Störungsrechnung

[wilfried]

:idea: - :

Guten Tag zusammen

Tom sprach es in einem seiner Beiträge an:
Einer der Pioniere zum Status der Stringtheorie 2009

das Störungsproblem:

Ich habe einmal versucht die Grundzüge solch einer Störungsrechung darzustellen und diese an zwei Beispielen aufzuzeigen:

a) an einer quadratischen Gleichung
b) das Fahrradproblem...ich schiebe vorwärts oder rückwärts
c) Pendel ... das habe ich bereits als MAPLE Beispiele im oben genannten Beitrag von Tom gezeigt.

Werner wird mein pdf file noch hier verlinken: http://abenteuer-universum.de/userfiles ... roblem.pdf

Natürlich ist meine Abhandlung eine sehr kleine und kurze. Sie soll auch nur einen ersten und überblickbaren Einblick geben, wie man derartige Probleme anfasst. Es ist auch ein hübesches Beispiel für die Anwendung der Differentialrechnung. Damit an die Adresse unserer Schüler: Ihr könnt ja Euren Mathe Lehrer fragen auch ob er auch einmal solche Dinge mit Euch bespricht.

Naja, jetzt war ich schon einmal dabei, dann habe ich noch das Pendel (Lagrange Ansatz), das ich bei Toms Beitrag eingestellt habe erweitert hin zum chaotischen System eines Doppelpendels unter Einfluss der Schwerkraft als auch der Reibung. Das stelle ich über beide Ansätze dar: Lagrange und Hamilton.

Das ist -ich hoffe es wenigstens- was Tom mit seinem Pendel ansprach.

http://abenteuer-universum.de/userfiles ... pendel.pdf

Da ich hier Animationstechniken in MAPLE ausnutze, aber leider nicht animiert einstellen kann (keine Ahnung ob und wie das gehen könnte), biete ich an, dieses bei Wunsch in einer netmeeting oder Mikogo Sitzung vorzustellen.

Netten Gruß

Wilfried

[breaker]

Ich hab gerade das Maple-File überflogen.
Mal ne ganz blöde Frage...
Warum kommt denn mit Hamilton was anderes raus als mit Lagrange?? Ich hab gedacht, die Hamiltongleichungen sind äquivalent zur Lagrange-Gleichung.

[wilfried]

Tag lieber breaker

in der klassiscehn Mechanik werden 2 Mechanismen verfolgt, die beide generalisierte Koordinaten verwenden (können):

LAGRANGE
HAMILTON

a) generalisierte Koordinaten was ist das?

Wir haben ein System, in dem Bewegungen stattfinden. Meist sind dese Bewegungen bzgl. ihrer Koordinaten aneinander gekoppelt; heißt es gibt Zwangsbedingungen.

Z.B. starre Körper - Zwangsbedingungen: Abstände bleiben konstant
Kreisbahn: Radius bleibt konstant, Winkel ändert sich

Das macht man sich zunutze indem mittels dieser Zwangsbedingungen abhängige Koords eliminiert werden.

Beispiel (siehe MAPLE): Pendel... Auf das "=0" kommt es an!

Gilt, wenn das Koordsystem im Nullpunkt des Pendels (Aufhängung) ist.

x kann durch y ersetzt (ausgedrückt) werden.

Alles weitere zum Selbststudium in Fachliteratur nachlesbar.

b) LAGRANGE

Herleitung über d'Lambert Prinzip. Nachlesen!
Heißt: Kraftaufteilung in Zwangskräfte und angewandte Kräfte. Oft steht zwangskraft auf angewandter K. senkrecht.

Wir erhalten auf dem Weg der Kraftdiskussion irgendwann den Summenausdruck der die kinetische Energiekomponente summenförmig darstellt:

Dieser Ausdruck wird traditionell zu T gesetzt und bezeichnet die kinetische Energie in toto.

Dazu kommt eine weitere Zusammenfassung:



Dies bezeichnet das konservative Kraftfeld. Damit sind die generalisierten Kräfte als Summenformel beschreibbar:



Mit etwas (durchaus umständlicher Hin- Herrechnerei erahlten wir einen Differentialausdruck

Erläuterung

Dieser seltsame Pfeil hat keine Bedeutung, ich weiß nicht wie der dahim kommt ... TEX Problem!!

V ist unabhängig von der generalisierten Geschwindigkeit, damit "nur" eine Ortsfunktion.
Damit vereinfacht sich dieses Differential zu:



Dieses ist die Lagrange Fkt und in ihrer Kurzanschrift:

L = T - V

Die erste partielle Ableitungsterm wird übrigens generalisierter Impuls benannt.

Damit lassen sich (mechanische) Bewegungsabläufe beschreiben. Alles weitere der einschlägigen Literatur entnehmen!!


c) HAMILTON

Erinnerung: Variablen der L-Fkt: generalisierte Koordinaten und der zugehörigen Geschwindigkeit

HAMILTON verwendet als unabhängige Variable: generalisierte Koordinaten und die zugehörigen Impulse

Das ist der entscheidende Unterschied!

e) Übergang von LAGRANGE nach HAMILTON

Generalisierter Impuls:



Gesucht: Transformation:



Die Durchführung erspare ich mir (kostet eine Menge Schreiberei und damit Zeit...)

Was erhalten wir als Ergebnis?



Voraussetzung: konservative Kräfte

Heißt: es existiert ein von der Geschwindigkeit unabhängiges Potential . Damit:



Dann gilt:



Oder auch vereinfacht:

H = 2 T - (T-V) = T + V = E

Ich denke einmal, daß Du die vorletzte DGL gemeint hast, wenn Du meinst, daß Hamilton und Lagrange äquivalent seien. Du siehst aber hier, daß dieses nicht der Fall ist.

Ich hoffe geholfen zu haben

Netter Gruß

Wilfried

[breaker]

Ich hab gemeint, dass die Gleichungen


zur gleichen Bewegungsgleichung für die q[down]i[/down] führen, wie


Und mich hat gewundert, dass es in dem zweiten PDF Schaubilder gab, in denen eine Kurve dem Hamilton-Ansatz zugeschrieben wurde und eine andere dem Lagrange-Ansatz.
Dass das Phasenportrait anders aussieht, als die normale Bewegungskurve, ist mir klar, aber die verschiedenen Kurven waren oft im gleichen Schaubild.

[wilfried]

Tag Frank

ok, Kurven ins gleiche Schaubild malen ist nicht die didaktisch klügste Methode, aber eine platzsparende.
Ich habe mich auch weniger um große Didaktik gekümmert, als lediglich ein Beispiel bringen wollen, daß ein wenig zu Tom´s Ausführungen paßt. Wollte den lieben Tom nur ergänzen.

Aber jetzt ist es Dir ja klar geworden

Netten Gruß

Wilfried

[tomS]

Nachdem ich ja irgendwie der Auslöser war, wollte ich an der Stelle kurz meinen Dank an Wilfried für die ausführliche Ausarbeitung weitergeben.

Nochmal zurück zur Störungsrechnung: man sieht in den Kurven ja deutlich den qualitativ unterscheidlichen Verlauf zwischen Oszillation (beschränkte Koordinatenwerte q) und Rotation (unbeschränkzte Koordinatenwerte q - wobei q ja den Winkel repräsentiert). Meine Argumentationwar ja dahingehend, dass die Störungsrechnung immer nur lokal, d.h. "in der Nähe" eines bestimmten Verhaltens ihre Gültigkeit behält, nicht jedoch global. Anders ausgedrückt: durch Störungsrechnung wird eine oszillatorische Bewegung nie in eine rotierende Bewegung übergehen obwohl natürlich physikalisch eine kleine Störung dazu führen kann. Die Störungsrechnung ist ein mathematisches Instrument, die kleien Störung dagegen ein physikalsicher Effekt.

Ich hoffe, die Argumentation ist klar.

[Alexander]

In den obigen Beiträgen steckt etwas, das ich schon immer wissen wollte, seit ich es das erste mal gesehen habe: was soll das Dreieck vor einer Zahl heißen?
Und es gibt ja auch ein Dreieck, das auf dem Kopf steht, für was steht das?

[tomS]

meinst du



und

[Alexander]

Genau das, was soll das bedeuten, das habe ich nun schon öfter gesehen?

[wilfried]

Tag Alexander

diese Zeichen sind typische mathematische Kürzel. Das nach unten gezeichnete Dreieck nennt sich NABLA, das nach oben gemalte nennt sich LAPLACE Operator.

In der Mathematik bedient man sich Kürzel, die werden zum Teil OPERATOR genannt. Kommt von operare, opero, operavi, operatus
Latein, heißt arbeiten

Diese Kürzel sind im einfachsten Fall die 4 Grundzeichen. Auch das sind Operatoren, denn sie stehen stellvertretend für eine Operation: ich habe 2 Zahlen 3 und 5 zusammenzuzählen und herauskommt dann 8. Die Mathematik schreibt das viel einfacher an:
4 + 5 = 8

Nun gibt es auch höhere Operatoren, wie die Punktzeichen. Darüber hinaus kennen wir in der höheren Mathematik ganz andere Rechenformen, die zwar auf den Grundregeln der Mathematik fußen, jedoch gänzlich anders sind. Dazu gehört die Vektorrechnung.

Du kannst Die einen kleinen Überblick, auch wenn Du es (noch) nicht verstehen wirst verschaffen in meiner Serie "vom Vektor zum Tensor". Darin beschreibe ich eine Art der Mathematik, die Dir sehr fremd vorkommen muß und bediene mich intensiv solcher Opratoren.

Schau mal unter WIKIPEDIA Stichwort: NABLA, LAPLACE


Hoffe Dir ein ganz klein wenig weitergeholfen zu haben. Aber Tipp: befaß Dich erst einmal mit den Grundlagen, sonst wird es zu unübersichtlich mit dem Beginn der höheren Mathe...ein Schritt nach den anderen.

Bevor wir allerdings so richtig loslegen können müssen wir schon einiges mal abfragen, damit der Einstieg auch passt:

Was ist Dein Stand in Mathe?
- Algebra?
- Infinitesimalrechnung (Ableitungen, Kurvendiskussion)?
- Integrale?
- Vektorielle analytische Geometrie der Ebene, des Raums?

Bitte fühle Dich nicht ausgefragt odeer gar kompromitiert. Wir wissen, wie schwer der Einstieg ist, und ohne ein klein wenig Info, ab wo unsere hilfe greifen kann, kommt es schnell entweder zur Unterforderung -Du verlierst die Lust...Motto "lahmer Haufen" oder wirst überfordert ... Motto "oh wo bitte geht es zum Horizont?"

Gruß

Wilfried

[Alexander]

OK, zwar konnte ich noch nicht so richtig etwas mit den Beschreibungen aus Wikipedia anfangen (das wird mich natürlich nicht abschrecken oder sonst etwas derartiges, wenn ich nur einmal daran denke, dass ich noch bis vor 7 Monaten, als das Interesse an Astronomie und Co. wieder erwachte, den Urknall nichteinmal richtig verstanden habe), aber gut, du sagtest ja bereits, nichts überstürzen.

Was meine Mathekenntnisse angeht, die sind, wie soll ich sagen, die stecken noch ziemlich in den Kinderschuhen, ich bin aber bereits dabei, da was zu ändern, indem ich mir dieses Mathematikbuch durchlese, welches ich an anderen Stellen schon mal erwähnte. Da werden zwar im Grunde genommen auch nur Grundlagen durchgenommen, aber auch schon Grundlagen, die mir mit so manchen Dingen hier im Forum weiterhelfen können, also z.B. Vektoren. Zwar hatten wir die schon mal in der Schule, aber auch noch nicht so richtig. Nächstes Jahr ist endlich 8. Klasse, ich hoffe, dass man da etwas angeht, was wenigstens etwas mehr in diese Richtung führt. Ich erwarte da allerdings nicht zu viel.

Wie soll ich sagen, zum Glück gibt es dieses Forum.

[wilfried]

Tag Alexander

Danke für Deine Info. Also, Du bist in der 7. Klasse. Dann ist die Mathe und die Physik ja noch vor Dir.

Wir wollen deshalb mal ganz schnell wieder weggehen von den komplizierten Dingen dieser Welt!!!

Lerne die Algebra zu verstehen. Gerade hier werden die allerwichtigsten Fundamente gelegt. Auch die Geometrie, bei Dir die Euklid Geometrie, die der unverzerrten Ebene, ist hier eine ganz wichtige Lerneinheit.

Mach folgendes:

Nimm die Worte, die Dein Lehrer Euch zur Erklärung sagt, ernst. Mache Übungen, wenn Du gut bist, dann variiere selber ein wenig.
Geh hin und versuche die Dinge, die ihr jetzt lernt auch einmal graphisch darzustellen.

Stelle stets folgende Frage:

Was steckt dahinter?

Beispiel:

Produkt:

a * b

Was ist dennn a?, was b)

a kann alles mögliche sein; a ist ein Stellvertreter ... wöfür? ...naja, eben für alles mögliche.

Nehmen wir mal an: a= 2+7
Und b? naja, b ist wie a, nur eben anders. Wäre b nicht anders, na, dann wär es ja a!

Schau, das klingt so einfach, geradezu primitiv. Aber hast Du schon einmal über diese Konsequenzen nachgedacht?

Gut! Wir kennen in der Mathematik die Disziplin der Katheogrien. Sagt Dir noch nichts. Das sind Einteilungen; die Klassigfikation gehört dazu. Das ist die mathematische Systemlehre.

Darin gibt es die Gruppenlehre. Hast sicher schon im Forum von uns gehört: Drehgruppe, Liegruppe, SU- SO(3) Gruppe usw.

Diese Einteilung kam erst zustande, nachdem wir uns gefragt haben ... siehe meine Fragen oben!!!

So primitiv? JA!! Und sooo tiefgreifend!!!


Ein wenig verständlicher geworden??

Gruß

Wilfried

[Alexander]

Ja, ist es.

Dein Beispiel mit der Multiplikationsaufgabe, so habe ich wirklich schon mal gedacht, allerdings aus anderen Gründen her. Aber egal, jetzt weis ich, dass das doch nicht so sinnlos war, wie ich dachte.

[breaker]

Ja, man muss aufpassen, dass man den Laplace-Operator nicht mit einem großen Delta verwechselt, das in der Regel einfach eine kürzere Schreibweise für eine Differenz ist. Das heißt, man schreibt oft anstelle von .
Vielleicht hast Du das schonmal bei der Gleichung für eine Gerade y=mx+b gesehen. Die Steigung m ist und das wird häufig kurz geschrieben, als .


P.S:
Sollte Interesse an irgendeinem bestimmten mathematischen Thema bestehen, kann ich gerne mal ein PDF'chen dazu schreiben, ich hab gerade wenig zu tun, sind Semesterferien

[tomS]

Das Thema Operatoren wird sich später mal in der Diskussion "Feldtheorie" ergeben

[gravi]

Steht das nicht auch einfach für das "Delta", also den Unterschied z.B. zwischen zwei Temperaturen ?

Das wäre für dann für Alexander vielleicht besser verständlich, könnte ich mir vorstellen.
Gruß
gravi

[wilfried]

Liebe Freunde

seid mal nicht ganz so forsch hier. Das ist noch ein ganz junges Mitglied, erst in der 7. Klasse Gymnasium!!! Die haben doch noch nicht einmal Mathematik angefangen!!

Wir sollten hier keine Dinge erklären, deren Fundamente nicht gelegt sind!!!

Netten Gruß

Wilfried

[Alexander]

Liebe Freunde

seid mal nicht ganz so forsch hier. Das ist noch ein ganz junges Mitglied, erst in der 7. Klasse Gymnasium!!!

Ist zwar leider nur Realschule, aber du hast recht, wirklich angefangen haben wir damit noch nicht, darum muss ich auch zuhause selbst ein wenig nachhelfen.

[wilfried]

Tag Alexander

auch gut mit "Realschule". Bitte tu Dir den Gefallen und gehe an die Mathe wirklich langsam ran!!
Grund ist, daß Du ohne Lehrer eine Menge falsches lernen kannst. Die Bücher sind zwar nicht schlecht, aber zum Selbststudium gehört neben dem Lesen auch Erfahrung.

Wenn Du jemanden hast, der Dir etwas zur Hand geht ist das sehr gut. Natürlich kannst und sollst Du auch im Forum Deine Fragen stellen, nur bedenke bitte: wir sind hier auch keine Mathe"vor"hilfe Forum.

Aber ich empfehel das Vorlernen nicht. Du bist jung, Du brauchst auch Deine Freizeit mit Deinen Freunden zum Kickn und sonstigen Kram!

Gruß

Wilfried

[gravi]

Nun, Alexander,
da hatte ich wohl richtig vermutet. Das Delta- Zeichen findet man in Subtraktionen bzw. Differenzen.

Sieh mal hier nach:
http://de.wikipedia.org/wiki/Subtraktion

Schönen Gruß
gravi

[Alexander]

Danke für den Link gravi.


Nun, das ist mir natürlich klar, dass ich das langsam angehen sollte, da sonst schnell mal Missverständnisse sich setzen können.
Was die Zeit mit Freunden usw angeht: die muss natürlich sein, nur kicken ist bei uns nich so der Renner, eher Filme drehen, aber da rennt man ja praktisch auch die ganze Zeit herum.