Analysis-Frage-Antwort

[breaker]

Ich fang jetzt einfach mal an, ein paar Grundlagen zu sammeln.

@Tom: Wenn Du weißt, welche mathematischen Grundlagen Du genau benötigt werden, lass es mich wissen, dann können wir hier in die Richtung lenken. Oder hattest Du generell was anderes im Sinn?


EDIT:
Ich hab mir jetzt eine grobe Struktur ueberlegt:
1. Elementarstes über das Lösen von Gleichungen (wird später noch etwas verfeinert sobald wir die Umkehrfunktion zur Hand haben)
2. Ein kleines bisschen was über Mengen und Zahlen
3. Allgemeines über Funktionen (was sind Funktionen?, vielleicht ganz kurz was über Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Umkehrfunktionen... )
3.1 Wichtige Beispiele:
- Polynome
- Exponentialfunktionen
- Sinus/Cosinus ...
4. Anhand dieser Beispiele die Ableitung erklären.
5. Differentialgleichungen (Als Beispiele vielleicht sowas wie: y''=0; y=y'; y''=-ky)
6. Entweder kurz was über Integrale erzählen, oder zu Differentialrechnung in mehr Dimensionen übergehen.

Ich rase wohl ein bisschen durch das Thema durch. Das Ziel ist ja auch eher ein grobes Verständnis der Theorie, um die Anwendungen in der Physik zu verstehen. Aus dem Stegreif Maxima berechnen zu können, ist kein Ziel, damit hast Du in der Schule noch genug Ärger. Ich hoffe, es funktioniert so, aber das wird sich zeigen.


Zu Beginn wäre es gut, zu wissen, was Du bereits kannst.

Dazu folgende Fragen:

1. Weißt Du, wie man die folgenden Gleichungen (nach x) auflöst? (a soll im folgenden immer irgendeine Zahl sein)
> y=a+x
> y=a·x
> y=x[up]a[/up]
> y=a[up]x[/up]
> y=sin(x) (sin(x) ist die Sinusfunktion. Wenn Du die noch nicht kennst, dann ignorier diesen Punkt)


2. Weißt Du, was Funktionen sind?
Kennst Du welche?
Was kann man damit machen?
Wofür sind sie gut?


3. Was ist eine Menge?
Sagen Die die Begriffe 'Natürliche Zahlen', 'Reelle Zahlen', 'Komplexe Zahlen'... was?

[tomS]

Hallo Breaker,

danke für die Initiative!

Was braucht man für die Grundlagen der Feldtheorie?

- zunächst mal Funktionen
- dann natürlich Differentialgleichungen (also erst mal die Ableitung)
- und dann Vektoranalysis also Gradient, Divergenz und Rotation

Ich denke, für Alexander reicht es aus, dass er die Grundbegriffe versteht, rechnen muss er sicher noch nicht damit können ...

[Alexander]

y=a+x

Ich glaube so: x=y-a?

> y=a·x

x=y:a

y=x[up]a[/up]

Bei den anderen bin ich mit einem Zahlenbeispiel auf keine vernünftigen Ergebnisse gekommen, und die Sinusfunktion kennen ich noch nicht.

Weißt Du, was Funktionen sind?

Also von den Operatoren hatten wir es ja schonmal, aber von den Funktionen noch nicht, aber ich würde echt mal gerne wissen, was die für eine Bedeutung haben, ich habe nämlich gelesen, dass die eine sehr zentrale Stelle in der Mathematik einnehmen.

Was ist eine Menge? Sagen Die die Begriffe 'Natürliche Zahlen', 'Reelle Zahlen', 'Komplexe Zahlen'... was?

Eine Menge ist ein bestimmter Zahlenbereich, die natürlichen Zahlen sind z. B. nur 1,2,3,4,5 und alle anderen ganzen Zahlen ohne negatives Vorzeichen, und wenn man es angibt gehört die Null auch dazu, also wenn man schreibt N[down]0[/down].

Die reelen Zahlen sind doch jener Zahlenraum, mit dem man auch Ergebnisse vom Radizieren angeben kann, und mit den komplexen Zahlen (mit denen ich bisher noch nichts zu tun hatte) erweitern, das habe ich lediglich vor ein paar Monaten gelesen, den reelen Zahlenraum, damit auch negative Wurzeln berechnet werden können.
Aber das verstehe ich sowieso nicht wirklich, ich meine, wenn man eine Wurzel zieht kommt doch auch eine normale Zahl bei raus, nur halt oft mit vielen Kommas, aber warum braucht man dazu gleich einen neuen Zahlenraum?

[breaker]

So, da war schon viel schönes dabei. Ich fange vorne an:

x=y-a ist natürlich richtig bei der ersten Gleichung, genau so wie x=y:a bei der zweiten. Was man sich hier mit Zahlenbeispielen überlegen kann, beruht alles auf einer ganz einfachen Regel: Man darf die beiden Seiten der Gleichung beliebig manipulieren, ohne dass sich das Ergebnis ändert, solange man nur immer auf beiden Seiten das gleiche macht.
Wenn man ein bisschen darüber nachdenkt, ist das ganz klar, denn die linke Seite muss ja gleich der rechten sein, das ist es ja, was das Gleichzeichen aussagt. Nehmen wir zum Beispiel mal die Gleichung 5=5 (sie ist wohl zweifellos richtig). Wenn ich daraus 5/2=5/2 mache, oder 5³=5³, oder sonstwas, dann stimmt die Gleichung immer noch.
Genau so ist es, wenn man nun x und y in einer Gleichung stehen hat. Man weiß zwar nicht mehr direkt, was x und y sind, aber man weiß immer, dass linke und rechte Seite der Gleichung übereinstimmen.

Wenden wie die Regel einfach mal auf die erste Gleichung an:
y=x+a haben wir.
Linke Seite ist y
Rechte Seite ist x+a.

Wir wollen ja jetzt am liebsten "x = irgendwas" stehen haben.
Wenn wir von der rechten Seite das a abziehen, bleibt hier nur das x übrig (wir rechnen ja einfach x+a-a), und das sieht schon mal nicht schlecht aus.
Wir wissen nun, dass wir auf der linken Seite auch a abziehen müssen, damit die Gleichung nicht falsch wird. Also wird unser y zu y-a.

Ein bisschen übersichtlicher zusammengefasst:
vorher y=x+a
Dann auf beiden Seiten a abziehen...
nachher: x=y-a.
Fertig


Genau so funktioniert es mit y=a·x. Man will rechts x alleine stehen haben, deshalb teilt man hier beide Seiten durch a und erhält x=y/a. (ein Schrägstrich als geteilt-Zeichen ist gebräuchlicher als ein Doppelpunkt, vor allem wenn man mit Tastatur schreibt)


Zum Rest:
Wenn Du bei y=x[up]a[/up] nicht weitergekommen bist, dann probier mal ersatzweise y=x².


Die Gleichung y=a[up]x[/up] will ich erstmal hinten anstellen, weil sich deren Lösung meiner Meinung nach leichter diskutieren lässt, wenn man Funktionen zur Hand hat.

[breaker]

Zu Mengen:
Die Natürlichen Zahlen sind natürlich eine Menge, aber eine Menge muss nicht unbedingt aus Zahlen bestehen. Ich hab gerade mal in einem Analysis-Buch nachgeschaut, wie eine Menge genau definiert ist:
"Eine Menge ist jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens."
Naja. Soviel ich weiß, sind sich die Mathematiker und die Philosophen selbst nicht ganz einig, wie man eine Menge so definiert, dass eindeutig klar ist, was gemeint ist.
Tatsache ist, dass eine Menge so ziemlich alles enthalten kann. Man kann die Menge aller Autos auf der Erde betrachten, oder die Menge aller Brillenträger, die blaue T-shirts mögen, oder die Menge aller Primzahlen, oder sogar die Menge aller Mengen.
In der Mathematik betrachtet man natürlich in erster Linie Zahlenmengen. Die Menge aller natürlichen Zahlen zwischen 3 und 7 würde man schreiben als {3,4,5,6,7}. (geschweifte Klammern bezeichnen immer Mengen)
Was die obige Definition mit "wohlunterschieden" meint, ist, dass in einer Menge nichts doppelt vorkommen darf. Das heißt, die Menge {1,1,1,2,7} wäre gleich der Menge {1,2,7}.

Aber das ist eigentlich alles langweilige Auswendiglernerei von Definitionen. Die Mengen, die in der Analysis vorkommen, kann man sich (zumindest am Anfang) immer als (endlichen oder unendliche) Zahlenmengen vorstellen.


Fragen soweit?

Wenn Du das alles ein bisschen verinnerlicht hast, würde ich eigentlich fast schon mit Funktionen anfangen. Wir sollten nur vorher noch das Thema mit den Gleichungen abschließen, das wird noch auf ein, zwei wichtige Themen führen (z.B. reelle & komplexe Zahlen, auf die ich jetzt noch nicht eingegangen bin).

[Alexander]

dann probier mal ersatzweise y=x².

y=x*x
x*y/y=y/x
x=y/x


Stimmt das so?

[breaker]

Du hast auf jeden Fall die Regeln richtig angewendet, aber so bringt einem die Gleichung leider nichts, weil rechts noch ein x drin steht.

Ich wollte eigentlich nur

haben.

Und allgemein eben (a-te Wurzel von y, also die Zahl, die a-mal mit sich selbst multipliziert y ergibt)

Das mag so aussehen, als hätte man die Gleichungen einfach nur umgeschrieben und keinen wirklichen Erkenntnisgewinn davongetragen, aber etwas anderes macht man eigentlich bei y=x+a auch nicht. x=y-a ist auch nur eine andere Schreibweise, der Informationsgehalt ist der gleiche.


Zum Schluss werden wir kurz noch ein bisschen konkreter:

Versuch mal, die Gleichungen
x²-4=0 und
x²+4=0
zu lösen.

[Alexander]

Ich wollte eigentlich nur

haben.[/quote]

Kein Wunder, dass ich da nicht drauf gekommen bin, Wurzelziehen hatten wir noch nicht...

[breaker]

Oh, dann ging das natürlich nicht, aber ist nicht tragisch.

bedeutet einfach die Zahl, die mit sich selbst multipliziert x ergibt. Also es wäre zum Beispiel .
Man erkennt, dass die Wurzel gerade die Umkehrung des Quadrierens ist (denn es ist ja 4²=16). Deshalb sind zum Beispiel die Gleichungen
und

vollkommen äquivalent (einfach bei der oberen Gleichung auf beiden Seiten Wurzel ziehen, dann bekommt man die untere).
(Und hier käme eben x=4 raus)


Kommst Du damit bei den zwei Gleichungen x²+4=0 und x²-4=0 weiter?

[Alexander]

Kommst Du damit bei den zwei Gleichungen x²+4=0 und x²-4=0 weiter?

Ich bin auf folgendes bei der ersten Gleichung gekommen:

Ich habe zuerst von Null 4 abgezogen, damit ich wieder auf Null komme, wenn ich die Wurzel habe. Also habe ich -4*-4 genommen und bin auf -16 gekommen.
+4=0

Aber das kann doch nicth stimmen oder, denn -4*-4 ergibt doch wieder Plus, also 16, nicht -16?


Edit: also irgendwie will das mit dem Wurzelzeichen nicht so richtig klappen, die Aufgabe, die ich als Lösung heraus bekam ist Wurzel aus -16+4=0.

[breaker]

Aber das kann doch nicth stimmen oder, denn -4*-4 ergibt doch wieder Plus, also 16, nicht -16?

Das Problem ist tatsächlich interessant, dazu kommen wir noch.

Aber erstmal langsam. Das Ziel, das du beim Lösen einer Gleichung hast, ist ja, x zu bestimmen. Man will immer "x=..." da stehen haben.
Und das geht, indem man einfach stur die Regel anwendet, auf beiden Seiten der Gleichung das gleiche zu machen. Nehmen wir mal x²-4=0.
Auf beiden Seiten plus 4 rechnen (die Idee hattest Du ja auch schon). Dann wird daraus:
x²=4
Das bedeutet, das Quadrat der Zahl x, die wir suchen, ist vier. Auf beiden Seiten Wurzel ziehen:

Das ist das gleiche wie

Also , da . (x=-2 wäre auch eine mögliche Lösung, da natürlich (-2)²=4

Ich hab dich mit meinem Beispiel mit der 16 wohl ein bisschen verwirrt. 4*4 ist 16, damit ist vier die Wurzel aus 16, aber hier war nach der Wurzel aus 4 gefragt.

Zur zweiten Gleichung: Die geht ganz genau so, und man kommt letztendlich auf

Und das ist ein Problem, denn 2*2=4 und (-2)*(-2)=4. Es gibt einfach keine reelle Zahl, die quadriert eine negative Zahl ergibt!
Da hast Du die Antwort auf deine Frage, wofür man die komplexen Zahlen braucht. Man hat einfach definiert, dass es eine Zahl i gibt, deren Quadrat gleich -1 ist: i²=-1. (i heißt auch imaginäre Einheit)
Damit ist die Lösung der ersten Gleichung: .
Wenn man die reellen Zahlen um diese imaginären Zahlen erweitert, erhält man die komplexen Zahlen, also eine Zahlenmenge, in der viel mehr Gleichungen lösbar sind, als in den reellen Zahlen.

Die Zahlenmengen, mit denen man in der Analysis zu tun hat, sind in erster Linie die reellen und die komplexen Zahlen, weil hier Funktionen meist die angenehmsten Eigenschaften haben.

Fragen?

Ansonsten würde ich jetzt die Frage "Was ist eine Funktion?" stellen.

[Alexander]

Wenn du willst, kannst du, um sicherzustellen, dass ich es begriffen habe, mir ein paar Fragen stellen, wenn du nicht willst machen wir einfach weiter, sollte ich etwas falsch verstanden haben, wird sich das spätestens dann zeigen.

[breaker]

Ich würd eigentlich ganz gern weitermachen, wie gesagt ist es nicht wichtig, dass Du rechnen kannst wie ein Profi, sondern, dass Du es nachvollziehen kannst, wenn ich hier mal die ein oder andere Gleichung umstelle. Wenn dann irgendwann noch was unklar ist, kannst Du ja einfach fragen.

Die Frage, mit der ich weitermachen würde, wäre:

Was ist eine Funktion? Wie hängen Funktionen und Mengen zusammen?

[Alexander]

Soll ich die Frage jetzt beantworten, oder meinst du damit, dasss du sie ersteinmal behandeln willst, da ich ja noch nicht weis, wie hier der Zusammenhang lautet oder was im genauen nun eine Funktion ist?

[breaker]

Versuch mal, es irgendwie herauszufinden und schreib dann, was Du denkst, was die Antwort ist.

[Alexander]

Ich weiß nicht genau, ob ich so richtig erklären kann, was meine momentane Vorstellung über Funktionen ist.

Vielleicht versuch ichs mal so: als Synonym für Funktion kann man ja den Begriff "Abbildung" verwenden. Es stehen sich zwei Mengen gegenüber, von der einen Menge werden Elemente auf die andere Menge "abgebildet".
Als Beispiel fällt mir nur (nichts zuletzt, weil es ja doch noch rechtes Neuland ist) das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm der gleichmäßig beschleunigten geradlinigen Bewegung ein. Das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetzt der gleichmäßig beschleunigten geradlinigen Bewegung gibt ja den Zusammenhang zwischen Momentangeschwindigkeit v und der momentanen Zeit t an. Wenn man das in ein Diagramm überträgt, dann stellt es die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit dar. Also zu einer bestimmten Zeit hat der zu betrachtende Körper die Geschwindigkeit xy. Wenn es die Zeit hier nicht gäbe, wäre der Körper auch nicht in der Lage, seine Geschwindigkeit zu verändern. Also ist die Geschwindigkeit eine Funktion der Zeit, sie "funktioniert" nur, wenn die Zeit vergeht.

Das hommt nun vielleicht etwas abwegig daher, aber ich hoffe ihr wisst, was ich meine.


Edit: Ich habe vergessen anzugeben, wie man das schreibt, also was ich derzeit meine, wie man es richtig schreibt:

Im obigen Fall, wenn die Geschwindigkeit eine Funktion der Zeit ist, würde ich das so schreiben:

v(t)

Stimmt das?

[breaker]

Das hommt nun vielleicht etwas abwegig daher...

Nö, war eigentlich einwandfrei. Statt "Abbildung" könnte man auch "Zuordnung" sagen, das ist vielleicht ein bisschen intuitiver.
Wenn man zwei Mengen hat, dann ordnet eine Funktion einem Element aus der einen Menge (die dann Definitionsmenge genannt wird) ein Element aus der anderen Menge (die dann Wertemenge oder Bildmenge genannt wird) zu. Als ganz anschauliches Beispiel könnte man ein Telefonbuch nehmen. Ein Telefonbuch ist eigentlich eine Funktion von der Menge der Menschen aus einem bestimmten Ort in die Menge der zehnstelligen Zahlen (oder wie lang eine Telefonnummer auch immer ist). Jedem Mensch, der im Telefonbuch steht, wird seine Telefonnummer zugeordnet.
Wichtig bei Funktionen ist, dass sie eindeutig sind, d.h. einem element aus der Definitionsmenge wird ein und nur ein Element aus der Bildmenge zugeordnet. Das hieße in deinem Beispiel mit der Geschwindigkeit, dass ein Teilchen nicht zu einem Zeitpunkt zwei verschiedene Geschwindigkeiten haben darf (was ja durchaus Sinn macht).
(Insofern ist das Telefonbuch-Beispiel ein bisschen falsch, da ein Mensch durchaus zwei verschiedene Telefonnummern haben kann. Aber wenn jeder höchstens eine Telefonnummer hätte, dann wäre es richtig )

Im obigen Fall, wenn die Geschwindigkeit eine Funktion der Zeit ist, würde ich das so schreiben:

v(t)
Stimmt das?

Ja, die Schreibweise stimmt. Das Element aus der Definitionsmenge steht immer in der Klammer und der zugehörige Funktionswert (also das Element aus der Bildmenge) heißt dann eben f(x), oder v(t), (sprich: "f von x") oder wie auch immer die Funktion heißt.
Wichtig ist, dass man die Funktion selbst von dem Funktionswert unterscheidet. Der Funktionswert ist (in deinem Beispiel) die Zahl, die rauskommt, wenn man irgendeinen Wert für t einsetzt und wird mit v(t) bezeichnet. Die Funktion selbst ist ein abstraktes Objekt, sie ist sowas wie die Vorschrift, die Zuordnung auszuführen. Die Funktion selbst heißt nur v, bzw. f oder sonstwas.
Also:
f ... Funktion
f(x)... Funktionswert


Kannst Du denn schon sagen, was bei der v(t) - Funktion die Definitionsmenge und was die Bildmenge ist?

[Alexander]

Die Definitionsmenge ist die Zeit t, da sie definiert, zu welchem Zeitpunkt der Körper eine Geschwindigkeit hat, so wie du es gesagt hast, sie legt fest, dass der Körper zu einem bestimmten Zeitpunkt nur eine Geschwindigkeit haben kann. Dementsprechend ist dann die Wertmenge die Geschwindigkeit v.

Stimmt das so?

[breaker]

An sich schon, nur will man es meistens formal als Menge beschrieben haben.

Vielleicht war aber auch die Frage etwas blöd gestellt. Es ist eigentlich so, dass eine Funktion ja ohne ihren Definitions- und Wertebereich gar keinen Sinn hat. Das heißt, wenn man eine Funktion definiert, muss man eigentlich direkt die Definitions- und Wertemenge mit angeben, sonst hat die Funktion ja nix zum abbilden. Von daher liegt es bei einem selbst, was man als Definitions- und Wertemenge festlegt und es gibt eigentlich gar nichts "rauszufinden", weil es einfach Definitionssache ist.

Auf was ich mit der Frage abgezielt habe, war, welche Mengen denn als Definitions- und Wertemenge Sinn machen würden. Zum Beispiel hätte es relativ wenig Sinn, die Menge der komplexen Zahlen als Definitionsbereich bei der Geschwindigkeit v zu nehmen, denn was sollen denn i Sekunden sein?

So wären beispielsweise die positiven reellen Zahlen gut als Definitionsmenge und als Wertemenge entweder die reellen Zahlen, oder die Menge aller Vektoren im dreidimensionalen Raum, wenn einem die Richtung wichtig ist.

[breaker]

Soweit klar oder Fragen?

[Alexander]

Nein, wie willst du weiter machen?

[breaker]

Okay, dann schauen wir uns mal an, was passiert, wenn man so eine Zuordnung umkehrt, bzw. wann eine Umkehrung überhaupt möglich ist.

Fallen Dir Kriterien ein, die erfüllt sein müssen, damit die umgekehrte Zuordnung wieder eine Funktion ergibt?
(also beim Geschwindigkeitsbeispiel würde man der Geschwindigkeit die Zeit zuordnen; also im Allgemeinen Bild- und Definitionsmenge vertauschen)

[Alexander]

Also bei der Geschwindigkeit und der Zeit war es ja so, dass eine bestimmte Zeitdauer eine bestimmte Geschwindigkeit festnagelt. Dann könnte man doch umgekehrt auch sagen, dass eine bestimmte Geschwindigkeit, wenn die Beschleunigung bekannt ist, eine bestimmte Zeit festnagelt, oder?

Also dass man dann statt v(t) schreibt t(v)?

[breaker]

Jap, richtig, aber wenn man nun will, dass t(v) wieder eine Funktion ist, müssen ja wieder die Kriterien erfüllt sein.
Mal sehen...
Die Zuordnung nimmt ein Element v aus der Menge der Geschwindigkeiten und ordnet ihm ein Element t aus der Menge der Zeiten zu, also gibt es eine Definitionsmenge und eine Bildmenge und dazwischen die Zuordnung, die irgendwas damit macht.
Aber wie siehts mit der Eindeutigkeit aus? Oder genauer gefragt, wie muss die Funktion v(t) aussehen, damit die Umkehrung t(v) eindeutig ist?

[Alexander]

Wenn die Funktion t(v) eindeutig sein soll, ist es notwendig, dass jeder Zeitpunkt nur eine einzige Geschwindigkeit festlegt?