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Die Delta-Funktion

Mathematische Fragestellungen
breaker
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Die Delta-Funktion

Beitrag von breaker » 13. Nov 2009, 21:16

Dieses Thema hat definitiv einen eigenen Thread verdient, da ich beim besten Willen nicht weiß, ob ich es bei Analysis, Theoretischer Physik, oder Funktionalanalysis einordnen soll...
Ich habe in jüngster Zeit einen Berg an Fragen zur Deltafunktion und keiner kennt wirklich Antworten dazu.

Für die, denen dieser Begriff neu ist, hier ein kurzer Abriss:
Die Deltafunktion δ(x) haben die Physiker eingeführt, um (unter anderem) eine praktische Methode zu haben, das Potential von Punktladungen zu berechnen.
Die Funktion ist wie folgt definiert:
Es soll gelten: δ(x)=0 für x≠0 und .
(also muss die Deltafunktion wohl bei Null eun unendlich spitzes Maximum haben)
Man kann sich die Deltafunktion als vorstellen.

Damit kann man beispielsweise die Ladungsdichte einer Punktladung am Ort x[down]0[/down] praktisch als schreiben (denn es gilt ja ).
Sie hat auch weitere sehr angenehme Eigenschaften, beispielsweise gilt , wodurch einem oft lästige Integrationen erspart bleiben.


Das Problem ist nun, dass die Deltafunktion praktisch im Widerspruch zur kompletten Analysis steht. Mit viel gutem Willen könnte man noch eine Funktion akzeptieren, die als Wertebereich hat und eben bei Null gleich unendlich ist und sonst überall Null. Das Integral über eine solche Funktion müsste aber nach der Lebesgue'schen Integrationstheorie immer Null sein, da der Nullpunkt eine Nullmenge ist.
Weiters kann man (als Physiker) zeigen, dass , was einfach ein krasser Widerspruch ist, denn man kann 1/r ja auch stinknormal ableiten kann und dabei sicherlich keine Deltafunktion rausbekommt.
(r bezeichnet übrigens den Ortsvektor r=(x,y,z) )
Allgemein kann man sagen, dass man erhebliche Probleme mit der Integralrechnung bekommt, weil man nicht mehr weiß, was man darf und was nicht.

Also warum darf man einen offensichtlich Fehler in die Mathematik einbauen, der zu tausenden Widersprüchen führt, ohne die physikalische Theorie zu zerstören??
Zuletzt geändert von breaker am 14. Nov 2009, 18:08, insgesamt 2-mal geändert.

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Re: Die Delta-Funktion

Beitrag von tomS » 14. Nov 2009, 08:54

breaker hat geschrieben:Weiters kann man (als Physiker) zeigen, dass

,

was einfach ein krasser Widerspruch ist, denn man kann 1/r ja auch stinknormal ableiten kann und dabei sicherlich keine Deltafunktion rausbekommt.
Wenn du hier einfach die Regeln der Differentialrechnung anwendest, dann bekommst du als Ergebnis Null. Es ist aber verboten, die Differentialrechnung am Ursprung anzuwenden, da hier eine Singularität vorliegt. Du kannst das auch selbst zeigen, in dem du die beiden Seiten der Gleichung integrierst; Integral über die Delta-Funktion in sphärischen Koordinaten ist einfach; Integral für die linke Seite erfordert die Anwendung des Gaußschen Integralsatzes.
breaker hat geschrieben:Also warum darf man einen offensichtlich Fehler in die Mathematik einbauen, der zu tausenden Widersprüchen führt, ohne die physikalische Theorie zu zerstören??
Das mag dir so erscheinen, aber man kann diese Vorgehensweise streng mathematisch rechtfertigen. Der zentrale Begriff sind die sogenannten "temperierten Distributionen", deren Eigenschaften man mathematisch exakt beweisen kann; wesentlich dabei ist, dass sie eigentlich immer unter einem Integral auftreten, d.h. sie haben eher den Charakter eines Operators, der auf eine Funktion wirkt.

In der Quantenmechanik begegnet dir das selbe Problem. Betrachte den Impulsoperator



Die Eigenfunktion dazu ist die ebene Welle (das QM-Analogon für das kräftefreie Teilchen)



Nur leider ist diese Funktion nicht quadratintegrabel, d.h. das Integral



divergiert.

Betrachte nun die Fouriertransformierte, also die Wellenfunktion in Impulsdarstellung



Die Interpretation ist einfach: Das Wellenpaket hat genau eine Impulskomponente p=k, d.h. es liegt eine Deltafunktion vor. Nur ist diese ebenfalls nicht quadratintegrabel, denn



Das ist natürlich katastrophal, denn das bedeutet, dass die einfachste aller Anwendungen in der Quantenmechanik, nämlich das kräftefreie Teilchen, auf undefinierte Ausdrücke führt. Man kann dies aber im Rahmen der Funktionalanalysis über den sogenannten Abschluss des Hilbertraumes der quadratintegrablen Funktionen lösen. Der Abschluss einer Menge ist "die Menge selbst plus die Randpunkte der Menge". D.h.man betrachtet eine Folge von quadratintegrablen Funktionen, deren Grenzwert selbst nicht mehr quadratintegrabel ist. Eine derartige Folge kann man als Wellenpaket sowohl im Orts- als auch im Inpulsraum definieren, z.B. funktioniert dies mittels



Man "regularisiert also die Unendlichkeit" und betrachtet im wesentlichen den Grenzübergang für physikalische Größen am Ende der Rechnung, d.h. z.B. für Erwartungswerte von Operatoren



Für diese temperierten Distributionen ist natürlich auch die Fouriertransformation wohldefiniert. Insbs. überführt die Fouriertransformation ein Gaußpaket wieder in ein Gaußpaket, wobei die Breiten jedoch invers zueinander sind, d.h. die Breite a im Ortsraum entspricht der Breite 1/a im Impulsraum. Dies entspricht einem Spezialfall der Heisenbergschen Unschärfenrelation.

Diese Vorgehensweise ist mathematisch streng zu rechtfertigen über die Theorie der sogenannten Sobolev-Räume (für die meisten Physiker aber zu kompliziert - daher wendet man nur ein Rezept an und vertraut darauf, dass die Mathematiker das alles mal exakt bewiesen haben ...)
Gruß
Tom

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Re: Die Delta-Funktion

Beitrag von breaker » 14. Nov 2009, 14:00

Das mag dir so erscheinen, aber man kann diese Vorgehensweise streng mathematisch rechtfertigen. Der zentrale Begriff sind die sogenannten "temperierten Distributionen", deren Eigenschaften man mathematisch exakt beweisen kann; wesentlich dabei ist, dass sie eigentlich immer unter einem Integral auftreten, d.h. sie haben eher den Charakter eines Operators, der auf eine Funktion wirkt.
Ich hab zu dem Thema vor kurzem mal in ein Funktionalanalysis-Buch geschaut, und da wurde sehr leicht durch Widerspruch bewiesen, dass die Abbildung (also im Prinzip das Dirac-Maß) nicht in der Form mit irgendeiner Funktion δ(x) geschrieben werden kann.
Dann muss da dran doch was faul sein.
Und der Widerspruch zu den Nullmengen in der Lebesgue-Theorie bleibt auch bestehen...

Wie kann man das denn mathematisch rechtfertigen?

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Re: Die Delta-Funktion

Beitrag von kostja » 14. Nov 2009, 17:27

Hallo Frank,

viele scheinbare Widersprüche lösen sich auf, wenn man auch dazuschreibt was gemeint ist. Lass uns einfach mal Deinen Eingangspost durchgehen.
Die Funktion ist wie folgt definiert:
Es soll gelten: δ(x)=0 für x≠0 und .
So, ist die Funktion eigentlich nicht definiert. Was Du aber weiter unten schreibst könnte schon eher als Definition durchgehen:
Man kann sich die Deltafunktion als vorstellen.
wobei hier bitte schön zu erwähnen ist, welchen Grenzwert Du eigentlich meinst:
  • * Gleichmäßig
    * Punktweise
    *
    * punktweise fast überall
    * schwach in oder ...
Was ich sagen will ist, man führt keinen offensichtlichen Fehler ein, wenn man es richtig macht, und sagt was man meint. :-) Die Delta-Distribution (so sollte dieses Gebilde genannt werden) ist eine Funktion auf einem Funktionenraum, z.B. auf dem Raum der stetigen Funktionen. Wie Du schon geschrieben hast, hat sie eine Funktion als Argument und ordnet ihr eine reelle Zahl zu . Die Schreibweise ist allerhöchstens symbolisch zu deuten und eigentlich als zu lesen, wobei hier der Grenzwert nun in gebildet wird.

Auch hier
musst Du sagen, was Du unter dem Gleichheitszeichen verstehst. Punktweise gleichheit? Nein das ist es definitif nicht. Es bedeutet, dass für alle zwei mal diffbaren Funktionen gilt.

Ich beantworte gerne mehr Fragen zum Thema. Aber den direkteren Weg hast Du wohl eher, wenn Du ein Buch liest. Beispielsweise ist Forsters Analysis 3 zum kurzen reinschnuppern in die Thematik gar nicht schlecht geeignet.

Herzliche Grüße
Konstantin

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Re: Die Delta-Funktion

Beitrag von wilfried » 14. Nov 2009, 17:28

Tag breaker

die Delta Funktion -auch Dirac Stoß genannt- spielt nicht nur bei Physikern eine Rolle. Auch in der Elektronik benutz man diese gerne. Der Hintergrund ist, da diese in der LAPLACE Funktion eine Impulsantwort erzeugt:

un{inf}d hier wird f(t) = 1 gesetzt.

Dann folgt:





Wir haben ein System mit der Übertragungsfunktion G(s), auf dieses wird der Dirac angewendet -als Stimulus- und wir schreiben dieses dann: y(t) = g(t) g(t) ist die Impulsantwort oder die Rücktransformierte der Übertragungsfunktion.

In der Laplace Ebene:

Y(s) = G(s) 1 = G(s)

Wir haben damit:

für t < 0
für t >= 0

Wir gehen von der einseitigen Laplace Transformierten aus. Damit wird für einen Sprung der Größe







Die letzte Gleichung gilt nur dann, wenn ist.

Diese Bedingung führt auf die Definition bzw. damit die Festlegung des Konvergenzbereichs.

Beispile:

Wir haben einen RLC Tiefpass. Berechnen wollen wir die Überragungsfunktion Ausgang zu Eingang im Frequenzbereich.

Dann erhalten wir: (unser Quanto kann das zur Übung ja mal durchrechnen :roll: :roll: :wink: )



Das kann man jetzt noch weitertreiben und nach einigem Hin und Her und Substituieren von T = RC und erhält man:
(GL 1)

Darin ist D die Dämpfung des Systems:



Daraus gewinnen wir die DGL, wobei der Zeit-Differentiations Satz der Fourier Trafo recht hilfreich sein soll:



Formales Vorgehen:

Man geht vom Differentiationssatz der Laplace Transformation aus. Dabei werden die Anfangsbedingungen zu Null gesetzt. Das wird eingesetzt in die Laplace Transformierte: und darin: .

Erläuterung steht für Abbildung Zeitbereich in Frequenzbereich
Anwendung des Differentiationssatzes: Durchmultipizieren von Gl 1 "übers Kreuz":


Schlussendlich müssen wir noch die linke Seite ausmultiplizieren und wir können den Zeit-Differentialsatz anwenden.:


Die Abbildungen im Zeitbereich der letzten Gleichung sind Term für Term

( GL 2 )

Man kann die GL 2 Laplace transfoermiert werden und die Anfangsbedingungen sollen berücksichtigt werden:

Ich erlaube mir nur das Ergebnis hinzuschreiben:



Diese Gleichung wird noch umsortiert, dann ist es schöner lesbar:



Was haben wir erreicht?

Wir haben jetzt eine Ordnung erhalten in der ein term die Übertragungsfunktion und ein weiterer Term die Anfangswerte der Funktion beschreiben. Das einzige dazu notwendige ist, dass wir die letzte Gleichung nach lösen:

( Gl. 3)

Damit haben wir alles getrennt und richtig vermerkt:

Der linke Term in der Klammer ist die eigentliche Übertragungsfunktion, der rechte Term beschreibt die Anfangswert Funktion.

Die Sprungantwort erhält man dann, wenn die Eingangsgröße ein Sprung ist und alle Energiespeicher des Systems nicht geladen sind. Das heißt: der letzte term der Gleichung GL 3 muss 0 sein.



Und genauso rechnet jede AC Analyse bzw. jede Fourier Transformation, wenn diese a) zeitlich endlich zwischen t1 und t2 und b) mit einem Pseudo-Dirac angesteuert wird.

Netten gruß

Wilfried
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Re: Die Delta-Funktion

Beitrag von breaker » 14. Nov 2009, 19:13

Die Schreibweise ist allerhöchstens symbolisch zu deuten und eigentlich als zu lesen, wobei hier der Grenzwert nun in R gebildet wird.
Wenn ich dich richtig verstehe, dann definiert man ,
da das Integral auf der linken Seite ja eigentlich so gar keinen Sinn macht (denn stellt ja keine richtige Funktion von R --> R dar) ?

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Re: Die Delta-Funktion

Beitrag von wilfried » 14. Nov 2009, 22:47

Tag zusammen

@kostja
:devil:
Du schriebst:
Die Delta-Distribution (so sollte dieses Gebilde genannt werden)
Mir gefällt die Wortwahl "Distribution" nicht so gut, denn es ist eigentlich keine Verteilung, sondern eine Dichtefunktion: Energie über Frequenz.

Ich weiß, in der englischen Literatur wird dieser Begriff gebraucht. Jedoch ist das im angilkanischem Sprachgebrauch dort nicht als Verteilung sondern als Dichte Verteilung zu lesen. Aber ich bin wahrscheinlich zu streng hier, denn auch weiß ich, daß sich dieser Begriff "irgendwie" eingebürgert hat....obwohl er eigentlich nicht ganz korrekt ist. :wink:


Der Dirac Puls ist eine Spektralfunktion, welche alle Frequenzen beinhaltet.

Da, wie ich zeigte ist die duale Fouriertransformierte des Einheitspulses gleich 1.

Das bedeutet:

Ein Puls unendlich kurzer Dauer und unendlich großer Amplitude hat ein durchgehendes Spektrum, ist wie man auch sagt: weiß.

Eine Folge von Dirac Stößen besitzt ein Kamm Spektrum, deswegen reden wir auch von einem Abtatskamm:



Du kannst eine Menge über diesen Dirac Impuls nachlesen unter dem Suchbegriff: Systemtheorie.

Netten Gruß

Wilfried
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Re: Die Delta-Funktion

Beitrag von Xathan » 14. Nov 2009, 23:36

Ich kenne den Dirac-Impuls aus der Vorlesung "Signalübertragung" und dort wird er auch als Distribution und nicht als Funktion gehandhabt.
Ausserdem stellt er nur ein gedankliches Konstrukt dar, da ein unendlich hoher Puls in diesem "kleinsten" Zeitintervall nicht realisierbar ist; darauf wurden wir auch hingewiesen, aber da wir ihn nicht integrieren müssen und dieser Impuls hat ja auch für die Nachrichtenübertragung eine wichtige Bedeutung.
Ich bin jedenfalls gespannt, was noch so alles zu diesem Konstrukt auf mich/uns zukommt, da unser Dozent davon total schwärmt *g*
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Re: Die Delta-Funktion

Beitrag von wilfried » 15. Nov 2009, 10:35

Tag zusammen

@Xathan
darauf wurden wir auch hingewiesen, aber da wir ihn nicht integrieren müssen und dieser Impuls hat ja auch für die Nachrichtenübertragung eine wichtige Bedeutung.
abgesehen davon, daß ich nicht weiß, was Du mit "nicht integrieren" meinst, noch einige Punkte (aus meiner Vorlesung):

Der Dirac selber ist nicht interagtionsfähig, aber nutzbar, wenn ein passives Filter vorliegt. So kannst Du beispielsweise hingehen -ich mach das und zeige es auch meinen Studenten während der Praxisübungen, wie man das macht.

Im Netzwerkanalyseprogramm (in meiner Vorlesung verwende ich hier LTSpice -kostenfrei, sehr gute Bibliothek und sehr gute Bedienung ... alles aus der Schematic heraus.

Du nimmst eine Pulsquelle und programmierst diese so, daß der Puls eine Anfangsspannung = Betriebsmasse (VSS) hat. Simulationsanforderung: transient genügend lang, damit Du auch im niederfrequenten Bereich genügend weit mit der FFT kommst. Der Puls setzt nach einer Verzögerung -System erst im eingeschwungenen Zustand...dann Pulshöhe 1e12 V, Anstiegs- Abfallzeit 1e-12s Pulsdauer 1e-12 s Pulsperiode lang, ich nehme hier 1s, da ich normalerweise die transienten Simulation auch mit 1 sec simulierter zeit laufen lasse, Und das funtioniert.

Nun, wenn wir ein aktives System haben, das abhängig von der Spannungsversorgung ist, geht das nicht. Dann kann man 2 Möglichkeiten durchführen:

a) das System mit einem Puls bedienen:

Was passiert?

Zitiere aus meiner Vorlesung "Systeme - Schaltungstechnik im 5. Semeser"

Ideale Vorstellung

Das ideale TP Filter ist ein Rechteckoperator, der angewandt auf eine Funktion, diese nur
durchläßt, wenn der Operator 1 ist und die Funktion sperrt, oder zu Null setzt, wenn der
Operator 0 ist.

mit:
für und für

ist die Grenzfrequenz.


Die Multiplikation mit 1 bzw. 0 entspricht einem Rechteckfenster, bzw. einem im Zeitbereich
rechteckigem Verlauf der Werte 0 (=sperrend) bzw. 1 (=durchlassend). Die Phase bleibt dabei
unberücksichtigt. Weil die Phase unberücksichtigt bleibt, erfährt das System durch diesen Operator eine
konstante Zeitverzögerung t0.
Im Unterschied zum Tiefpass gibt es für den Integrator jedoch keinen Maximalwert der Übertragungs-
funktion bei niedrigen Frequenzen. Für den Grenzfall verschwindender Frequenz, das heißt das
Eingangssignal ist konstant und von Null verschieden, steigt die Ausgangsamplitude über alle Grenzen.


Konsequenz:

Im Zeitbereich sind bei idealem Filterverhalten Impulsantwort und Sprungantwort unendlich ausgedehnt.
Wird aber das Signal durch Multiplikation eines Operators O, der zwischen den Zeitpunkten –T bis T „1“
ist
und sonst „0“ ist, beaufschlagt. Dann folgt die Fourier Transformation:
(in der Literatur werden häufig die Intergalgrenzen +/- ½ T angewandt). Jean Baptiste Joseph Fourier (1822)

Was sich daraus mathematisch ergibt zeigt das Bild 1 unten.

Kommen wir damit zum nächsten Punkt, der in der Systemtheorie von den Studenten meist nicht verstanden wird:

Frage: Warum wird der Ansatz e-jwt gewählt?

Schreiben wir das mal hin:



Die Entwicklung dieser komplexen Funktion erfolgt sowohl links als auch rechtsseitig. Die Reihe ist eine
Potenzreihe im Wertebereich der reellen Zahlen. Diese Reihe wird Laurentreihe genannt.

Im Zeitbereich sind bei idealem Filterverhalten Impulsantwort und Sprungantwort unendlich ausgedehnt.

Wir erhalten mit (siehe oben):


Die endliche Impuls- bzw. Sprungantwort führt zu den bekannten Abschneidfehlern.
Engl. truncation errata.
Da das Rechteckfenster mit sinx/x abfällt, werden oft Fensterfunktionen (windowing) angewandt, um diesen
Effekt weiter zu verringern. Mit diesen Fenstern werden die außerhalb liegenden Zeitanteile „zwangsgenullt“.


Diese sinc Funktion in Zusammenhang mit den Fourierreihen zeigt Bild 2 unten.

Die Fourierkoeffizienten sind quasi das Amplitudenspektrum der Funktion. Da die Frequenz als
sinus und komplexe cosinus Schwingung (Euler Relation) angeschrieben werden kann, bildet diese
trigonometrische Zerlegung ein orthogonales System. Jede periodische Funktion kann darin
dargestellt werden, da sich alle periodischen Funktionen in einen sinus als auch einen komplexen
cosinus Teil zerlegen lassen.

Ende der Zitate aus meiner Vorlesung.

Was aber zeigt das alles?

Der Punkt dahinter ist, daß wir die Unendlichkeit nicht handhaben können, daß wir stets zu einem wirklichen Zeitpunkt unsere Analyse starten (t1 und der ist in der Zetztzeit!) udn beenden (t2, der ist auch in der Jetztzeit). Diese von mir genannte Jetztzeit ist das, was wir als normalen Zeitablauf erleben.

Das Problem dabei

Da die Foruier Integrale a) bei uns endlich sind b) auch diskretisiert -Summenanschrift- werden, machen wir Fehler. Diese Fehler drücken sich in Schwingungen aus, besser: die Restschwingungen oder Abklingschwingungen dieser sinc Funktion sind der Fehler.
Solll heißen: alle unsere Spektralanalysen sind im Grunde fehlerbehaftet.

Was kann man dagegen tun?

Man kann diesen Fehler Zwangsnullen. Das wird mit den sogenannten WINDOW functions gemacht. Hierzu werden Verteilungen ( das sind tatsäcjhlich Verteilungen oder besser gesagt statischtische Verteilungsfunktionen) auf das Signal so angewandt, daß exakt unterhalb und oberhalb des angewandten zeitlichen Limits (t1 und t2) die Funktion im Zeitbereich (während des Przesses der Transformation -siehe sinx/x ) zu Null gezwungen wird. In der zeitlichen Mitte beträgt das gewicht der Funktion 1, heißt: die zeitliche Mitte wird amplitudengetreu abgebildet, die Ränder mehr und mehr amplitudenmäßig geschwächt bis hin zu Null auf den Rändern.

Dadurch wird der Fourier Transformation quasi mit dem bekannten Fehler eine Korrektur verpasst.

Was sind die Konsequenzen dieser WINDOWING Korrekturen?

Ist das Signal periodisch abgeschlossen, passen die Korrekturen. Das kann jedoch in der Wirklichkeit niemals garantiert werden, ergo:

Alle eingebrachten WINDOWING Korrekturen erzeugen eine spektrale Verzerrung und eine Amplituden Verfälschung.

Aber: in der Signalverarbeitung wird das billigend in Kauf genommen, nur man muss wissen, was man tut! Also vorher: nur mit Rechteckfensterung -hier kommt es zum sinx/x = sinc Fehler- arbeiten. Das auch auf die erwarteten Signale anwenden. Studieren, was passiert. Dann die richtige Korreturfunktion -salopp ausgedrückt: die richtige Fensterung- durchführen.

Das ist das Geheimnis des Diracs und seiner Konsequenzen in der Signalverarbeitung.

Netten Gruß

Wilfried
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Re: Die Delta-Funktion

Beitrag von tomS » 15. Nov 2009, 11:33

Hallo zusammen,

ich glaube, ich muss da mit einigen Missverständnissen aufräumen:

@Konstantin: zum Grenzwertbegriff bei der epsilon-Darstellung der Deltafunktion ist zu sagen, dass streng genommen der Grenzwert erst nach einer Anwendung der Funktion in einem Integral durchgeführt werden darf (wie du dann auch selbst schreibst). Im Falle der Poisson-Gleichung gilt natürlich punktweise Konvergenz, sogar glechmäßßige Konvergenz, aber nur in einer Umgebung, die den Nullpunkt nicht enthält, ansonsten - wie du richtig schreibst - wiederum Konvergenz im Sinne einer Distribution als Integralkern.

@Frank: vergiss den Grenzwert unter dem Integral; er muss i.A. vor dem Integral stehen. Zu deiner Anmerkung ".. und da wurde sehr leicht durch Widerspruch bewiesen ..." würde mich der genaue Kontext interessieren! Die Funktionalanalysis bereitet doch den exakten Boden über die Einführung der Sobolev-Räume.
Den Widerspruch "zu den Nullmengen in der Lebesgue-Theorie" gibt es nur dann, wenn du für die Distribution eine punktweise Konvergenz annimmst, d.h.der Delta-Distribution einen Funktionswert ungleich Null auf einer Nullmenge zuordnest (was man anschaulich manchmal so sagt: "Die Funktion ist bei x=0 derart unendlich, dass gilt ..."). Im Sinne einer temperierten Distribution ist die Trägermenge eben keine Nullmenge. Im Wesentlichen hat Konstantin alles notwendige geschrieben

@Wilfried: dass dir der Begriff "Distribution" nicht gefällt, ändert nichts daran, dass die Mathematiker eben von "temperierten Distributionen" sprechen; diese sind nicht als Funktionen sondern als "verallgemeinerte Funktionen unter dem Integral" bzw. als "Integralkern" zulässig.
Gruß
Tom

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Re: Die Delta-Funktion

Beitrag von wilfried » 15. Nov 2009, 11:44

Tag Tom
@Wilfried: dass dir der Begriff "Distribution" nicht gefällt, ändert nichts daran, dass die Mathematiker eben von "temperierten Distributionen" sprechen; diese sind nicht als Funktionen sondern als "verallgemeinerte Funktionen unter dem Integral" bzw. als "Integralkern" zulässig.
ja, Danke! Ist schon klar, daß dieses nichts ändert, nur: Du schreibst selber: temperierten Distributionen.
Allein damit ist der Begriff schon so gefaßt, wie er zu sehen ist: als Dichtefunktion. Temperiert heisst nichts anderes als Spektralanteile. Wenn demzufolge innerhalb eines Datenverlaufs Spektralanteile "verteilt" sind, so sprechen wir von spektraler Dichte.

Ergo: mit diesem kleinen Adjektiv geht der Begriff Distribution wieder völlig in Ordnung.

Was ich "anmeckere" ist die ewige Schlampigkeit in der Verwendung der Begriffe. Da wirst Du mir wohl Recht geben, denn der Begriff unisolo Verteilung hat eben eine andere Bedeutung.

Auch der zweite Teil Deiner Info oben ist voll in Übereinstimmung mit meiner Wortwahl.

Danke für diese Erweiterung.

Netten Gruß

Wilfried
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Re: Die Delta-Funktion

Beitrag von breaker » 15. Nov 2009, 12:36

TomS hat geschrieben:Zu deiner Anmerkung ".. und da wurde sehr leicht durch Widerspruch bewiesen ..." würde mich der genaue Kontext interessieren!
Ich muss vorher sagen, dass ich relativ wenig über Funktionalanalysis weiß, ich hab nur wegen der Deltafunktion in das Buch von Dirk Werner geschaut, dort wird im achten Kapitel etwas über Distributionen erzählt. Ich versuche mal, den Kontext dieses Widerspruchsbeweises zusammenzufassen:
Es sei Ω eine offene Teilmenge des R[up]n[/up]. Dann definiert man die Menge D(Ω) der -Funktionen mit kompaktem Träger auf Ω. Dann heißen die Elemente aus dem Dualraum D'(Ω) Distributionen auf Ω.
Eine Distribution heißt regulär, wenn sie sich in der Form schreiben lässt, wobei ϕ∈D(Ω) und f irgendeine lokal integrierbare Funktion sind. Die Abbildung f→T[down]f[/down] ist injektiv.
Das Dirac-Maß ist offenbar eine Distrobution auf Ω. Es sei bezeichnet mit und wird hier Deltadistribution genannt.
Soviel zum Kontext. Der Beweis sieht nun wie folgt aus:
Sei Ω[down]0[/down]=Ω\{x[down]0[/down]}. Dann ist . Wenn regulär wäre (also als T[down]f[/down] darstellbar), dann wäre fast überall, da f→T[down]f[/down] injektiv ist (also f=0 fast überall). Daraus folgt aber , was nicht der Fall ist.

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Re: Die Delta-Funktion

Beitrag von kostja » 15. Nov 2009, 13:25

:shock: Fühle mich hier wie in einer Vorlesung über Elektrotechnik. Du schreibst da sehr viele interessante Sachverhalte auf, aber ich sehe nicht, wie das zum Thema des Fragestellers passen soll. Ich verstehe auch nicht, warum Du mit dem Begriff Verteilung nicht einverstanden bist. Das Dirac-Delta gibt quasi an, wie z.B. Ladung im Raum verteilt ist.

Ich wünsche Euch allen einen schönen Sonntag.

PS: Man braucht bei diesem Thema die Theorie der Sobolevräume nicht. Aber wenn man sich mehr damit beschäftigt, wird man sich automatisch fragen, wann Ableitungen von Distributionen regulär sind.

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Re: Die Delta-Funktion

Beitrag von wilfried » 15. Nov 2009, 15:17

Lieber Konstantin

es ist in unserem Forum so, daß viele Leute viele Gesichtspunkte zu einem Thema bringen.

natürlich ist dabei die Fragestellung des Forenmitglieds nicht immer scharf und unmittelbar betroffen. Sie stellt vielmehr dem Anstoß zu unserer Diskussio.

Und diese Diskussion entwickelt sich, hat auch ein gewisses dynamisches Eigenleben.

Ja und wenn dieser Startbeitrag bereits mit einem :!: gekennzeichnet ist, dann legen wir uns auch ins Zeug!

So mag es dann Dir erscheinen, als wäre diese Diskussion völlig weggedriftet.

Du schreibst:
Fühle mich hier wie in einer Vorlesung über Elektrotechnik. Du schreibst da sehr viele interessante Sachverhalte auf, aber ich sehe nicht, wie das zum Thema des Fragestellers passen soll. Ich verstehe auch nicht, warum Du mit dem Begriff Verteilung nicht einverstanden bist. Das Dirac-Delta gibt quasi an, wie z.B. Ladung im Raum verteilt ist.
Ich hoffe mit meinen Erklärungen von oben habe ich "uns" wieder ins richtige Licht und Maß gerückt.

Vorschlag: Wenn Du ein Thema startest, dann kannst Du gerne versuchen Deinen Faden zu moderieren, Du kannst dann versuchen die Diskussion scharf auf Deine Punkte zu halten.

Aber Du wirst auch feststellen, daß dieses nicht gelingt oder nur höchst selten gelingt. Die Wissenschaft ist zwar scharf, die Anwendungen und Möglichkeiten aber gigantisch gestreut.

In dem Sinn, Dir auch einen schönen Sonntag

Gruß

Wilfried
Die Symmetrie ist der entscheidende Ansatz Dinge zu verstehen:
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e

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Re: Die Delta-Funktion

Beitrag von tomS » 15. Nov 2009, 22:23

breaker hat geschrieben:... Dann definiert man die Menge D(Ω) der -Funktionen mit kompaktem Träger auf Ω. ...
Eine Distribution heißt regulär, wenn sie sich in der Form schreiben lässt, wobei ...
Ich denke, dass die Annahme der Regularität nicht zutreffend ist.
Gruß
Tom

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Re: Die Delta-Funktion

Beitrag von tomS » 15. Nov 2009, 22:31

wilfried hat geschrieben:Tag Tom ... Du schreibst selber: temperierten Distributionen. ... als Dichtefunktion. Temperiert heisst nichts anderes als Spektralanteile. ... mit diesem kleinen Adjektiv geht der Begriff Distribution wieder völlig in Ordnung. ... Was ich "anmeckere" ist die ewige Schlampigkeit in der Verwendung der Begriffe. Da wirst Du mir wohl Recht geben, denn der Begriff unisolo Verteilung hat eben eine andere Bedeutung.
Hallo Wilfied, es geht hier nicht um (spektrale) Dichten, Verteilungen etc. Die Mathematiker haben sich den Begriff temperierte Distribution ohne irgendeinen Bezug zu den von dir genannten Begriffen ausgedacht.
Gruß
Tom

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Re: Die Delta-Funktion

Beitrag von wilfried » 15. Nov 2009, 22:40

Tag Tom

... ich habe diese Seite dazu:

http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/k ... ite65.html

Ich habe das nochmal nachgelesen. Die Mathematiker unterscheiden sich halt von den Ingenieuren. Und ich habe hier rein auf Ingenieursapplikation und nicht auf mathematische Definitionen -Lemmata- geschaut.


Netten Gruß

Wilfried
Zuletzt geändert von tomS am 16. Nov 2009, 08:14, insgesamt 1-mal geändert.
Grund: defekten Wikipedia-Link gelöscht
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Re: Die Delta-Funktion

Beitrag von breaker » 16. Nov 2009, 00:21

Ich denke, dass die Annahme der Regularität nicht zutreffend ist.
Das ist keine Annahme, sondern eine Definition. Der Begriff reguläre Distribution soll wohl als zusammenhängender Begriff zu verstehen sein. Hab beim schreiben nicht daran gedacht, dass regularität auch noch was anderes bedeutet.

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Re: Die Delta-Funktion

Beitrag von tomS » 16. Nov 2009, 07:31

Ich versuche ja nur den Haken an der Sache zu finden. Ich weiß eben, dass es sich um eine temperierte Distribution handelt; du leitest den Widerspruch unter der Annahme ab, es handele sich um eine reguläre Dustribution (es geht mir nicht um den herkömmlichen Begriff von regulär); irgendwo muss ja ein Fehler oder eine falsche Annahme versteckt sein.

Ich muss dazu nochmal etwas nachlesen ...
Gruß
Tom

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Re: Die Delta-Funktion

Beitrag von tomS » 16. Nov 2009, 08:13

Der obige Link war Käse; ich habe den Eintrag geändert.

Es gibt eine spezielle Wikipedia-Seite nur zur Delta-Distribution; http://de.wikipedia.org/wiki/Delta-Distribution darin werden alle wesentlichen Eigenschaften erläutert:
- die Testfunktionen f(x) sind die unendlich oft diff.-baren Funktionen
- es handelt sich nicht um ein Riemann- oder Lebesgue-Maß, da sonst die entspr. Integrale immer = Null wären
- man kann reguläre Distributionen verwenden (wie von Wilfried und mir beschrieben)
- im Sinne des Dirac-Maßes ist dann der Grenzübergang (ebenfalls wie beschrieben) nach der Integration durchzuführen
- im (von uns angesprochenen) Widerspruchsbeweis wird gezeigt, dass die Delta-Distribution nicht regulär sein kann, da sonst die entspr. Integrale immer = Null wären
- außerdem noch einiges zu den Eigenschaften und der mehrdimensionalen Verallgemeinerung
Gruß
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Re: Die Delta-Funktion

Beitrag von tomS » 16. Nov 2009, 08:16

Hallo Wilfried, habe den defekten Link eliminiert und unsere Einträge korrigiert bzw. gelöscht.
Gruß
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Re: Die Delta-Funktion

Beitrag von kostja » 16. Nov 2009, 18:58

Hm,

ich dachte das alles hätte ich in meinem ersten Beitrag dazu erwähnt. :shock:

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Re: Die Delta-Funktion

Beitrag von tomS » 16. Nov 2009, 22:57

Ja, ich denke, wir waren uns bis auf die Problematik der regulären / singulären Distribution einig; ich habe das nur nochmal zusammengefasst.
Gruß
Tom

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Re: Die Delta-Funktion

Beitrag von breaker » 19. Mai 2010, 00:04

Ich schreib das mal hier rein, weil ich für die Frage nicht extra einen neuen Thread aufmachen will.

Ich wollte fragen, ob jemand vielleicht brauchbare Literatur zu topologischen Aspekten von Distributionenräumen kennt.
Ich suche beispielsweise seit Tagen nach einem Beweis, dass die Räume und reflexiv sind und finde nirgendwo etwas. Wäre toll, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte...
Zuletzt geändert von breaker am 19. Mai 2010, 08:43, insgesamt 1-mal geändert.

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Re: Die Delta-Funktion

Beitrag von tomS » 19. Mai 2010, 00:27

Sorry - nein.
Gruß
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