Analysis-Frage-Antwort

[Alexander]

OK, dann können wir weitermachen.

[breaker]

Gut, dann tun wir das.
Ich musste gerade ehrlich gesagt ein bisschen in den älteren Beiträgen herumstöbern, um zu verstehen, wo ich in meinem Plan gerade bin, aber jetzt hab' ich wieder einen Überblick.

Bisher haben wir:
- Gelernt, was Funktionen sind,
- Gelernt, was der Begriff der Ableitung einer Funktion ist,
- Verschiedene Ableitungsregeln kennen gelernt (Kettenregel, Produktregel)
- Verschiedene Typen von Funktionen kennen gelernt (Polynome, trigonometrische Funktionen),
- Deren Umkehrfunktionen und Ableitungen bestimmt.

Im aktuellen Teil beschäftigen wir uns mit den Exponentialfunktionen. Zu diesen kennen wir bereits die Umkehrfunktion, aber noch nicht die Ableitung.
Wir haben eine spezielle Exponentialfunktion besprochen, nämlich die Funktion f(x)=e[up]x[/up], von der wir bisher als einzige die Ableitung kennen, die da lautet f'(x)=e[up]x[/up].

Diese Erkenntnis können wir nutzen, um die Ableitung jeder beliebigen Exponentialfunktion zu bestimmen!
Wir sind schonmal der Umkehrfunktion zu e[up]x[/up] begegnet. Diese wird mit ln(x) bezeichnet und ist charakterisiert durch



Nehmen wir nun an, wir haben irgendeine Exponentialfunktion f(x)=a[up]x[/up] gegeben und wollen deren Ableitung bestimmen. Zunächst scheint unser Wissen über die e-Funktion hier nicht wirklich weiter zu helfen, aber folgende Umformung zeigt dessen Nützlichkeit:
Wir können schreiben , denn es gilt ja




Frage: Wie kann man mithilfe der Gleichung die Ableitung der Funktion bestimmen?

[Alexander]

Also ich habe mir überlegt, vielleicht mit der Produktregel:

ergibt mit der Produktregel:



Zugegeben, ich musste, was die Ableitung des ln angeht, erstmal schauen, wie man das macht, aber ist die Idee richtig oder falsch? Die Produktregel nimmt man ja, wenn man das Produkt zweier Funktionen ableiten möchte, und wenn in Exponenten der e-Funktion ln(a) steht, ist das doch praktisch eine Funktion, oder? Denn die Zahlenwerte differieren ja bei unterschiedlichen a?

Edit: Also ich weiß ja nicht warum, aber irgendwie werden die Formeln nicht so angezeigt, wie es sein sollte...

[rick]

damit-> : e^{x*ln(a)}

[breaker]

Die Idee an sich ist nicht schlecht, aber probier lieber mal die Kettenregel

Die Produktregel bringt dir nichts, weil du kein Produkt von Funktionen hast. Du hast eine Verkettung von e[up][/up] und x ln(a).
Übrigens brauchst Du hier niemals die Ableitung des ln, weil ln(a) keine Funktion von x ist, sondern einfach irgendeine konstante Zahl.

[rick]

Dürfte ich kurz zwischen fragen, was ihr dauernd mit diesen [up][/up] habt? Das ist doch kein LaTex Befehl oder?

[Alexander]

Dieses [up][/up] erscheint, wenn man mit dem up-Button über dem Schreibfenster ein Superskript einfügen möchte, komischerweise.

Wenn ich die Kettenregel für den interessierenden Ausdruck anwende, ergibt sich doch

*

Ich bin auf dieses Ergebnis gekommen, weil ich ja bei der Kettenregel zuerst die eine Funktion in die Abgeleitete andere setzen muss und da sich die e-Funktion bei Ableitung reproduziert, bin ich auf den ersten Ausdruck gekommen. Beim zweiten bin ich nicht sicher, ob das stimmt, denn eigentlich nimmt man da ja nur noch eine Funktion.

[breaker]

Machen wir's mal ganz langsam:

Es seien f(x)=e[up]x[/up] und g(x)=x ln(a). Die Aufgabe lautet dann: Bestimme die Ableitung von f(g(x)).
Nach der Kettenregel gilt:



Was ergibt sich damit für die Ableitung von ?

[Alexander]

Ist es das?

[breaker]

Kann es sein, dass du



meinst?

[Alexander]

Ja.

[Alexander]

Wann machen wir weiter?

[breaker]

Jetzt haben wir eigentlich die allerwichtigsten Grundlagen zusammen. Das nächste, was sich jetzt anbieten würde, wäre der Satz von Taylor.
Dieser ist für die Physik von äußerster Wichtigkeit und lässt sich mit unseren bisherigen Mitteln gut verstehen.

Ich könnte jetzt anfangen, den selbst zu erklären, aber es gibt hier: http://www.antigauss.de/taylor1/taylor.pdf
ein wirklich wunderbares PDF, in dem die Thematik sehr gut erklärt wird, meiner Meinung nach geht's einfach nicht besser.

Ich würde vorschlagen, Du schaust dir das PDF mal an und versuchst, es zu lesen. Immer, wenn Du Fragen oder Probleme damit hast, kannst du sie hier stellen und wir besprechen sie.

Was hältst du davon?

[Alexander]

Im Rahmen diverser Themen wurde ich mit der Taylorentwicklung bereits konfrontiert, das Skript habe ich mir auch gerade durchgelesen, soweit alles klar.

[breaker]

Na wenn das so ist, dann geb ich dir erstmal noch die folgende Aufgabe:

Berechne die Taylorreihe der Funktion f(x)=e[up]x[/up].

Und danach sind wir eigentlich mit den allerwichtigsten Grundlagen fertig. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, wie wir jetzt weitermachen können. Ich schlag mal drei Stück vor:

1. Wir führen komplexe Zahlen ein und besprechen kurz die Euler'sche Identität. Hierbei werden uns trigonometrische- und Exponentialfunktionen wieder begegnen.

2. Wir machen etwas zur Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen. Dabei werden Begriffe wie "Jacobimatrix" und "partielle Ableitung" erklärt, die du vielleicht schonmal gehört hast.

3. Wir machen ein bisschen was zu Integralen. Die Anschauung motiviert einen, das Integral als Werkzeug zu verstehen, um den Flächeninhalt zwischen Kurven zu berechnen. In der Physik sind Integrale allerdings auch an ganz anderen Stellen wichtig und man braucht sie praktisch überall.
Danach könnten wir einfache Differentialgleichungen und ihre physikalische Bedeutung besprechen.


Ich überlasse dir die Wahl, welchen der drei Wege wir nun einschlagen sollen.

[Alexander]

Die Taylorentwicklung lautet: f[up](n)[/up](x)/n!
Bei e[up]x[/up] heißt das dann: 1 + x + x²/2! + x³/3!...

Ich würde es vorziehen, mit den komplexen Zahlen weiterzumachen, denn verglichen mit Integration oder partiellen Ableitungen hatte ich damit bisher am wenigsten zu tun und abgesehen davon waren im QM-Frage-Antwort-Thread diese letztens von Relevanz, ist also eine gute Ergänzung.

[rick]

Du kannst dir ja dazu erstmal überlegen, welche Lösungen die Gleichung hat. Dies ist nämlich ein Motivator für die komplexen Zahlen.

[Alexander]

Bei dieser Gleichung muss für x² = 1 gelten, ansonsten kommt nicht Null als Lösung. Da aber alle, sowohl positive als auch negative Zahlen bei quadrierung wieder positiv werden, definiert man einen neuen Körper, den Körper der komplexen Zahlen C. Soweit weiß ich das bereits, aber arg viel mehr nicht.

[rick]

Ich nehme an du meintest . Als Lösung, mit Hilfe dieses neuen Zahlenkörpers, ergibt sich dann .
Also ist
(ab hier ist das x ein neues)
Man kann nun komplexe Zahlen als Paare von reellen Zahlen definieren.
Also ist ein Element aus der Menge x
heißt Realteil und Imaginärteil und als Zahl wird auch so dargestellt:

Hier hat man nun folgende Verknüpfungen:

Die "Addition"

und die "Multiplikation"

Du kannst ja nun mal nachprüfen oder versuchen, ob diese Verknüpfungen tatsächlich die Körpereigenschaften erfüllen (Wenn wir schon mit Körpern anfangen, dann auch richtig ).
(Abgeschlossenheit, Kommutativ(+,*), Assoziativ(*,+),Null-u.Eins-element,Inverses(+,*) und die zwei Distributiv Gesetze ) . Die meisten sollten durch einfaches nachrechnen auffindbar sein.


2te Frage: Wie kann man nun mit den Zahlen-Paaren von oben die imaginäre Einheit darstellen?

Zum nächsten mal würde ich dann Vorschlagen die Konjugation und den Betrag zu behandeln.

[Alexander]

Wenn für die komplexen Zahlen die Rechenregeln der reellen Zahlen anwendbar sind, sollte auch ein Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz gelten. Nullelement ist die Null im Falle der Addition, das Einselement im Falle der Multiplikation ist eine positive 1.

Die imaginäre Einheit i könnte man vielleicht darstellen, indem man etwa die Formel für die Mulitplikation hernimmt und nach i auflöst, dann hat man eine Darstellung im Falle der Mulitiplikation dieser Zahl.

[rick]

Das man für die Addition noch "sieht" das man diese Regeln einfach übertragen kann, dabei gehe ich noch mit (obwohl man das manchmal wirklich einfach mal per Hand nachprüfen sollte, das schafft auch Sicherheit). Allerdings für die Multiplikation sehe ich das nicht so. Da wäre es schon schön, wenn du das einfach mal nachrechnest. Da bekommste auch gleich ein bisschen Übung .

Und nicht vergessen, wir betrachten hier NUR Zahlenpaare, also ist die Null im Fall der Addition (0,0) und das Einselement (1,0). Und nun stell doch mal bitte die Imaginäre Einheit mit so einen Zahlenpaar dar.

Der Betrag einer komplexen Zahl ist . Wie du siehst ist der Betrag kein Zahlentupel mehr, er stellt also wieder eine reelle positive Zahl dar. Anschaulich ist der Betrag folgendes: Wenn du die komplexe Zahl als einen Vektor in der X-Y Ebene siehst (Was ja naheliegend ist, da die komplexe Zahl ein Paar aus reellen Zahlen ist und daher sowas wie Koordinaten darstellt), dann kannst du über z, mit x und y ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Wenn du den Pythagoras nun umstellst, kommst du auf den Betrag, welcher nichts anderes als die Länge des Vektors darstellt.

Die Konjungation von einer Zahl ist . Sprich der Imaginärteil ändert das Vorzeichen. In Paar-Schreibweise: .
In der X-Y Ebene kann man sich das so vorstellen: Da der Realteil gleich bleibt, sich aber der Imaginärteil verändert, wird der Vektor an der Realteilachse (X) gespiegelt.

Übung
Du könntest nun mal folgendes nachrechnen( ):
Wenn du dann noch Lust hast, kannst du versuchen nachzuweisen warum
Und bitte mit ausführlichen Lösungsweg , damit man eventuelle Fehler sieht.
Gruß Rick

[Alexander]

Assoziativgesetz: Wenn ich von ausgehe und damit das Assoziativgesetz bilde mit a+b+z = a+b+, dann sollte das Assoziativgesetz für die Addition gelten: (a+b)+ = a+(b+)
Assoziativgesetz der Multiplikation, ebenfalls mit diesem z: a*b*z = a*b* = a*(b* = (a*b)*

Ich habe jetzt den Betrag einer komplexen Zahl genommen, da ich i doch nicht einfach einsetzen kann, da, wenn ich mit reellen Zahlen rechnen will und ich -1 hernehmen will, ja i² bräuchte.

Kommutativgesetz: a+b+z = a+z+b = b+z+z. Ich denke, das sollte so gehen, wenn ich wieder zugrunde lege. Selbiges bei der Multiplikation: a*b*z = b*z*a = z*a*b.

Distributivgesetz: a*(b+z) = ab * az, auch das sollte mit dem Betrag von z gehen.

Wie man allerdings die gefragte Abgeschlossenheit zeigen könnte, dazu fällt mir nicht wirklich was ein, vielleicht mit Folgen, die in C immer konvergieren?

Und die Darstellung von i in Tupelform, ich habe mir überlegt, vielleicht so: (a,b) = a+bi ?

Das waren jetzt die Antworten auf die im vorherigen Beitrag gestellten Fragen. Zu den neuen Fragen fällt mir kein Ansatz ein.

[rick]

Nein...

Du verwürfelst da was im Kopf. Das i hat dich hier erstmal gar nicht zu interessieren, ebenso wenig ist der Betrag notwendig. Tun wir doch bitte mal so, als gebe es NUR Zahlentupel. Kein i und nichts. Du hast also nun eine komplexe Zahl wobei der Realteil ist und der Imaginärteil. Mit diesen Zahlentupeln rechnen wir nun. Dabei können wir erstmal nur + und mal rechnen. Und zwar nach den oben (in den anderen Post von mir) definierten Regeln.

Nun prüfen wir die Körperaxiome für diese Tupel.
Hier sind nochmal die zu prüfenden Axiome (ich werde im folgenden die komplexe Zahl , , nennen:
a+b=b+a ; a*b=b*a (Kommutativ)
a+(b+c)=(a+b)+c ; a*(b*c)=(a*b)*c (Assoziativ)
a*(b+c)=a*b+a*c (Distributiv)
a+0=a; a*1=a (neutrales Element (1(*),0(+)))
a+(-a)=0;a*a^-1=1 (inverses Element)

Hier mal 3 Beispiele, den Rest kannst du dann mal selbst versuchen, mit Tupeln
Mit den komplexen Zahlen a,b,c.
Kommutativ für die Addition:

Hier habe ich nur die Addition wie oben definiert benutzt, sowie die Kommutativität der reellen Zahlen in Schritt 3.

Assoziativ für die Addition:


Hier habe ich diesmal ausschließlich nur die Addition, wie oben definiert, verwendet.

Distributiv:




Hier hab ich dann auch noch die Multiplikation, wie oben vereinbart, verwendet (in Schritt 3 und in Schritt 6 "rückwärts").

Den Rest kannst du nun machen.
Das ganze mit den i ist einfach nur eine andere Schreibweise für diese Zahlentupel. Somit ist die Einheit i zb. in Zahlentupelform: (0,1).


*Edit*
Vllt hilft dir ja das:
(x+iy)+(u+iv) = x+u+iy+iv=x+u+i(y+v)
(x+iy)*(u+iv) = x*u+iy*u+x*iv+iy*iv = xu+iyu+ixv-yv = xu-yv +i(yu+xv)

Wie du siehst kommt also die Tupel Rechenvorschrift raus, wenn man anstatt mit Tupeln mit der i Schreibweise rechnet.
In Tupeln:
Die "Addition"

und die "Multiplikation"

Gruß Rick

[Alexander]

Du siehst jetzt bestimmt, warum ich gern mit den komplexen Zahlen weitermachen wollte, die kommen mir nach wie vor etwas obskur vor...
Also die noch nicht gelösten Aufgaben:

Wenn du dann noch Lust hast, kannst du versuchen nachzuweisen warum

Ich versuche jetzt, die Tupelschreibweise anzuwenden: kann man mit Tupeln schreiben als z = (z,0) und w = (w,0) und wenn man die Multiplikation anwendet bekommt man wieder den gegebenen Ausdruck: (z,0)*(w,0) = (z*w - 0*0, z*0+0*w) = z*w (Wie macht man denn diese senkrechten Striche, die man etwa beim Schreiben eines Betrages verwendet?)

Bei dem zweiten Ausdruck muss man mit der Addition verfahren: (ix+iy)+(iu+iv) = i(x+u)+i(y+v). Wenn die Beträge in den Klammern negativ sind, ergibt sich letztlich wieder die Plus-Operation, sodass dann der Fall (z+w) = z + w gilt. Wenn einer der beiden beträge negativ bleibt, dann gilt das <-Zeichen.

Du könntest nun mal folgendes nachrechnen( ):

Hier weiß ich immer noch nicht wirklich weiter, auch wenn ich vielleicht eine Idee habe.

[rick]

Nein, leider nicht.

Also das ist am schwersten. daher hab ich da gesagt, wenn du es versuchen willst.
Halt dich lieber erstmal an:
):

Die Senkrechten Striche des Betrags hab ich auf der Tastatur ^^, auf der taste mit den < und > Zeichen.

Also gehen wir mal die erste an. . Schreibe mal bitte z und (mit tex->\bar{z}) in der Tupel schreibweise auf. Ich hab das weiter oben schonmal gezeigt. Und bitte, ab jetzt will ich erstmal kein i sehen, das bringt dich nur durcheinander . Alles in Tuppel-schreibweise, ohne i !
Wenn du diese zwei Tupel hast, dann wende bitte mal die Tupel-Multiplikation drauf an. Also einfach wie oben gezeigt. Und das schreibst du mal bitte hier ins Forum. Schritt für Schritt. (Sonst kann ich nicht sehen, wo es eventuell Fehler gibt.)

Gruß Rick

*edit* Hab gesehn, dass du noch recht jung bist, vielleicht sollten wir erst mal darüber reden, was du überhaupt bis jetzt in der Schule hattest. Hab bisher nämlich den "Abistoff" quasi vorausgesetzt. Wenn du fragen, zu dem hast, was ich bisher geschrieben habe. Wie ich auf bestimmte Schritte komme, dann frag nach! Wer nicht fragt, bleibt dumm . Ich geb mir zwar mühe aber kann nicht "sehen" wo du Probleme hast, wenn du es mir nicht sagst. Zb. hab ich ja oben auch einfach von Vektoren geredet. Das hätte ich vielleicht nicht machen sollen. Wenn du diese vielleicht noch nicht hattest. Du kannst mich auf sowas aufmerksam machen. Die komplexen Zahlen kann man auch ohne den ganzen "schnickschnack" aufziehen.

*edit*2
Ich hab gesehn, dass du z und w als (z,0) und (w,0) schreiben wolltest, warum? Z und w sind wie oben vereinbart, allgemein komplexe Zahlen und besitzen einen Imaginärteil und einen Realteil. Also wären die Zahlen eher so: . Für den Rest brauchst du aber die Aufgaben vorher. Ich mache hier alles Schritt für Schritt

Reelle Zahlen ! z und w ...

...kann man mit Tupeln schreiben als z = (z,0) und w = (w,0) und wenn man die Multiplikation anwendet bekommt man wieder den gegebenen Ausdruck: (z,0)*(w,0) = (z*w - 0*0, z*0+0*w) = z*w

. Damit hast du gezeigt das R einen sogenannten Unterkörper zu C bildet. Aber darauf genauer einzugehen, geht gerade zu weit.