buch "I Am A Strange Loop" versucht Douglas Hofstadter die Frage des Bewußtseins mit dem Unvollständigkeitstheorem anzugehen. Recht überzeugend fand ich das allerdings nicht,

Gruß, Timm

[PeterM]

Zusammenfassend kann man sagen, dass ein hinreichend mächtiges Axiomensystem entweder unvollständig (also mindestens einen wahren, aber unbeweisbaren Satz enthält) oder widersprüchlich ist (wenn man zeigen kann, dass alle Sätze beweisbar sind,dann muss zwingend ein Widerspruch enthalten sein).

Ich möchte aus diesem Satz mal folgendes ableiten:


1. Wenn ein Axiomensystem vollständig wäre, wäre man gar nicht in der Lage, etwas daraus abzuleiten. Es muss ja geradezu unvollständig sein. Wenn es vollständig wäre, wäre es gar kein Axiom oder Axiomensystem, sondern eine in sich alles umfassende Antwort oder Erkenntnis.

Alles was unvollständig ist, ist gleichzeitig auch unbeweisbar. Es fehlt sozusagen ein Glied in der Kette. Ob es das letzte Glied ist oder das Erste, also das gesetzte Axiom selbst, das ist doch dabei unerheblich.




2. Wenn sich also aus einem Axiomensystem (was ja zwangsläufig nach 1. unvollständig sein muss) alle Ableitungen beweisen lassen, dann muss doch letztlich das zuerst gesetzte Axiom falsch sein, weil sich ja nur etwas aus der Unvollständigkeit ableiten lässt.
Damit wären u. U. zwar die Ableitungen vollständig beweisbar, aber nicht das zuerst gesetzte Axiom.
Eine vollständige Beweisbarkeit des Axiomensystems, würde ja aussagen, dass das Axiomensystem vollständig ist und keines Beweises bedarf, weil überflüssig. Wir würden gar nicht auf die Idee kommen nach einem Beweis zu suchen. Etwas was in sich schlüssig ist, bedarf keines Beweises.

Mein Fazit:

Ein Axiomsystem beweist in sich selbst, dass es unbrauchbar ist, um eine vollständige Antwort zu erhalten und dass man möglicherweise alles ableiten kann, was in sich schlüssig erscheint.

Axiome sind für mich nur sinnvoll, weil man mit ihnen so eine Art null hat, um einen Anfang zu haben, der grundsätzlich nicht mehr diskutiert wird, weil er aus unserer Wahrnehung heraus offensichtlich ist. Mit wahr oder Wahrheit hat das nichts zu tun.


Wo ist mein Denkfehler??


Gruß

Peter

[tomS]

1. Wenn ein Axiomensystem vollständig wäre, wäre man gar nicht in der Lage, etwas daraus abzuleiten. Es muss ja geradezu unvollständig sein. Wenn es vollständig wäre, wäre es gar kein Axiom oder Axiomensystem, sondern eine in sich alles umfassende Antwort oder Erkenntnis.

Das ist ein Missverständnis. Unvollständig bedeutet hier, dass es sowohl ableitbare als auch unableitbare wahre Sätze gibt. Das Axiomensystem für logisches Schlussfolgern plus Rechnen mit natürlichen Zahlen ist unvollständig, d.h. es gibt Wahrheiten über diese Zahlen, die man nicht beweisen kann. Das Axiomensystem für logisches Schlussfolgern alleine ist dagegen vollständig, d.h. man kann jeden wahren Satz (innerhab der reinen Logik) prinzipiell entweder beweisen oder widerlegen.

2. Wenn sich also aus einem Axiomensystem alle Ableitungen beweisen lassen, dann muss doch letztlich das zuerst gesetzte Axiom falsch sein, weil sich ja nur etwas aus der Unvollständigkeit ableiten lässt.

welches zuerst gesetzte Axiom? Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz ist ein bewiesener Satz, kein Axiom.

Hast du dir schon mal ein Axiomensystem in der Praxis angesehen, und wie man daraus Sätze ableitet, also beweist?

[PeterM]

@ Tom

Missverständnis hast du höflich ausgedrückt. Danke.

Wenn ich argumentiere, darf ich natürlich nicht nur deine Formulierung isoliert betrachten, sondern muss mich auf Aussage die dahintersteckt, beziehen. Ist angekommen.

Was ich mir angeschaut habe, sind z.B. die ersten drei newtonschen Gesetze. Da gibt es wohl auch noch Nachholbedarf.

Gruß

Peter

[tomS]

Die Newtonschen Gesetze sind ein schlechtes Beispiel, da sie sich auf die Physik beziehen, nicht auf die Mathematik. Du kannst sie als Axiomensystem betrachten udn du kannst auch Sätze daraus ableiten, aber sie haben nicht den selben idealisierten Status wie Axiomensysteme in der Mathematik. Widerspruchsfreiheit ist in der Physik natürlich auch wichtig, aber genauso wichtig ist, dass die Sätze die Natur korrekt beschreiben; letzteres ist in der reinen Mathematik dagenen völlig irrelevant!

[seeker]

@Peter:
Schau mal hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Axiom

Um das mit der Deduktion verstehen zu können, sollte man das hier anschauen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Deduktion

Auf dieser Seite zeigt das folgende Bild (Induktion, Deduktion) in kürzester Form wie Naturwissenschaft funktioniert:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/d ... uktion.svg

Was deinen Gedanken wohl entgegenkommt ist das hier:

Wissenschaftliche Erkenntnisse

Die deduktive Methode ist nicht die einzige Methode der Gewinnung neuer wissenschaftlicher Erkenntnisse. Solch eine Methode muss stets von Prämissen ausgehen, die ihrerseits als wahr zu beweisen sind, hypothetisch als wahr vorausgesetzt werden oder axiomatisch als wahr gesetzt sind.

Selbst wenn sich solche Prämissen wiederum aus anderen Prämissen deduktiv ableiten lassen, muss diese Beweiskette doch irgendwo beginnen (siehe: Infiniter Regress).

Die Wissenschaft muss zu Beweisverfahren greifen, die nicht-deduktiver Natur sind, denen also intensionale Beziehungen zugrunde liegen. Es handelt sich dabei also um empirische Verfahren, welche Erkenntnisse durch Beobachtung und Experimente gewinnen. Die logische Verarbeitung der Ergebnisse der Praxis zu wissenschaftlichen Aussagen oder gar Gesetzen geschieht mit der reduktiven Methode.

In den Naturwissenschaften müssen durch Deduktion ermittelte Vorhersagen empirisch überprüfbar sein, um einen wissenschaftlichen Wert zu besitzen. Wenn die Beobachtungen nicht mit den Vorhersagen übereinstimmen, muss die Theorie angepasst oder verworfen werden.

Grüße
seeker

[PeterM]

Ich glaube, das trifft es ganz gut. Zumindest für uns Laien.

http://www.mathematik.de/ger/informatio ... axiom.html

Es wird auch klar warum die 1 eine 1 ist.

Ob wahr oder nicht wahr, die Frage stellt sich überhaupt nicht.



Gruß

Peter

[PeterM]

@ seeker

Danke. Ich denke, dass ich jetzt nach langer Zeit einen Anfang gefunden habe.

Ich sehe die Mathematik jetzt ganz anders. Die Abneigung ist verschunden. Das ist doch ein Anfang, oder??

[wilfried]

Guten Tag liebe Astros

seeker fragte:

Code: Alles auswählen

1. Wie ist das mit den echten Zufallszahlen, wie sie scheinbar in der Natur (->QM) vorkommen? Inwiefern oder inwieweit sind sie Teil der Mathematik?
Oder weiter gefragt: Gibt es in der Natur Dinge, die mit Mathematik prinzipiell nicht abbildbar sind?

Zufallszahlen sind ein Teil der Mathematik. Zufall heisst nichts anderes als "beste Willkür". Das ist schwierig zu erreichen. Deshalb gibt es Spezialisten, welche sich damit beschäftigen. Krypotgraphie nutzt das.

Die Natur abzubilden ist eine der ganz grossen Aufgaben der Naturwissenschaften und Ingenieurwissenschaften. Das klappt nur bedingt. Wir sind nicht in der Lage die Natur exakt nachzubilden. Eine Nachbildung ist stets ein Kompromiss, der immer offene Fragen hinterlässt.
Simulationen seien hier genannt. Diese sind eben nur endlich gut. Die Natur ist uns weit weit voraus.

2. Kann man sagen, dass die Mathematik eine Ideenwelt beschreibt, so wie die Naturwissenschaften die Natur, also die natürliche Welt beschreiben?
Falls ja: Man müsste dann aufpassen, dass man nicht in einen Dualismus hineinkommt, wo zumindest ich (aus anderen Gründen) überhaupt nicht hin will.

Ja, kann man. Auch zum zweiten Punkt ein klares ja! Das ist das grosse Problem der Theorie, verbunden mit der Praxis. In der Theorie wird erst einmal ein Abbild geschaffen, das die Natur für diesen Fall so gut als notwendig wiedergibt.
Die Praxis oder besser die Anwendungen zeigen später, ob das, was die Theoretiker geleistet haben noch modifiziert werden muss.
Häufig ist das der Fall.

Wobei dadurch weder die Theorie noch die Praxis Abstriche erfahren dürfen. Es ist ein gewisser Eiertanz.

Beispiel: Wettervorhersage.

Wir sind nicht in der Lage ein echtes Modell für unser Wetter zu schreiben. Die Wettermodelle sind Hybride:
sie bestehen aus beobachteten Wetterlagen und aus mathematischen Modellen.

Beide kommunizieren, beide sind aber ungenau. Und doch ist das Zusammenspiel beider so genau, dass wir inzwischen recht präzise vorhersagen können, wie das Wetter in den kommenden 2 Stunden ist. Darüber hinaus ist die Vorhersage bereits deutlich ungenau. Langzeitvorhersagen ist Lesen im Kaffeesatz oder für unsere Teetrinker: lesen der Rest Teekrümel in der Tasse.

Netten Gruß

Wilfried

[seeker]

Hallo Wilfried, du bist wieder da - schön!

Es drängt mich auf deinen Beitrag zu antworten - ich muss dabei aber in eine Richtung argumentieren, die mir in einem anderen Thread besser aufgehoben zu sein scheint (Tom hat auch darum gebeten).
Dort steht auch dieselbe Frage im Prinzip nochmal - und ich muss euch gestehen, dass ich noch nicht überzeugt bin und weiteren Diskussionsbedarf sehe...
Machen wir mit diesem Punkt also HIER viewtopic.php?f=11&t=1356&start=15 weiter, ist das OK?
@Tom: OK?

Grüße
seeker

[tomS]

wenn es um die Natur / die Physik geht - ja.

[PeterM]

Wenn ich über das Grundlegende in der Mathematik nachdenke, komme ich immer wieder auf die Bewegung zurück. Es lässt sich mit der Mathematik alles berechnen, was in irgendeiner Art und Weise auf Bewegung zurückzuführen ist. Deshalb ist Mathematik überall dort anwendbar, wo etwas Bewegung als Grundlage hat. Unter anderem sind Strukturen ja auch auf Bewegung zurückzuführen.

Demnach benötigt die Mathematik immer einen anfänglichen Messpunkt, um überhaupt aktiviert werden zu können. Fehlt dieser, ist ein mathematisches Ergebnis nicht möglich.

Um diesen anfänglichen Messpunkt immer wieder schnell erreichen zu können, brauche ich dann doch nur durch Null zu teilen. Egal wie kompliziert der Rechenweg und das daraus folgende Erebnis ist, die Teilung durch Null hebt den Rechenweg auf und setzt alles wieder auf Anfang, also auf den Punkt, den man vorher festgelegt hat.

Die Null wäre dann immer von einer Definition abhängig. Ist die Null nicht definiert, existiert sie nicht.

Mathematik scheint demnach wirklich nur ein Werkzeug zu sein, welches beliebig innerhalb seines Wirkungsbereiches eingesetzt werden kann.. Wenn kein Wirkungsbereich existiert, existiert die Mathematik auch nicht. Der Mathematik sind demnach klare Grenzen gesetzt.


Ist das so akzeptierbar? Ein wenig unvollstädnig ist es schon, das lässt sich ja ändern. Oder ist da ein Denkfehler enthalten?


Gruß

Peter

[wilfried]

Guten Tag zusammen

Gödel und Catt wurden genannt im Zusammenhang des Satzes der Widerspruchsfreiheit. Na, dann schauen wir mal in die Maxwell'schen Gleichungen:





und sind Konstanten. Ich lasse jetzt alles weg, was im Grunde hier physikalisch zu sagen wäre. Wir schauen nur auf die Widerspruchsfreiheit im rein mathematischem Sinn.

Erkenntnis: Beide Gleichungen verweisen aufeinander, sind verkettet.

Widerspruch: Offensichtlich läßt sich kein Widerspruch erkennen.

Begündung der Widerspruchsfreiheit: Wir folgen Epidemides: Der folgende Satz ist falsch, der vorgehende Satz ist wahr.

Weder (1) noch (29 können als falsch dargelegt werden, da sie beiden den Regeln der Mathematik folgen. (und auch physikalisch wohl richtig sind, aber das spielt keine oder nur eine untergeordnete Rolle)

Im übrigen hat Igor Catt schon 1980 gezweifelt, ob denn die MWGs widerspruchsfrei sind ...

Siehe: Catt Igor, "Maxwell's Equations revised", Wireless world, March 1980, pp 67-68

Was eigentlich hat Catt damals getrieben mit den MWGs?

Catt sagte:





c ist die Lichtgeschwindigkeit und Z die Impedanz des freien Raums oder auch Wellenwiderstand 377 Ohm genannt.

Catt folgt dem Weg: Einsetzen von in (1) und (2).

Interessant, was nun passiert:






Literatur dazu: Catt Igor, "The hidden message in Maxwell's equations", Electronics & wireless world, Nov.1985, pp35-36 and Dec. 1985, pp33-34, 75

Unter Berücksichtigung der Richtigkeit der Gleichung Impedanz freier Raum Z, kann nun folgendes Gleichungssystem angeschrieben werden:





Mathematisch widerspruchsfrei ergibt mit dieser bahnbrechenden Erkenntnis aus den Gls 1.1 und 1.2:





Bitte schaut auf das sich so dargestellte Vorzeichen!!

Wir erhalten somit folgende wichtige mathematische Erkenntnis:

+1 = -1

Und das ist widerspruchsfrei!! Soviel zum Thema Mathematik und Physik

netten Gruß

Wilfried

[Timm]

Verblüffend, schon beim Vergleich von (1.1) und (2.1) sieht man, daß die Impedanz Z eine komplexe Zahl ist, was ja wohl nicht sein kann.

Gruß, Timm

[wilfried]

Guten Tag Timm

klar kann die Impedanz komplex sein. Z.B.





Und woraus erkennst Du, dass Z eine komplexe zahl ist? Könnte doch z.B. auch 1 sein oder?

Gruß

Wilfried

[Timm]

Grüß Gott Wilfried,

wenn ich 1.1 und 2.1 vergleiche, komme ich auf Z^2 = - mü/epsilon (bitte entschuldige, ich beherrsche die griechischen Buchstaben auf der Tastatur nicht). Damit sollte Z komplex sein. Habe ich da einen Denkfehler?
Mir war nicht klar, daß die Impedanz komplex sein kann, das war vorschnell.

Gruß, Timm

[wilfried]

ja, Tim, so ist es richtig. Das zeigt aber auch deutlich ergeben mag, dass die Mathematik durchaus etwas anderes ergeben mag, als die Physik annehmen lässt.

Komplex sind alle größen, welche in Bezug auf ihre Grundgrößen einen Phasenwinkel bilden. Zunächst ist eine Kapazität oder eine Induktivität "einfach" vorhanden und kennt nichts von einem Phasenwinkel. Erst durch das Hinzufügen eines Widerstands kommt es zum Phasenwinkel.

Von der Physik zur Mathematik:

Eine imaginäre Zahl kennt keinen Phasenwinkel, ist demnach mathematisch gesehen genauso zu behandeln, wie eine rein reelle Zahl. Beide sind nur existent auf einem einzigen Zahlenstrahl..

Erst wenn beide Größen kombiniert werden, dann stehen beide in einem festen Bezug und ergeben einen Phasenwinkel, welcher durch die Projektionen beider Zahlen auf die beiden Axhsen bestimmt ist.

Ein wenig klarer?

Trotzdem ist das gezeigte Vorgehen mathematisch völlig korrekt. Ich sagte ja extra: die Physik geht mich erst mal nichts an.

Netten Gruß

Wilfried

[Timm]

Ja, danke für den Hinweis auf den Phasenwinkel, Wilfried.

Aber dann muß sich ja wohl in die Physik ein Fehler eingeschlichen haben. Aus 1.1 und 2.1 folgt Z^2 = - mü/epsilon,

aus:

Unter Berücksichtigung der Richtigkeit der Gleichung Impedanz freier Raum Z, kann nun folgendes Gleichungssystem angeschrieben werden:

folgt Z^2 = mü/epsilon, also hier Z nicht komplex. Nun hat mü allerdings in obiger Gleichung den Index u und 0. Wenn sie nicht identisch sind, wäre der mittlere Teil der Gleichung falsch. Könnte das die Ursache des Kuriosums sein?

Gruß, Timm

[wilfried]

Guten Tag Tim

Da hast Du einne Schreibfehler aufgedeckt. Ich hae den in meinem obigen Text korrigiert. Setzte .

Netten Gruß

Wilfried

[Timm]

Damit die Mathematik nicht in ein Trauma fällt, müßte Z^2 beide male negativ oder positiv sein. Sehe ich das richtig, Wilfried?

Gruß, Timm

[wilfried]

Guten Tag Timm

klar, Du liegst richtig. Die quadratischen Wurzelausdrücke sind -eben wegen "quadratisch"- doppeldeutig.
Formal gesehen darf in Gl. 1.2 das negative VZ durch das positive VZ ersetzt werden. Daraus folgt dann die Identität der beiden Gleichungen 1.1 und 1.2.

Es ging mir ja auch nicht um die Physik und diese ist notwendig um die VZ Entscheidung zu vollziehen, es ging mir, wie ich eingangs sagte nur rein um die Mathematik. Diese ist trotz des tollen Ergebnisses jedoch in sich widerspruchsfrei.

Das allein wollte ich zur Gödel Frage der Widersprcushfreiheit anführen.

Du hast aber gezeigt, dass Du Dich mit dem Problem auseinandergesetzt hast und Du hast mit Hilfe einer Überlegung festgestellt, wo denn das Problem liegt und hast es behoben. Gratuliere dazu!

netten Gruß

Wilfried

[AlTheKingBundy]

Also ich sehe da keinen Widerspruch. Mathematisch hat man doch nur gezeigt, dass E- und H-Feld (ACHTUNG Vektorfelder) eben nicht proportional zueinander sein können. Es ist ja auch bekannt, dass im Vakuum E- und B-Feld (oder auch H, da hier H proportional zu B gilt) senkrecht zueinander stehen.

Wenn ich z.B. die Gleichungen

x + y = 2

x*y = -1

habe und dann mit x = y weiter mache bekomme ich auch 1 = -1. Das zeigt mir doch nur, dass der Ansatz falsch war. Oder habe ich jetzt was übersehen???

Ich verstehe auch Deinen Ansatz für die Maxwellgleichungen nicht ganz nach genauerem Hinsehen. Es gilt doch (im Vakuum oder in manch linearen Feldzusammenhängen):




Wenn man dann aber



falsch ansetzt und nachher die richtige Beziehung der Konstanten im Zusammenhang mit c verwendet, kann doch nur Murks bei rauskommen.

Aber auch wenn wir Deiner Vorgehensweise folgen würden, käme niemals heraus, dass +1=-1 ist, sondern nur, dass es exakt eine Lösung für den gewählten Ansatz gibt, nämlich H = 0!

[PeterM]

.

[wilfried]

Tag zusammen

@Al:

nun, falsch im Sinne von fehlerhaftem Ansatz ist das nicht, was Catt damals zeigte. Er hat halt den Feldwellenwiderstand mit hineingebracht. Und er hat sich keinen Deut ums Vorzeichen gekümmert.

Natürlich ist hier die Situation so, dass der "Fehler" -soweit man in diesem Falle von Fehler sprechen mag- darin zu finden ist, dass eben die quadratische Gleichung mit einem positiven und einem negativen Vorzeichen behaftet ist, im Grunde aber dieselbe Gleichung bleibt. Es liegt damit nur am Benutzer der Mathematik das richtige Vorzeichen zu wählen oder aus physikalischen Überlegungen heraus zu bestimmen. Dann stimmt ja auch alles wieder.

Der Punkt zu diesem Beispiel ist der, dass eine widerspruchsfreie Mathematik existent und richtig ist, jedoch deren Bedeutung oder Anwendung völlig Unsinn ist.

Soll heissen: Widerspruchsfreiheit allein definiert keine saubere Anwendung der Mathematik.

Netten Gruß

Wilfried