Relativistische Beschleunigung

[gravi]

Hallo,

da sucht jemand die relativistische Erweiterung der Beschleunigungsformel, wenns geht, mit PC o. Taschenrechner-Anleitung.
Kann da wer helfen?

Gruß und Danke,
gravi

[AlTheKingBundy]

Meinst Du das?

http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/gk ... 0000000000

Gruß Al

[gravi]

Vielen Dank!
Das könnte schon helfen. Ich geb's mal weiter.

Gruß
gravi

[kostja]

In der ART wäre die Beschleunigung einer Kurve in jeder Karte gegeben durch


Allerdings kann man mit sowas nicht viel ausrechnen.

Schönes Wochenende!

[gravi]

Damit könnte ich selbst leider nichts anfangen
Dennoch Danke für den Hinweis.

Ich schätze was der Kollege sucht ist so eine Art Anleitung oder ein kleines Programm, dass er im Rechner speichern kann, um dann damit zu arbeiten. Ich wüsste jedoch nicht, wo so etwas zu finden ist.

Schönen Gruß
gravi

[Hawkwind]

Verstehe ich nicht: das muss doch ein Integral über v(t) sein - das sog. Eigenzeitintegral! Wie kannst du für beliebige v(t) eine geschlossene Lösung angeben?
Du kannst nur in besonders einfachen Fällen das Eigenzeitintegral analytisch lösen, siehe z.B.
http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ ... egral.html

[tomS]

Die Funktion v(t) ist die Geschwindigkeit als Funktion der Koordinatenzeit t in einem Inertialsystem; es gilt v(t) < c; wie du nun a(t) definierst ist zweitrangig, aber a(t) ist sicher aus v(t) ableitbar, entweder ebenfalls als a(t) im Inertialsystem oder A(T) im Nicht-Inertialsystem des bewegten Beobachters; für letzteres wäre a(T) kinematisch gleich Null; hier steht A(T) für die aus der Viererkraft ableitbare Beschleunigung.

T[v] ist die Eigenzeit; in sie geht offensichtlich nur v(t) ein, d.h. du musst a(t) gar nicht berechnen.

Du kannst das Integral nicht explizit lösen, wenn v(t) nicht explizit angegeben ist; T[v] ist eine allgemeine Darstellung für beliebge zulässige Funktionen v(t).

v(t) muss übrigens keine geradlinige Bewegung repräsentieren sondern darf einen Geschwindigkeitsvektor enthalten; beim Zwillingsparadoxon muss man insbs. eine geschlossene Kurve voraussetzen; ein Kreisbewegung mit konstantem Betrag |v| ist z.B. zulässig.

[Hawkwind]

Ok ich hab's jetzt, die Darstellung v[up]2[/up](t) hat mich verwirrt. Im Sinne von [v(t)][up]2[/up] funktioniert es:



oder in anderen Worten

Code: Alles auswählen

c := 299792458: v0 := 1000: a := 10000: t := 10^7:
g0 := 1/sqrt(1-v0^2/c^2):
vT := (a*T+v0*g0)/sqrt(1+(a*T+v0*g0)^2/c^2):
tau := float(int(sqrt(1-vT^2/c^2), T = 0..t))
=
194954.47 (sek)

Die Frage ist aber: ist diese Dilatation wegen der Beschleunigung absolut, oder immer noch relativ ?

Bin nicht ganz sicher, was deine Frage bedeuten soll.

Du kannst dir nun einen Verlauf v(t) vorstellen, derart dass der mit v(t) Reisende nach einer Zeit zurückkommt und seine mitgeführte Uhr mit einer im inertialen Startsystem verbliebenen vergleicht.
Beim Start seien beide Uhren auf Null gestellt worden.
Nach der Reise zeigt die Uhr des Reisenden dann die Lösung des Eigenzeitintegrals I(t) an (s.o.), die im Startsystem verbliebene Uhr zeigt einfach t an. Dabei ist immer
I(t) < t
denn bei einem Uhrenverglich zwischen der Uhr in einem Inertialsystem und einer nichtinertialen Uhr zeigt die inertiale Uhr in jedem Fall mehr an: inertiale Eigenzeit immer maximal.
Die konkrete quantitative Vorhersage der SRT liefert das Integral I(t).

Das sind nun Messgrößen, die man unmittelbar miteinander vergleichen kann. Die bis zum Uhrenvergleich auf den beiden Uhren verstrichenen Zeiten sind Eigenzeiten, d.h. unabhängig vom Beobachter.
I(t) < t
ist also ein realer, messbarer Effekt, falls das deine Frage war.

[Hawkwind]

Bin nicht ganz sicher, was deine Frage bedeuten soll.

In der SRT ist immer die andere Uhr die langsamere.

Nein, das ist so nicht ganz richtig: nach dem Relativitätsprinzip der SRT sind nur alle inertialen Bezugssysteme gleichberechtigt; die Lorentztransformation gilt ja auch nur zwischen inertialen Beobachtern.
Hat man in der SRT 2 Weltlinien mit 2 Schnittpunkten, so gibt es 2 Weltpunkte ("Ereignisse"), an denen Uhren synchronisiert bzw. verglichen werden können. 2 Weltlinien können sich natürlich nur dann schneiden, wenn mindestens eine davon nicht-inertial ist. In diesem Falle (eine inertiale und eine nicht-inertiale Weltlinie) gilt immer ganz "undemokratisch":

die Eigenzeit eines inertialen Beobachters ist zwischen 2 Weltpunkten größer als die aller anderen Weltlinien durch die 2 Punkte.

Die weiter oben zitierte Formel für das Eigenzeitintegral

T' = ∫0T sqrt[(1 − v²(t)/c²)] dt

gilt so wie sie da steht, auch nur für einen inertialen (unbeschleunigten) Beobachter, der die bei ihm verstrichene Zeit T gegen die auf einer nicht-intertialen Weltlinie verstrichene Eigenzeit T' vergleichen möchte.
Ein beschleunigter Beobachter darf diese Formel nicht verwenden.

Du willst anscheinend Aussagen über die Eigenzeiten von 2 Weltlinien machen, die sich nicht schneiden (da du Lichtlaufzeiten ins Spiel bringst) ?
In diesem Fall ist ein konkreter Uhrenvergleich unmöglich (oder mir zumindest unklar).

[Hawkwind]

Du verwirrst mich: ich sehe in deinem Beispiel gar keine beschleunigte Uhr.
Die Teilchen bewegen sich laut Vorgabe doch nmit konstanter Gechwindigkeit auf dich zu, eines 0.99c und das andere mit 0.2c.

Es reichen deshalb allein Lorentztransformation aus zur Beschreibung bzw. die aus der LT folgende relativistische Geschwndigkeitsaddition. Da brauchst du kein Eigenzeitintegral.

Oder habe ich die Aufgabenstellung nicht kapiert?

[Hawkwind]

Du verwirrst mich: ich sehe in deinem Beispiel gar keine beschleunigte Uhr.
Die Teilchen bewegen sich laut Vorgabe doch nmit konstanter Gechwindigkeit auf dich zu, eines 0.99c und das andere mit 0.2c.
Es reichen deshalb allein Lorentztransformation aus zur Beschreibung bzw. die aus der LT folgende relativistische Geschwndigkeitsaddition. Da brauchst du kein Eigenzeitintegral.
Oder habe ich die Aufgabenstellung nicht kapiert?

Das Problem ist: damit sich die Teilchen A und C zur Stunde 0 im Inertialsystem des Beobachters an der Messmarke befinden und die Uhren synchronisieren können, müssen sie bis zum Eintreffen des Signals ruhen. Dann müssen sie beschleunigen, um auf ihre Geschwindigkeit zu kommen, und instantane Beschleunigung ist ja wegen der unendlichen Kraft die dabei wirken würde nicht möglich. Mich interessiert dabei, zu welcher Zeit τ sich der andere Partikel an welchen Punkt der Strecke befindet, und mit welcher Geschwindigkeit. Da brauche ich natürlich auch die Zeit t(τ) während der Beschleunigung. Beim Abbremsen während dem Zusammenprall natürlich auch, damit ich hinterher die Uhren auch ablesen kann. Ich nehme an, für die Längenkontraktion und die Masse kann ich die gleiche Formel nehmen, zumindest wenn ich vom Inertial- auf das beschleunigte System schliessen will ?

Unterschätz das nicht: die Beschreibung von Bewegungen in nichtintertialen Bezugssystemen ist in der SRT nicht immer ganz ohne. Wenn immer es geht, wählt man aus gutem Grund inertiale Koordinatensysteme in der SRT, um Probleme zu formulieren und zu lösen.

Bei deinem Beispiel müsstest du vermutlich erst einmal "grübeln", wie die beschleunigte Bewegung von Teilchen A im nichtinertialen Ruhesystem von Teilchen B ausschaut. Nur als Warnung: die Geometrie beschleunigter Koordinatensysteme ist schon in der SRT nicht mehr "flach" (pseudo-euklidich); Beispiele sind das Ehrenfeld-Paradoxon bei Rotationen oder der Rindler-Horizont, der sich in der SRT hinter einem gleichförmig beschleunigten Objekt auftut.

Gruss,
Hawkwind

[tomS]

Die Berechnung von Eigenzeiten beliebiger (auch beschleunigter) Beobachter in der SRT ist nicht kompliziert.

t.png

tau bezeichnet die Eigenzeit entlang beliebiger zeitartiger Weltlinien C,C', ... von Beobachtern bzw. Systemen S, S', ...;
C ist eine zeitartige Kurve, d.h. als einzige Bedingung entlang C gilt |v| < c;
t bezeichnet die Koordinatenzeit in einem beliebigen Inertialsystem;

Eigenzeiten verschiedener Beobachter berechnet man für deren Weltlinien C, C', ...; ein Vergleich wird insbs. dann möglich, wenn alle Kurven C, C', ... einen gemeinsamen Start- und Endpunkt bei t1 bzw. t2 im gewählten Referenzbezugssystem haben. Ein Spezialfäll wäre, dass ein Beobachter selbst das Refernzsystem definiert; in diesem Fall wäre dann dessen Eigenzeit entlang seiner Weltlinie gleich t2-t1

[Hawkwind]

Die Berechnung von Eigenzeiten beliebiger (auch beschleunigter) Beobachter in der SRT ist nicht kompliziert.

t.png

tau bezeichnet die Eigenzeit entlang beliebiger zeitartiger Weltlinien C,C', ... von Beobachtern bzw. Systemen S, S', ...;
C ist eine zeitartige Kurve, d.h. als einzige Bedingung entlang C gilt |v| < c;
t bezeichnet die Koordinatenzeit in einem beliebigen Inertialsystem;

Eigenzeiten verschiedener Beobachter berechnet man für deren Weltlinien C, C', ...; ein Vergleich wird insbs. dann möglich, wenn alle Kurven C, C', ... einen gemeinsamen Start- und Endpunkt bei t1 bzw. t2 im gewählten Referenzbezugssystem haben. Ein Spezialfäll wäre, dass ein Beobachter selbst das Refernzsystem definiert; in diesem Fall wäre dann dessen Eigenzeit entlang seiner Weltlinie gleich t2-t1

Mhm, diese Formel hatten wir ja schon weiter oben (ausser, dass c nicht gleich 1 gesetzt war); bei ihrer Ableitung wird aber doch nun vorausgesetzt, dass die Koordinate t zu einem inertialen Koordinatensystem gehört.
Wenn ich Yukterez recht verstehe, möchte er die Situation aber aus der Sicht eines beschleunigten Beobachters beschreiben (d.h. in einem nichtinertialen Koordinatensystem); das verkompliziert die Sache m.E. schon deutlich.

[tomS]

Natürlich setzt man voraus, dass t zu einem Inertialsystem gehört.

Aber man kann das doch auch aus Sicht eines beschleunigten Beobachters beschreiben: man definiere einen beschleunigten Beobachter durch seine Weltlinie C und damit seine Eigenzeit τ[C]. Die Zeitdilatation eines anderen Eigenzeitintervalls τ[C'] bzgl. einer anderen Weltlinie C' ergibt sich dann aus dem Quotienten τ[C'] / τ[C] . Dazu muss man doch keine Koordinaten bzgl. des Beobachters C (oder C') einführen.

[tomS]

Hm, verstehe ich nicht; was genau sind die Zeiten t, und τ? und was ist n? Du gibst jede Menge Formeln an, aber wir rätseln alle herum, was sie nun genau bedeuten sollen.

Vorschlag: zeichne ein einfaches Minkowskidiagramm mit gegebenen Weltlinien C, C' sowie den relevanten Ereignissen, z.B. den für C und C' gemeinsamen (!) Start- und Endpunkt. Dann hast du zwei Beobachter definiert, und für diese kannst du die Eigenzeiten τ = τ[C] und τ' = τ'[C'] zwischen den Ereignissen berechnen. Die Koordinatenzeit t ist für die Zeichnung sowie die Interpretation zunächst mal irrelevant. Das hilft, weil wir uns zunächst auf die physikalische Fragestellung der gemessenen Eigenzeiten konzentrieren, und erst anschließend die Rechnung diskutieren (sonst zäumen wir das Pferd vom Schwanz auf)

[tomS]

Das passt noch nicht zusammen.

t = Eigenzeit ruhender Beobachter (in deiner Formel von t1 bis t2 gemessen) - OK, da stimmen wir überein
τ = t' = Eigenzeit beschleunigter Beobachter (innerhalb t1..t2) - t' ist verwirrend, denn dieses τ darf nicht als Zeitkoordinate verwendet werden, da kein Inertialsystem vorliegt
v = v0 = Initialgeschwindigkeit - OK
a = Beschleunigung = Force ÷ Ruhemasse - kommt bei mir zunächst nicht vor - (*)
n = der Faktor um den τ aus der Sicht von t langsamer vergeht als t selbst - das wäre das Ergebnis, aber soweit sind wir noch nicht

(*) was betrachtest du? eine konstante Beschleunigung d.h. eigtl. eine konstante Kraft gemessen aus Sicht des beschleunigten Beobachters? eine konstante Beschleunigung a mit v=v0+at gemessen in einem Inertialsystem wäre wg. v<c unzulässig.

Wenn es sich um eine konstante Kraft im beschleunigten Bezugssystem handelt, dann musst du prinzipiell zunächst mal x'(τ) sowie x(t) d.h. die Weltlinie C des beschleunigten Beobachters konstruieren. Daraus folgt dann auch v(t) was aus Sicht des Inertialsystems keine konstante Beschleunigung ergibt. Wenn du dieses v(t) hast - was auch direkt d.h. ohne Umweg über x(t) mittels rel. Geschwindigkeitsaddition berechenbar ist - dann kannst du wieder meine o.g. Formel anwenden. Das Ergebnis für v(t) kannst du googeln - oder ich stelle es morgen rein, jetzt mag ich nicht mehr ;-)

[tomS]

OK, also doch nochmal beide Formeln.

t.png

Wo genau ist dein Problem?

Das Integral führt auf einen arcsin(at); das hattest du aber auch schon mal in einem Beitrag stehen.

[tomS]

OK, so langsam komme ich dahinter, wo es hakt.

Also deine Formel für v(t) ist richtig und damit auch τ = c/a·arcsinh(a·t/c), das 'h' hatte ich verbummelt, sorry.

Das v(t) berechnet man mittels aufeinanderfolgenden, infinitesimalen relativistischen Geschwindigkeitsadditionen, d.h. man betrachtet ein mitbewegtes, beschleunigtes Bezugssystem mit v(t) und addiert dann (relativistsich!) die infinitesimale Geschwindigkeitsänderung dv = a*dt'. Die genaue Herleitung von v(t) findest in vielen Skripten.

Ich würde auf das v[down]0[/down] verzichten und statt dessen immer mit v[down]0[/down] = 0 rechnen. Wenn du das wirklich brauchen solltest, kannst du dir ganz zuletzt ein geeignetes t[down]1[/down] suchen, so dass v(t[down]1[/down]) = v[down]0[/down] ist. Damit sind alle Formeln wesentlich einfacher.

Jetzt zu einem ganz wichtigen Punkt: du darfst weder τ als Zeitkoordinate noch v(t) als Geschwindigkeit in Lorentztransformationen verwenden! Zeitkoordinaten werden in der SRT immer bzgl. Inertialsystemen eingeführt, und das beschleunigte Bezugssystem ist gerade das nicht! Wähle z.B. t[down]1[/down] = 0 und t[down]2[/down] = t; dann ist τ = c/a·arcsinh(a·t/c) und das ist natürlich gerade keine Lorentztransformation! Lorentztransformationen sind immer zwischen Inertialsystemen, d.h. unbeschleunigten Bezugssystemen definiert; die dabei auftretende Geschwindigkeit ist konstant, d.h. nicht zeitabhängig. Zusammenfassend: du darfst zu einem beliebigen Zeitpunkt t eine Lorentztransformation mit v(t) zwischen dem Ruhesystem mit x,t sowie einem bewegten Bezugssystem mit x', t' = τ definieren, aber zu einem infinitesimal benachbarten Zeitpunkt t+dt bzw. t'+dt' ist diese ungültig, denn es müsste eine neue Lorentztransformation mit v(t+dt) betrachtet werden. Wenn ein beschleunigter Beobachter seine Eigenzeit τ als Zeitkoordinate verwenden will, so darf er das tun, aber diese ist sozusagen nicht global gültig im Sinne der Lorentztransformation. D.h. der Zusammenhang zwischen einem Inertialsystem mit x,t und einem Nicht-Inertialsystem mit x'(τ), τ ist gerade nicht durch eine Lorentztransformation gegeben!

Zur Zeitdilatation: Betrachten wir einen kreisenden Beobachter mit Tangentialgeschwindigkeit v(t) im ruhenden Inertialsystem mit x,t, der jeweils nach einer vollen Umkreisung direkt (mit räumlichem Abstand Null) an einem ruhenden Beobachter vorbeikommt. Dann entsprechen alle Zeiten physikalischen Eigenzeiten, nicht nur irgendwelchen Koordinaten. Im ruhenden Bezugssystem ist der zurückgelegte Weg (auf der Kreisbahn) gerade durch das Integral über v(t) gegeben. Bezeichnen wir die Dauer für eine volle Umkreisung mit t=T, so kann aus den o.g. Formeln direkt die Zeitdilatation abgeleitet werden: Im ruhenden Bezugsysstem nehmen wir T, im bewegten Bezugssystem dagegen τ[T] = c/a·arcsinh(a·T/c). Zu diesem Moment sind beide Uhren an der selben Stelle und die beiden Zeiten könen abgelesen und verglichen werden.

(für einen geradlinig bewegten Beobachter funktionieren die Formeln natürlich ebenfalls, aber dabei müssen wir immer beachten, dass streng genommen keine zwei Ereignisse definiert sind; diese müssten wir mit den bekannten zeitlich äquidistanten Lichtpulsen realisieren)


Zu deinen Fragen:

Ausserdem weiss ich immer noch nicht, ob ich um von τ auf t zu schliessen einfach mit dieser Formel auf t solven kann, wenn ich τ gegeben habe ? Das wäre dann t = c/a·Sinh(a·τ/c) und der Effekt wäre absolut.

Ja, genau so musst du das machen, von τ = τ(t) zu t = t(τ) auflösen.

Der Effekt ist aber nicht "absolut"; was soll das bedeuten? Es handelt sich um zwei Eigenzeiten von zwei Beobachtern, die bei τ = t = 0 am selben Ort x'(τ = 0) = x(0) = 0 sind. Genau dafür wird das berechnet; für andere Beobachter hat man andere Ergebnisse.

Oder soll ich die Variablen t und τ tauschen und im umgekehrten Falle einfach t = c/a·ArcSinh(a·τ/c) rechnen, also 1:1 relativ wie bei unbeschleunigten Geschwindigkeiten üblich ?

Nein, auf gar keinen Fall! Die beiden Weltlinien sind nicht gleichberechtigt, daher ist auch die Situation nicht symmetrisch bzgl. Austausch der beiden Beobachter. Diese Symmetrie ist bei unbeschleunigten Bewegungen sowieso künstlich, da man keine an zwei Punkten zusammentreffende Weltlinien C, C' betrachtet, sondern Zeitdilatation bzgl. Koordinatenzeiten definiert - didaktisch eigtl. Quatsch, jedoch notwendig, um die komplizierten Integrale und nicht-konstanten Geschwindigkeiten zu vermeiden. Physikalisch sinnvoller sind jedoch an zwei Punkten zusammentreffende Weltlinien, wobei offensichtlich klar ist, dass es sich dann nie um Geraden und nie um zwei unbeschleunigte Bewegungen handeln kann.

Das ist übrigens gerade auch die Auflösung des Zwillingsparadoxons. Wenn du t und τ in der Formel einfach vertauscht, dann bekommst du das Paradoxon bzw. eigtl. einfach eine falsche Aussage! Das Paradoxon wird aufgelöst bzw. der Fehler korrigiert, in dem man argumentiert, dass die beiden Kurven sowie Zeiten t und τ eine völlig unterschiedliche, nicht vertauschbare Rolle spielen. (*)

Ich brauche die vergangene Zeit t im Ruhesystem aus Sicht des beschleunigten Beobachters mit der Zeit τ, nicht umgekehrt.

S.o.; wenn du die o.g. Formeln anwendest kannst du zunächst τ = τ(t) berechnen und anschließend nach t = t(τ) auflösen. Das was du da gemacht hast ist völlig in Ordnung.

... wenn man sich unbeschleunigt bewegt, geht die eigene Uhr aus Sicht der anderen genauso verlangsamt, wie die andere aus Sicht der eigenen. Ist das beschleunigt auch der Fall, oder nicht ?

s.o. (*)

[Hawkwind]

Zu deinen Fragen:

Ausserdem weiss ich immer noch nicht, ob ich um von τ auf t zu schliessen einfach mit dieser Formel auf t solven kann, wenn ich τ gegeben habe ? Das wäre dann t = c/a·Sinh(a·τ/c) und der Effekt wäre absolut.

Ja, genau so musst du das machen, von τ = τ(t) zu t = t(τ) auflösen.

Der Effekt ist aber nicht "absolut"; was soll das bedeuten? Es handelt sich um zwei Eigenzeiten von zwei Beobachtern, die bei τ = t = 0 am selben Ort x'(τ = 0) = x(0) = 0 sind. Genau dafür wird das berechnet; für andere Beobachter hat man andere Ergebnisse.

Nochmal auf die Gefahr hin, dass ich das alles falsch verstanden habe ... :

Ich schätze, Yukterez denkt bei seiner Frage an die Zeitdilatation zwischen gleichförmig zueinander bewegten inertialen Uhren, wie die Lorentz-Transformation sie vorhersagt. Das ist ein symmetrischer Effekt, bei dem jeder Beobachter die Uhr des anderen jeweils verlangsamt sieht. In so einem Fall gibt es auch keine Ereignisse, bei denen die Uhren erst synchronisiert und später verglichen werden.

Im aktuellen Beispiel ist das aber anders: verstrichene Eigenzeiten (zwischen den Schnittpunkten 2er Weltlinien) sind unabhängig vom Beobachter - alle Beobachter sagen die gleichen Werte für das voraus, was die Uhren beim 2. Vergleich anzeigen (wenn sie beim Start auf Null justiert wurden). Ansonsten wäre das Zwillingsparadoxon auch kein scheinbares sondern ein echtes Paradoxon und würde auf ein Inkonsistenz der SRT hinweisen. Der Gangunterschied zweier Uhren (wie beim zwillingsparadoxon)ist in diesem Sinne also natürlich absolut.

Gruss,
Hawkwind

[tomS]

Ich schätze, Yukterez denkt bei seiner Frage an die Zeitdilatation zwischen gleichförmig zueinander bewegten inertialen Uhren, wie die Lorentz-Transformation sie vorhersagt.

Aber die Formeln sprechen von einer konstanten Beschleunigung!!

Im aktuellen Beispiel ist das aber anders: verstrichene Eigenzeiten (zwischen den Schnittpunkten 2er Weltlinien) sind unabhängig vom Beobachter - alle Beobachter sagen die gleichen Werte für das voraus, was die Uhren beim 2. Vergleich anzeigen

Vorsicht, ich würde das anders formulieren. Ich trenne hier nicht zwischen Uhr und Beobachter; wir sprechen über die Eigenzeiten von Beobachtern, die diese auf ihren mitbewegten Uhren entlang ihrer Weltlinien messen. Im Spezialfall des ruhenden Beobachters definiert dieser zugleich Inertialsystem und Uhr. Man benötigt zur Erklärung der Effekte m.E. ausschließlich physikalische Beobachter und sollte auf eine Beschreibung mittels Koordinatenzeit ganz verzichten (bzw. dieser immer einen Beobachter mit Eigenzeit zuordnen)

[tomS]

Ich bin mir nicht sicher, ob ich deinen Absatz richtig verstehe. Was mir fehlt ist eine Definition der Ereignisse, zwischen denen die beiden Beobachter die jeweiligen Zeitintervalle ablesen. Die müsstest du noch irgendwie nachliefern. Wenn du jetzt geradlinige, gleichförmige Bewegungen betrachten willst, dann sind das ja Ereignisse an verschiedenen Orten. Kannst du das in einem Minkowski-Diagramm darstellen?

[tomS]

Die Problematik ist, das ganz x-abhängig statt t-abhängig darzustellen (weil du die Entfernung und nicht zu Zeit vorgibst). Willst du dir diese Komplexität antun? Die Zeitdilatation ausgedrückt in den beiden Eigenzeiten lautet einfach

τ / t = arsinh(at) / at

Nun müsstest du zunächst x(t) berechnen und anschließend nach at auflösen und dies wiederum einsetzen.

Im Minkowskidiagramm kann ich ja auch nur unbeschleunigte Bewegungen illustrieren, da kann ich auch gleich eine Lorentztransformation machen. Das kann ich aber bei Beschleunigung vergessen, oder ?

Nein, wieso? Illustrieren kannst du auch eine beschleunigte Bewegung:


Dein Beispiel scheitert an etwas anderem, nämlich dass sich beide Körper zuletzt nicht an der selben Stelle befinden!

M.png

Die rote Weltlinie entspricht dem beschleunigten Körper. Er verzögert zwar auf dem zweiten Abschnitt seiner Weltlinie, aber er kehrt nicht um!

[tomS]

OK, so betrachtet klappt das immer.

Also zusammenfassend: Darstellung mit Beschleunigung im Minkowski-Diaramm funktioniert; Berechnung hatten wir oben. Deine Darstellung der Gleichungen in Abhängigkeit von x statt t ist recht kompliziert und m.E. ohne zusätzlichen Erkenntnisgewinn.

Abgesehen davon: wenn man die Weltlinien viermal (statt nur zweimal) geeignet hintereinandersetzt, dann erhält man wieder eine geschlossene Weltlinie. Insofern kann man dein Beispiel leicht geeignet umbauen.

[tomS]

auf was willst du eigtl. raus? was willst du noch lernen oder besser verstehen?

[tomS]

Deine Herangehensweise mit numerischen Lösungen, Fokussierung auf Zahlen usw. verschleiert bzw. überfrachtet die Probleme mehr, als dass sie sie löst. Diagramme und Formeln d.h. symbolische Rechnungen sind da wesentlich hilfreicher.

Außerdem solltest du immer (zumindest gedanklich) mit Weltlinien C und C' arbeiten, die eine. gemeinsamen Start- und Endpunkt haben! Dadurch kannst du immer mit zwei physikalischen Eigenzeiten argumentieren und musst nicht auf ein System synchronisierter Uhren bauen. Die beiden Vorgehensweisen sind strikt äquivalent, wie man am Beispiel mit der blauen und roten Weltlinie demonstrieren kann: zum einen kannst du die rote Weltlinie symmetrisch fortsetzen und so C und C' wieder zusammenbringen, so dass zwar jeweils die doppelte Eigenzeit entlang C und C' vergeht, allerdings der Quotient der Zeitdilatation identisch bleibt. Zum anderen könntest du (unsymmetrisch) die rote Linie durch einen lichtartigen Abschnitt wieder zur blauen Linie zurückführen (was einem Lichtimpuls wie zur Uhrensynchronisation entspricht). Entlang des neuen lichtartigen Abschnitts von C' vergeht aber keine Eigenzeit.

Starte immer mit einem Minkowski-Diagramm und parametriere die Kurvenzüge so, dass du möglichst lösbare Integrale hast; oder löse die Integrale mit Mathematika; formuliere die Ergebnisse unabhängig von x und t, d.h. in invarianten Größen wie τ und τ ' für C und C'. Setze c=1