Analysis-Frage-Antwort

[tomS]

So, ich habe ein neues Thema eröffnet: Trigonometrie-Frage-Antwort

[breaker]

Soo.
Sorry, dass ich wieder so lange abwesend war. Waren wieder Klausuren. Aber jetzt hab ich viel zeit

Wir hatten im Trigonometrie-Thread die Ableitung der Sinusfunktion berechnet. Es hatte sich
(sin(x))'=cos(x) ergeben.
Die Ableitung von Cosinus und Tangens stellen wir hinten an, weil wir dafür die Regeln benutzen wollen, die wir jetzt kennen lernen.

Als erstes stellen wir uns folgende Frage:
Wenn ich zwei Funktionen f und g habe, von denen ich die Ableitung kenne, was ist dann die Ableitung des Produktes dieser Funktionen, also der Funktion
h(x)=f(x)g(x)

(h(x) ist hier eine reine Namensgebung)

Wir suchen also nach einer Formel der Form h'(x)=[irgendwas mit f,g,f',g']



Erste Frage, um wieder ein bisschen rein zu kommen:
Wie war denn überhaupt nochmal die Ableitung einer Funktion definiert und was für Eigenschaften hatte sie?

[Alexander]

Die Ableitung ist die Steigung einer Tangente an einem bestimmten Punkt des Funktionsgraphen. Sie ist ein Maß dafür, wie steil die Steigung in einem bestimmten Punkt ist.

Die Ableitung einer Funktion ist wiederum eine Funktion.

[breaker]

Jap, ist alles richtig.
Die Formel, durch die die Ableitung definiert war, war folgende:



(kann sein, dass ich es mit einem formuliert hab, das gegen 0 geht. Die obige Formel ist äquivalent dazu. Man kann nämlich setzen, dann sind die Aussagen " geht gegen 0" und "y geht gegen x" äquivalent.)

Es galten folgende "Rechenregeln":
> (f(x)+g(x))' = f'(x)+g'(x)
> (a⋅f(x))' = a⋅f'(x)
(f,g sind Funktionen, a eine reelle Zahl)


So. Man könnte jetzt denken, dass für ein Produkt von Funktionen f(x)⋅g(x) eine analoge Regel gilt; sowas wie (f(x)⋅g(x))' = f'(x)g'(x) (in Worten hieße das, dass es egal ist, ob man erst ableitet, oder erst das Produkt bildet).
Aber diese Regel ist falsch!
Die tatsächliche Formel lautet wie folgt:

Seien f und g zwei Funktionen und f', g' deren Ableitungen. Dann kann man auch die Ableitung der Funktion f⋅g bilden und diese berechnet sich wie folgt:



Der Beweis dieser Formel ist relativ einfach. Was müssen wir tun? Wir müssen zeigen, dass man die Definition der Ableitung (die Formel mit dem Limes) so umschreiben kann, dass da steht. Versuchen wir das:
Wir müssen (f(x)⋅g(x))' berechnen. Das heißt, wir müssen in die Definition der Ableitung f(x)⋅g(x) anstatt f(x) einsetzen:

Und damit müssen wir jetzt irgendwas anfangen
Naja, erstmal kann ich jederzeit 0 addieren, ohne was zu ändern. Ich denke, das sollte klar sein
Also kann ich insbesondere im Zähler den Term f(x)g(y) addieren und dann wieder abziehen:

Das ist aber gerade das gleiche wie (f(x) und g(y) ausklammern und die Summe im Bruch auseinanderziehen):

Und wenn man den Limes jetzt ausführt, wird das zu


Also gerade das, was wir beweisen wollten.


Fragen?

[belgariath]

Toll erklärt! Kann mich nicht erinnern, die Herleitung der Produktregel schon mal so kurz und trotzdem so verständlich gesehen zu haben.
Du solltest Lehrer werden

[breaker]

Danke
Aber Lehrer... Nein, ich glaube nicht.
Und ehrlich gesagt bin ich mit der Herleitung sogar relativ unzufrieden, weil ich laufend viele Sachen verschweigen muss, um die Übersicht zu bewahren. So ist zum Beispiel überhaupt noch nicht geklärt, ob überhaupt (bzw. wann) lim(f+g)=lim(f)+lim(g) gilt; oder welche Funktionen überhaupt differenzierbar sind.
Daher ist mit den Erklärungen hier leider kein tiefes Verständnis möglich.
Aber anders ist es nunmal nicht in angemessener Zeit möglich, deshalb versuch ich irgendwie einen guten Mittelweg zu finden.

[belgariath]

So ist zum Beispiel überhaupt noch nicht geklärt, ob überhaupt (bzw. wann) lim(f+g)=lim(f)+lim(g) gilt; oder welche Funktionen überhaupt differenzierbar sind.

Genau das ist aber für Neulinge auch nicht wesentlich. Genau weil du es weggelassen hast, fand ich die Erklärung so gut. Die meisten Lehrer, Professoren oder Buchautoren hacken meiner Meinung nach viel zu sehr auf Konvergenzkriterien und Ähnlichem rum. Dann erkennt man oft das Wesentliche nicht mehr. (Vielleicht sehe ich das aber auch zu sehr aus Physikersicht !?)

[Alexander]

Bisher schon.

[breaker]

Gut, wenn das soweit klar ist, dann erproben wir es kurz an einem Beispiel:

Berechne die Ableitung der Funktion h(x) = x³⋅sin(x).


(Tipp: Setze f(x)=x³ und g(x)=sin(x) und benutze dann die hergeleitete Formel, um die Ableitung von f⋅g zu erhalten.)

[Alexander]

Erstmal eine Entschuldigung, dass ich so lange gebraucht habe, aber ich war die letzten fünf Tage nicht da.

Also soll ich das jetzt rechnen:

h(x) = x³⋅sin(x)
=x³g'(x)+sin(x)x³' ?

Ist diese Aufstellung so richtig?

[breaker]

So ist es.
Ich führe mal alle Schritte langsam durch:
Also, wir haben die Funktion h, die gegeben ist durch h(x)=x³sin(x). Das kann man schreiben als Produkt der Funktion x³ und der Funktion sin(x). Also, um es suggestiv darzustellen:

Nun wissen wir, dass für irgendein beliebiges Produkt von zwei Funktionen f und g gilt: (fg)'=f'g+g'f.
So. Jetzt kann uns ja keiner verbieten, x³ einfach f(x) zu nennen und sin(x) g(x) zu nennen.
Dann haben wir (rein formal) da stehen: h(x)=f(x)g(x). Hierbei ist noch garnix passiert. Wir haben nur umbenannt, um mehr Übersicht zu gewinnen.
So, nach unserer Ableitungsregel ist nun h'(x)=f'(x)g(x)+g'(x)f(x). Jetzt brauchen wir eigentlich nur noch f'(x) und g'(x) zu berechnen und dies einzusetzen, dann sind wir fertig.
Wir hatten: f(x)=x³ und g(x)=sin(x). Von diesen Funktionen kennen wir die Ableitungen. Sie sind:
f'(x)=3x² und g'(x)=cos(x).
Das sind genau die vier Terme, die in h'(x)=f'(x)g(x)+g'(x)f(x) vorkommen. Es ist also:
h'(x)=3x²sin(x) + cos(x)x³.

Verstanden?

Anmerkung: Natürlich MUSS man nicht f(x)=x³ und g(x)=sin(x) nennen. Das bot sich hier nur an. Da aber die Formel (fg)'=f'g+g'f, wie gesagt, für beliebige Funktionen f und g gilt, hätte man genau so gut f(x)=x² und g(x)=x sin(x) setzen können und wäre zum gleichen Ergebnis gekommen.
Man kann übrigens mit dieser Regel auch die schon bekannte Regel für Polynome (x[up]n[/up])'=nx[up]n-1[/up] beweisen. Zum Beispiel kann man h(x)=x² schreiben als h(x)=f(x)g(x) mit f(x)=x und g(x)=x und dann wieder die Produktregel anwenden. Wegen f'(x)=g'(x)=1 ergibt dies:

So kann man bei höheren Potenzen von x weitermachen.


Wenn du nochmal schauen willst, ob du es verstanden hast, kannst du ja mal probieren, die Ableitung von h(x)=x sin(x) zu berechnen.

[Alexander]

Ich habe das rausbekommen:

h(x)=x sin(x)
h(x)=f(x)g(x)

Anwenden der Produktregel:

h(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

Einsetzen der benötigten Ableitungen:

h(x)=0*sin(x)+x*cos(x)

Stimmt das so?

[breaker]

Nicht ganz, die 0 müsste ne 1 sein, aber das war wahrscheinlich ein Leichtsinnsfehler.
Sonst stimmt's.

[Alexander]

Bevor wir weitermachen muss ich nochmal was grundlegendes fragen. Jetzt haben wir uns ja schon lange mit Ableitungen befasst, aber was ist eigentlich nochmal die Motivation der Ableitung? Was kann man mit dieser nochmal anfangen, wenn man sie hat? Wann benötigt man sie?

[breaker]

Joa, könnte wohl echt nicht schaden, diese Frage mal zu klären...

Dazu wäre es glaub am sinnvollsten, wenn man das an Beispielen aus der Physik erläutert (denn deshalb machen wir ja den ganzen Aufwand hier eigentlich).
Falls Tom oder so Zeit hätte, könnte er ja mal vielleicht ein paar Beispiele zusammensuchen, die sich mit dem bereits erworbenen Wissen verstehen lassen. Ich bin sicher, da findet sich einiges. (vielleicht kann man sogar ein paar einfache Differentialgleichungen besprechen, mit F=ma, denn Bewegungsgleichungen sind wohl das grundlegendste überhaupt in der klassischen Mechanik und da braucht man einfach zwingend die Ableitung. Sobald wir die Ableitung des Cosinus haben, könnte man prinzipiell dran denken, den harmonischen Oszillator zu besprechen. Allerdings wäre das vielleicht alles ein bisschen viel auf einmal. Muss man sehen.)

Nur soviel für jetzt:
Wir wissen bereits, dass die Ableitung in einem bestimmten Punkt die Steigung der Tangente in diesem Punkt wiedergibt (genauer: der y-Wert der Ableitung ist die Steigung der Tangente). Anschaulich heißt das also, dass die Ableitung mir Information darüber gibt, wie schnell sich meine ursprüngliche Funktion ändert.
Das vermutlich wichtigste einfache Beispiel hierzu ist die Definition der physikalischen Größe Geschwindigkeit. Was ist Geschwindigkeit?
Eine leichte Methode, diese zu definieren, ist, einfach den zurückgelegten Weg durch die Zeit zu teilen, die man für diesen Weg benötigt hat (wenn wir also den Weg s nennen, die Zeit t und die Geschwindigkeit v, dann soll v=s/t sein). Das macht Sinn, denn wenn man viel Weg in wenig Zeit zurücklegt, war man offensichtlich schnell (s groß, t klein, also v groß) und umgekehrt, wenn man wenig Weg in viel Zeit zurücklegt, dann war man langsam (s klein, t groß, also v klein). Nun ist man aber nicht immer gleich schnell. Deshalb ist es nicht unbedingt ausreichend, immer nur Gesamtweg durch Gesamtstrecke zu teilen. Wenn man genau wissen will, wann man welche Geschwindigkeit hatte, müsste man den Weg in viele kleine Stücke unterteilen und diese Abschnitte immer durch die Zeiten teilen, die man benötigt hat, um sie zu durchqueren. Dann bekommt man für jeden Abschnitt eine Geschwindigkeit und kann sagen "da und da war ich so und so schnell". Wenn man es noch genauer wissen will, muss man die Abschnitte kleiner machen. Wenn man nun ganz ganz ganz genau wissen will, wann man welche Geschwindigkeit hatte, muss man die einzelnen Abschnitte ganz ganz ganz klein machen und dann durch die ganz ganz ganz kleine Zeit teilen, in der man sie durchquert hat.
Wenn wir das mathematisch formulieren, werden wir dadurch gerade auf die Ableitung geführt. Wenn wir mit s(t) den zurückgelegten Weg zur Zeit t bezeichnen, dann ist so ein kleiner Wegabschnitt gerade gegeben durch die Differenz s(t+h)-s(t) (wobei h die kleine Zeitdifferenz ist, in der der Abschnitt durchlaufen wird). In Worten: Strecke zur Zeit t+h minus Strecke zur Zeit t ergibt Strecke zwischen t und t+h.
Laut unseren obigen Überlegungen müssen wir dies noch durch die Zeitdifferenz (also h) teilen, um die Geschwindigkeit im Intervall von t bis t+h zu bekommen, also:

Und wenn ich jetzt die Geschwindigkeit nicht über ein Intervall gemittelt haben will, sondern sie zu jeden Zeitpunkt genau kennen will, muss ich h "unendlich klein" machen. Mathematisch heißt das, ich lasse h gegen 0 gehen, bilde also

Dies ist aber gerade die Ableitung von s.
Also:
Die Geschwintigkeit eines Körpers ist die Ableitung des von ihm zurückgelegten Weges nach der Zeit.


Dafür braucht man zum Beispiel die Ableitung.

[Alexander]

Achso, also man braucht die Ableitung immer, wenn man etwas zu einem bestimmten Moment genau wissen will oder ähnliches?

Die Geschwintigkeit eines Körpers ist die Ableitung des von ihm zurückgelegten Weges nach der Zeit.

Wo wir gerade dabei sind, schon sehr oft habe ich hier gelesen, dass die Beschleunigung die zweite Ableitung des Ortsvektors sein soll. Da hat man immer zuerst die Ableitung gebildet, die du in dem schön erklärten Beispiel gebildet hast und von dieser nochmals die Ableitung.

Wie bildet man sowas, wenn man eine Ableitung nochmals ableitet? Genau so wie die erste Ableitung?

Und die Punkte, die man da oft über beispielsweise das r beim Ortsvektor setzt, wenn man ableitet, die sollen aussagen, die wievielte Ableitung es ist, oder?

[breaker]

Man kann nicht sagen, dass man immer die Ableitung braucht, wenn man irgendetwas zu einem bestimmten Zeitpunkt genau wissen will.
Man braucht die Ableitung, wenn man die Änderung (=Steigung) einer Funktion an einem bestimmten Punkt genau kennen will.
Die Ableitung beschreibt, wie schnell sich etwas momentan ändert. Zum Beispiel ist recht klar, dass die Geschwindigkeit die Änderung der momentanen Position ist. Wenn man eine hohe Geschwindigkeit hat, ändert man seinen Ort schnell (erste Ableitung ist groß), wenn man eine niedrige Geschwindigkeit hat, dann ändert sich der Aufenthaltsort eben nicht so schnell (kleine erste Ableitung).
Man hätte auch sagen können Die Geschwindigkeit ist die Tangentensteigung des Ortes, aber das wäre weniger anschaulich.

zu höheren Ableitungen:
Die zweite Ableitung ist einfach die Ableitung der Ableitung. Diese wird genau so gebildet, wie die erste Ableitung. Man bezeichnet in der Regel die erste Ableitung einer Funktion f mit f', die zweite mit f'' und so weiter.
Beispiel: Gegeben sei die Funktion f durch f(x)=x³+4x²-7. Dann ist:
f'(x)=3x²+8x
f''(x)=6x+8

In der Physik kommen oft Funktionen vor, die von der Zeit abhängen (also sowas wie r(t) ). Man hat vereinbart, dass man bei solchen Funktionen die Ableitung nach der Zeit mit einem Punkt statt einem Strich kennzeichnet. Also bedeutet das gleiche wie .
Und ja, die Beschleunigung ist (als Änderung der Geschwindigkeit) die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit, also die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit.

[Alexander]

OK, dann wäre diese Frage auch endlich geklärt.

Wie willst du nun weitermachen?

[breaker]

Gut, wenn das mit der Produktregel klar ist, kommen wir zur Kettenregel.
Dazu ist ein wenig Vorarbeit notwendig.

Verkettung von Funktionen:
Wir betrachten folgenden Sachverhalt: Angenommen, wir haben eine Funktion f. Man kann dieser Funktion Zahlen übergeben, und sie macht uns daraus andere Zahlen (also beispielsweise macht die Funktion f(x)=x² aus der Zahl 2 die Zahl 4, aus der 3 die 9 und so weiter). So. Angenommen, ich habe noch eine Funktion g, die auf irgendeine andere Art aus Zahlen andere Zahlen macht. Dann kann man, wenn man will, auf eine Zahl erst die Funktion f anwenden, und dann auf das Ergebnis die Funktion g. Man kann das formal so schreiben: Ich nehme mir eine Zahl x, und wende f darauf an. Dann bekomme ich die Zahl f(x). Auf diese Zahl wende ich jetzt g an, und bekomme dann "g von dieser Zahl", also g(f(x)).
Naja, und das kann ich prinzipiell für alle Zahlen aus dem Definitionsbereich von f machen[up]1[/up]. So erhalte ich die Vorschrift "Jedem x aus dem Definitionsbereich von f wird die Zahl g(f(x)) zugeordnet". Diese Zuordnungsvorschrift ist wieder eine Funktion (warum?). Man kann sie h nennen und schreiben: h(x)=g(f(x)).
Im folgenden werden wir uns etwas mit den Eigenshaften solcher Verkettungen beschäftigen.

Um das ganze etwas verständlicher zu machen, hier ein Beispiel:
Angenommen, wir haben f(x)=x² und g(x)=sin(x) (mit anderen Worten: f macht aus irgendeiner Zahl das Quadrat dieser Zahl, und g macht aus irgendeiner Zahl den Sinus dieser Zahl). Was ist dann g(f(x))?
Wir gehen vor, wie oben beschrieben: Wenn wir wissen wollen, was die Funktion g(f(x)) macht, müssen wir schauen, wie sie auf Zahlen aus dem Definitionsbereich von f wirkt. Das heißt, wir nehmen uns zunächst ein x aus dem Definitionsbereich von f (also hier irgendeine reelle Zahl) und wenden f darauf an. Das gibt uns einfach f(x)=x². Steht ja oben, was f macht. So. Jetzt auf diese Zahl g anwenden. g anwenden bedeutet, ich muss den Sinus dieser Zahl nehmen, also g(f(x))=sin(f(x))=sin(x²).
Also ist g(f(x))=sin(x²).

Man kann auch das umgekehrte machen und f(g(x)) bilden. Dies ergibt nicht das selbe Ergebnis!
Wenn ich nämlich auf irgendeine Zahl erst g anwende, bekomme ich erst g(x)=sin(x) und muss hierauf dann f anwenden, d.h. diese Zahl quadrieren. Dies ergibt also f(g(x))=(sin(x))[up]2[/up].

Dazu Fragen?



[up]1[/up]Das ist eigentlich grob falsch, aber dazu sag' ich vielleicht später was. Jetzt soll erstmal ansatzweise ein Gefühl für den praktischen Umgang mit der Verkettung von Funktionen erworben werden.



Ansonsten hier eine Aufgabe zum ыchauen, ob du es verstanden hast:
Es seien f(x)=1/x und g(x)=cos(x). Was sind dann f(g(x)) und g(f(x))?

[Skeltek]

Falls es hilft, würde ich auch gerne noch etwas mit dazu werfen:
zur Produktregel:
Stellt man sich einen n-dimensionalen Quader vor, bei dem jede Kantenlänge einer der miteinander multiplizierten Funktionen entspricht, dann ist die Ableitung der Gesammtfunktion die Summe der n-1 -dimensionalen Flächen/Quader, die ihn aufspannen.

z.B.:
Quadrat:
f(x)=x²
f´(x)=x+x ; die Ableitung eines Flächeninhaltes mit der Fläche x² nach x abgeleitet ist die Summe seiner aufspannenden Kanten

Würfel:
f(x)=x³
f´(x)= x² + x² + x² ;nimmt bei einem Würfel die Kantenlänge um delta x zu, so steigt das Volumen um delta x multipliziert mit der Summe der aufspannenden Flächen

Geht auch mit beliebigen Funktionen(Produktregel):
f(x)=g(x)*h(x)*i(x)
f´(x)=g(x)*h(x) + g(x)*i(x) + h(x)*i(x) uch hier bei dem dreidimensionalen Quader ist die Ableitung durch die 3 Flächen gegeben, die diesen aufspannen.

Bei einem n-dimensionalen Körper entspricht die Ableitung den n-1 -dimensionalen aufspannenden Quadern, von denen es n Stück gibt.
Wenn man sich mehrdimensional vorstellen kann, was die zusammengesetzten Funktionen repräsentieren, kann man sich vieles leichter merken oder selbst herleiten meiner Erfahrung nach.

Schönen Gruß, Skel

[Alexander]

Es seien f(x)=1/x und g(x)=cos(x). Was sind dann f(g(x)) und g(f(x))?

f(g(x)=1/x(cos(x))

g(f(x))=cos(1/x)

[breaker]

g(f(x))=cos(1/x) ist richtig,
f(g(x))=1/x(cos(x)) ist falsch.
Überleg nochmal kurz.

[Alexander]

f(g(x))=1/(sin(x))

[Skeltek]

Hmm, wieder falsch, aller guten Dinge sind drei
Man braucht ja nur die eine Funktion in die andere rein setzen =)
Die Klammern bei f(g(x)) sind ganz normale Klammern, gelten die gleichen Rechenregeln. Punkt vor Strich, Klammer vor Punkt usw

[Alexander]

Also das sin(x) war ein Versehen, das steht ja bei keiner gegebenen Funktion dabei. Eigentlich wollte ich schreiben

f(g(x))= 1/cos(x)