Mit Zahlenpaaren könnte es aber auch gut gehen und da wir schon angefangen haben, bin ich gespannt, wie das läuft. Ich versuche mal, noch ein paar einführende Worte dazu zu sagen, bzw. den Anfang etwas umzuformulieren.
Wir kennen die reellen Zahlen
Man kann sich jetzt die Frage stellen, wie man in dieser neuen Menge rechnen kann. Zahlenpaare sind erstmal völlig neue Objekte, für die wir bisher keine Addition definiert haben (wir können nur x und y separat addieren und multiplizieren, aber nicht (x,y)mit irgendwas). Es gibt verschiedene Wege, dies zu tun. Man kann beispielsweise die Summe zweier Paare (x,y),(x',y') definieren, als
Damit hat man eine Vorschrift definiert, die zwei gegebenen Zahlenpaaren ein neues Zahlenpaar zuordnet und man kann nachrechnen, dass diese Definition alle Regeln erfüllt, die man sich von einer "Addition" wünscht (nämlich Kommutativ- und Assoziativgesetz). Damit können wir in unserer neuen Menge schon ein bisschen rechnen.
Was aber auch schön wäre, wäre eine weitere Verknüpfung, die die Menge
Dies kann man tun, es kommen auch einigermaßen vernünftige Rechenregeln zustande. Wir können aber auch eine andere Verknüpfung definieren, wenn wir wollen. Kann ja gut sein, dass es noch viele andere Verknüpfungen gibt, die unsere Forderungen erfüllen. Eine Möglichkeit für eine andere "Multiplikation" wäre:
Damit hab wir zweifelsfrei wieder zwei Zahlenpaaren ein neues Paar zugeordnet und das ist die Verknüpfung, die wir nun weiter betrachten wollen.
Um sicher sein zu können, dass diese Definition gut war, sollten wir prüfen, ob Kommutativ- Assoziativ- und Distributivgesetz erfüllt sind.
Das überlasse ich dir als Übungsaufgabe:
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