VOM VEKTOR ZUM TENSOR: ERGÄNZUNG / ZUSAMMENFASSUNG

Beitrag von **wilfried** » 3. Mai 2009, 13:10

:idea: :!:

Vom VEKTOR zum TENSOR

Ergänzungen und Zusammenfassung

Die Serie vom Vektor zum Tensor wurde von mir verfasst, damit die mathematischen Fundamente und die Kernaussagen der relativistischen Lehre zusammengebracht und zu einer Einheit kompaktifiziert werden. Das Bestreben war und ist einige der offenen Fragen wie beispielsweise
- was eigentlich ist ein Tensor
- wie behandelt man Tensoren
- wozu muss man die Tensoren überhaupt haben
die im Forum immer wieder anklingen hier in geschlossener Form quasi lexikalisch nachschaubar zu gestalten. Beim Duchlesen des fertigen Skripts fiel mir dann noch auf, daß ich einige Dinge ewtas zu lasch behandelt habe. Oft liest man in Fachbüchern den liebenswerten Spruch: wie leicht zu zeigen ist, jedoch gezeigt wird es nicht und der Leser steht nachwievor fragend da: wozu habe ich mir dieses Buch denn gekauft, wenn es mir das doch nicht zeigt?

So möchte ich diesen Beitrag als Schlusspunkt verwenden, einige der wesentlichen Aussagen auf ihren wesentlichen Bestandteil zusammenfassend, zu wiederholen und auch einige, aber es wirklich nur wenige mathematische Dinge nachzutragen,die eventuell in dieser Deutlich nicht gezeigt wurden.

Worum geht es in der Tensormathematik, der Tensoranalytik?

1. es geht darum eine geschlossene Mathematik inklusive ihrer geometrischen Darstellung inklusive ihrer Transformationseigenschaften aufzubauen, zur Verfügung zu stellen.

Damit sind mathematische Transformationen von einem in ein anderes Bezugssystem zu verstehen. Erweitert wird das durch nicht klassische Bezugssystem mit gekrümmten Achsen. Mest werden diese Transformationen auf ein vektorielles System aus Einheitsvektoren bezogen.

Damit sind Transformationen gemeint, die ein physikalisches System so in ein anderes System transformieren, daß die physikalischen Eigenschaften unberührt bleiben, jedoch die Beobachtungen von einem System in das andere hinein zu völlig anderen Aussagen führen. Solche System können einerseits eine konstante Bewegungsgröße besitzen, andererseits eine beschleunigte Bewegungsgröße besitzen. Solche System können einerseits Bewegungsgrößen signifikant kleiner als die grenzgeschwindigkeit des Lichts besitzen, andererseits jedoch bis hin zur Lichtgeschwindigkeit.

Bereits Galiliei dachte über derartige Transformationen nach und beschrieb diese mathematisch.

Es wurden für deratige Transformationen einige neue Begriffe notwendig:

kovariant, kontravariant, kogredient, kontragredient.

Darunter wird verstanden:

Erläuterungkovariant => Diese Transformationen sind linear Kombinantionen des ursprünglichen Systems. Untenstehende Indizes zeigen die Kovarianz an.

Erläuterungkontravariant => Diese Transformation ist gleichbedeutend der kovarianten Transformationsrichtung, nur eben im wirklichen Wortsinn gemeint: eben in der anderen Richtung. Obenstehende Indizes

ErläuterungKovariante/kontravariante Ableitung: => Ableitung in differenzierbaren Mannigfaltigkeiten oder nahezu beliebige Räume. Dieser Begriff enstammt der Differentialgeometrie und erklärt bereits in seiner mathematischen Struktur inhärent die Krümmung des Raums. Ableitbare Größen sind stetes gekrümmte Größen, denn sonst wäre ja die Ableitung selber Null. Die Geodäten folgen aus diesen Ableitungen. Auch die Maxwellgleichungen, das sind die vierdimensionalen Wellengleichungen in der Raumzeit werden mit der kovarianten Ableitung beschrieben. So erst kommt das vierdimensionale Vektorpotential und der daraus ableitbare elektromagnetische Feldstärketensor zustande.
Weitere daraus erst sich entwickelbare Beschreibung sind in der Quantenelektrodynamik zu finden, der Yangs_mill Theorie und natürlich der ART

Erläuterungkogrendient und kontragredient => diese Begriffe werden manchmal verwendet für kovariante bzw. kontravariante Koordinanten.

Herauf- und heruntenziehen der Indizes oder wie komme ich aus der kovarianten Beschreibung zur kontravarianten und umgekehrt

Wir haben die folgende Metrik:
$M_\beta^\alpha \ = \ {\left( \begin{matrix} \gamma & -\beta \gamma & 0 & 0 \\ -\beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)}$

1. Aus kovariant mach kontravariant durch Heraufziehen des zweiten Index:

Der zweite Index soll heraufgezogen werden. Dazu ist folgende Prozedur notwendig:

${M^{\alpha \mu}} \ = \ {\eta^{\beta \mu} M_\beta^\alpha} \ = \ {M_\beta^\alpha \eta^{\beta \mu}} \ = \ {\left( \begin{matrix} \gamma & -\beta \gamma & 0 & 0 \\ -\beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)} \ \cdot \ {\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{matrix} \right)} \ = \ {\left( \begin{matrix} \gamma & -\beta \gamma & 0 & 0 \\ -\beta \gamma & -\gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right)}$

. 2. Aus kontravariant mach kovariant: durch Herunterziehen des ersten Index:

${M_\lambda^\mu} \ = {\eta_{\lambda \alpha} M^{\alpha \mu}} \ = \ {\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{matrix} \right)} \ \cdot \ {\left( \begin{matrix} \gamma & -\beta \gamma & 0 & 0 \\ -\beta \gamma & -\gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right)} \ = \ {\left( \begin{matrix} \gamma & \beta \gamma & 0 & 0 \\ \beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)}$

Damit ist klar, wie die Prozedur vonstatten geht.

Der Zeitbegriff

Ich habe den Zeitbegriff behandelt und dabei gezeigt, dass die Zeit keinen Absolutwert darstellt. Sie ist eine relative Größe, eine Größe, die stets verbunden ist mit dem/den Bezugssystem(en), das wir oder die wir betrachten. Dieses Problem macht sich als Zeitdilataion = Zeitverzögerung bemerkbar und die Konsequenz daraus ist das Zwillingsparadoxon

Zwillingsparadoxon

In Beschleunigern entdeckt man viele Elementarteilchen kurzer mittlerer Lebensdauer. Diese Aussage bezieht sich auf ihr Ruhesystem. Die Lebensdauer mag sich im Bereich von Mikrosekunden abspielen. Ohne Zeitdilatation werden wir mittlere Weglängen bzgl der Lebensdauer von so um die 500m bis 700m erwarten. Jedoch bei Berücksichtigung der relativistisch bedingten Zeitdilatation ergeben sich die Reichweiten in den Bereich von 5km bis 7km. Dabei habe ich die Geschwindigkeit der Teilchen mit 5 promille unterhalb c angenommen.
Seltsam: in Teilchenbeschleunigern haben kurzlebige Teilchen (in ihrem Ruhesystem!!!) eine lange Lebensdauer! Das ist die Aussage des Zwillingsparadox.

Uhrenparadoxon

Betrachten wir zwei identische Uhren, wobei eine ruht, die andere sich mit konstanter geschwindigkeit bewegt. Somit erfährt die bewegte Uhr bezüglich der Beobachtung von der stehenden Uhr aus eine Zeitdilatation: sie läuft langsamer. In Wahrheit ist das ein Widerspruch.

Längenkontraktion

Innerhalb bewegter Systeme werden aus einem ins andere System hinein Beobachtungen eines Massstabs durchgeführt. Dieser Massstab hat in seinem ruehenden System eine feste Länge.
Bewegen sich die Bezugssysteme mit Lichtgeschwindigkeiten, so erkennen wir, daß sich in bewegten System der Masstab um die Länge $\beta \ = \ sqrt{1 - v^2 \over c^2}$ verkürzt.

Verlust der Gleichzeitigkeit

Zwei zueinander unabhängige Systeme A und A' zeigen zwei gleichzeitige Ereignisse P1 und P2. Das Ereignis ist in Ort und Zeit, demnach als Veriervektor darstellbar.

P1: (x[down]1[/down]', t')
P2: (x[down]2[/down]', t')

mit x[down]1[/down]', # x[down]2[/down]'

Wir berechnen die Zeitkoordinaten

$t_{1,2}' \ = \ \ = \ {{\gamma \ \left( t_1 \ - \ {{v^2 \over c^2} x_1} \right)}} \ = \ {{\gamma \ \left( t_2 \ - \ {{v^2 \over c^2} x_2} \right)}}$

$x_1' \ = \ {\gamma \ \left( x_1 \ - \ v t_1 \right)} \rightarrow \ x_1 \ = \ {1 \over \gamma} x_1' \ + \ v t_1$

$x_2' \ = \ {\gamma \ \left( x_2 \ - \ v t_2 \right)} \rightarrow \ x_2 \ = \ {1 \over \gamma} x_2' \ + \ v t_2$

Aus beiden erhalten wir:

$t' \ = \ {\gamma t_1 - {{v \over c^2 } x_1'} \ - \ \gamma {v^2 \over c^2} t_1} \ = \ {{1 \over \gamma} t_1 \ - \ {v \over c^2} x_1'} \ = \ {{1 \over \gamma} t_2 \ \ {v \over c^2} x_2'}$

Aus diesen beiden Gleichungen:

$t_1 \ = \ \gamma \ \left( t' \ + \ {v \over c^2} x_1' \right)$

$t_2 \ = \ \gamma \ \left( t' \ + \ {v \over c^2} x_2' \right)$

erhalten wir:

$t_2 \ - \ t_1 \ ={ \gamma {v \over c^2}} \cdot \left( x_2' \ - \ x_1' \right) \ \ne \ 0$

Und schliesslich:

$x \ = \ \gamma \ \left( x' \ + \ v t' \right)$
$t \ = \ \gamma \ \left( t' \ + \ {{v \over c^2}x'} \right)$
$y \ = \ y'$
$z \ = \ z'$

Diese letzen vier Beziehungen ergeben die bekannte Metrik

$M^{-1} \ = \ {\left( \begin{matrix} \gamma & \beta \gamma & 0 & 0 \\ \beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)}$

die ich oben bereits anwandte.

Zum Schluss möchte ich noch eingehen auf das Faktum, daß die Lichtgeschwindigkeit eine konstante Größe ist und auch einen endlichen Wert besitzt. Auch dieser Punkt "schneit" in meinem Aufsatz vom Himmel und muss hier nochmals nachbearbeitet werden:

Die Frage, welche zu stellen ist lautet:

Wie bewegt sich relativ zu einem System S ein System S'?

Galiliei antwortet: v[down]3 [/down] = v[down]1[/down] + v[down]2[/down]

Die SRT antwortet: M[down]3[/down] = M[down]2[/down] M[down]1[/down]

Schauen wir, was passiert:

$M_3 \ = \ {\left( \begin{matrix} \gamma_2 & - \beta_2 \gamma_2 \\ - \beta_2 \gamma_2 & \gamma_2 \end{matrix} \right)} \ \cdot \ {\left( \begin{matrix} \gamma_1 & - \beta_1 \gamma_1 \\ - \beta_1 \gamma_1 & \gamma_1 \end{matrix} \right)} \ = ! \ \left( \begin{matrix} \gamma_3 & - \beta_3 \gamma_3 \\ - \beta_3 \gamma_3 & \gamma_3 \end{matrix} \right)$

Daraus folgt:

$\gamma_3 \ = \ {\gamma_1 \cdot \gamma_2 \ \left( 1 \ + \ \beta_1 \cdot \beta_2 \right)} \ = \ {{1 \ + \ \beta_1 \cdot \beta_2} \over {sqrt{1 \ - \beta_1^2} \cdot sqrt{1 \ - \beta_2^2}} } \ = \ { {1 \ + \ \beta_1 \cdot \beta_2} \over {\sqrt{1 - \beta_1^2 - \beta_2^2 + \beta_1^2 \beta_2^2 + 2 \beta_1 \beta_2 - 2 \beta_1 \beta_2}} }$
$\gamma_3 \ = \ {{1 \ + \ \beta_1 \cdot \beta_2} \over {sqrt{(1 \ + \ \beta_1 \cdot \beta_2)^2 - (\beta_1 + \beta_2)^2}}}$

Es wird abgekürzt:

$B \ = \ \left( {{\beta_1 + \beta_2} \over {1 + \beta1 \beta_2}} \right)^2$

Dann folgt:

$\gamma_3 \ = {1 \over sqrt{ 1 \ - \ B}}$

B ist jedoch:

$\beta_3 \ = \ W$

Dieses B ist auch bekannt als Additionstheorem der Geschwindigkeit.

$v_3 \ = \ {{v_1 \ + \ v_2} \over {1 + {{(v_1 v_2)} / {c^2}}}}$

Damit ergibt sich die Grenzgeschwindigkeit des Lichts:

v[down]1[/down] = v[down]2[/down] = c folgt auch: c3 = c

Das sind die Aussagen der Lorentz Transformationen.

Raum-Zeit Diagramme

Wir zeichnen ein rechtwinkliges Koordinatensystem und tragen darin durch den Ursprung zwei sich wieder rechtwinklig kreuzende 45° Linien ein.

Die positive x-Achse ist die raumartige Achse, die positive Achse ct die in die Zukunft weisende zeitachse.

Senkrecht nach unten ist die Vergangheit. Die rechte Halbenebene bezeichnet die raumartige Situation, die linke Halbebene die zeitartige Situation.

Haben wir einen Orspunkt s, so ist s inzwischen bekanntermaßen:

$s^2 \equiv c^2 t^2 \ - \ x^2 \ - \ y^2 \ - \ z^2$

Es wird bezüglich s[up]2[/up] unterschieden in:

zeitartig: s[up]2[/up] > 0
lichtartig: s[up]2[/up] = 0
raumartig: s[up]2[/up] < 0

Der Begriff des Lichtkegels bestimmt sich aus dieser Äquivalenz:

$c^2 t^2 \ = x^2 \ + \ y^2 \ + \ z^2$

Raumartige Punkte können nicht kausal verbunden sein. Diese Aussage besagt, dass es keinerlei Signalausbreitung in die raumartige Struktur gibt.

Einsteins Größe

Warum wird Einstein als ein herausragender Wissenschaftler angesehen, denn eigentlich ist seine Arbeit zwar toll, aber im Vergleich zu anderen Physikern auch nicht viel besser in Qualität, Anwendbarkeit, Konsequenzen?

Einstein hat erkannt, dass die Lorentztransformation nicht auf die Elektrodynamik allein begrenzt ist, sondern eine Eigenschaft selber von Raum und Zeit darstellt. Streng muss damit gesagt werden:
die mit der LT verbundenen Eigenschaften von Raum und Zeit gelten in der Relativitätstheorie nicht mehr.

Konsequenzen aus der SRT

Die vorgestellte Längenkontraktion und die zeitdilatation sind unserer gewohnten Vorstellung völlig fremd und widersprechen zunächst jeglicher menschlicher Erfahrung. Viele sind daher der Versuchung erlegen, diese als Falschaussagen abzuwehren.

Der Lorentz Skalar

Der Lorentz Skalar ist eine relle Größe, die unter der gleichnamigen Transformation (Lortetz Transformation) invariant bleibt. Damit verbunden ist auch der Begriff der Eigenzeit.

Lorentzskalar

$ds^2 \ = \ dx_\mu dx1 \mu \ = c^2 dt^2 - \left( d \vec x \right) ^2$

Diese Komponente ist LT invariant und wird Lorentzskalar genannt.

Eigenzeit

$d_\tau \ = \ {1 \over c} ds \ = \ {1 \over c} \ sqrt {dx_\mu dx^\mu}$

Diese Zeitverschiednung ist LT invariant und wird Eigenzeit genannt.

Das Integral der Eigenzeit ist wiederum ein Lorentzskalar

$\tau \ = \ \int_{\tau_1}^{\tau_2} dt$

Tensor

Unter einem Tensor versteht man eine multilineare Abbildung.
Mulitlinear heißt linear in jedem Argument, bei konstant halten (festhalten) der übrigen Argumente.
Die Menge aller Tensoren bildet einen Vektorraum.

Tensoren unterliegen den normalen mathematischen Gesetzen und können auch transformiert werden.

Tensoren werden ebenso wie Vektoren oder Skalare aus den betrachteten Dimensionen des Systems bestimmt.

Lösung einer relativistischen Bewegungsgleichung

Eine Rakete wird in ihrem Ruhesystem konstant beschleunigt. Diese beschleunigt ist
a = g. Das Interialsystem bezeichnen wir mit K, das Ruhesystem der Rakete mit K'.

$b^\mu \ = \ {\left( \begin{matrix} 0 \\ g \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right)} \ \rightarrow \ b^\mu \ = \ \left( \begin{matrix} \gamma & \beta \gamma & 0 & 0 \\ \beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \cdot b^{,\mu}$

$b_x \ = \ {\gamma \cdot g} \ = {{d \over {d \tau} {\left( \gamma \nu \right)}} \ \rightarrow \ {g} \ = \ {{d \over {d \tau}} \left( \gamma \nu \right)}$

Wir suchen die Anfangsbedingung und finde diese mit:

x(t = 0) = 0
v(t = 0) = 0

Das nutzen wir:

${\gamma \nu } \ = \ {g t} \ = \ {\gamma {{dx} \over {d \tau}}} \ \rightarrow \ {{dx} \over {d \tau}} \ = \ {c \beta} \ = \ {sqrt {1 \ - \beta^2} \ g t}$

$c^2 \beta^2 \ = \ \left( 1 \ - \ \beta^2 \right) \ g^2 t^2$

$g^2 t^2 \ = \ \left( c^2 \ + \ gt^2 \right) \ \beta^2 \$

$\beta \ = \ {{g t} \over {sqrt {c^2 \ + \ g^2 t^2}}} \ = \ {v \over c}$

=>

$\nu (t) \ = \ {{gt} \over {sqrt{1 \ + \ \left( {g^2 t^2} \right) / c^2} }$

$x(t) \ = \ \int_0^t \nu (t) dt \ = c \cdot sqrt {t^2 \ + \ {c^2 \over g^2}} \ |_0^t$

$x(t) \ = \ {c \cdot \ sqrt {t^2 \ + \ {c^2 \over g^2}} \ - \ {c^2 \over g}} \ = \ {{c^2 \over g} \left( sqrt {1 \ - \ \left( {{gt} \over c} \right)^2} \ - \ 1 \right) } \ \approx \ {g \over 2} \cdot t^2$

Und diese Formel ist aus der Schule hinreichend bekannt.

Ich habe die relativistische Energie vorgestellt:

${{d W} \over { dt}} \ = \ {\vec F ^N} \ = \ {\vec \nu \cdot \vec F^N} \ = \ {{d \over {dt}} \left( m \gamma c^2 \right)$

Der Ausdruck

$W \ = E \ = \ \gamma m c^2$

bezeichnet die relativistische Energie. Hierin wird die Integrationskonstante so gewählt. dass die Energie des ruhenden Teilchens mc[up]2[/up] beträgt.

${E} \ = \ {\gamma m c^2} \ = \ { c p^0 }$

Damit folgt p[up]0[/up]:

$p^0 \ = \ {E \over c}$

$p^\mu \ = \ \begin{pmatrix} {E \over c} \\ m \gamma \vec \nu \end{pmatrix} \ = \ \begin{pmatrix} {E \over c} \\ \vec p \end{pmatrix}$

Dieses ist der Energie-Impuls-Vektor

Damit kann das relativistische Energiegesetz über die Taylorreihe für kleine Impulse zerlegt werden in einen Ruheenergie Anteil und einen Anteil der kinetischen Energie.

Was bekommt man damit raus?

Teilchen mit endlicher Masse bewegen sich stets langsamer als Licht.

Auch den Impulserhaltungssatz erhält man dadurch. Das z.B. gilt auch für Photonen => siehe Compton Streuung.

Äquivalenz Energie - Masse

Es war erstaunlich herauszubekommen, daß die Energie als auch der Massebegriff untrennbar sind.

Konsequenz aus dieser Erkenntnis ist z.B., abgestrahlte Energie die Ruhemasse der Teilchen verringert. Jede Form von Energie läßt sich einer trägen Masse zuordnen: W = mc[up]2[/up].

Kovariante Formulierung der Elektrodynamik

ErläuterungNewton Mechanik ist Galilei invariant.

Relative Mechanik erfordert Modifikationen der Bewegungsgleichungen

Maxwell Gleichungen (Elektrodynamik) sind Lorentz invariant.

Über die Vierervektoren angewandt auf die Elektrodynamik kann der Viererstrom angeschreiben werden:

$j^\mu \ = \ \left( \begin{matrix} c \rho \\ \vec j \end{matrix} \right)$

$\rho$ : Ladungsdichte
$\vec j$ : Stromdichte
$j^\mu$ : Lorentz Vektor

Somit ist die kovariante Form der Maxwell Gleichungen berechenbar. Für die Potentiale gilt darin:

$- \vec \Delta \vec {\dot A} \ - \Delta \varphi \ = \ {1 \over \epsilon_0} \ \rho \$

${1 \over c^2} {d^2 \over {d t^2}} {\varphi \over c} \ - \ {{\Delta \varphi} \over c} \ = \ {\partial_\mu \partial^\mu {\varphi \over c}} \ = \ {\Box {\varphi \over c}} \ = \ {{1 \over \epsilon_0 \rho} \ = \ {\mu_0 c \rho}$

Damit sind auch die Wellengleichungen darstellbar. Der Begriff des kovarianten Wellenvektors taucht hier auf.

Zur Anschrift der MWGs in kovarianter Form benötigen wir den Lorentz Tensor 2. Stufe. d
Dies führt unmittelbar zum Feldstärketensor.

$F_{\mu \nu} \ = \ F_{11} \ = \ F_{22} \ = \ F_{33} \ = \ 0$

In Komponenten:

${F_{i0}} \ = \ {\partial_i A_0} \ - {\partial_0 A_i} \ = \ { {1 \over c } {{d \varphi} \over {dx^i}}} \ + \ {{1 \over c} \dot A_i} \ = \ {- {1 \over c} E_i} \ = {-F_{0i}}$

$F_{12} \ = \ {{{\partial A_2} \over {\partial x^1}} \ + \ {{\partial A_1} \over {\partial x^2}} } \ = \ {- B_3} \ = \ -F_{21}$

$F_{13} \ = \ B_2 \ = -F_{31}$

$F_{23} \ = \ -B_1 \ = \ -F_{32}$

Und damit erhalten wir den gesuchten Tensor 2. Stufe:

$F_{\mu \nu} \ = \ \left( \begin{matrix} 0 & {E_x \over c} & {E_y \over c} & {E_z \over c} \\ -{E_x \over c} & 0 & -B_z & B_y \\ -{E_y \over c} & B_z & 0 & -B_x \\ -{E_z \over c} & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right)$

Und wenn wir schon einmal dabei sind: der kovariante Feldstärketensor:

Erinnerung:

$F_{\mu \nu}' \ = \left( M^{-1} \right) _\mu^\alpha \left( M^{-1} \right) _\nu^\beta \cdot F_{\alpha \beta}$

$F^{\mu \nu} \ = {\eta^{\mu \alpha} \eta^{\nu \beta} F_{\alpha \beta}} = \left( \begin{matrix} 0 & -{E_x \over c} & -{E_y \over c} & -{E_z \over c} \\ {E_x \over c} & 0 & -B_z & B_y \\ {E_y \over c} & B_z & 0 & -B_x \\ {E_z \over c} & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right) \$

Invarianten des Feldstärketensors sind:

$F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}$ (Lorentz Skalar)

$\vec E \cdot \vec B$ (Pseudoskalar; fast immer invariant, Ausnahme: bei Spiegelung wird er variant)

Kovariante Form der inneren Feldgleichungen

$\vec \nabla \cdot \vec B \ = 0$

$\vec \nabla \ \times \ \vec E \ + \ \vec {\dot B} \ = 0$

Total antisymmetrischer Levi-Cita Tensor

$\expsilon \ = \ \begin{cases} 1, & \text {k \lambda \mu \nu \ gerade Permutationen von (0,1,2,3) } \\ -1, & \text {k \lambda \mu \nu \ ungerade Permutationen von (0,1,2,3) }} \\ 0, & /text {sonst} \end{cases}$

Der duale Feldstärketensor ist dann:
$\hat F^{\mu \nu} \ = \ {{1 \over 2} \epsilon^{\mu \nu \alpha \beta} F_{\alpha \beta}} \ = \ \left( \begin{matrix} 0 & -{BE_x \over c} & -{B_y \over c} & -{B_z \over c} \\ {B_x \over c} & 0 & {E_z \over c} & - {E_y \over c} \\ {B_y \over c} & - {E_z \over c} & 0 & {E_x \over c} \\ {B_z \over c} & -{E_y \over c} & - {E_x \over c} & 0 \end{matrix} \right)$

Hier ist:

$F_{\mu \nu} \hat F^{\mu \nu} \ = \ - {1 \over 4} \vec E \cdot \vec B$ ein Pseudoskalar.

Energie Impuls Tensor des elaktro-magnetischen Felds

$T_\mu^\nu \ = \ {1 \over \mu_0} \ \left( F_{\mu \alpha} F^{\alpha \nu} \ + \ {1 \over 4} F_{\alpha \beta} F^{\alpha \beta} \right)$

Diesen habe ich vorgestellt, ich möchte ihn zusammenfassen nochmals interpretieren:

Wir schauen einen Quader in einem EM Feld an. Das Feld möge sich in Richtung x bewegen, ergo:

$\vec S \ = \ S_x$

Die Arbeit pro Zeiteinheit $\delta t$ im Volumen V ist:

$\Delta W \ = \ S_x \cdot \Delta A \cdot \Delta t \ = \ F_x \Delta x \ = F_x c \Delta t$

Wir finden darin:

Strahlungsdruck: $P_s \ = {F_x \over {\Delta A}}$

Impulsdichte: $\vec \pi \ = \ c {{P_x} \over {\Delta V}} \ = \ {\vec S \over c^2}$

Erläuterung
Der Maxwell Spannungstensor T[down]ij[/down] bestimmt den Druck, den eine elektromagnetuishce Kraft auf ein Volumenelement ausübt.

Eigenschaften des Energie-Impuls Tensors

$\partial_\mu F^{\mu \nu} \ = \ -\mu_0 j^\mu$

Daraus folgt:

$\partial_\nu T_\mu^\nu \ = \ - {{1 \over \mu_0} \ \left( - \mu_0 E_{\mu \alpha} j^\alpha \right)} \ = \ {- F_{\mu \alpha} j^\alpha}$

Minkowski Kraft Dichte Beziehung:

$\partial_\nu - T^{\mu \nu} \ = \ - \eta^{\mu \beta} F_{\beta \alpha} j^\alpha \ = \ -\varphi^\mu$

Die Vier Kontinuitätsgleichungen

${{\partial \omega} \over {\partial t}} \ + \ {\vec \Delta \cdot \vec S} \ = 0$
${1 \over c^2}{ {\partial S_i} \over {\partial t}} \ + \ \vec \Delta \cdot \vec T^{(i)} \ = 0$

T[up]ij [/up]beschreibt die Impulsstromdichte. Wir spalten auf:

$T^{\mu \nu} \ = \ T_{EM}^{\mu \nu} \ + \ \ T_{Materie}^{\mu \nu}$