Dynamische Symmetrie und Kepler-Potential

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Hallo zusammen,

theoretische Mechanik ist momentan ein Genuss (und damit werde ich wohl doch nicht zu Mathe wechseln, wie ich es nach dem ersten Semester in Erwägung gezogen habe), umso mehr will ich auch versuchen, die Details zu verstehen. Letztens hatte unser Prof. als Randbemerkung erwähnt, dass aus einer sog. dynamischen Symmetrie/O(4)-Symmetrie im Kepler-Potential (V(r)~1/r) der Runge-Lenz-Vektor als Erhaltungsgröße auftritt.
Mir ist nicht klar, was damit gemeint ist. Aus der linearen Algebra I weiß ich zwar, was O(4) im wesentlichen bedeutet (dank dem letzten Übungsblatt habe ich auch nachgewiesen, dass O(4) eine 6-dimensionale Untermannigfaltigkeit der Menge aller reellen 4x4-Matrizen ist), aber in diesem Zusammenhang erkenne ich noch keinen Sinn. Das Noether-Theorem besagt ja im Prinzip, dass jede Symmetrieoperation, die das physikalische System invariant lässt, einer Erhaltungsgröße entspricht.
(Auf einem Übungsblatt hatte ich schon nachgerechnet, dass das Noether-Theorem die Konstanz des Runge-Lenz-Vektors impliziert.)
Wird hier irgend ein Vektor auf eine Matrix von O(4) angewandt? Wenn ja, welcher Vektor ist das, und wieso ist er vierdimensional? Steckt da die Zeit als vierte Komponente dahinter? (Das könnte auch das Wort "dynamisch" erklären.)

Kann man das schon im zweiten Semester genauer verstehen? Mich würde es sehr interessieren, zumal die Symmetrien offenbar fast überall in der Physik auftauchen.

MfG
Patrick

[tomS]

Hast du Lust, das im Falle des harmonischen Oszillators zu diskutieren, da ist das nämlich algebraisch viel einfacher?

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Klar, gerne!

[wilfried]

Guten Tag gradient

es gibt über dieses Thema eine sehr schöne Abhandlung:
http://www.desy.de/~jlouis/Vorlesungen/ ... rag_09.pdf

Hier steht alles drin, was Du dazu wissen soltest und ich meine, damit ist auch Deine Frage beantwortet.

In welchem Semester bist Du jetzt?

Gruß

Wilfried

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Hallo Wilfried,

danke für den Link. Ich habe den Inhalt jetzt nur mal überflogen und werde heute abend versuchen, das genauer zu verstehen. Allerdings kann es mit dem Verständnis (wenn es überhaupt funktioniert...) etwas dauern, da das Skript eine Abhandlung im Rahmen der QM II - Vorlesung ist und mir somit entsprechend viel Grundwissen fehlt, schließlich bin ich jetzt erst mitten im 2. Semester.

MfG
Patrick

[wilfried]

Tag gradient

für Sem 2 hast Du Dir aber schon was vorgenommen!!

Aber nimm Dir Zeit zum Durchlesen ... keinerlei operative Hektik aufkommen alssen

Gruß

Wilfried

[tomS]

Anbei eine kurze Ausarbeitung zur SU(n) Symmetrie des harmonischen Oszilators in n Dimensionen. Ich hoffe, das hilft. Bei Fragen werde ich gerne das PDF entsprechend erweitern:

http://abenteuer-universum.de/userfiles/sun.pdf

[tomS]

So, an dieser Stelle herzliche Dank an Werner für das Hochladen meines Dokumentes.

Außerdem die Bitte bzgl. Rückmeldung und Diskussion. Diese können wir gerne hier führen, ich werde dann bei Bedarf mein Dokument erweitern. Außerdem die Idee, eine kurze Übersicht über alle Lie-Gruppen zu verankern, nach dem Wilfried dies (an anderer Stelle) angeregt hat.

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Dank an Werner und besonderes Danke an Tom, dass du dir die Mühe gemacht hast, etwas zu dem Thema zu schreiben. Ich werd's gleich ausdrucken und anfangen durchzulesen. Vermutlich werde ich mich hauptsächlich am Wochenende hier melden, da ich versuche, die Übungsblätter (weitgehend) unter der Woche zu lösen (und Dienstags/Donnerstags lange an der Uni bin).

Beste Grüße,
Patrick

[wilfried]

Tag zusammen

@Tom:

für diese Ausarbeitung meine Anerkennung. Das ist wieder eine der schönen Arbeiten in diesem Forum.

@Patrick: bitte verstehe mich jetzt richtig: Deine Übungen sind wichtiger, als das Durchlesen der Ausarbeitung von Tom. Ich denke Du stehst wie meine Studenten auch kurz vor den Klausuren zu Semesterende. Das hat Prio!!

Lass Dir Zeit, auch ich werde mir jetzt mehr und mehr meine Auszeit nehmen: Prüfungen und Segeln..

@Tom

ich mache den Vorschlag, dass wir uns so gegen Mitte Spetember mal hier darüber unterhalten sollten, den Lie Gruppen eine schöne Zusammenfassung zu geben.
Bis dahin wäre ich sehr dankbar, wenn eventuell -ich schaue hier auf unsere jungen Stundenten- einige von Euch sich dieses Themas annehmen täten und zwischzeitlich diese Aktivitäten mit Tom absprechen täten.

Netten Gruß

Wilfried

[tomS]

es gibt über dieses Thema eine sehr schöne Abhandlung:
http://www.desy.de/~jlouis/Vorlesungen/ ... rag_09.pdf

Ich finde die Darstellung teilweise sehr gut, teilweise aber auch recht verwirrend. Einige Beweise insbs. in Kapitel 1 sind keine Beweise sondern Plausibilitätsbetrachtungen. Es ist oft nicht klar, was die Voraussetzungen und was die Ergebnisse sind. Im Kapitel 2 zur SO(4) gefällt mir die Einführung von x° und p° nicht; das passt im Rahmen der SRT, aber eben nicht beim H-Atom, da gibt es diese Operatoren einfach nicht. Der Begriff "dynamische Symmetrie" wird nicht gut eingeführt.
Das Papier ist aber sicher hilfreich bei den algebraischen Umformungen.

Besser gefällt mir da
http://www.itap.physik.uni-stuttgart.de ... Jahnke.pdf

Dabei wird an einer Stelle eine wichtige Information nicht genügend betont. Ab Gl. (101) werden die Casimiroperatoren der SO(4) betrachtet. Diese gelten allgemein für die SO(4), also unabhängig von der hier gewählten qm Darstellung. Für Gl. (82) bzw. der Folgerungen i=k für Gl. (101) und (102) muss ich nochmal nachrechnen, ob dies nun ebenfalls generell für die SO(4) gilt, oder nur speziell für die qm Darstellung. Ich denke, dies gilt i.A. nicht! Man findet ein verwandtes Beispiel bei der Betrachtung der Diracgleichung. Die Viererspinoren sind eigentlich Bi-Spinoren und liegen in der Darstellung (1/2, 0) bzw. (0, 1/2) der SU(2)*SU(2). D.h. dass hier eben nicht i=k gilt!

[wilfried]

Guten Tag

@Tom

Du erwähnst eben genau diese Schwachpunkte in den bekannten Veröffentlichungen, weswegen ich eben meine, dass wir dieses Thema im Herbst gründlicher überarbeiten und zu einer schönen Zusammenfassung führen sollten.

Netten Gruß

Wilfried

[Orbit]

Hallo Tom
Frage zu Gleichung 64 in dem von dir verlinkten Paper:
Der Bohrradius in Meter müsste doch noch mit 4piEpsilon0 multipliziert werden.
Warum hat hier der Bohrradius die Dimension m^3/s^2 ?

Orbit

[tomS]

Du erwähnst eben genau diese Schwachpunkte in den bekannten Veröffentlichungen, weswegen ich eben meine, dass wir dieses Thema im Herbst gründlicher überarbeiten und zu einer schönen Zusammenfassung führen sollten.

Lass' uns mal mit einer tabellarischen Übersicht starten; eigentlich könnte man darüner Bücher schreiben ...

Hallo Tom
Frage zu Gleichung 64 in dem von dir verlinkten Paper:
Der Bohrradius in Meter müsste doch noch mit 4piEpsilon0 multipliziert werden.
Warum hat hier der Bohrradius die Dimension m^3/s^2 ?

Weil das Gaußsche Einheitensystem verwendet wird; siehe z.B. http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fs ... itensystem

[Orbit]

...das Gaußsche Einheitensystem...

Danke für die Antwort, Tom.
Dann lerne ich mal weiter...

Orbit

[gradient]

Hallo,

sieht so aus, dass sich einige weitere Fragen ergeben werden.
Bis (1.5) ist erst mal alles ok (d.h., ich konnte (1.1), (1.2), (1.5) nachrechnen), aber ich sehe nicht, warum sich der Hamilton-Operator als schreiben lässt.
Die Definitionen (1.8 ) bis (1.10) nehme ich jetzt einfach mal so hin.
Vielleicht ist es auch sinnvoll, den Quantenmechanik-Frage-Thread aufzuarbeiten (hatte da nur anfangs mitgelesen, daher konnte ich auch (1.1),(1.2),(1.5) nachrechnen).

@ Wilfried: Klar, die Klausuren haben natürlich Priorität! Im Juli beginnen auch schon die Klausuren (notentechnisch ist nur Theoretische Mechanik wirklich relevant (z.B. zählen in Experimentalphysik A nur eine von zwei Klausuren, im Modul Mathematik zwei von vier Klausuren, die besseren Noten zählen dann, und die ersten Klausuren habe ich ja schon durch das erste Semester) , aber auch in den anderen Prüfungen möchte ich gut sein, Ehrgeiz eben.
Trotz vieler Übungsblätter, Vor-/ und Nachbereitungen habe ich noch bisschen Freizeit, d.h. im Moment kann ich es mir leisten hier nochmal was über's Studium hinaus zu lernen. Im Juli werde ich allerdings nicht mehr sonderlich aktiv sein (Klausuren, s.o.).

MfG
Patrick

[tomS]

... aber ich sehe nicht, warum sich der Hamilton-Operator als schreiben lässt.

Man löst (1.3) und (1.4) wieder nach q und p auf, setzt in H ein und sortiert die Vernichter nach rechts; dabei muss man vertauschen, was letztlich das N liefert. Steht so auch in jedem QM Lehrbuch bzw. Skript.

[gradient]

Hallo Tom,

gut, jetzt komme ich auf den Zusatzterm (habe die Vertauschungsrelation missachtet daher gab's bei mir keinen weiteren Summanden). Da in (1.4) im Nenner eine imaginäre Zahl steht, bleibt aber noch das i im Hamiltonoperator, d.h. ohne dem i in (1.4) würde ich genau auf (1.6) kommen. (Habe auch schon mal ohne i gesehen.)

Beste Grüße
Patrick

[tomS]

Sch...

Das "i" ist natürlich falsch!!!

Man erhält ja einfach aus



Das gilt wg. der Hermitiziät von Orts- und Impulsoperator.

Was hat mich da bloß geritten? Ich korrigiere das sofort.

Ach ja, nochwas: (1.8) und (1.9) sind keine Definitionen, sondern folgen aus (1.3) - (1.5), aber das ist etwas länglicher herzuleiten

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Kein Problem! Ich finde es sowieso beeindruckend, wie viel Mühe du dir machst und wie viel Zeit du investierst.
Dass da mal ein kleiner (Tipp-)Fehler unterläuft, ist normal (auch unsere Profs verschreiben sich ab und zu mal) und nicht so schlimm, da wir hier sowieso nochmal über den Inhalt diskutieren.

Ich melde mich bald wieder!

MfG
Patrick

[tomS]

Ich möchte nicht die gesamte QM in mein Papier reinpacken; hier ein recht gutes QM Skript; zum harmonischen Oszillator ab Seite 63.

http://www.jkrieger.de/download/quantenmechanik.pdf

[tomS]

Hallo, wie schaut's aus? Gibt's was neues?

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Hallo Tom,

ich wollte zeigen, dass . In Linearer Algebra I hatten wir nur in der letzten Woche des 1. Semesters schnell eingeführt, aber nicht viel mehr. (Was ist, ist klar, da kommt eben noch neben die Bedingung hinzu.

Wenn ich jetzt einfach mal glaube, dass man schreiben kann als , gilt ja . Weil , folgt damit unmittelbar . D.h. ist tatsächlich hermitesch.
Damit komme ich aber noch nicht auf die richtige Dimension (1 zu hoch).
Tatsächlich gilt noch, dass spurenfrei ist, wenn ich noch verwende, dass . Dann erhält man
. (Letzteres, da speziell unitär.) Das ist nur möglich für .
Wegen der Hermizität von müssen Gleichungen erfüllt werden. Zusammen mit der Spurenfreiheit hat man aber nur noch linear unabhängige Matrizen. Daher . q.e.d. (?)

Sorry, wenn das hier eher langsam voran geht, aber ich beschäftige mich damit eben hauptsächlich am Wochende damit. Und es sind eben auch neue Dinge dabei, von denen ich nicht alles auf Anhieb verstehe. Dennoch finde ich die Sache bis jetzt sehr interessant!

MfG
Patrick

[tomS]

Du hast das richtig bewiesen, und zwar eigentlich sogar zweimal, nämlich einmal für su(n) und einmal für SU(n). Der Witz ist eigentlich nur, dass im Gegensatz zu u(n) bzw. U(n) eine Bedingung hinzukommt, nämlich die Spurfreiheit bzw. die Bedingung Det(...) = 1 was dem "S" entspricht. Insofern brauchst du für den Beweis für SU(n) die Exponentialdarstellung nicht.

Kleiner Hinweis man schreibt statt ; letzteres ist reserviert für die komplexe Konjugation, während es hier um die hermitesche Konjugation geht, d.h. komplex konjugieren und transponieren, also

[tomS]

Wie schaut's mit dem eindimensionalen harmoniscvhen Oszillator und den Erzeugern und Vernichtern aus? ist damit alles klar?