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Analysis-Frage-Antwort

Mathematische Fragestellungen
Alexander

Re: Analysis-Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 31. Aug 2011, 14:40

Soweit habe ich das verstanden, nur eine Sache noch nicht so ganz. Wie kommt man zu |a-b|=|a-an+an-bn+bn-b| ?

rick
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Re: Analysis-Frage-Antwort

Beitrag von rick » 31. Aug 2011, 14:44

und , du fügst also nur zwei Nullen in ein.

breaker
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Re: Analysis-Frage-Antwort

Beitrag von breaker » 31. Aug 2011, 15:51

Einfach a[down]n[/down] und b[down]n[/down] addiert und wieder abgezogen. Dann hat man nichts verändert.

Alexander

Re: Analysis-Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 1. Sep 2011, 13:58

OK, dann sollte alles klar sein.

breaker
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Re: Analysis-Frage-Antwort

Beitrag von breaker » 4. Sep 2011, 23:04

Schritt 2: Die Binomische Formel.

In diesem Schritt stelle ich kurz eine Verallgemeinerung der Binomischen Formeln
(a+b)²=a²+2ab+b²
(a-b)²=a²-2ab+b²
vor.

Es gibt nämlich eine Formel, mit der man allgemeine Ausdrücke der Form

ausschreiben kann. Diese werden wir benötigen und deshalb stelle ich sie kur vor und erläutere sie ein bisschen.

Definition: Zu einer positiven ganzen Zahl n ist die Fakultät dieser Zahl definiert durch

(lies: "n-Fakultät").

Wir haben also hier eine Kurzschreibweise dafür eingeführt, eine Zahl mit all ihren Vorgängern zu multiplizieren.
Beispiele:
1!=1
2!=2
3!=6
4!=24
5!=120
...
Aus Bequemlichkeit definiert man zusätzlich 0!=1.

Satz: Die allgemeine Binomische Formel lautet nun wie folgt:


Weil der Ausdruck auf den ersten Blick etwas abschreckend aussieht, rechnen wir kurz etwas damit. Wir leiten die 'erste Binomische Formel' von oben her, d.h. wir rechnen mit (**) den Fall n=2 aus.
Nach (**) gilt für n=2:








(die zweite Binomische Formel folgt genau so, wenn man b durch -b ersetzt)

Falls Du dich damit selbst vertraut machen willst, kannst du versuchen, die Formel für n=3 anzuwenden. Du kannst sogar testen, ob dein Ergebnis stimmt, indem du einmal die Formel (**) benutzt und einmal die drei Klammern (a+b)(a+b)(a+b) von Hand ausmultiplizierst.

Alexander

Re: Analysis-Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 9. Sep 2011, 14:15

Hab die Formel gerade für (a+b)³ angewendet und bin auf a³+3a²b+3ab²*b³ gekommen.

breaker
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Re: Analysis-Frage-Antwort

Beitrag von breaker » 9. Sep 2011, 19:35

Das letzte * soll wohl ein + sein, aber dann ist das Ergebnis komplett richtig ;)

Sonst noch irgendwelche Fragen vor Schritt 3?

Alexander

Re: Analysis-Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 9. Sep 2011, 23:46

Ja, das sollte natürlich ein Plus sein.

Nein, dann kannst du Schritt Drei machen.

breaker
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Re: Analysis-Frage-Antwort

Beitrag von breaker » 12. Sep 2011, 12:55

Schritt 3: Eine andere Darstellung der Euler'schen Zahl.

Wir werden zeigen, dass nicht nur gilt

,

sondern auch


(wobei das "!" wieder die Fakultät bezeichnet).

Die zweite Darstellung mit der unendlichen Summe soll hier nichts anderes bedeuten, als dass die Zahl e der Grenzwert (wie wir ihn hier definiert haben) der Folge

ist.
Was wir in diesem Schritt beweisen werden, ist also die Aussage:

Die beiden Folgen und haben den selben Grenzwert!

Beweis:
Wir bezeichnen den Grenzwert der Summe zunächst mit und zeigen dann
und
.
Dann muss sein.

1) :
Nach der Binomischen Formel gilt
.

Für die einzelnen Summanden gilt offenbar

.

Also gilt , und dies gilt für alle n, da wir keine Annahme über n gemacht haben! Damit gilt es auch für den Grenzwert der linken Seite, und somit
.

2) :
Die andere Richtung ist weniger einfach. Wir wählen eine beliebige natürliche Zahl N und bemerken, dass für jedes n>N gilt:


Die rechte Klammer kann man umformen: , also haben wir insgesamt:

für alle n>N, und damit auch für n gegen unendlich. Damit erhalten wir:

,
da N/n für n gegen unendlich den Grenzwert 0 hat. Diese Ungleichung gilt nun aber für alle natürlichen Zahlen N (was anderes haben wir ja nicht benutzt), ohne dass die linke Seite von N abhängt. Dann ist aber auch e größer oder gleich dem Grenzwert der rechten Seite für N gegen Unendlich. Das bedeutet aber gerade
.

Also .

Alexander

Re: Analysis-Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 14. Sep 2011, 17:35

Also soweit habe ich das glaub verstanden, aber ich lese es mir nochmal durch.

Mal eine Zwischenfrage: Wir haben diesen Thread ja ursprünglich eröffnet, um in einem anderen Thread eine Diskussion über Feldtheorien führen zu können, oder? Wie viele der nötigen Kenntnisse haben wir eigentlich schon erreicht, nur dass ich mich mal orientieren kann?

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Re: Analysis-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 14. Sep 2011, 17:38

Für realistische Feldtheorien (z.B. Maxwell) in mehreren Dimensionen benötigst du Grundlagen der Vektoranalysis sowie der partiellen Differentialgleichungen.

Aber man kann natürlich auch Feldtheorien in einer Raumdimension untersuchen. Dazu benötigst du "nur" Integral- und Differentialrechnung sowie ein Grundverständnis von Differentialgleichungen.
Gruß
Tom

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Alexander

Re: Analysis-Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 14. Sep 2011, 18:03

Also bisher verhält es sich so, dass, wenn ich etwa bei Wikipedia, die ja mit mathematischen Formulierungen nicht sparsam ist, einen solchen Artikel über Feldtheorien oder Ähnliches lese, die von dir genannte Mathematik (partielle Differentialgleichungen, Vektoranalysis, Integralrechnung) zwar meistens nachvollziehen und den Kern des Artikels verstehen kann, aber wahrscheinlich auch oftmals nicht wirklich praktisch damit rechnen könnte. Kann man unter diesen Bedingungen eine feldtheoretische Diskussion parallel zu diesem Thread beginnen?

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Re: Analysis-Frage-Antwort

Beitrag von rick » 14. Sep 2011, 19:00

http://page.math.tu-berlin.de/~ferus/skripten.html bzw http://page.math.tu-berlin.de/~ferus/ING. Für die Elektrodynamik wurde bei uns die Analysis 1-3 und ITPDG (Integraltransformationen und Part. Diff'gleichungen) vorausgesetzt. Nach meiner Meinung reicht für 80-90% auch Analysis 1, 2 und ITPDG.(Analysis 1 = eine veränderliche, Analysis 2 = mehrere veränderliche, Analysis 3 = Funktionentheorie). Auf den angegeben Links gibt es die Skripte für jede der Vorlesungen. Du solltest dich an den für "et" orientieren, da die auch auf die Elektrodynamik hinarbeiten. Die anderen ING-Skripte sind eher für Maschinenbauer. Sollten sich aber eher in den Beispielen unterscheiden. Jedenfalls kannst du dir dort ja mal einen Überblick verschaffen. Insgesamt sind das an die 400 Seiten Skript. Und ihr seid hier irgendwo in den ersten 50, würde ich schätzen.

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Re: Analysis-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 14. Sep 2011, 20:58

Alexander hat geschrieben:... Kann man unter diesen Bedingungen eine feldtheoretische Diskussion parallel zu diesem Thread beginnen?
Ja, versuchen wir's mal
Gruß
Tom

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Alexander

Re: Analysis-Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 1. Okt 2011, 17:11

Wann machen wir eigentlich hier weiter?

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Re: Analysis-Frage-Antwort

Beitrag von rick » 1. Okt 2011, 17:40

Hast du dir mal die Links, die ich weiter oben gepostet habe, angegugt und geschaut wie weit du damit kommst? Wenn dort fragen auftreten, kann ich dir helfen.

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Re: Analysis-Frage-Antwort

Beitrag von breaker » 11. Okt 2011, 22:05

So. Wir haben also gesehen, dass man die Euler'sche Zahl einerseits als Grenzwert der Folge darstellen kann, aber auch als

.

Allgemeiner gilt die Gleichung

,

die sich für x=1 auf die von uns hergeleitete reduziert. Damit haben wir die Exponentialfunktion als unendliches Polynom dargestellt!

Frage: Angenommen, für unendliche Polynome gelten die gleichen Ableitungsregeln wie für endliche Polynome (also die, die wir schon kennen); Was wäre dann die Ableitung der e-Funktion?

Alexander

Re: Analysis-Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 13. Okt 2011, 15:18

Reproduziert sich die e-Funktion nicht selber?

breaker
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Re: Analysis-Frage-Antwort

Beitrag von breaker » 13. Okt 2011, 18:30

Ja, das tut sie, und genau das sieht man, wenn man die Reihe ableitet, wie ein Polynom.

Das wär also so ne Art Beweis, den Du damit vervollständigen würdest.

Alexander

Re: Analysis-Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 14. Okt 2011, 17:51

Also ich habs jetzt mal mit dem Differenzenquotient versucht und bin wieder auf e[up]x[/up] gekommen, indem ich das x als Exponent durch das bekannte fx + Delta x minus f(x) ersetzt habe, meinst du diesen Weg? Ich würde meine Rechnung hier rein stellen, wenn unser Scanner funktionieren würde.

breaker
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Re: Analysis-Frage-Antwort

Beitrag von breaker » 15. Okt 2011, 11:29

Ok, ich hab' wohl die Aufgabe zu unverständlich gestellt, bzw. zuviel Zeit vergehen lassen.

Wir haben die Darstellung
,
d.h. wir können die e-Funktion als unendliches Polynom schreiben.

Für Polynome kennen wir aber die Ableitungsregeln, nämlich
(x^n)'=nx^{n-1}.

Genau genommen dürfen wir diese Regel für die e-Funktion nicht anwenden, da diese ein unendliches Polynom ist, aber wir nehmen einfach mal an, dass es trotzdem geht.
Dann gilt mit dieser Regel:



Der Beweis, dass man die Regel tatsächlich anwenden darf, ist technisch und für uns zunächst nicht wichtig, deshalb hab' ich die Aussage einfach angenommen.

Alexander

Re: Analysis-Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 15. Okt 2011, 13:46

Eine Frage noch zu der anderen Darstellung der e-Funktion, also die mit der Summe von k=0 bis Unendlich, wobei 1/k! summiert wird: Es handelt sich bei dieser ja um nichts anderes, als eine andere Darstellung desselben Grenzwertes. Kann man das mit allen Folgen machen, diese über eine Summe darstellen? Schon, oder?

breaker
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Re: Analysis-Frage-Antwort

Beitrag von breaker » 15. Okt 2011, 20:40

Nö, nicht unbedingt, zumindest nicht als Potenzreihe.

Es gibt natürlich eine triviale Art, eine Folge (a[down]n[/down]) als Reihe darzustellen, nämlich, indem man definiert:
s[down]0[/down]:=a[down]1[/down], und s[down]n[/down]:=a[down]n+1[/down]-a[down]n[/down].

Dann gilt:
s[down]0[/down]+s[down]1[/down] = a[down]1[/down]+a[down]2[/down]-a[down]1[/down] = a[down]2[/down]
s[down]0[/down]+s[down]1[/down]+s[down]2[/down] = a[down]1[/down]+a[down]2[/down]-a[down]1[/down]+a[down]3[/down]-a[down]2[/down] = a[down]3[/down]
usw.

Auf diese Weise kann man die Folgenglieder (a[down]n[/down]) durch Summen der s[down]n[/down] ausdrücken, aber dabei gewinnt man keine Erkenntnis.

Die Darstellung der e-Funktion als Potenzreihe ist durchaus etwas nichttriviales und hilfreiches.

Alexander

Re: Analysis-Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 15. Okt 2011, 21:12

Bevor wir weitermachen, mir ist gerade, als ich mir nochmals den ersten Teilbeweis in Schritt Drei durchgelesen habe, dass ich einen Schritt nicht gänzlich nachvollziehen kann, nämlich
breaker hat geschrieben:
Für die einzelnen Summanden gilt offenbar

.
Diese andere Darstellung der Summanden kann ich nicht komplett nachvollziehen. Kannst du den nochmal erläutern?

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Re: Analysis-Frage-Antwort

Beitrag von breaker » 15. Okt 2011, 22:58

Klar:

1. bleibt einfach stehen.

2. , da sich die restlichen Faktoren wegkürzen.

3. (k-mal).

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