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Was ist Mathematik

Mathematische Fragestellungen
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Was ist Mathematik

Beitrag von seeker » 15. Jan 2011, 14:15

Es stellt sich hier für mich nun folgende Frage:

Was ist Mathematik?

Ich glaube, bevor wir dies nicht genauer wissen, kommen wir nicht weiter.
Was kann man dazu sagen?

Grüße
seeker
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Re: Was ist Mathematik

Beitrag von tomS » 15. Jan 2011, 15:11

Ich denke, es ist besser, das separat zu klären.
Gruß
Tom

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Re: Was ist Mathematik

Beitrag von deltaxp » 16. Jan 2011, 00:51

mein mathe prof sagte seinerzeit: wer mir nicht glaubt dass 1+1=2 ist kann lech gehen. alle bwl-er flohen, für die 1+1=2.3 8(inclusive mehrwertsteuer)^^

im erzt die grundlagen der matthemaik beruhen auf erfahrung die in der megentheorie beschrieben werden

ich habe eine handvoll äpfel, soviele wie icj finger an der hand habe. ich nenen das 5. ein finger nenne ich 1 usw. us ic hab ja nicht nur die hand auf der einen seite sondern ach die auf der andern seiten, die hat auch genannte 5 finger. das zusmmen nenne ich 10. klingt cool darauf bau ich mein ahlensystem auf, Sch... meine frau will auch was vom apfel haben. nagut, teile ich das das mit meinen feuerstein in zwei, hm, hm, hm, hälften, nenne ich da: 1/2 und 1/2
und so gings weiter.

der ursprung der mathematik sind meineserachten di naürlichen zahlen, abzählbare menge von früchten. als der mensch anfing ackerbau nd tierzucht zu treiben, hattte keiner mehr lust die einzelnen körner zu zählen, da er am ender verhungert wäre ehe er fertig gezählt hatte, also fing er an zu sagen, 1 sack aber nicht alles nur die ein teil und zwar genau der, wenn man ihn ausschüttet das und aufteilt das links und rechts gleich gros sind. nennen wir es 1/2 ...


kurz gesagt: mathematik entspringt aus unserer erfahung mit der umwelt. diese lässt sich durch allgemeingültige regeln beschreiben. aufgrund dieser regeln, koennen wir folgerungen ziehen.

mathematik sind die sprachregeln der natur. die m,enschen haben dafür halt begriffe und regeln geprägt, die i einklang der natur sind

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Re: Was ist Mathematik

Beitrag von PeterM » 16. Jan 2011, 11:05

@ deltaxp

Ich denke mal, dass die Mathematik als Grundlage die Außenbetrachtung hat. Das Problem dabei ist, dass jeder etwas anderes sieht und ableitet.

-In der Mathematik geht es demnach m. E. um die Vereinheitlichung der menschlichen Sichtweise.-

Des Weiteren beschreibt die Mathematik ja nur die mechanischen Abläufe in der Natur, bzw, verfolgt sie. Mathematik kann nie die Natur selbst sein. Mit der Mathematik können wir auch nie in den Kern der Natur gelangen, weil sie nun mal ein Teil der Außenbetrachtung ist.

Dein Beispiel mit der Hand und den fünf Fingern verdeutlicht das eigentlich. Meine Hand hat z. B. nur vier Finger und einen Daumen. D. h. für mich, dass eine Handvoll Äpfel maximal 4 Äpfel seien können und nicht fünf. Das allerdings nur, wenn man sich auf die Finger bezieht. Schließt man den Daumen mit ein, dann stimmt natürlich die fünf. Das ist ja jetzt noch unkompliziert. Es macht aber deutlich, dass nur ein kleine Unvollständigkeit oder eine minimal andere Sicht der Dinge, ein falsches Ergebnis oder ein nicht brauchbares Ergebnis liefern kann.


Bei der Außenbetrachtung ergibt sich ein Problem. Wenn man eine Außenbetrachtung unterstellt, muss man gleichzeitig eine Innenbetrachtung als gegeben hinnehmen. Schau mal in dich hinein, dann fangen schon die Probleme an. Es gibt die Wahrnehmung, die über die Sinne gesteuert ist und irgendwo als Bewusstsein dann wieder auftaucht. Das scheint doch der Knackpunkt zu sein, dass wir Innenwelt und Außenwelt nicht vereinen können. Wenn wir das könnten, dann würden wir wissen was unser Bewusstsein ist.

Dieser Thread ist ja eigentlich nur entsanden, weil es in einem anderen Thema über die Null und Unendlichkeit diskutiert wurde.

Über die Null und die Unendlichkeit möchte ich folgendes bemerken:

Für mich hat die Null selbst gar nicht mehr so eine große Bedeutung. Sie hat ja eigentlich nur den Sinn, allem messbaren einen Anfang zu geben. So ungefähr wie ein neutraler Beginn ohne Wert.

Mit unserer Vorstellung von einem Nichts hat sie m. E. nichts zu tun. Die Null macht Technik erst möglich, weil wir einen Ansatzpunkt haben und damit etwas beeinflussen und überprüfen können.

Wenn wir null mit Nichts gleichsetzen, fehlt der messbare Anfang. Wo will man anfangen zu messen, wenn man das Nichts als Grundlage hat. Nach dem Nichts kann auch nur das Nichts folgen. Wie will man nichts und nichts zählen? Das Ergebnis kann ja nur Nichts sein.

Mit der Unendlichkeit ist ja auch ähnlich. Lässt sich kein Ergebnis erreichen, ableiten oder beschreiben, dann landet man in der Unendlichkeit. Wenn man es genau nimmt, dann ist die Unendlichkeit eine schöne Ausrede.  Es deutet für mich mehr auf eine Unvollkommenheit unsere Wahrnehmung und damit auf eine Unvollkommenheit unser gedanklichen Systems hin.

Die Unendlichkeit ist für mich eigentlich auch eher ein Hinweis auf nicht endende Veränderungen.

Insofern hat seeker schon recht. Wenn man nicht schon genau definiert was die Null und unendlich sind, stellt sich die Frage, was die Mathematik überhaupt ausmacht.

Übrigens, ich gehöre auch zu denen die sagen, dass 1+1 ungefähr zwei als Ergebnis haben könnte. Bei mir ist es aber eigentlich noch schlimmer. Ich bin mir nicht mal sicher ob die 1 überhaupt in der Natur existiert :-)

Gruß

Peter

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Re: Was ist Mathematik

Beitrag von wilfried » 16. Jan 2011, 14:06

Guten Tag zusammen

eine interessante Frage, die seeker hier stellt und auch interessante Antworten bis her.

Mathematik ist zunächst einmal eine Wissenschaft, welche folgende Ansprüche erhebt:

1. Sie fusst auf Gesetzen, die bewiesen sind bzw. zu beweisen sind.
Das sind die berühmten lemma oder Existenzsätze
2. Sie beschreibt Tatsachen, welche sich in Räume fassen lassen. Räume sind u.a. Zahlenräume, topologische Räume
3. Sie ist exakt, läßt keine Unklarheiten zu
4. Sie ist deterministisch
5. Sie nutzt Modelle um komplizierte Dinge aus anderen Disziplinen beschreiben zu können. Beispiele: Modell eines Transistors, kosmologische Modelle
6. Sie hat keinen Anspruch auf Gesetzmäßigkeiten, welche durch Naturgesetze vorgegeben sind.
Heisst: in Der Natur können gewisse Einschränkungen vorhanden sein. So gibt es z.B. keine negative Zeit. Die Mathematik jedoch nutzt solche -auch eventuell unsinnig klingenden Zusammenhänge- um gewisse Dinge exakt beschreiben zu können
8. Mathematik nutzt Abstraktionen
9. Mathematik baut in sich selber logisch auf. Sie verwendet dazu Prädikaten- und Aussagelogik gleichermassen.
10. Mathematik ist konstruktiv. Heisst: aus einem Konstrukt entwickeln sich wiederum andere

Ihr seht, Mathematik ist eine übergeordnete Wissenschaft, welcher sich alle anderen beschreibungsmäßig zu unterwerfen haben.

Netten Gruß

Wilfried
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-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e

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Re: Was ist Mathematik

Beitrag von tomS » 16. Jan 2011, 14:36

Die spannende Frage ist, welchen Bezug die Mathematik zur Realität hat, und wie dieser zustande kommt. Zunächst ist es richtig, dass die Mathematik nicht ohne bzw. losgelöst von Alltagserfahrungen enstanden ist. Inzwischen ist sie jedoch extrem stark losgelöst von diesen Alltagserfahrungen. Benötigt sie diesen Bezug noch? Im engeren Sinne nicht, sie kosntruiert sich - wie Wilfried sagt - in gewiser Weise selbst.

So, nun zum Bezug zur Realität; es ist ein Unterschied, ob der Bezug zur Realität der Mathematik instrinsisch IST, und damit die Realität aus der Mathematk heraus mathematisch IST, oder ob die Wissenschaften der Realität (Naturwissenschaften) die Mathematik nur benutzen und diesen Bezug HERSTELLEN. Ich denke, letzteres ist für die heutige Sichtweise der Mathematik der geeignetere Zugang, da sie sich ja an vielen Stellen mit Themen beschäftigt, für die wir keine physikalische Anwendung haben.

Die Mathematik ist damit eher eine Geisteswissenschaft als eine Naturwissenschaft, die jedoch versucht, so viel möglich von spezifischen bzw. speziellen Sichtweisen zu abstrahieren und zu allgemeingültigen Schlussfolgerungen zu kommen. Sie ist jedoch keine Wissenschaft, die auf reine Konstrukte des Geistes fixiert ist, sonern (wie die meisten Mathematiker heute meinen) sich mit "ewigen, unabhängigen mathematischen Wahrheiten" beschäftigt. Die Tatsache, dass 7 eine Primzahl, ist (meiner Meinung nach) immer schon gegeben, auch ohne den einzelnen Mathematiker, der sich damit befasst. Daher ist der Begriff "ewig" evtl. nicht so ganz passen; "zeitlos" oder "außerzeitlich" wäre ggf. besser.
Gruß
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Re: Was ist Mathematik

Beitrag von Timm » 16. Jan 2011, 16:06

tomS hat geschrieben: Sie ist jedoch keine Wissenschaft, die auf reine Konstrukte des Geistes fixiert ist, sonern (wie die meisten Mathematiker heute meinen) sich mit "ewigen, unabhängigen mathematischen Wahrheiten" beschäftigt. Die Tatsache, dass 7 eine Primzahl, ist (meiner Meinung nach) immer schon gegeben, auch ohne den einzelnen Mathematiker, der sich damit befasst. Daher ist der Begriff "ewig" evtl. nicht so ganz passen; "zeitlos" oder "außerzeitlich" wäre ggf. besser.
Ja, das sehe ich auch so. Keine uns sonst geläufige "Wahrheit" hat diesen absoluten Charakter.

Riemann dürfte kaum vorhergesehen haben, daß seine Mannigfaltigkeiten ein wichtiger Beitrag zur Beschreibung der Natur sind. Hingegen finden wohl Primzahlen keine Entsprechung in der Natur, einschließlich aller denkbaren Universen. Was aber gibt mir die (scheinbare?) Sicherheit für diese Vermutung? Gibt es ein rationales Kriterium für mathematische Konstrukte, die keinen Bezug zur Natur haben?

Gruß, Timm

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Re: Was ist Mathematik

Beitrag von tomS » 16. Jan 2011, 16:19

Timm hat geschrieben:Was aber gibt mir die Sicherheit für diese Vermutung? Gibt es ein rationales Kriterium für mathematische Konstrukte, die keinen Bezug zur Natur haben?
Fangen wir von hinten an: die Natur leistet dies sicher nicht (und kann und soll dies auch nicht). Die Natur kann dir letztlich nur in bestimmten Bereichen sagen, dass etwas jetzt und hier näherungsweise gilt; über außerzeitliche Wahrheiten kann die Natur prinzipiell nichts sagen (selbst wenn es diese gibt, sind wir nicht in der Lage, sie zu erkennen).

Also ja, wir benötigen natürlich ein rationales Kriterium; aber nein, die Natur liefert es nicht. Jetzt kannst du nach einem anderen Vorschlag fragen - ich habe keinen. Letztlich zieht man sich auf einen formalen und logischen Standpunkt zurück, aber diesen selbst kann man nicht begründen. Man kann natürlich eine außerzeitliche Logik und Mengenlehre annehmen, aber man kann nur motivieren, nicht beweisen, dass sie auch außerzeitlich logisch und konsistent ist - und dass jede andere Intelligenz zu einer äquivalenten Auffassung bzgl. Mathematik kommt.
Gruß
Tom

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Re: Was ist Mathematik

Beitrag von Timm » 16. Jan 2011, 18:17

tomS hat geschrieben: Also ja, wir benötigen natürlich ein rationales Kriterium; aber nein, die Nstur liefert es nicht. Jetzt kannst du nach einem anderen Vorschkag fragen - ich habe keinen. Letztlich zieht man sich auf einen formalen und logischen Standpunkt zurück, aber diesen selbst kann man nicht begründen.
Es ist nur ein Versuch: Wenn die Natur ein solches Kriterium nicht liefert, dann bleibt ja nur die Welt der Zahlen. Ein Vorschlag: Solange diese sich mit sich selbst beschäftigen (= die Zahlentheorie als Teilbereich der Mathematik) bleibt die Natur außen vor. Oder gibt es hier Gegenbeispiele, Konstrukte aus der Zahlentheorie mit Affinität zur Natur? Ich habe leider wenig Ahnung von Mathematik.

Gruß, Timm

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Re: Was ist Mathematik

Beitrag von tomS » 16. Jan 2011, 18:55

Ich würde bei den Zahlen natürlich einen Bezug zur Natur sehen. Ich denke aber nicht, dass die Zahlen bzw. die Mathematik diesen Bezug zur Natur herstellen, sondern dass umgekehrt die Natur (aus Gründen, die wir nicht verstehen), sich der Mathematik bedient.
Gruß
Tom

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Re: Was ist Mathematik

Beitrag von seeker » 17. Jan 2011, 09:58

@Wilfried:
Deine Liste gefällt mir außerordentlich gut!
Ich glaube, das ist ein guter Einstieg, der uns ein Grundgerüst bietet.
Danke dafür!

Ich frage mich gerade folgendes (wegen deinem Punkt "4. Sie ist deterministisch"):

1. Wie ist das mit den echten Zufallszahlen, wie sie scheinbar in der Natur (->QM) vorkommen? Inwiefern oder inwieweit sind sie Teil der Mathematik?
Oder weiter gefragt: Gibt es in der Natur Dinge, die mit Mathematik prinzipiell nicht abbildbar sind?

2. Kann man sagen, dass die Mathematik eine Ideenwelt beschreibt, so wie die Naturwissenschaften die Natur, also die natürliche Welt beschreiben?
Falls ja: Man müsste dann aufpassen, dass man nicht in einen Dualismus hineinkommt, wo zumindest ich (aus anderen Gründen) überhaupt nicht hin will.

Grüße
seeker

Edit:

Ich hab mal noch geschaut, was Wikipedia zur Mathematik sagt:
Die Mathematik (altgriechisch mathēmatikē (téchnē): "die Kunst des Lernens, zum Lernen gehörig" oder manthánō: "ich lerne"; umgangssprachlich Mathe) ist die Wissenschaft, welche aus der Untersuchung von Figuren und dem Rechnen mit Zahlen entstand. Für Mathematik gibt es keine allgemein anerkannte Definition; heute wird sie üblicherweise als eine Wissenschaft beschrieben, die selbst geschaffene abstrakte Strukturen auf ihre Eigenschaften und Muster untersucht.
http://de.wikipedia.org/wiki/Mathematik
Grüße
seeker


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Re: Was ist Mathematik

Beitrag von tomS » 17. Jan 2011, 10:23

Zu 1.: die Mathematik kann natürlich nicht beantworten, ob etwas nicht mittels Mathematik beschrieben werden kann; die Zufallszahlen sind evtl. kein gutes Beispiel, denn der Zufall kann ja (in Grenzen) doch mathematisch formalisiert werden.

Zu 2.: ja, die Mathematik ist nach Auffassung vieler Mathematiker eine "Platonische Welt der Ideen"; das ist das, was ich mit "außerzeitlich" meine. Die Frage, inwieweit und warum die Natur dann mathematisch "IST" bzw. sich so verhält bzw. so beschriebene werden kann, kann dieser Ansatz jedoch nicht lösen. Platon spricht von einer gewissen "Teilhabe" der Dinge an diesen Ideen. Aristoteles kritisiert dies ... Man befindet sich hier im Bereich der Philosophie.

Ich würde vorschlagen, da es sich um die Frage "was ist Mathematik" handelt, das eben NICHT ständig mit der mathematischen Naturbeschreibung zu vermischen (dazu hättenwir dann anderen Thread, von dem ich diesen hier abgespalten habe). Lassen wir doch die Mathematik und die Mathematiker selbst zu Wort komen; die könne Mathematik auch ohne Rückgriff auf die Natur beschreiben!
Gruß
Tom

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Re: Was ist Mathematik

Beitrag von seeker » 17. Jan 2011, 11:08

Ok, du hast recht. Wir sollten versuchen die Frage nach dem mathematischen Universum ausschleißlich in dem anderen Thread zu besprechen.
Versuchen wirs! Verzeih jedoch, wenn es nicht völlig gelingt... ich will mir aber Mühe geben.

Die sprachliche Komponente erscheint mir noch interessant: Mathematik ist ja auch eine Sprache bzw. in Sprache verwurzelt.
Was bedeutet das? Wie objektiv ist die Mathematik, also wie losgelöst von uns? Völlig?

Ich vermute im Moment, dass wir zumindest durch die Auswahl unserer Axiome ein gewisses subjektives Element in die Mathematik einbringen, das wir nicht völlig loswerden.
Jenseits der Axiome scheint die Mathematik dann völlig exakt und objektiv zu sein, von selbst zu laufen... Was meint ihr dazu?

Dann könnte man noch unterscheiden zwischen der Mathematik "an sich" und dem, was wir von ihr begreifen (können) und wie wir sie zu begreifen vermögen.

Außerdem könnte uns evtl. noch folgende Frage weiterhelfen:

Was ist Mathematik nicht?

Grüße
seeker
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Re: Was ist Mathematik

Beitrag von tomS » 17. Jan 2011, 13:22

Ich erlaube mir mal, ein paar Zitate bzw. Definitionen aus der Wikipedia (als Diskussionsgrundlage) hier reinzustellen:

Ausgangsunkt
Ausgangspunkt ist fast durchgehend die Auffassung, dass mathematische Sätze apodiktisch gewiss, zeitlos und exakt sind und ihre Richtigkeit weder von empirischen Ergebnissen noch von persönlichen Ansichten abhängt. Aufgabe ist es, die Bedingungen der Möglichkeit solcher Erkenntnis zu ermitteln, wie auch diesen Ausgangspunkt zu hinterfragen.

Realismus, Platonismus
Eine unter Mathematikern verbreitete Position ist der Realismus. Mathematische Gegenstände (Zahlen, geometrische Figuren, Strukturen) und Gesetze sind keine Konzepte, die im Kopf des Mathematikers entstehen, sondern es wird ihnen eine vom menschlichen Denken unabhängige Existenz zugesprochen. Mathematik wird folglich nicht erfunden, sondern entdeckt. Durch diese Auffassung wird dem objektiven, also interpersonellen Charakter der Mathematik entsprochen. Dieser ontologische Realismus ist unvereinbar mit allen Spielarten der materialistischen Philosophie.

Die klassische Form des Realismus ist der Platonismus, demzufolge die mathematischen Gegenstände und Sätze losgelöst von der materiellen Welt und unabhängig von Raum und Zeit existieren, zusammen mit den anderen Ideen ... Das Hauptproblem des Platonismus in der Philosophie der Mathematik ist die Frage, auf welche Weise wir als begrenzte Wesen die mathematischen Objekte und Wahrheiten erkennen können, wenn sie in diesem „Ideenhimmel“ beheimatet sind. Laut Gödel leistet dies eine mathematische Intuition, die, ähnlich einem Sinnesorgan, uns Menschen Teile dieser anderen Welt wahrnehmen lässt.

Logizismus
Der Logizismus, wurde unter anderem von Gottlob Frege, Bertrand Russell und Rudolf Carnap begründet. Nach dieser These lässt sich die Mathematik vollständig auf die formale Logik zurückführen und ist folglich auch als ein Teil der Logik zu verstehen. Logizisten vertreten die Ansicht, dass mathematische Erkenntnis a-priori-Charakter hat. Mathematische Konzepte sind abgeleitet von logischen Konzepten, mathematische Sätze folgen direkt aus den Axiomen der reinen Logik.

Gottlob Frege, der als einer der großen Denker des 20. Jahrhunderts gilt, führte in seinen Grundgesetzen der Arithmetik das Gesetzesgebäude des Zahlenrechnens auf logische Prinzipien zurück. Freges Konstruktion erwies sich aber noch vor seiner vollständigen Veröffentlichung als brüchig, nachdem Russell mit seiner berühmten Antinomie zeigte, dass Zirkelschlüsse und Widersprüche seinem auf formale Logik gegründeten mathematischen Gebäude das Fundament nahmen. Russell teilte dies Frege in einem Brief mit, worauf dieser in eine tiefe persönliche Krise geriet. Später konnten mit komplizierteren Axiomensystemen die Widersprüche vermieden werden, so dass die Mengenlehre und insbesondere die Theorie der Natürlichen Zahlen widerspruchslos begründet werden konnten.

Formalismus, Deduktivismus
Der Formalismus versteht die Mathematik ähnlich einem Spiel, das auf einem gewissen Regelwerk beruht, mit dem Zeichenfolgen (strings) manipuliert werden. Zum Beispiel wird in dem Spiel „Euklidische Geometrie“ der Satz des Pythagoras gewonnen, indem gewisse Zeichenfolgen (die Axiome) mit gewissen Regeln (denen des logischen Schlussfolgerns) wie Bausteine zusammengefügt werden. Mathematische Aussagen verlieren damit den Charakter von Wahrheiten (etwa über geometrische Figuren oder Zahlen), sie sind letztlich gar keine Aussagen mehr „über irgendetwas“.

Als Deduktivismus wird oft eine Variante des Formalismus bezeichnet, in der z. B. der Satz des Pythagoras keine absolute Wahrheit mehr darstellt, sondern nur eine relative: wenn man den Zeichenfolgen in einer Weise Bedeutungen zuweist, so dass die Axiome und die Schlussregeln wahr sind, dann muss man die Folgerungen, z. B. den Satz des Pythagoras, als wahr ansehen. So gesehen muss der Formalismus kein bedeutungsloses symbolisches Spiel bleiben. Der Mathematiker darf vielmehr hoffen, dass es eine Interpretation der Zeichenfolgen gibt, die ihm z. B. die Physik oder andere Naturwissenschaften vorgeben, so dass die Regeln zu wahren Aussagen führen. Ein deduktivistischer Mathematiker kann sich also sowohl von der Verantwortung für die Interpretationen als auch von den ontologischen Schwierigkeiten der Philosophen freihalten.

David Hilbert gilt als bedeutender früher Vertreter des Formalismus. Er strebt einen konsistenten axiomatischen Aufbau der gesamten Mathematik an, wobei er wiederum die natürlichen Zahlen als Ausgangspunkt wählt, in der Annahme, damit ein vollständiges und widerspruchsloses System zu besitzen. Dieser Auffassung hat kurze Zeit später Kurt Gödel mit seinem Unvollständigkeitssatz den Boden entzogen. Damit war für jedes Axiomensystem, das die natürlichen Zahlen umfasst, bewiesen, dass es entweder unvollständig oder in sich widersprüchlich ist.
Gruß
Tom

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Re: Was ist Mathematik

Beitrag von Skeltek » 17. Jan 2011, 13:29

Okay, meine Definition ist etwas arg komplex, allerdings würde ich hier mal die Kurzform beitragen:

Mathematik zu betreiben ist der Versuch, durch sequentielles Aneinanderreihen absolut sicherer Rückschlüsse Zusammenhänge zu erkennen, die nicht auf niederster Logik erster Ordnung ersichtlich sind. Die gegebenen Informationen werden per Zufallsprinzip oder systematisch paarweise kombiniert und dann geprüft, ob diese Kombination sinnig ist und eine neue absolut gesicherte Information aus ihr gefolgert werden kann. Sind zwei Linien z.B. windschief, lässt sich aus diesen zunächstmal (nicht direkt) keine Information ableiten.

Mathematik ist also mehr oder weniger die Kunst, aus Zusammenhängen von drei oder mehr absolut gesicherten Sachverhalten, weitere Informationen oder Zusammenhänge zu ermitteln.
Mathematik ist daher für mich nicht nur auf Zahlen und geometrische Anordnungen beschränkt.

Man kann mithilfe von Mathematik Zusammenhänge und Gesetzmäßigkeiten folgern(Formeln, Relationen), ohne die exakten Werte in der Natur zu kennen(man kann das Wechselwirken von Operatoren und Formeln ermitteln). Physik ist hingegen das einsetzen gemutmaßter oder gemessener Operanden in die Operatoren/Funktionen.

Mathematik:
Aussage A: Wenn x, dann folgt y

Physik:
Wir nehmen an Aussage A und x sind wahr, also...


Mir fällt es schwer Realität und Mathematik zu trennen.
Mathematik ermittelt Relationen über eine Schar von Operatoren & Operanden; um welchen Operator es sich in der Physik nun tatsächlich handelt ist doch egal; die Physik setzt Meßwerte(Operanden) in gemutmaßte Operatoren ein. Welche Formeln/Operatoren mit welchen Operanden die Physik nun tatsächlich benutzt ist ja lediglich ein Spezialfall der durch Mathematik ermittelten Schar an Relationen.

Im Groben stimme ich in vielen Punkten mit dem von PeterM gesagten überein.

Schönen Gruß, Skel
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  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

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Re: Was ist Mathematik

Beitrag von tomS » 17. Jan 2011, 14:00

Ich kürze deine Definition mal etwas und passe einige Formulierungen an, in der Hoffnung, dass du immer noch zustimmst und dass die Beschreibung etwas weniger speziell ist:

Mathematik zu betreiben bedeutet, durch Aneinanderreihen logischer Rückschlüsse Zusammenhänge zu erkennen, die nicht sofort auf auf niederster Stufe gegeben sind. Die Informationen werden systematisch (allerdings intuitiv!) kombiniert und dann geprüft, ob darsu neue gesicherte Informationen gefolgert werden können. Mathematik ist also mehr oder weniger die Kunst, aus Zusammenhängen gesicherter Sachverhalte, weitere Informationen oder Zusammenhänge zu ermitteln. Mathematik ist daher nicht auf Zahlen und Geometrie beschränkt.
Gruß
Tom

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Re: Was ist Mathematik

Beitrag von seeker » 17. Jan 2011, 19:28

tomS hat geschrieben:Die Informationen werden systematisch (allerdings intuitiv!) kombiniert und dann geprüft, ob daraus neue gesicherte Informationen gefolgert werden können.
Wie meinst du das mit dem Intiutiv genau? Kannst du ein Beispiel geben?

Noch was:
Wie ist das eigentlich wenn man in die Informatik schaut?
Dort gibt es doch wohl deutliche Überschneidungen mit der Mathematik?

Wenn man ein Computerprogramm laufen lässt, z.B. "Conways Spiel des Lebens" und dieses System beobachtet und so erforscht, dann ist das doch auch noch Mathematik - oder?

Kann man also sagen: Die Mathematik erstreckt sich von den ganz einfachen, trivialen Dingen bis zu den ganz komplexen und undurchschaubaren Dingen?

Grüße
seeker
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Re: Was ist Mathematik

Beitrag von tomS » 17. Jan 2011, 21:27

Zwischen Informatik und Mathematik existieren Überschneidungen, z.B. im Bereich Logik, Berechenbarkeit / Algorithmen. Man kann sagen, dass die Informatik teilweise konkrete Modelle für abstrakte mathematische Strukturen bereitstellt.

Zur Intuition: es gibt innerhalb der Mathematik Verbindungen zwischen verschiedenen Gebieten, die man nicht ohne weiteres "sieht", sondern "intuitiv erahnt". Je besser diese Intuition, desto besser der Mathematiker :-) Am besten nenne ich einige Beispiele.
  • Zusammenhang zwischen der (komplexen) e-Funktion und der Geometrie, z.B. der Satz des Pythagoras am Einheitskreis: sin²x + cos²x = 1²
  • die Lösbarkeit algebraischer Gleichungen (mittels Wurzelausdrücken) und die Konstruierbarkeit von (regelmäßigen) n-Ecken mit Zirkel und Lineal
  • die Riemannsche Zeta-Funktion und der Zusammenhang zwischen ihren Nullstellen und der Primzahlverteilung
  • der Fermatsche Satz / die Taniyama-Shimura-Vermutung und die Verbindung zwischen elliptischen Kurven, Modulformen sowie der Zahlentheorie
  • das Atiyah-Singer-Indextheorem mit dem Zusammenhang zwischen Lösungen einer Differentialgleichungen und topologischen Eigenschaften der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit
Gruß
Tom

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Re: Was ist Mathematik

Beitrag von seeker » 18. Jan 2011, 01:21

Ah ja, OK.
Das ist doch schon interessant. Neue mathematische Erkenntnisse werden demnach oft nicht in einer zwanghaften und unausweichlichen Fortentwicklung logischer Schlüsse gewonnen, sondern eher aus Intuition, Phantasie und Spekulation heraus... Vielleicht ist dabei "Intuition" ein für uns undurchschaubarer Prozess einer unbewussten und äußerst komplexen Wahrscheinlichkeitsabschätzung, deren Ergebnis nachher ins Bewusstsein quillt.
Die notwendige Überprüfung der Idee auf deren Wahrheitsgehalt nach strengen, mechanischen und rein logischen Kriterien folgt erst danach.

Es ist auch überraschend, dass der Mensch, als Nachfahre von Baumbewohnern, von der Natur mit der Fähigkeit zu höherer Mathematik ausgestattet wurde.
Evolutionär ist das wohl nicht leicht zu erklären. Diese Fähigkeit mag wohl ein Nebenprodukt anderer, für das Überleben des Menschen in freier Natur vorteilhafter Fähigkeiten sein...

Ich glaube der Ursprung des mathematischen Denkens ist die ausgeprägte Fähigkeit des Menschen zu abstrahieren und Muster zu erkennen - wir sind bei weitem die besten Mustererkenner auf diesem Planeten. Mit der Fähigkeit zum Zählen sind wir übrigens nicht allein. Meines Wissens nach können z.B. Krähen bis auf sieben zählen.
Aus den genannten Fähigkeiten und der Fähigkeit zum logischen Denken hat sich wohl die Mathematik entwickelt.

Mathematik ist deshalb für mich zunächst die extremste Form der Abstraktion, derer der Mensch fähig ist.
Das hat viel mit der Welt des Menschen zu tun und auch mit der Art der Denkprozesse im Kopf des Menschen, denn es muss zunächst etwas gegeben sein, das abstrahiert werden kann.
Aus diesen Abstrakten wird dann anschließend nach eindeutigen und strengen logischen Formalismen und in einer minimalistischen Sprache und Schreibweise und aufbauend auf nicht beweisbaren, aber einleuchtenden Grundannahmen (Axiomen) eine neue Welt gebaut oder erkannt: die Welt der Mathematik.
Ob unsere Abstraktionsfähigkeit und damit unsere Abstrakte bereits das maximal Mögliche erreichen weiß ich nicht; ob unsere Axiome die bestmöglichen sind weiß ich nicht.

Zu den Zitaten von Tom:
Jede der genannten Positionen hat ihren Charme... es fällt mir da sehr schwer mich auf eine Seite zu schlagen.
Im Moment gefällt mir der Formalismus, Deduktivismus recht gut.

Fragen, wie die Frage, ob die Sieben auch ohne uns Menschen eine Primzahl ist, gehört wohl (nach Kant) in den Bereich der Fragen, die zwar gestellt werden können, wo man aber schon beim Fragen weiß, dass man darauf keine endgültige Antwort erhalten wird - das klassische Dilemma des Menschen.

Wer dennoch darüber nachdenken will, möge mal genau in sich hineinhorchen und sich folgende Frage stellen:
Wie kommt man eigentlich zu der Idee, dass z.B. Primzahlen unabhängig von uns und zeitlos existieren? Was steht hinter dieser Idee? Warum erscheint sie logisch?
Ich hab's versucht. Ich kann dazu nur sagen: Weil es evident ist! Ich komme aber einfach nicht wirklich genau darauf, warum mir dies evident erscheint. Ich müsste mich dazu wegdenken, womit jedoch auch die Frage verschwindet. Das aber nur nebenbei...

Grüße
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Re: Was ist Mathematik

Beitrag von tomS » 18. Jan 2011, 01:49

seeker hat geschrieben:Neue mathematische Erkenntnisse werden demnach oft nicht in einer zwanghaften und unausweichlichen Fortentwicklung logischer Schlüsse gewonnen, sondern eher aus Intuition, Phantasie und Spekulation heraus... Die notwendige Überprüfung der Idee auf deren Wahrheitsgehalt nach strengen, mechanischen und rein logischen Kriterien folgt erst danach.
Es is eher ein iterativer Prozess, bei dem Intuition und Handwerk ineinandergreifen. So wie der Großmeister beim Schach eine Strategie "sieht", aber dennoch jeden einzelnen Zug bzw. seine kurzfristige Taktik sorgfältig prüfen muss.
Gruß
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Re: Was ist Mathematik

Beitrag von seeker » 18. Jan 2011, 09:36

Man muss kein Großmeister sein... Ich habe sehr lange im Verein Schach gespielt -und deshalb verstehe ich diesen Vergleich nun recht gut, denke ich... :wink:

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Re: Was ist Mathematik

Beitrag von Timm » 18. Jan 2011, 10:45

seeker hat geschrieben:Wie kommt man eigentlich zu der Idee, dass z.B. Primzahlen unabhängig von uns und zeitlos existieren? Was steht hinter dieser Idee? Warum erscheint sie logisch?
Ich hab's versucht. Ich kann dazu nur sagen: Weil es evident ist! Ich komme aber einfach nicht wirklich genau darauf, warum mir dies evident erscheint. Ich müsste mich dazu wegdenken, womit jedoch auch die Frage verschwindet. Das aber nur nebenbei...
Diese Fragen haben mich auch beschäftigt. Wenn Zahlen und damit eingeschlossen auch solche mit besonderen Eigenschaften wie etwa Primzahlen "zeitlos" oder "außerzeitlich" (um auf Tom's Vorschlag zurückzukommen) oder "außerphysikalisch" existieren, dann soll das wohl ausdrücken, daß ein beliebiger zählender Verstand zum selben Ergebnis kommt. Es ist, als wäre das Ergebnis schon bevor es verstanden wurde omnipräsent. Vielleicht sprichst Du in diesem Sinne von evident. - Entgegenhalten könnte man, daß Zahlen und damit Primzahlen erst dann existieren, wenn man sich ihrer bewußt wird. Ist diese Version evident? Die Gefahr besteht, sich in Geschschmacksfragen zu verirren.

Gruß, Timm

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Re: Was ist Mathematik

Beitrag von PeterM » 18. Jan 2011, 11:48

Wenn ich verstehen will, was Mathematik ist, muss ich doch erst mal fragen, wann fängt Mathematik an?

Die Frage sollte doch einfach zu beantworten sein. Ich weiß es aber nicht, wann Mathematik anfängt. Um diese Frage beantworten zu können, muss ich doch wieder über meine Außenbetrachtung etwas ableiten. Ich enge meine Außenbetrachtung mal ein und erkenne nur EIN Teil, welches ich 1 nenne. Jetzt ist die Frage, was kann ich aus dieser 1 ableiten. Die 1 isoliert betrachtet ohne einen Nachfolger zeigt ja nur ein einfaches Ergebnis. So etwas wie ein Standbild. Die eins scheint also etwas stehendes unveränderliches zu sein. Da ich aber mit der eins keine Bewegung oder besser Veränderung produzieren kann, muss doch etwas folgen, was diese Veränderung auch als Standbild dokumentieren kann. Ich nenne das jetzt mal 2.
Jetzt muss man berücksichtigen, dass die 3 in den Anfängen dessen, was wir Mathematik nennen noch nicht bekannt war. Wenn ich aber den Anfang verstanden habe, dass der 1 die 2 folgt, kann ich doch schon daraus ableiten, dass die zwei auch einen Nachfolger hat, den ich irgendwie benennen muss. Dann folgt die 3,4,5…………..

Wenn ich so weiter nachdenke, komme ich zu dem Ergebnis, dass ich die 1 u. a. auch als Ort betrachten kann. Damit habe ich eine allgemeine Beschreibung, ohne einen direkten Bezug zur Natur.

Ich habe jetzt das versucht, was Tom gesagt hat. Die Mathematiker können mit den Zahlen umgehen ohne auf die Natur zurückzugreifen.

Meine Schilderungen sind mal wieder banal, ich weiß, es geht mir aber auch nicht darum die Mathematik zu beherrschen, sondern zu verstehen, was Mathematik ist.

Bitte berücksichtigt auch, dass ich als Kaufmann einen ganz anderen Bezug zu Zahlen und zur Mathematik habe. Ein Unternehmen lässt sich auch in Zahlen über eine Bilanz beschreiben. Hier sind allerdings die Möglichkeiten zur Manipulation so immens, dass mein Vertrauen zur Mathematik begrenzt ist. Möglicherweise legen die Probleme aber auch darin, dass die Mathematik missbraucht wird, um eine gewünschte Darstellung zu erhalten.

So, ich kanns jetzt aber doch nicht lassen, ich muss noch mal zum Universum zurück.

Theoretisch müsste doch das Universum nur über Zahlen beschreibbar sein. Ich kann ja die 1 durch die Stellen die nach dem Komma da sind, so verändern, dass sie zwar noch die eins bleibt, aber eben einer Veränderung unterliegt. Ich brauche doch dann keine Gleichungen mehr. Theoretisch müsste ich doch jeden Übergang beziffern können.

Allerdings wäre dann das Chaos Programm. :)


Ich glaube so lansgsam zu verstehen, warum die Mathematik überall anwendbar ist. Sie scheint für mich ein neutraler Bestandteil unserer Außenansicht zu sein.
Sie scheint sich auf alles beziehen zu können, was anfänglich in irgendeiner Form darstellbar ist.

Wird die Außenasicht eigentlich als Axiom betrachtet? Sie ist ja scheinbar eine Art Realität die man nicht beweisen muss.

Oder beziehen sich Axiome nur auf die Zusammenhänge, die sich aus der Betrachtung offensichtlich als wahr ergeben.



Gruß

Peter

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Re: Was ist Mathematik

Beitrag von tomS » 18. Jan 2011, 13:37

Mathematische Wahrheiten werden als "zeitlos" wahrgenommen, sobald man einmal durch den harten Prozess des Erarbeitens in kleinen Schritten durch ist. Es ist, wie wenn man nach langem Suchen in einem dunklen Raum eine Tür ins Freie aufstößt und ein weites, unentdecktes Land vor sich sieht. Man muss das erfahren haben, um es verstehen zu können.
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Re: Was ist Mathematik

Beitrag von seeker » 18. Jan 2011, 15:57

Hmmm...
Beim Schach habe tatsächlich schon etwas ähnliches erlebt:

Du kämpfst mit deinem Gegner, Pläne und Gegenpläne, und wurstelst dich so durch und irgendwann obsiegt einer irgendwie - das ist der Normalfall.

Aber manchmal, in besonders schönen Spielen, macht es in diesem Gewurstel der Figuren und Pläne plötzlich KLICK und plötzlich harmoniert alles, alles passt plötzlich zusammen und ergibt Sinn, alle Figuren stehen plötzlich genau richtig und bilden eine schöne, höhere Einheit, die unüberwindlich ist. Egal, was der Gegner jetzt noch tut, er wird in den nächsten zehn bis fünfzehn Zügen untergehen... ich muss (und kann) das dann gar nicht mehr bis zum Ende durchrechnen (3, 4 Züge genügen), ich "sehe" es einfach...

Grüße
seeker
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