Die Delta-Funktion
Verfasst: 13. Nov 2009, 21:16
Dieses Thema hat definitiv einen eigenen Thread verdient, da ich beim besten Willen nicht weiß, ob ich es bei Analysis, Theoretischer Physik, oder Funktionalanalysis einordnen soll...
Ich habe in jüngster Zeit einen Berg an Fragen zur Deltafunktion und keiner kennt wirklich Antworten dazu.
Für die, denen dieser Begriff neu ist, hier ein kurzer Abriss:
Die Deltafunktion δ(x) haben die Physiker eingeführt, um (unter anderem) eine praktische Methode zu haben, das Potential von Punktladungen zu berechnen.
Die Funktion ist wie folgt definiert:
Es soll gelten: δ(x)=0 für x≠0 und .
(also muss die Deltafunktion wohl bei Null eun unendlich spitzes Maximum haben)
Man kann sich die Deltafunktion als vorstellen.
Damit kann man beispielsweise die Ladungsdichte einer Punktladung am Ort x[down]0[/down] praktisch als schreiben (denn es gilt ja ).
Sie hat auch weitere sehr angenehme Eigenschaften, beispielsweise gilt , wodurch einem oft lästige Integrationen erspart bleiben.
Das Problem ist nun, dass die Deltafunktion praktisch im Widerspruch zur kompletten Analysis steht. Mit viel gutem Willen könnte man noch eine Funktion akzeptieren, die als Wertebereich hat und eben bei Null gleich unendlich ist und sonst überall Null. Das Integral über eine solche Funktion müsste aber nach der Lebesgue'schen Integrationstheorie immer Null sein, da der Nullpunkt eine Nullmenge ist.
Weiters kann man (als Physiker) zeigen, dass , was einfach ein krasser Widerspruch ist, denn man kann 1/r ja auch stinknormal ableiten kann und dabei sicherlich keine Deltafunktion rausbekommt.
(r bezeichnet übrigens den Ortsvektor r=(x,y,z) )
Allgemein kann man sagen, dass man erhebliche Probleme mit der Integralrechnung bekommt, weil man nicht mehr weiß, was man darf und was nicht.
Also warum darf man einen offensichtlich Fehler in die Mathematik einbauen, der zu tausenden Widersprüchen führt, ohne die physikalische Theorie zu zerstören??
Ich habe in jüngster Zeit einen Berg an Fragen zur Deltafunktion und keiner kennt wirklich Antworten dazu.
Für die, denen dieser Begriff neu ist, hier ein kurzer Abriss:
Die Deltafunktion δ(x) haben die Physiker eingeführt, um (unter anderem) eine praktische Methode zu haben, das Potential von Punktladungen zu berechnen.
Die Funktion ist wie folgt definiert:
Es soll gelten: δ(x)=0 für x≠0 und .
(also muss die Deltafunktion wohl bei Null eun unendlich spitzes Maximum haben)
Man kann sich die Deltafunktion als vorstellen.
Damit kann man beispielsweise die Ladungsdichte einer Punktladung am Ort x[down]0[/down] praktisch als schreiben (denn es gilt ja ).
Sie hat auch weitere sehr angenehme Eigenschaften, beispielsweise gilt , wodurch einem oft lästige Integrationen erspart bleiben.
Das Problem ist nun, dass die Deltafunktion praktisch im Widerspruch zur kompletten Analysis steht. Mit viel gutem Willen könnte man noch eine Funktion akzeptieren, die als Wertebereich hat und eben bei Null gleich unendlich ist und sonst überall Null. Das Integral über eine solche Funktion müsste aber nach der Lebesgue'schen Integrationstheorie immer Null sein, da der Nullpunkt eine Nullmenge ist.
Weiters kann man (als Physiker) zeigen, dass , was einfach ein krasser Widerspruch ist, denn man kann 1/r ja auch stinknormal ableiten kann und dabei sicherlich keine Deltafunktion rausbekommt.
(r bezeichnet übrigens den Ortsvektor r=(x,y,z) )
Allgemein kann man sagen, dass man erhebliche Probleme mit der Integralrechnung bekommt, weil man nicht mehr weiß, was man darf und was nicht.
Also warum darf man einen offensichtlich Fehler in die Mathematik einbauen, der zu tausenden Widersprüchen führt, ohne die physikalische Theorie zu zerstören??