Wahrscheinlichkeitsrechnung

[Maclane]

Ja, den Spiegel-Artikel kannte ich auch. Da kommt man ganz schön ins Grübeln. Offensichtlich sind Logik und "gesunder Menschenverstand" nicht das Gleiche!

Besonders die Sache mit den drei Toren fand ich schon unglaublich. Ich fürchte sogar, ich würde solange skeptisch bleiben, bis wirklich mal einer in einem Versuch 1 Million mal den Fall durchspielt und man dann "reelle" (also experimentelle) Zahlen zur Verfügung hat.
Hieß es nicht mal in einem Buch: "An Gespenster glaube ich erst, wenn ich eins mit meinen eigenen Zähnen gefangen habe."

Nun will natürlich keiner solange "würfeln". Aber ich bin grad am Überlegen, ob ich die Situationen nicht mal mit nem Computerprogramm durchspiele.


Gruß
Mac

[gradient]

Einer der Mathematik-Grundkurse (meines damaligen Kollegstufenjahrgangs) hatte experimentell bestätigt, dass es sinnvoller wäre, beim Ziegenproblem das Tor zu wechseln. M.W. hatten die das eine Unterrichtsstunde lang in Zweiergruppen mit Karten ausprobiert und damit entsprechend viele Ergebnisse für eine aussagekräftige Statistik.
Ein Mathematiklehrer wollte übrigens in seinem Mathe-LK (ich war in dem anderen Mathe-LK) den Schülern einbläuen, dass die 2/3-Lösung Unsinn und das Bayes-Theorem, das ja auf das Ergebnis führt, nicht anwendbar wäre. (Ich habe einen Mitschüler damals nach der Begründung des Lehrers gefragt, hatte sie aber nicht verstanden.)

Stochastik ist schon was Lustiges.

MfG
Patrick

[seeker]

@Pippen:
Empirie ist immer gut.
Mach doch das Experiment mit den zwei Münzen und den Würfelbechern, so wie von mir beschrieben.
Dann wirst du ja feststellen, was herauskommt. Ca. 100 Versuche sollten reichen.
Du könntest uns ja dann von dem Ergebnis berichten...

Grüße
seeker

[Skeltek]

Das mit dem Wochentag ist relativ plausibel, wenn man einfach bedenkt, dass die Chance unter einem der mm Würfelbecher eine 7 zu würfeln fast doppelt so hoch ist, wie bei einem mw oder wm Becherpaar.

Die Chance, dass sich ein beliebiger Wochentag bei einem der m Becher befindet ist so oder so 100%.
Die Chance, dass man beim Becherpaar mit mm den richtigen Wochentag für egal welches m errät ist doppelt so hoch wie beim mw Becherpaar.
Meiner Meinung nach ist die Information aber nur dann aussagekräftig, wenn man den Dienstag bestätigt bekommt nachdem man geraten hat.

Der Kandidat der raten soll, muss einen Wochentag nennen, der ihm dann bestätigt wird. Wenn er den Wochentag Dienstag richtig erraten hat, ändert sich erst die Wahrscheinlichkeit nach der vorgegebenen Rechnung?

[Skeltek]

Habe eben eine neue Quelle zu dem Thema entdeckt, und zwar ist folgender Ausspruch von Bedeutung:
"Gardner initially gave the answers 1/2 and 1/3, respectively; but later acknowledged that the second question was ambiguous.[1] Its answer could be 1/2, depending on how you found out that one child was a boy. The ambiguity, depending on the exact wording and possible assumptions, was confirmed by Bar-Hillel and Falk,[3] and Nickerson.[4]"

http://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox

Martin Gardner, der die ursprüngliche Formulierung und das Rätsel das erste mal stellte, musste später selbst eingestehen, daß aus der Aussage ,daß mindestens eines der Kinder männlich sei, nicht auf die Wahrscheinlichkeit von 1/2 oder 1/3 geschlossen werden kann. Je nachdem, wie festgestellt/festgelegt wurde, daß eines der Kinder männlich sei, ist 1/2 oder 1/3 richtig. Hier wird dem Gehirn eine Information vorgekaukelt, die ohne Kontext keinerlei Aussagekraft hat.


Hier nochmal die ursprüngliche Formulierung des Rätsels:
Ein Vater hat zwei Kinder. (Mindestens eines davon ist männlich. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, daß beide Kinder männlich sind?)

Der Inhalt in der Klammer ist konditional. Man kann theoretisch davon ausgehen, daß im Fall von "1 männlich + 1 weiblich" genausogut hätte gefragt werden können:
(Mindestens eines davon ist weiblich. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, daß beide Kinder weiblich sind).

Streitpunkt ist, ob erst nach Wahl eines Familienvaters mit zwei Kindern über die Art der Frage entschieden wurde.

[seeker]

Die für mich interessante Erkenntnis bei der ganzen Geschichte ist, dass eine Wahrscheinlichkeitsangabe keine Aussage über ein System selbst macht, sondern nur eine quantitative Aussage über den Grad unseres Unwissens von dem System.

Beispiel:

Wir spielen ein Spiel, wo es darum geht mit einem einzigen Würfel (im Würfelbecher) 6en zu würfeln. Wir würfeln abwechselnd.

1. Du würfelst. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach deinem Wurf eine 6 unter deinem Würfelbecher liegt?
Sie beträgt 1/6.

2. Du würfelst und ich schaue nach deinem Wurf unter den Würfelbecher, verrate dir aber nichts. Wie hoch ist jetzt deine Wahrscheinlichkeit für eine 6?
Immer noch 1/6!

3. Du würfelst, ich schaue nach deinem Wurf unter den Würfelbecher und ziehe kurz meine Augenbrauen hoch. Wie hoch ist jetzt deine Wahrscheinlichkeit für eine 6?
Schwierig... Kommt darauf an, wie gut du mich kennst bzw. einschätzen kannst. Jedenfalls ist deine Wahrscheinlichkeit jetzt NICHT mehr 1/6.

4. Du würfelst, ich schaue nach deinem Wurf unter den Würfelbecher und sage dir, dass du eine 6 gewürfelt hast. Was jetzt?
Siehe 3.! Wie gut kannst du mir trauen? Wenn du sicher weißt, dass ich auch in dieser Situation ein ehrlicher Mensch bin, dann steigt deine Wahrscheinlichkeit für eine 6 auf nahezu 100% - nur dann!

5. Du würfelst, schaust selbst nach und siehst eine 6. Wahrscheinlichkeit für eine 6?
100% (wenn man optische Täuschungen, etc. vernachlässigt).

Das paradox Erscheinende ist nun, dass am Würfelergebnis ja nie etwas geändert wurde. Trotzdem erhält man unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten.

Ergo:
Die Wahrscheinlichkeitsangabe macht hier keinerlei Aussage darüber, was WIRKLICH gewürfelt wurde, sondern nur eine Aussage darüber, was DU über das Würfelergebnis weißt bzw. nicht weißt.

Weiter gedacht:
Wie sieht es aus, wenn du noch nicht gewürfelt hast, vor deinem Wurf?
Das macht keinen Unterschied! Auch hier macht die W-Angabe keine Aussage darüber, was WIRKLICH geschehen wird, sondern nur eine Aussage darüber, wie viel DU über die Zukunft schon jetzt weißt - schließlich besteht ja kein kausaler Zusammenhang der der W-Angabe erlauben würde das kommende Würfelergebnis zu beeinflussen.
Wenn du nichts über die Zukunft weißt, außer dass gewürfelt werden wird und dass das Würfelergebnis daher (AUS DEINER SICHT!) zufällig sein wird, dann erhälst du eine W-Angabe die exakt den W-Gesetzen folgt.

Noch weiter gedacht:
1. Was sagen dann eigentlich (z.B.) demographisch erhobene Statistiken über meine spezielle Person aus, z.B. wenn ich wissen will, wie lange ich noch zu leben habe?
Ich meine nur rein die Statistiken, ohne (z.B. medizinische) Zusatzuntersuchungen meiner Preson, etc.

2. Was sagen dann eigentlich die Wahrscheinlichkeitsberechnungen der QM aus? Machen sie eine Aussage über die Natur oder nur über unser Wissen/Unwissen von der Natur (incl. natürlich wie viel man überhaupt von der Natur wissen KANN)? Sind die aus der QM gewonnenen Einsichten dann Eigenschaften der Natur selbst oder nur Eigenschaften der Theorie, also eines Konzeptes?

Meine Antwort:
Sicherlich sind es Eigenschaften der Theorie; ob es auch Eigenschaften der Natur selbst sind wissen wir nicht und können wir prinzipiell (also in einem endgültigen, absoluten Sinn) nicht wissen.

Grüße
seeker

[tomS]

Stichwort: "bedingte Wahrscheinlichkeiten"

[Skeltek]

Andere Phylosophie:

Wenn man aus mehreren möglichen Ereignissen, die Wahrscheinlichkeit für ein ganz bestimmtes angeben soll, so ist es für jeden Menschen unterschiedlich wahrscheinlich.
Ist jemand nicht in der Lage, einen komplexen Zusammenhang zu verstehen, kann es die Wahrscheinlichkeitsverteilung für ein Ereigniss nicht festlegen. Für ihn sind alle möglichen Ereignisse gleich wahrscheinlich.

Das heißt:
Eine gewölbte Münze(vorher verbogen) Lande zu 2/3 aller Fälle auf "Zahl".
Ist jemand nicht in der Lage, die Wahrscheinlichkeitsverteilung zu erkennen, so ist die Chance, wenn er sich für Zahl oder Kopf entscheidet durch sein Unwissen für ihn völlig irrelevant wofür er sich entscheidet. Es ist 50% Chance, daß er mit seinem Raten richtig liegt. Für ihn erscheinen beide Optionen gleich wahrscheinlich. Durch seine Unwissenheit, wird er sich zu 50% für die Seite entscheiden die später fallen wird.

Ist jemand jedoch in der Lage, aus der Krümmung der Münze die 2/3 Chance zu erkennen, so wird er zu 2/3 Chance mit seinem vorher geratenen Seite richtig liegen.

[seeker]

Prima Beispiel!
Das zeigt uns doch nur wieder allzu deulich, dass eine Wahrscheinlichkeitsberechnung nicht "wahr" sein kann, sondern nur "nach bestem Wissen und Gewissen sinnvoll" sein kann.

Zum Weiterdenken:

Was passiert eigentlich, wenn wir eine bedingte Wahrscheinlichkeit finden (also etwas ohne kausalen Zusammenhang), wo ein Ereignis A zu 99,9999% zu einem Ereignis B führt?
Ja, genau! Wir würden die 0,0001% höchstwahrscheinlich als Messfehler bzw. Rauschen abtun und den Rest "Naturgesetz" nennen: A -> B!
Wir würden einen kausalen Zusammenhang sehen, wo wir niemals sicher sein können, ob auch einer besteht , insbesondere ob er auch so besteht, wie wir das vermuten (siehe auch/Stichworte: Karl Popper, William Warren Bartley, Erkenntnistheorie, Pankritischer Rationalismus, ...).

Gedanken-Beispiel:

Nehmen wir einen leeren Raum. Im Raum sind ein Knopf am Anfang und zehn nachfolgende Leuchten zu einer Linie angeordnet.
Außerhalb des Raums ist ein Computer, der das ganze so steuert:
Wenn man auf den Knopf drückt leuchten die Leuchten nacheinander kurz auf - und zwar nacheinander in einer Geschwindigkeit, die proportional dazu ist, wie stark der Knopf gedrückt wurde.
So! Nun setzten wir einen Physiker in diesen Raum. Der Physiker drückt den Knopf auf unterschiedliche Weise und beobachtet, was passiert. Was würde er wohl feststellen?
Er würde einen kausalen Zusammenhang zwischen Knopfdruck und Lampenleuchten feststellen, er würde eine wellenförmige Ausbreitung des Aufleuchtens erkennen und er würde davon eine mathematische Beschreibung machen und in einer Gleichung festhalten, wie die Anpresskraft mit dem Lampenaufleuchten korreliert. Wenn er philosophisch unvorsichtig ist, würde er den gefundenen Zusammenhang sogar Naturgesetz nennen. Insbesondere würde er wegen Ockhams Rasiermesser annehmen, dass der Knopf in einem direkten kausalen Zusammenhang mit dem Aufleuchten der Lampen steht.
Die Annahme eines Steuercomputers würde er als unnötige Verkomplizierung verwerfen.

Was lernen wir daraus?
Man kann sich NIE sicher sein! Verifizierung ist kein Instrument um irgend etwas zu beweisen. Wirklich nicht! Wir vergessen das gerne immer wieder.

Unsere Naturwissenschaft hat noch nie bewiesen, dass es irgendwelche Naturgesetze oder Kausalität gibt. Alles, was wir wissen ist, dass gewisse Ereignisse "A" MEISTENS und wenn, dann UNGEFÄHR andere Ereignisse "B" auslösen - mehr nicht.
Von daher: Bescheidenheit und Enthaltsamkeit in den Aussagen tut Not!

Grüße
seeker

[tomS]

Wenn du das zu Ende denkst, landest du bei Berkeley, Hume und natürlich bei Popper.

Einstein: "Der Herrgott ist raffiniert, aber nicht bösartig".

[seeker]

Wenn du das zu Ende denkst, landest du bei Berkeley, Hume und natürlich bei Popper.

Und das ist gut so. Ich versuche einfach ein paar Dinge selbst durchzudenken und in klare Worte zu fassen.

Noch einmal zu der o.g. Sache:

Unsere Empirie liefert uns immer nur Zusammenhänge in der Art

"A" -> meistens, und wenn, dann ungefähr "B"

Unsere mathematische Beschreibung liefert jedoch

"A" -> immer, exakt "B"

Das ist eine Diskrepanz, die wir wohl niemals ganz loswerden können.

Und wenn man sich das so anschaut, dann wird hier völlig klar, WARUM wir unsere Messmethoden stetig erweitern und verfeinern müssen und warum wir immer weiter und weiter messen müssen: Wir tun dabei nichts anderes als "meistens" und "ungefähr" möglichst klein zu machen; und haben dabei schon des Öfteren neue Zusammenhänge gefunden, die die ursprüngliche math. Beschreibung dann ersetzten oder erweiterten. Das ist für mich ein wichtiger Punkt.

Bei einfachen Systemen kann man so dem, was die Natur tut, praktisch beliebig nahe kommen, denn man darf dort annehmen, dass "meistens" und "ungefähr" keine echten Eigenschaften der Natur zu sein scheinen, sondern nur unseren unvollkommenen Messmethoden geschuldet sind.

Ausnahme: QM
Aber auch dort hat sich bisher gezeigt, dass immerhin die math. Beschreibung der Wahrscheinlichkeiten/Wellenfunktionen im Prinzip der Natur beliebig nahe kommen können.
Die Natur scheint sich auch dort exakt zu verhalten. Man darf vorläufig glauben, dass immerhin die Wahrscheinlichkeiten der Natur dort WIRKLICH exakt sind.

Bei komplexen Systemen ist das aber leider anders:
Es erscheint offensichtlich, dass das Verhalten von komplexen Systemen WIRKLICH nicht exakt ist - insofern es die musterhafte Wiederholung von Verhalten betrifft.
Bestes Beispiel: menschliche Verhaltensmuster. Man kann sehr wohl Muster im Verhalten der Menschen feststellen und diese auch mathematisch beschreiben - man kann dabei aber trotzdem ganz schön auf die Nase fallen, weil hier definitiv gilt:

"A" -> oft und ungefähr, wenn überhaupt "B" ...und wenn du Pech hast "C" oder sogar "Anti-B"
(Ihr wisst, woran ich denke!? )

...dennoch liegen auch hier eindeutig Muster vor.
Der "Alte" mag nicht bösartig sein - Menschen sind es aber zuweilen.

Gibt es dafür eine Erklärung?
Andere Meinungen?

Grüße
seeker