Das sollte wohl so heißen:
Das inverse Element zu (a,b) war (a/(a²+b²) , - b/(a²+b²)). Wenn ich das mit der imaginären Einheit i schreibe, komme ich auf Folgendes:
a/(a²+b²) -ib/(a²+b²)
Aber dann stimmt's.
Kann ich aus i*i = -1, was also nichts anderes ist als (0,1)*(0,1) = (-1,0) schließen, dass die Multiplikation zweier komplexer Zahlen, zweier imaginärer Einheiten eine reelle Zahl liefert? Ist das der Grund für die oftmalige Verwendung der imagnären Einheit in der Physik? Oder hat das einen anderen Grund?
Das ist in vielerlei Hinsicht eine ziemlich subtile Frage, die du da stellst. Um die erste Frage zu beantworten, müsste man genau verstehen, wie die reellen Zahlen konstruiert sind. Da das mit Physik so dermaßen wenig zu tun hat, wie es nur geht, will ich das hier nicht durchdiskutieren. Die genaue Antwort auf deine Frage, ob man i²=-1
schließen kann, lautet nein, weil Zahlenpaare einfach etwas anderes sind, als Zahlen.
Da sich aber die Zahlenpaare (a,0) in jeder Situation exakt so verhalten, wie reelle Zahlen, macht es in (fast) keiner Anwendung einen Unterschied, ob man mit reellen Zahlen a oder Zahlenpaaren (a,0) arbeitet, deshalb kann man sie als gleich
ansehen. Mathematiker sagen, man kann die Zahlenpaare der Form (a,0) mit den reellen Zahlen a
identifizieren.
Aber wie gesagt, ob nun wirklich Gleichheit gilt, oder nicht, ist letztendlich egal, weil man nie einen Unterschied feststellen wird.
(Übrigens: Falls dich interessiert, wie die reellen Zahlen konstruiert sind, schau in irgendein Buch über Analysis 1. Da steht das immer ganz am Anfang.)
Warum man in der Physik so oft komplexe Zahlen verwendet, hat sehr unterschiedliche Gründe. Manchmal ist es nur eine Bequemlichkeit (eine "Rechenhilfe"), aber manchmal führt tatsächlich kein Weg daran vorbei. Das hat natürlich alles damit zu tun, das i²=-1 gilt. Wir werden sogar bald sehen, dass sich daraus ziemlich coole sachen ergeben.
Beispiele, für Situationen, in denen man komplexe Zahlen als Rechenhilfe nimmt, sind:
- In elektronischen Schaltungen, an denen eine Wechselspannung anliegt, wirken verschiedene Bauteile (z.B. Spule oder Kondensator) teilweise wie elektrische Widerstände (abhängig von der Frequenz der Wechselspannung). Es stellt sich heraus, dass sich viele Rechnungen stark vereinfachen, wenn man annimmt, diese Widerstände seien komplexe Zahlen. Das kann man tatsächlich konsistent machen und es ändert keine physikalischen Ergebnisse (d.h. man wird nie herausbekommen, dass die Spule eine Induktivität von 5i hat, oder sowas. Das wäre natürlich unsinnig).
- Um Schwingungen (z.B. eines Pendels) zu beschreiben, benutzt man in der klassischen Mechanik normalerweise die Funktionen sin und cos (macht ja anschaulich schon irgendwie Sinn. Die beiden Funktionen oszillieren halt). Es stellt sich heraus, dass es oft rechnerisch viel einfacher ist, Schwingungen mit der Funktion e[up]ix[/up] zu beschreiben. Diese Beschreibung ist vollkommen gleichwertig zu der mit sin und cos, aber das Rechnen damit ist oft einfacher.
Ein Beispiel für eine Situation, wo komplexe Zahlen unvermeidbar sind, und
nicht nur als Rechenhilfe dienen, findet sich in der Quantenmechanik. Dort beschreibt man die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens mithilfe einer sog.
Wellenfunktion 
. Aus physikalischen Gründen
muss diese Funktion (i.A.) komplexwertig sein! Hier handelt es sich tatsächlich nicht um eine Rechenhilfe, sondern die Natur verhält sich einfach so.
Dennoch ist diese Wellenfunktion nichts physikalisch messbares. Messbar ist nur die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens. Diese ist durch
|^2)
gegeben und damit wieder reell. D.h. man
braucht komplexe Zahlen, um die Aufenthaltswahrscheinlichkeit korrekt zu beschreiben, aber man wird niemals eine physikalische Größe
messen und dann eine komplexe Zahl herausbekommen.
, jetzt musst du das ganze nur noch als Tupel schreiben 
