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Analysis-Frage-Antwort
Re: Analysis-Frage-Antwort
Soweit habe ich das verstanden, nur eine Sache noch nicht so ganz. Wie kommt man zu |a-b|=|a-an+an-bn+bn-b| ?
Re: Analysis-Frage-Antwort
und , du fügst also nur zwei Nullen in ein.
Re: Analysis-Frage-Antwort
Einfach a[down]n[/down] und b[down]n[/down] addiert und wieder abgezogen. Dann hat man nichts verändert.
Re: Analysis-Frage-Antwort
Schritt 2: Die Binomische Formel.
In diesem Schritt stelle ich kurz eine Verallgemeinerung der Binomischen Formeln
(a+b)²=a²+2ab+b²
(a-b)²=a²-2ab+b²
vor.
Es gibt nämlich eine Formel, mit der man allgemeine Ausdrücke der Form
ausschreiben kann. Diese werden wir benötigen und deshalb stelle ich sie kur vor und erläutere sie ein bisschen.
Definition: Zu einer positiven ganzen Zahl n ist die Fakultät dieser Zahl definiert durch
(lies: "n-Fakultät").
Wir haben also hier eine Kurzschreibweise dafür eingeführt, eine Zahl mit all ihren Vorgängern zu multiplizieren.
Beispiele:
1!=1
2!=2
3!=6
4!=24
5!=120
...
Aus Bequemlichkeit definiert man zusätzlich 0!=1.
Satz: Die allgemeine Binomische Formel lautet nun wie folgt:
Weil der Ausdruck auf den ersten Blick etwas abschreckend aussieht, rechnen wir kurz etwas damit. Wir leiten die 'erste Binomische Formel' von oben her, d.h. wir rechnen mit (**) den Fall n=2 aus.
Nach (**) gilt für n=2:
(die zweite Binomische Formel folgt genau so, wenn man b durch -b ersetzt)
Falls Du dich damit selbst vertraut machen willst, kannst du versuchen, die Formel für n=3 anzuwenden. Du kannst sogar testen, ob dein Ergebnis stimmt, indem du einmal die Formel (**) benutzt und einmal die drei Klammern (a+b)(a+b)(a+b) von Hand ausmultiplizierst.
In diesem Schritt stelle ich kurz eine Verallgemeinerung der Binomischen Formeln
(a+b)²=a²+2ab+b²
(a-b)²=a²-2ab+b²
vor.
Es gibt nämlich eine Formel, mit der man allgemeine Ausdrücke der Form
ausschreiben kann. Diese werden wir benötigen und deshalb stelle ich sie kur vor und erläutere sie ein bisschen.
Definition: Zu einer positiven ganzen Zahl n ist die Fakultät dieser Zahl definiert durch
(lies: "n-Fakultät").
Wir haben also hier eine Kurzschreibweise dafür eingeführt, eine Zahl mit all ihren Vorgängern zu multiplizieren.
Beispiele:
1!=1
2!=2
3!=6
4!=24
5!=120
...
Aus Bequemlichkeit definiert man zusätzlich 0!=1.
Satz: Die allgemeine Binomische Formel lautet nun wie folgt:
Weil der Ausdruck auf den ersten Blick etwas abschreckend aussieht, rechnen wir kurz etwas damit. Wir leiten die 'erste Binomische Formel' von oben her, d.h. wir rechnen mit (**) den Fall n=2 aus.
Nach (**) gilt für n=2:
(die zweite Binomische Formel folgt genau so, wenn man b durch -b ersetzt)
Falls Du dich damit selbst vertraut machen willst, kannst du versuchen, die Formel für n=3 anzuwenden. Du kannst sogar testen, ob dein Ergebnis stimmt, indem du einmal die Formel (**) benutzt und einmal die drei Klammern (a+b)(a+b)(a+b) von Hand ausmultiplizierst.
Re: Analysis-Frage-Antwort
Hab die Formel gerade für (a+b)³ angewendet und bin auf a³+3a²b+3ab²*b³ gekommen.
Re: Analysis-Frage-Antwort
Das letzte * soll wohl ein + sein, aber dann ist das Ergebnis komplett richtig
Sonst noch irgendwelche Fragen vor Schritt 3?
Sonst noch irgendwelche Fragen vor Schritt 3?
Re: Analysis-Frage-Antwort
Ja, das sollte natürlich ein Plus sein.
Nein, dann kannst du Schritt Drei machen.
Nein, dann kannst du Schritt Drei machen.
Re: Analysis-Frage-Antwort
Schritt 3: Eine andere Darstellung der Euler'schen Zahl.
Wir werden zeigen, dass nicht nur gilt
,
sondern auch
(wobei das "!" wieder die Fakultät bezeichnet).
Die zweite Darstellung mit der unendlichen Summe soll hier nichts anderes bedeuten, als dass die Zahl e der Grenzwert (wie wir ihn hier definiert haben) der Folge
ist.
Was wir in diesem Schritt beweisen werden, ist also die Aussage:
Die beiden Folgen und haben den selben Grenzwert!
Beweis:
Wir bezeichnen den Grenzwert der Summe zunächst mit und zeigen dann
und
.
Dann muss sein.
1) :
Nach der Binomischen Formel gilt
.
Für die einzelnen Summanden gilt offenbar
.
Also gilt , und dies gilt für alle n, da wir keine Annahme über n gemacht haben! Damit gilt es auch für den Grenzwert der linken Seite, und somit
.
2) :
Die andere Richtung ist weniger einfach. Wir wählen eine beliebige natürliche Zahl N und bemerken, dass für jedes n>N gilt:
Die rechte Klammer kann man umformen: , also haben wir insgesamt:
für alle n>N, und damit auch für n gegen unendlich. Damit erhalten wir:
,
da N/n für n gegen unendlich den Grenzwert 0 hat. Diese Ungleichung gilt nun aber für alle natürlichen Zahlen N (was anderes haben wir ja nicht benutzt), ohne dass die linke Seite von N abhängt. Dann ist aber auch e größer oder gleich dem Grenzwert der rechten Seite für N gegen Unendlich. Das bedeutet aber gerade
.
Also .
Wir werden zeigen, dass nicht nur gilt
,
sondern auch
(wobei das "!" wieder die Fakultät bezeichnet).
Die zweite Darstellung mit der unendlichen Summe soll hier nichts anderes bedeuten, als dass die Zahl e der Grenzwert (wie wir ihn hier definiert haben) der Folge
ist.
Was wir in diesem Schritt beweisen werden, ist also die Aussage:
Die beiden Folgen und haben den selben Grenzwert!
Beweis:
Wir bezeichnen den Grenzwert der Summe zunächst mit und zeigen dann
und
.
Dann muss sein.
1) :
Nach der Binomischen Formel gilt
.
Für die einzelnen Summanden gilt offenbar
.
Also gilt , und dies gilt für alle n, da wir keine Annahme über n gemacht haben! Damit gilt es auch für den Grenzwert der linken Seite, und somit
.
2) :
Die andere Richtung ist weniger einfach. Wir wählen eine beliebige natürliche Zahl N und bemerken, dass für jedes n>N gilt:
Die rechte Klammer kann man umformen: , also haben wir insgesamt:
für alle n>N, und damit auch für n gegen unendlich. Damit erhalten wir:
,
da N/n für n gegen unendlich den Grenzwert 0 hat. Diese Ungleichung gilt nun aber für alle natürlichen Zahlen N (was anderes haben wir ja nicht benutzt), ohne dass die linke Seite von N abhängt. Dann ist aber auch e größer oder gleich dem Grenzwert der rechten Seite für N gegen Unendlich. Das bedeutet aber gerade
.
Also .
Re: Analysis-Frage-Antwort
Also soweit habe ich das glaub verstanden, aber ich lese es mir nochmal durch.
Mal eine Zwischenfrage: Wir haben diesen Thread ja ursprünglich eröffnet, um in einem anderen Thread eine Diskussion über Feldtheorien führen zu können, oder? Wie viele der nötigen Kenntnisse haben wir eigentlich schon erreicht, nur dass ich mich mal orientieren kann?
Mal eine Zwischenfrage: Wir haben diesen Thread ja ursprünglich eröffnet, um in einem anderen Thread eine Diskussion über Feldtheorien führen zu können, oder? Wie viele der nötigen Kenntnisse haben wir eigentlich schon erreicht, nur dass ich mich mal orientieren kann?
Re: Analysis-Frage-Antwort
Für realistische Feldtheorien (z.B. Maxwell) in mehreren Dimensionen benötigst du Grundlagen der Vektoranalysis sowie der partiellen Differentialgleichungen.
Aber man kann natürlich auch Feldtheorien in einer Raumdimension untersuchen. Dazu benötigst du "nur" Integral- und Differentialrechnung sowie ein Grundverständnis von Differentialgleichungen.
Aber man kann natürlich auch Feldtheorien in einer Raumdimension untersuchen. Dazu benötigst du "nur" Integral- und Differentialrechnung sowie ein Grundverständnis von Differentialgleichungen.
Gruß
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
Re: Analysis-Frage-Antwort
Also bisher verhält es sich so, dass, wenn ich etwa bei Wikipedia, die ja mit mathematischen Formulierungen nicht sparsam ist, einen solchen Artikel über Feldtheorien oder Ähnliches lese, die von dir genannte Mathematik (partielle Differentialgleichungen, Vektoranalysis, Integralrechnung) zwar meistens nachvollziehen und den Kern des Artikels verstehen kann, aber wahrscheinlich auch oftmals nicht wirklich praktisch damit rechnen könnte. Kann man unter diesen Bedingungen eine feldtheoretische Diskussion parallel zu diesem Thread beginnen?
Re: Analysis-Frage-Antwort
http://page.math.tu-berlin.de/~ferus/skripten.html bzw http://page.math.tu-berlin.de/~ferus/ING. Für die Elektrodynamik wurde bei uns die Analysis 1-3 und ITPDG (Integraltransformationen und Part. Diff'gleichungen) vorausgesetzt. Nach meiner Meinung reicht für 80-90% auch Analysis 1, 2 und ITPDG.(Analysis 1 = eine veränderliche, Analysis 2 = mehrere veränderliche, Analysis 3 = Funktionentheorie). Auf den angegeben Links gibt es die Skripte für jede der Vorlesungen. Du solltest dich an den für "et" orientieren, da die auch auf die Elektrodynamik hinarbeiten. Die anderen ING-Skripte sind eher für Maschinenbauer. Sollten sich aber eher in den Beispielen unterscheiden. Jedenfalls kannst du dir dort ja mal einen Überblick verschaffen. Insgesamt sind das an die 400 Seiten Skript. Und ihr seid hier irgendwo in den ersten 50, würde ich schätzen.
Re: Analysis-Frage-Antwort
Ja, versuchen wir's malAlexander hat geschrieben:... Kann man unter diesen Bedingungen eine feldtheoretische Diskussion parallel zu diesem Thread beginnen?
Gruß
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
Re: Analysis-Frage-Antwort
Hast du dir mal die Links, die ich weiter oben gepostet habe, angegugt und geschaut wie weit du damit kommst? Wenn dort fragen auftreten, kann ich dir helfen.
Re: Analysis-Frage-Antwort
So. Wir haben also gesehen, dass man die Euler'sche Zahl einerseits als Grenzwert der Folge darstellen kann, aber auch als
.
Allgemeiner gilt die Gleichung
,
die sich für x=1 auf die von uns hergeleitete reduziert. Damit haben wir die Exponentialfunktion als unendliches Polynom dargestellt!
Frage: Angenommen, für unendliche Polynome gelten die gleichen Ableitungsregeln wie für endliche Polynome (also die, die wir schon kennen); Was wäre dann die Ableitung der e-Funktion?
.
Allgemeiner gilt die Gleichung
,
die sich für x=1 auf die von uns hergeleitete reduziert. Damit haben wir die Exponentialfunktion als unendliches Polynom dargestellt!
Frage: Angenommen, für unendliche Polynome gelten die gleichen Ableitungsregeln wie für endliche Polynome (also die, die wir schon kennen); Was wäre dann die Ableitung der e-Funktion?
Re: Analysis-Frage-Antwort
Ja, das tut sie, und genau das sieht man, wenn man die Reihe ableitet, wie ein Polynom.
Das wär also so ne Art Beweis, den Du damit vervollständigen würdest.
Das wär also so ne Art Beweis, den Du damit vervollständigen würdest.
Re: Analysis-Frage-Antwort
Also ich habs jetzt mal mit dem Differenzenquotient versucht und bin wieder auf e[up]x[/up] gekommen, indem ich das x als Exponent durch das bekannte fx + Delta x minus f(x) ersetzt habe, meinst du diesen Weg? Ich würde meine Rechnung hier rein stellen, wenn unser Scanner funktionieren würde.
Re: Analysis-Frage-Antwort
Ok, ich hab' wohl die Aufgabe zu unverständlich gestellt, bzw. zuviel Zeit vergehen lassen.
Wir haben die Darstellung
,
d.h. wir können die e-Funktion als unendliches Polynom schreiben.
Für Polynome kennen wir aber die Ableitungsregeln, nämlich
(x^n)'=nx^{n-1}.
Genau genommen dürfen wir diese Regel für die e-Funktion nicht anwenden, da diese ein unendliches Polynom ist, aber wir nehmen einfach mal an, dass es trotzdem geht.
Dann gilt mit dieser Regel:
Der Beweis, dass man die Regel tatsächlich anwenden darf, ist technisch und für uns zunächst nicht wichtig, deshalb hab' ich die Aussage einfach angenommen.
Wir haben die Darstellung
,
d.h. wir können die e-Funktion als unendliches Polynom schreiben.
Für Polynome kennen wir aber die Ableitungsregeln, nämlich
(x^n)'=nx^{n-1}.
Genau genommen dürfen wir diese Regel für die e-Funktion nicht anwenden, da diese ein unendliches Polynom ist, aber wir nehmen einfach mal an, dass es trotzdem geht.
Dann gilt mit dieser Regel:
Der Beweis, dass man die Regel tatsächlich anwenden darf, ist technisch und für uns zunächst nicht wichtig, deshalb hab' ich die Aussage einfach angenommen.
Re: Analysis-Frage-Antwort
Eine Frage noch zu der anderen Darstellung der e-Funktion, also die mit der Summe von k=0 bis Unendlich, wobei 1/k! summiert wird: Es handelt sich bei dieser ja um nichts anderes, als eine andere Darstellung desselben Grenzwertes. Kann man das mit allen Folgen machen, diese über eine Summe darstellen? Schon, oder?
Re: Analysis-Frage-Antwort
Nö, nicht unbedingt, zumindest nicht als Potenzreihe.
Es gibt natürlich eine triviale Art, eine Folge (a[down]n[/down]) als Reihe darzustellen, nämlich, indem man definiert:
s[down]0[/down]:=a[down]1[/down], und s[down]n[/down]:=a[down]n+1[/down]-a[down]n[/down].
Dann gilt:
s[down]0[/down]+s[down]1[/down] = a[down]1[/down]+a[down]2[/down]-a[down]1[/down] = a[down]2[/down]
s[down]0[/down]+s[down]1[/down]+s[down]2[/down] = a[down]1[/down]+a[down]2[/down]-a[down]1[/down]+a[down]3[/down]-a[down]2[/down] = a[down]3[/down]
usw.
Auf diese Weise kann man die Folgenglieder (a[down]n[/down]) durch Summen der s[down]n[/down] ausdrücken, aber dabei gewinnt man keine Erkenntnis.
Die Darstellung der e-Funktion als Potenzreihe ist durchaus etwas nichttriviales und hilfreiches.
Es gibt natürlich eine triviale Art, eine Folge (a[down]n[/down]) als Reihe darzustellen, nämlich, indem man definiert:
s[down]0[/down]:=a[down]1[/down], und s[down]n[/down]:=a[down]n+1[/down]-a[down]n[/down].
Dann gilt:
s[down]0[/down]+s[down]1[/down] = a[down]1[/down]+a[down]2[/down]-a[down]1[/down] = a[down]2[/down]
s[down]0[/down]+s[down]1[/down]+s[down]2[/down] = a[down]1[/down]+a[down]2[/down]-a[down]1[/down]+a[down]3[/down]-a[down]2[/down] = a[down]3[/down]
usw.
Auf diese Weise kann man die Folgenglieder (a[down]n[/down]) durch Summen der s[down]n[/down] ausdrücken, aber dabei gewinnt man keine Erkenntnis.
Die Darstellung der e-Funktion als Potenzreihe ist durchaus etwas nichttriviales und hilfreiches.
Re: Analysis-Frage-Antwort
Bevor wir weitermachen, mir ist gerade, als ich mir nochmals den ersten Teilbeweis in Schritt Drei durchgelesen habe, dass ich einen Schritt nicht gänzlich nachvollziehen kann, nämlich
Diese andere Darstellung der Summanden kann ich nicht komplett nachvollziehen. Kannst du den nochmal erläutern?breaker hat geschrieben:
Für die einzelnen Summanden gilt offenbar
.
Re: Analysis-Frage-Antwort
Klar:
1. bleibt einfach stehen.
2. , da sich die restlichen Faktoren wegkürzen.
3. (k-mal).
1. bleibt einfach stehen.
2. , da sich die restlichen Faktoren wegkürzen.
3. (k-mal).