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Vom VEKTOR zum TENSOR Teil 5 (letzter Teil)

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Vom VEKTOR zum TENSOR Teil 5 (letzter Teil)

Beitrag von wilfried » 14. Apr 2009, 11:51

:idea: :!:

Vom VEKTOR zum TENSOR

Teil 5 Tensor Analysis


4.1 Einleitung

Dieser Teil wird die Allgemeine Relativitätstheorie (ART) einführen. Dazu wird der Krümmungstensor aus den geodätischen Überlegungen des Teils 4 hergeleitet. Ohne diesen wäre eine Raumzeitdarstellung eines gekrümmten Raums nicht elegant möglich. In der ART wird deren Problemstellung erläutert, deren Grenzen aufgezeigt (was schliesslich um die 1986 begann durch Ashtekra ("New variables for classical and quantum gravity, Phys.Rev.Lett. 57: 2244-2247,1986) mit Ashtkar von Smolin und Abhay sowie Rovelli 1991 ("Gravitation and loops", Phys.Rev.Lett. D44: 1740-1755,1991im Jahr 2003 durch Ashtekra, Bojowald und Lewandowski verfeinert zur mathematischen Struktur Beschreibung der Schleifen Quanten Theorie führte ("Mathematical Structure of Loop Quantum Cosmology", Vienna preprint ESI 1309 (2003), erhältlich unter: http://www.csi.ac.at).

Einstein selber sagte 1916:

Gleichwohl müßten die Atome zufolge der inneratomischen Elektronenbewegung nicht nur elektromagnetische, sondern auch Gravitationsenergie ausstrahlen, wenn auch in winzigem Betrage. Da dies in Wahrheit in der Natur nicht zutreffen dürfte, so scheint es, daß die Quantentheorie nicht nur die Maxwellsche Elektrodynamik,
sondern auch die neue Gravitationstheorie wird modifizieren müssen.


Ich werde die Feldgleichungen der Gravitation mathematisch erläutern, die Planetenbewegung vorstellen. Ein weiterer Schwerpunkt werden die Erhaltungssätze sein. Hier wird der Energie-Impuls Tensor eine Rolle spielen. Dann werden Raumkontraktion, zeitliche Dilatation und die Eigenzeit erläutert. Themen, die wir im Forum immer wieder ventilieren und deren Bedeutung uns trotzdem Schwierigkeiten bereitet. Dies Themen werden mathematisch vorgestellt und darauf bezogen interpretiert.

Das ist das letzte und ich meine auch spannendste Kapitel dieser Serie.

4. 2. Die kovariante Ableitung und lokale Tensoren

Klären wir, was unter einem lokalen Tensor verstanden wird:

Die Divergenz des Vektors v können wir anschreiben.



stellt die Verjüngung eines lokalen Tensors dar. Damit kann der lokale Tensor angegeben werden als:



Dabei beniehen wir den Vektor v auf eine kovariante Basis. Dieses Differential wird auch als kovariante Ableitung bezeichnet. Kümmern wir uns jetzt um den Term

Für die kontravarianten Basisvektoren läßt sich ableiten:




Folglich ist



Für die kovarianten Basisvektor Differentiale erhält man:



Mit dem Differential, das wir uns näher ansehen wollten, liefert die letzte Gleichung dann:




Die zuletzt gezeigte Identität läßt sich beweisen:



wird durch Differentiation der zweiten Determinate nach Spalten bezüglich des ersten Faktors jeden Elements und nach Zeilen bezüglich des zweiten Faktors durchgeführt.

In Verbindung mit



ergibt sich schlussendlich:



Daraus folgt dann, wie oben lapidar hingeschrieben:



Damit dürfen wir schreiben:



Der Term innerhalb der eckigen Klammer zeigt die vollständige Anschrift der kovarianten Ableitung. Im Euklid Raum ( hier sind die Christoffel Indexsymbole = 0 ) geht diese in die gewöhnliche Ableitung über.

Ableiten des kovarianten Tensors 1. Stufe -Bezugssytem ist die kontravariante Basis- wird ein Tensor 2. Stufe, eine lokale Dyade \ gewonnen.





Geht man noch einen Schritt weiter, zum Tensor dritter Stufe so entdeckt man, daß dieser im Gegensatz seines Bruders der zweiten Stufe nicht mehr symmetrisch ist. So wird vorgegangen:



und dies Gebilde ist antisymmetrisch. Wenden wir den vorletzten Mechanismus darauf an, so folgt:



Jetzt zurück zu :



Jeder Term dieser Zerlegung enthält somit den Gradienten und kann damit als Skalarprodukt eines Tensors 4. Stufe mit dem Gradienten



beschrieben werden.

Somit wird:





Oder auch:



Der oben gezeigte Tensor ist die Differential Invariante. Sie fußt auf dem metrischen Fundamentaltensor.


4. 3. Der Krümmungstensor, Riemann-Christoffel Tensor und Ricci Tensor

Wir stellen uns ein infinitesimales Viereck vor und übertragen den Vektor v linear (geodätisch), dann erfährt dieser Vektor nach einem vollständigen Umlauf eine infinitesimale Änderung Dv. Ich habe bereits erwähnt, daß die lineare Übertragung dadurch gekennzeichnet ist, daß der Winkel gegenüber der Bahnkurve konstant bleibt und sich auch die Länge des Vektors nicht ändert. Diese Übertragung ist daher eine Drehung. Das ist gleichbedeutend mit mit einem dualen und antisymmetrischen Tensor. Nennen wir diesen Tensor , so läßt sich anschreiben:



Bezgl. der kontravarianten Basisvektoren kann der Tensor 2. Stufe auch in Komponentenaschrift geschrieben werden:



Die Antisymmetrie verlangt:



Wir erinnern uns ... 1. Teil .... , an die Projektionen. Die stellen die Projektionen des inifintesimalen Vierecks, um das wir die Übertragung des Vektors v durchgeführt haben auf die von den Basisvektoren und aufgespannten Koordinatenflächen dar. Eine Vereinfachung im Zweidimensionalen reduziert auf . Das ist nichts anderes, als der Flächeninhalt des umfahrenen infinitesimalen Vierecks.

stellt sich als Summe der Flächenelemente dar, wenn wir das infinitesimale Flächenelement mit den umrandeten geodätischen Linien auf ein beiliebiges Gauss Koordinatensystem beziehen. Unter dieser Vorausetzung schreibt sich:



Auf Grund des Terms ist es möglich die Skalarkomponente als doppeltes Skalarproduk zu schreiben.
ErläuterungErinnerung: Teil 1 -> das sind zwei hintereinander ausgeführte Verjüngungen


Das besagte infinitesimale Viereck wird folglich durch einen planaren Tensor 2.Stufe beschreiben:



Der Drehtensor wird mit Hilfe dieser Umformungen so angeschrieben:



Damit "sehen" wir das doppelte Skalarprodukt als einen ortsabhängigen Tensor 4. Stufe. Gebildet wird er vom Krümmungstensor und dem planaren Tensor



Erinnern wir uns an die Ausgangssituation, in der wir den infinitesimalen Tensor durch einen dualen antisymmetrischen Tensor beschrieben ahben:



Diese Beschreibung verändert sich jetzt zu:

ErläuterungDie Indizes i und l bezeihen sich auf die Drehung
Die Indizes und beziehen sich auf das infinitesimale Viereck
Es liegt eine doppelte Antisymmetrie vor und alle Terme mit gruppenweisem gleichem Index verschwinden. Das heißt:









Dieser zweifach und antisymmetrische Tensor 4. Stufe oder auch Krümmungstensor wird nun neu angeschrieben:



In Erinnerung an die hier immer wieder aufgeführte Rückschau in die Zweidimensionalität schreibt sich dieser Tensor dann:



Und es folgt:


Jetzt nochmals mit Rückblende auf Teil 1 können wir nun die Metrik mit einbauen:



Und für den letzten Term:



dies ist ein Vektor, der senkrecht auf diesem Vektorprodukt steht, demzufolge kolinear zu ist.

Drehen wir mittels der Übertragung um folgt:


Erinnerung: ist das Oberflächenelement der Kugel, das sich auch mit Hilfe des räumlichen Winkels (sphärisch) ausdrücken läßt:



Das Gauss Krümmungsmaß (wieter oben beschrieben) wird dann so formuliert:


ErläuterungVerweis auf die Literatur: Beweis für dieses Vorgehen: Gauß-Bonnet Integralsatz
Wir verwenden unsere Erkenntnisse und setzten diese in das Gauss Krümmungsmaß ein:



Aussage dieser Gleichung:

Der Krümmungstensor zeichnet das Gauß Krümmungsmaß einer Fläche für einen zweidimensionalen und nicht Euklid Raum nach doppelter Verjüngung der zugehörigen planaren Tensoren.
Damit wird der Begriff: Krümmungstensor gerechtfertigt.

Wir erweitern dies auf beliebig dimensionale nicht Euklid Räume. Die skalare Invariante , erhält man mittels zweifacher Verjüngung von und diese wird allgemein Raumkrümmungsmaß genannt.
ErläuterungRaumkrümmungsmaß :=
Der Krümmungstensor erweitert sich sinngemäß zu folgendem Ausdruck:



Erinnerung an Teil 1: Verjüngung (Index I für die erste Verjüngung und Index II für die zweite Verjüngung):




Es ergibt sich auch folgende Gleichheit:



Betrachtet man mit diese Gleichheit im zweidimensionalem nicht Euklid Raum, so ist:



Der Krümmungstensor ist bekannter unter dem Namen:
Riemann-Christoffel Tensor

Gerade für die Raumzeit (Anzahl der Dimensionen n=4) spielt dieser eine bedeutende Rolle in der Relativitätstheorie.

Oben habe ich folgende Situation aufgezeigt:






und berücksichtigt man die gerade angesprochene Gleichheit, dann werden für n=4 die Zahl dr Komponenten auf:



verringert. Bei n=4 ergibt das 20 Komponenten. Für ergibt das für die 4-dimensionale Betrachtung die Terme:







Dann kann auch noch eine Summe daraus abgeleitet werden:



Diese Summenbildung folgt aus der Gleichung:



die ja bereits weiter oben angesprochen wurde.

Die erste Verjüngung (Index I) des Krümmungstensors liefert den Tensor 2. Stufe . Auf Grund des gezeigten Wegfalls einer R-Terme ist dieser Tensor jedoch symmetrisch. Es gilt dafür:



Ricci hat das als erster festgestellt. Ihm zu Ehren wird dieser Tensor auch Ricci Tensor genannt.

Man kennt auch eine etwas andere Anschrift für den Ricci Tensor (Herleitung dazu zeige ich weiter unten innerhalb des "Intermezzo's"):



und



ist die zugehörige skalare Größe und wird auch Ricci Skalar genannt.


4. 4. Die Allgemeine Relativitäts Theorie ART

Das Problem stellt sich, wenn mehrere Bewegungen vorhanden sind und sich ein Beobachter anschickt über irgendeine der Bewegungen eine Aussage zu machen und diese Bewegungen auch beschleunigt sein können.

Beispiel Bahnhof:

Wir sitzen in einem Zug und ein anderer Zug steht auf dem Nachbar Bahnsteig. Beide Züge stehen. Dann fährt einer der Züge langsam ab.
Welcher?

Wir wissen es zunächst nicht, da die Beschleunigung derartig gering ist, daß wir diese nicht wahrnehmen. Auch fehlt uns ein Anhaltspunkt z.B. ein Pfeiler. Dann aber wird die Geschwindigkeit des anderen Zugs größer und wir fragen uns: Warum sehen wir keinen Pfeiler vorbeihuschen? Wir schauen nach weiteren Bezugsmerkmalen. Eventuell stehen wir auf und schauen auf den Bahnsteig: aha...unser Zug ruht, also: der andere Zug fährt.

Das ist Relativität.

Es ist die Unmöglichkeit ein für alle Situationen ausgezeichnetes Bezugssystem ein für alle Mal festzulegen. Kein einziges Experiment hat dieses je bestätigen können, solch ein besonderes Bezugssystem ist ganz offensichtlich nicht existent!

Die Relativität soll eine funktionale Möglichkeit schaffen den Übergang von einem in ein anderes Bezugssystem vollziehen zu können. Die dazu notwendigen Transformationen müssen so beschaffen sein, daß die Naturgesetze unbeeinflußt bleiben.

Was wäre denn, wenn bei einem solchen Übergang Wasser plötzlich nach oben fließt? Das wäre doch völlig falsch, täte jeder Beobachtung widersprechen.

Ganz wichtig:
ErläuterungDie Naturgesetze müssen nach erfolgten Transformationen in ein anders Bezugssystem invariant bleiben
Nehmen wir als recht einfache Transformation die Galilei Transformation:






und rückwärts:






Aus diesen beiden Wegen einer Transformation betrachten wir nur den Verlauf des Ereignisses vom ungestrichenen ins gestrichene System. x ist die Richtung, in der wir schauen, v ist die Geschwindigkeit der relativen Bewegung. Das ungestrichene System ist der Beobachtungsposten.
Die genannten Koordinanten x, y, z stehen jeweils senkrecht, auch im gestrichenen System und t ist die Zeitkoordinate. Die gestrichene Zeit ist diejenige Uhr, die im bewegten System tickt.

Erweitern wir die Galilei Transformation dahingegen, daß die relativ Betrachtungen bis hin zur Lichgeschwindigkeit gelten, so beschreibt dies die Lorentz Transformation.

Bei beiden gleich ist die Betrachtung einer gleichförmigen relativen Geschwindigkeit der Bezugssysteme zueinander. An Hand von Weltlinien kann das sehr schön dargestellt werden. Hier ist ein sehr guter Aufsatz daüber:
http://www.szallies.de/LorentzTransformation.pdf

Wir bleiben auch bei der Lorentztransformation unserer Voraussetzung treu. Die Maxwell Gleichungen bleiben, wenn sie Lorentz transformiert werden, in ihren Aussagen erhalten. Schauen wir uns die Lorentz Transformation einmal an:








Wir erkennen, daß die Transformation der Zeitkoordinate abhängig ist von den räumlichen Koordinaten. Einstein erkannte darin eine physikalische Bedeutung, die er in seiner speziellen Relativitätstheorie (SRT) darlegte.

Die Raum- und Zeitmessung ist abhängig von der Ausbreitungsgeschwindigkeit

Das ist eine fundamentale Erkenntnis, denn sie besagt, daß es keine Uhr im Universum gibt! Es gibt aber Milliarden von Uhren im Universum; Jede Einzelne tickt in ihrem System richtig, aber jede Uhr zeigt gegenüber einer anderen ein völlig anderes "Zeitverhalten", wenn sich die Uhren mit zugeordneten, aber unterschiedlichen Geschwindigkeiten zueinander bewegen!

Es gibt somit keine Gleichzeitigkeit im volkstümlichen Sinne. Einen winzigen Eindruck kann man davon erhalten, wenn man einem Gewitter zuschaut und merkt, daß Blitz und Donner doch zu recht unterschiedlichen Zeiten kommen, obwohl das Ereignis Blitz direkt mit dem Donner -quasi am Ort des Geschehens "zeitgleich"- miteinander verknüpft sind. Auch interessant dazu ist folgende Situation: Wir fahren Auto und hören tolle Musik. Der Wagen legt für die Intonation von Deep Purples "My woman from Tokio" sagen wir 500 m zurück. Gleichzeitig gehe ich spazieren und höre mir das auch an (tolle Musik!!!). Ich lege für die gleiche Anzahl an Takten dieses Lieds ca. 20 m zurück. Bleiben wir im Auto. Wenn das Lied auf einer Strecke von 500m diese Einführungsmelodie spielt, und ich außen gehend das hören tät, was höre ich dann und wiese hört der innen sitzende Mensch das völlig anders?
Das sind einige der Grundgedanken über Relativbewegungen. Zwar sind die Geschwindigkeiten gegenüber dem Licht vernachlässigbar gering, jedoch die Effekte sind ähnlich.

Weiter: Nehmen wir, wir fliegen im Flugzeug, in einem Flugzeug, das sich mit der Geschwindigkeit des Schalls vorwärts bewegt. Dieses Flugzeug fliegt buchstäblich auf der Phase seiner aussendenden Schallwelle. Die Phase seines eigenen Schalls bezogen auf die Piloten im Flugzeug ändert sich nicht. Aber jeder andere Beobachter außerhalb sieht das vollkommen anders!

Damit sich diese paradoxe Physik wiederum in sinnvolle Physik mathematisch beschreiben läßt, musste Einstein die Dimensionen um eine mit dem Zeitbezug des Beobachters erweitert werden. Diese neue Koordinate ist gleichberechtigt zu den traditionellen drei Raumkoordinaten und wird als Produkt der Lichtgesxchwindigkeit mit der Zeit ct angeschrieben. Genauer muß ich sogar anmerken, daß Einstein diese Koordinate als komplexe Koordinate ict anschrieb.
ErläuterungDie Lorentz Transformation tranformiert alle Koordinaten invariant
Bedeutung: Forminvarianz des Linienelements im vierdimensionalen Raumzeit-Kontinuums


Die metrischen Fundamentalgrößen mit mit i # k sind:






Minkowski schrieb der Metrik Gleichung ( ) als erster hin. Sie berücksichtigt den Grenzwertcharakter der Lichtgeschwindigkeit. Präziser muß ich hier sagen: bis zum Grenzwert c zeigt die Lichtgeschwindigkeit keinen imaginären Term, darüber wird sie mit einem realen und einem imaginär Teil behaftet, ist demnach eine komplexe Größe, deren Fortschreitungswert jedoch den Wert c nicht überschreitet.

mit


ErläuterungSind die mathematischen Beziehungen zwischen physikalischen Größen forminvariant, besteht zwischen ihnen Kovarianz
Es zeigt sich später, daß diese Kovarianz auch in der ART Bestand haben wird.

Der Unterschiede zur SRT gegenüber der ART sind in zwei Punkten zu finden:
1. die ART beschreibt die Relativität auch bei beliebigen Bewegungen (demzufolge: allgemeiner Ansatz: beschleunigte Bewegung => Extremfall: Beschleunigung = 0 => konstante Bewegung)

2. die ART beschreibt die Relativität auch unter dem Einfluss der Gravitation
(wobei das prinzipiell ja im Punkt 1 einbegriffen ist, denn Gravitation ist eine Kraft, demzufolge wirkt eine Beschleunigung auf das System. Ich habe jedoch aus Verständnis Gründen beide Punkte explizit getrennt)
Einstein kam auf Grund der Äquivalenz zwischen gravitativ bedingten Bewegungen und gleichförmig beschleunigten Bewegungen zu einer geometrischen Beschreibung der Gravitation. Danach ändert ein Gravitationsfeld die Metrik des Raumzeit-Kontinuums (4-dimensinale Anschrift beachten!). Das zeichnet sich durch eine Änderung des Linienelemens aus, besser es wirkt auf die metrischen Fundamentalgrößen .

Somit können wir den Übergang von der SRT zur ART exakter formulieren:
ErläuterungDie Invarianzforderung der Lorentztransformation (SRT) wird zur Kovarianz Forderung gegenüber dem Linienelement (ART)
Die Naturgesetze transformieren sich wie die metrischen Fundamentalgrößen

Im gravitationsfreien Raum zeigen die metrischen Fundamentalgrößen konstante Werte. Damit ist das Krümmungsmaß des Raumes Null, oder anders gesagt: der Raum manifestiert euklidisch. Die Bahnlinien einer kräftefreien Bewegung eines Massepunkts sind dann Geraden. Die in den vorherigen Kapiteln eingeführten geodätischen Linien lassen sich auf das Raumzeit-Kontinuum beliebiger Metriken anwenden.

Einstein sagte das so:
ErläuterungDie Bahn eines sich selber überlassenen bewegten Massepunkts, auf den nur Gravitationskräfte wirken, entspricht einer geodätischen Linie.
Die Bedeutung der geodätischen Linien möchte ich nochmals betonen:

Ist :

> 0: die geraden Weltlinien sind raumartig

= 0: die geraden Weltlinien sind lichtartig

< 0: die gerade Weltlinien sind zeitartig

In einem anderen Gauss Koordinatensystem werden diese geraden Weltlinien krummlinig, bleiben jedoch gedätisch.

Damit liegt die Vermutung nahe, daß geodätische Linien physikalische Vorgänge darstellen. In der klassischen Mechanik und Mathematik (Geometrie) sind dies gerade Linien. Es sind die Lichtstrahlen als auch die Trägheitsbewegungen. Das heißt auch, daß die geodätischen Linien die allgemeinste Formulierung des Trägheitsgesetzes beinhalten, soll heißen:
Trägheit und Gravitation werden damit vereint.

Nächste Aussage der ART:
ErläuterungDie träge Masse entspricht der schweren Masse
Schauen wir uns um in der Nähe der Metrik [-1,-1,-1,+1] und versuchen zu ergründen, was dort vor sich geht. Dieses Gebiet wird auch Lorentz Gebiet oder Lorentz Gebiete genannt. Wir schreiben dann an:




Erinnerung (Teil 4): es gilt . Führt man die Summenbildung aus, so verschwinden, wie bereits besprochen, alle Terme mit Summanden l # m und es verbleibt:


beides für: m = 1,2,3

Wir haben auch kennengelernt (Teil 4, Christoffel Indizierung):



und mit der Berücksichtigung der Christoffel Indizierung folgt dann:



ist die zeitartige Koordinate. Erinnerung: Voraussetzung dieser Überlegung ist, daß wir uns innerhalb ds Lorentz Gebiets befinden. Damit wird die zeitliche Änderung der Metrik g_{ik} vernachlässigbar und wir dürfen schreiben:



Aus folgt dann:



Das ist aus der klassischen Mechanik bekannt, dort schreibt man:



mit:

Letztere Anschrift stellt das Gravitationspotential dar. Und das habe ich hier mit Hilfe des Grenzübergangs der relativistischen Niederschrift zur klassischen Niederschrift aufgezeigt. Somit reduzieren sich sich die 10 Fundamentalgrößen des metrischen Fundamentaltensors im vier-dimensionalen Einstein-Raum.
Erläuterung darf mit Fug und Recht in der ART als allgemeine Gravitationspotentiale angeschaut werden.
Ich führe die ART hier nicht in jeder Vollendung weiter (es sei denn es würde gewünscht werden). Ich verweise auf die einschlägige Literatur zum weiteren und tieferen Studium und verweise auch auf unsere vielen Diskussionsbeiträge als auch auf unsere Frontseite, wo viele Details zur ART zu finden sind.

4. 5. Die Feldgleichungen der Gravitation

Wenden wir uns einleitend zuerst der klassischen Physik zu. Die Gravitation, ich möchte hier präziser das Graivtationspotential ansprechen, wird mit Hilfe der Poisson oder der Laplace Gleichung beschrieben.



Das ist folgendem kleinen Skript sehr schön dargestellt:

http://de.wikipedia.org/wiki/Potential

=> erkärt den massefreien Raum (Laplace)
=> erklärt den materieerfüllten Raum (Poisson)

Die Frage, die sich uns stellt ist:

Welche Bedingungen müssen für die Metrik gelten, wenn wir diese als Ansatz zur Lösung der Gravitationsgleichung nehmen wollen?

Einschränkung dazu: wir konzentrieren uns auf das massefreie Gebiet, der Lsöung der Laplace Gleichung. Später werden wir dies im Rahmen der Erhaltungssätze auf den masseerfüllten Raum erweitern.

Damit können wir "aus dem Bauch" heraus annehmen:

1. Die Metrik wird sich sehr sicher Euklidsch manifestieren
2. Das Krümmungsmaß wird verschwindend klein sein, also gegen Null streben.

Erinnerung: Krümmungsmaß
=> aus Krümmungstensor mittels zweiter Verjüngung erklärt
=> damit Bestimmung der 10 Einstein Gleichungen für

Der Krümmungstensor selber eignet sich dazu nicht, denn er ergibt eine viel zu große Anzahl von Gleichungen, wenn man denselben zu Null setzt.
Aber nutzt man die erste Verjüngung und setzt seine Komponenten Null, dann liefert dieses eben jene besagten 10 Gleichungen. Das war eine der Meisterleistungen Einsteins.

Schauen wir uns dieses einmal an, wir schreiben:



Diese Gleichung zeigt die Gravitationspotentiale , ähnlich der des Laplace Ansatzes (siehe link Wikipedia). Wir gehen ein Schritt nach vorne und wenden eine weitere, aber sinnvolle Einschränkung ein: wir schauen auf die Lorentz Gebiete. Damit setzen wir gleich:



und wir dürfen darin vereinfachen (siehe weiter oben):



Und diese doch recht kompliziert aussehende Gleichung vereinfacht sich:




Diese Gleichung war es, die Schwarzschild verwendete um das Linienelement für den durch die Präsenz einer Masse (Massepunkt) in seiner Merik modifizierten Raum anzugeben. Die Berechnung dieses Linienelements ist recht umfangreich, ich gebe deshalb "nur" das Ergebnis wieder:



Diese Berechnung kann hier nachgelesen werden:

http://www.olaf-eitner.de/QUELLEN/NAWI/schwloch.htm
http://www.springerlink.com/content/r564568251566596/
http://www.wissenschaft-online.de/astro ... xdt_e.html
http://www.uni-potsdam.de/u/physik/dida ... schild.htm

Darin ist die der Masse, die schließlich das Gravitationsfeld hervorruft proportional.


4. 6. Die Bewegungen der Planeten

Nun wollen wir einen kurzen Blick auf die Auswirkungen der ART bzgl. der Planetenbahnen werfen. Es wird auch hier die Masse stets als Punktmasse angesehen. Die Berechnung der Planetenbahn erfolgt mit Hilfe des besprochenen Linienelements.

Rückblende auf "geodätische Linien":

Die Beschränkung auf die lineare Übertragung (dv = 0) ermöglichte die Formulierung einer DGL für Bahnkurven. Im Euklid Raum sind diese Bahnkurver Geraden. Im nicht Euklid Raum haben die Bahnkurven mit denen des Euklid Raums nur die Richtungskonstanz gemein. Im nicht Euklid Raum sind die Verbindungen auf küzestem Weg Großkreise oder geodätische Linien, derweil sie im Euklid Raum Geraden sind.

Die geodätische Linie besitzt eine Bogenlänge mit einem Extremwert. Das soll heißen, es muß eine Variation der Bogenlänge der Gestalt geben, daß ihre Variation Null ergibt.



Lösen wir diese Variation und berücksichtigen darin das oben beschriebene Linienelement ds, so stellt sich diese Beziehung wie folgt dar:



Wendet man die Euler Gleichungen darauf an (Details der Berechnungen bitte selber in der einschlägigen Literatur nachlesen), folgt für die Bahn als Funktion von Radius r und Winkel :



Hierin ist das elliptische Integral von . Löst man dies zum Radius r auf, so ergibt sich eine Periodizität, damit eine periodische Funktion von . Diese Periodizität ist die Umlaufzeit eines Körpers um einen Zentralkörpers (Planet um Sonne). Die ART Lösung zeigt einen leicht unterschiedlichen Wert im Vergleich zur klassischen Lösung. Dieser kleine Unterschied erweist sich als Periheldrehung, die in der klassischen Theorie nicht erklärbar ist.

Ich kann dies gerne in einem anderen Beitrag einmal im Detail vorstellen, falls daran Interesse ist. Details zur Berechnung sind meinem MAPLE file (sihe Referenz weiter unten) auch zu entnehmen.

jedenfalls ergibt sich nach der Detailrechung der Fehler bzgl. der Periode, der die Periheldrehung beschreibt, als :



Dabei ist:

: Bahnachse

: Bahnexzentrizität

Vermutlich wird dieser Fehler, die Periheldrehung, beim sonnennächsten Planeten am größten sein. Die Berechungen dazu sind in der folgenden Tabelle der erste Wert, die Messungen der zweite Wert.
Planet Berechnung Messung
Merkur 42.98" 43.11" +/- 0.45" (1992 Anderson u.a. Radarmessung
Venus 8.6" 8.4" +/-4.8"
Erde 3.8" 5.0" +/-1.2"

Werte aus: http://de.wikipedia.org/wiki/Periheldrehung

Mit diesen Werten muß man schon etwas vorsichtig sein, denn die berechneten Werte sind aus einem als "ungestörtes Problem mit zentralsymmetrischer Sonne" entwickelt worden. Es sind bestimmt auch andere Berechnungen verfügbar, welche deutlich relatitätsnäher sind. Aber diese stehen mir nicht zur Verfügung. Wer solche Daten hat, möge diese bitte hier nachreichen. (Danke dafür). Auch sind diese Berechnung nur noch mit Hilfe von Rechnermodellen und der Simulation solch einens Scenarios machbar.

Vor einiger Zeit habe ich die Themen dieses Gebiets hier vorgestellt:

http://abenteuer-universum.de/userfiles ... physik.pdf

Im ersten Kapitel: "Relativistische Himmelsmechanik im schwachen Gravitationsfeld" könnt ihr die Berechnungen der Planetenbahnen unter besonderer Berücksichtigung der Relativität als MAPLE Modelle anschauen.


4. 7. Erhaltungssätze

Die Feldgleichungen -oben gezeigt als Laplace DGL 2. Ordnung - sollen überprüft werden hinsichtlich ihrer Erhaltungsfähigkeit von Energie und Impuls. Dazu sind diese auf den masseerfüllten Raum zu erweitern. Dazu müssen wir das Äquivalent zur Massendichte oder nur Dichte genannt in der Poissongleichung finden. Helfen tut uns die ART insofern sie eine Annahme über die Beeinflussung der Metrik durch Energieeinfluß -insbesondere Gravitation- macht. Es kann aus diesem Grunde eine Proportionalität zwischen dem Tensor, der die Energie sowie den Impuls beschreibt als auch dem Tensor der die Krümmung (Krümmungstensor )beschreibt gefunden werden.

Der kraftfreie Fall des Energie-Impuls Tensors fordert daß die Divergenz der Tensoren Null wird. Bezeichnen wir mit die Komponenten des Energie-Impuls Tensors und mit die Verjüngung des Krümmungstensors , so können wir anschreiben:



Die Verjüngung dieses Tensors liefert:



Eliminieren wir L[down]0[/down] aus beiden Gleichungen, so erhalten wir die allgemeine Anschrift der Feldgleichung:



Das ist ein symmetrischer Tensor 2. Stufe und seine Komponenten zeigen für die raumartigen Komponenten eines Impulstensors, für die zeitaritgen Komponenten eines Vektors der Energieströmung (Poynting Vektor) und T[down]44[/down] die Energiedichte. Die Energie zeigt darin einen mechanischen, einen elektromagnetischen, einen gravitativen und einen materiellen Anteil. Grund des materiellen Anteils ist die Energie-Masse Beziehung der SRT (träge Masse gleich schwere Masse und Masse gleichwertig zu Energie ).

Da ist, folgt deshalb:



Damit erkennt man, daß die Erhaltungssätze für Impuls und Energie in der klassischen Formulierung nur für Gebiete mit gelten. Das heißt:
ErläuterungIst gilt:

Die Erhaltungssätze für Energie und Impuls gelten nur im gravitationsfreien Raum
ErläuterungIst gilt:

Energie wird aus dem Gravitationsfeld auf die Masse übertragen


4. 8. Energiedichte Beziehung und die Einstein Gravitationskonstante


Es gelten die Erhaltungsgleichungen:



Darin bezeichnet den Massetensor mit seiner speziellen Niederschrift:



Die Invariante beschreibt die Ruhe(massen) Dichte im begleitenden Bezugssystem. Wegen der oben erwähnten Aäquivalenz Masse - Energie können wir hier mit Fug und Recht von der Ruheenergiedichte sprechen:



Mit dieser Anschrift beschreibt -eben weil diese "nur" die Ruhemasse beinhaltet- den Fall eines stetigen Mediums ohne Einfluß von innerer Wechselwirkungen und nicht gravitativen Kräften. Ein totaler Massetensor oder auch der Energie-Impulstensor



sollte somit alle Energieformen einschließen.

Wir können dann fordern:

in allen Punkten, an denen keine Energie vorhanden ist.

bezeichnet verschwindende Divergenz

bezeichnet die Symmetrie

Auch seitens der kovarianten Verallgemeinerung der linken Seite der Poisson Gleichung wird man verschwindende Divergenz fordern müssen. Soll heißen von:



Wie kann das durch geeignete Wahl von erreicht werden?

Intermezzo zum RICCI Tensor und RICCI Skalar

Ich muß hier zur näheren Erklärung noch einige Details erläutern, da ich hier eine neue Indizierung, nämlich die Semikolon Indizierung einführe. Wir müssen uns um eine Vorschrift kümmern, die eine Differentiation so durchführt, daß Tensoren in Tensoren überführt werden.

Die mittlerweile bekannte Differentiation



kann dieses nicht, da ihr Ergebnis kein Tensor ist. Dieses erkennt man am Transformationsverhalten.
Wir führen deshalb die seitens der Metrik gegebene kovariante Ableitung ein. Diese soll (k,l) Tensoren in (k,l+1) Tensoren überführen. Diese Überführung oder diese Art der Differentiation wird durch ein Semikolon gekennzeichnet. Sie ist linear und erfüllt die Leibniz Regel. Dazu brauchen wir:



Diese Beziehung definiert die Christoffel Symbole, die keine Tensoren sind und damit von dem jeweiligen Koordinatensystem abhängen. Wir können jetzt für die Tensor Differentiation schreiben:





Allgemein hingeschrieben liest sich dies so:



Für einen Skalarist die kovariante Ableitung gleich der gewöhnlichen, partiellen Ableitung. Die Definition der Christoffel Symbole zeigt, daß die Metrik sich kovariant manifestiert, denn:



Diese kovariante Baleitung ist für die Parallelität im Riemann Raum entscheidend weil ein Tensor
dann parallelverschoben zu einer Kurve mit dem Tangenvektor u[up]a[/up] ist, wenn längs dieser Kurve gilt:



Damit sind alle Kurven auto-Parallelen oder Geodäten. Etwas weiter oben stellte ich bereits den Ricci Tensor vor und zeigt auch diese"andere" Schreibweise vor. Diese andere Schreibweise leitet sich auch der dieses Intermezzos ab. Denn um die Raumkrümmung mit diesen Christoffelsymbolen zu beschreiben schreibt sich der Riemann Krümmungstensor folgendermaßen:



Die wichtige Eigenschaft der Symmetrien schreibt sich dann folgendermaßen:





Dieser erfüllt auch die Bianchi Identität:



Und dann zeigen sich Ricci Tensor und Ricci Skalar in ihrer kontrahierten Form, die ich oben bereits vorstellte:

Ricci Tensor:

Ricci Skalar:

Anmerkung:

Auch über



kann der Krümmungstensor hergeleitet werden. Dies gilt für alle Vektorfelder u[up]a[/up].
ErläuterungDer Krümmungstensor ist ein Maß für die Nichtvertauschbarkeit von kovarianten Ableitungen. In einem flachen Raum ist dieser Tensor Null. Der Minkowski Raum zeigt diese Eigenschaft.
Ende des Intermezzos


Ausgehend von den Bianchi Identitäten (siehe http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/relat ... de135.html ) für den 4-stufigen Krümmungstensor schreiben wir:



Dies multiplizieren wir mit: und erhalten:









das kann auch so angeschrieben werden:



Schaut man auf , so kann die Divergenz gleich Null:



geschrieben werden durch:





Vergleichen wir die letzte Beziehung mit



so folgt unmittelbar für :



Damit die kovariante Poissongeichung als verallgemeinerte Lösung dargestellt werden kann, ist zu beachten, daß nach dieser Divergenzbildung die Proportionalität der Tensoren bis auf eine Integrationskonstante vorhanden ist. Und diese Integrationskonstante muß auch noch bei der Divergenzbildung verschwinden! Einstein schrieb das in dieser Form: und erklärte als Invariante. Er erhielt damit eine weitergehende Formulierung der Feldgleichungen:



Der mittlere Term tritt aus rein mathematischen Gründen auf. Er folgt aus der kovarianten Differentiation. Einstein bezeichnete diesen Term als kosmologisches Glied. Dieser Term ist zunächst für unsere Betrachtung als verschwindend gering zu betrachten. Lassen wir diesen Term für die weiteren Betrachtungen zur Einstein Gravitationskonstante weg.

Wir vereinfachen daher:



und multiplizieren diesen Ausdruck mit :



und erhalten so den Krümmungsskalar.

Die vier Bianchi Identitäten schreiben somit:



Damit wurden die 10 Feldgleichungen auf 6 unabhängige Feldgleichungen zusammengeschrumpft.
Konsequenz: Die Zahl der verbleibenden unabhängigen Feldgleichungen ist geringer als die Zahl der Unbekannten! Pauli hat das 1963 in seiner Abhandlung übder die Relativitätstheorie behandelt.
Was jetzt übrigbleibt ist die Bestimmung der kosmologischen Konstanten . Dazu korrespondieren wir die Newton mit der Einstein Gravitationstheorie. Newton findet:



darin ist:



Der letzte Term wird meist so angeschrieben:

#
ErläuterungMit werden gerne die Christoffelsymbole abgekürzt.
Somit können wir weiter vereinfachen:



Und als Näherung für R_{44} läßt sich angeben:



Schauen wir die rechte Seite der vorletzten Gleichung an. Wir erkennen:

Die Ruhemasse:



Erinnerung: Gilt Newton Näherung gilt Beschränkung auf also R[down]44[/down] =0. Auch gilt:



Damit verbleibt der quadratische Term:



Mit diesen Vereinfachung schreiben wir für den materieerfüllten Raum hin:





Erinnerung: und dieses ist gleichbedeutend mit:



Damit kommen zum Finale, denn es ist:



Dieses wird in die vorletzte Beziehung eingesetzt und es ergibt sich die berühmte Gleichung der Einstein Kosmologiekonstante:



4. 9. Gravitationswellen

Wir betrachten ein Gravitationsfeld:



Diese soll eine geringe Gravitation aufweisen. Damit wird der letzte Term wertemäßig recht klein und auch die Ableitung dieses Terms wird wertemäßig sehr klein bleiben. Das rechtfertigt eine Näherung für den Ricci Tensor:



Es wird substituiert:




und dies eingesetzt folgt:



Von den Feldgleichungen des masseerfüllten Raums haben wir kennengelernt, daß neben diesen Feldgleichungen noch vier Bianchi Identitäten (entsprechend der Anzahl ihrer Koordinaten) vorhanden sind. Diese Indentitäten schreiben sich:



Deshalb kann dem vier Bedingungen auferlegt werden. Das Gleichungssystem der Gravitationsänderungen wird dazu nochmals leicht umgeschreiben:
Dessen letze drei Terme können aufgeschlüsselt werden in:


Null wird dieser Ausdruck dann, wenn die Klammerausdrücke beider Terme Null werden.



Dies sind vier Gleichungen zwischen dem Damit bleibt für den Ricci Tensor:



Dieses wird auch mit folgendem Operator bezeichnet:


ErläuterungDies ist der d'Lambert Operator oder auch Wellenoperator genannt. Der d'Lambert Operator ist ein Differentialoperator mit allgemeiner Niederschrift:

Wir schauen nochmals auf und behandeln darin den Klammerausdruck:



Der Ricci Skalar wird damit:





Demzufolge:



Erinnerung:



Dieser Ausdruck wurde oben zu Null angenommen. Die gerade gezeigten Bedingungen enstprechen dieser Nullsetzung.

Zurück zu Einstein's Feldgleichungen:



Wenden wir hier die gerade erläuterten Näherungen ein, so werrden die originalen Feldgleichung umgeschrieben in:



Auch hier machen wir vereinfachend -sonst wird das ja alles noch unübersichtlicher!!- eine Vereinfachung, indem wir die quadratischen Terme von weglassen:



Fast sind wir am Ziel.

Substituieren wir noch



so folgt:



Das kann auch ausgeschrieben werden als:


Diese Gleichungsart ist uns bekannt als Wellengleichung und läßt sich demnach auch als Integralgleichung anschreiben:



Diese Wellengleichung besagt folgendes:

Eine zur Zeit t in ausgelöste Störung der Gravitation wirkt mit ihrer endlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit c am Messort r mit einer zeitlichen Verzögerung (Gruppenlaufzeit)
.

Weitere Informationen über Gravitationswellen sind unseren Forendiskussionen sowie der einschlägigen Literatur zu entnehmen.


4. 10 Raumkontraktion, Zeitdilatation, Eigenzeit

Die ART zeigt sich an manchen Stellen mit außergewöhnlichen Erscheinungen, die zum Teil wenig oder nur schwer anschaulich darstellbar sind. Die bereits vorgestellte Lorentztransfromation zeigt zwei dieser Phänomene:
1. die Lorentz Kontraktion
2. die Einstein Zeitdilatation

Zurück zu unseren Bezugssystemen: eines ruht (gestrichenes System), das andere bewegt sich (ungestrichene System). Im ruhenden (gestrichenen) System befindet sich ein Stab, dessen Länge wir vom bewegten (ungestrichenen) System aus messen wollen.

Stablänge im gestrichenen System:



Stablänge aus dem gestrichenen System zum Zeitpunkt t[down]0[/down] heraus gemessen:



Es folgt aus den Lorentz Transformationsgleichungen:



bzw.:



Nächste Situation, die bei der Stablängenmessung passieren mag: Im ruhenden (gestrichenen) System befindet sich ein Messingenieur. Er will die Länge des Stabs, der sich im bewegten (ungestrichenen) System befindet, zur Zeit t' = t[down]0[/down]' messen.

Stablänge im bewegten System:



Der Ingenieur erwartet die Stablänge gemäß der Lorentzkontraktion zu messen:



bzw.:



Das Ergebnis ist zunächst einmal unerwartet, denn es erscheint kein offensichtlicher Unterschied der beiden Situationen. Diese beiden Ergebnisse werden Lorentz Kontraktion genannt.
ErläuterungDie Lorentz Kontraktion zeigt eine geometrische Länge, die sich entweder bewegt und von einem ruhenden Beobachter gemessen oder ruht und von eimem bewegten Beobachter gemssen wird stets als verkürztes Maß im Verhältnis
Wir wenden die Lorentstransformation auf das Zeitverhalten an zum Zwecke der Feststellung ob ein bewegtes gegenüber einem ruhenden System ein anderes Zeitverhalten aufweist oder nicht.

Im gestrichenen Koordinatensystem legen wir einen Zeitpunkt t' fest, der durch eine Uhr U[down]0[/down]', die im Koordinatenursprung des gestrichenen Systems steht, festgelegt wird. Das gleiche Prozedere machen wir im bewegten -ungestrichenen- System.

Wir legen im bewegten System einen weiteren Ort auf der Koordinatenachse fest, nennen wir diesen 1. Dann messen wir vom bewegten System aus die Zeitdistanz, wenn die Uhr U[down]0[/down]' am Punkt x=0 und x=1 passiert. Die zugehörigen Zeiten benennen wir t[down]1[/down] und t[down]2[/down].



bzw.:



Das gleiche Experiment drehen wir iwe bei der Stabmessung um und erhalten:



bzw.:



Diese Gleichungssystem beschreiben die Einstein Zeitdilatation.
ErläuterungEin zeitliches Intervall in einem von zwei gleichförmig gegeneinander bewegten Systemem erscheint vom anderen System aus gemessen im Verhältnis verlängert
Diese Erbebnisse zeigen den unmittelbaren Einfluß der Relativität auf Messungen und spielen in der heutigen Technik eine ganz besondere Rolle. Die navigationssatelliten ind positionsmäßig über ihre Ephemeriden bekannt. Bezogen auf uns Menschen auf der Erde sind diese in Bewegung. Da die Meßgenauigkeit sehr sehr gut sein muß, ist jede Positionsberechnung neben ihrer Triangulation auch noch mit den Zeit und Längenkorrekturen zu beaufschlagen. Dieses ist eine aktulle Anwendung der SRT.

Läßt man beschleunigte Bezugssystem zu -ART- so kann ebenfalls eine zeitliche Differenz der vielseitig beobachtbaren Bewegungen gemessen werden. Nur ist diese Zeitdilatation keine Konstante mehr, sondern sie ist abhängig von der Beschleunigung des jeweilgen Systems. Da Beschleunigungsfelder mit der Gravitation zusammenhängen, so werden beide Begriffe innerhalb der ART als gleichwertig angesehen.

Nehmen wir die Zeitdilation, wie oben für die SRT angeschrieben und wenden diese auf ein beschleunigtes System an. Dann müssen wir den Vektor der geschwindigkeit neu formulieren:



mit:



Dieser Vektor (Tensor 1. Stufe) wird auf Grund seiner vier Komponenten in der ART auch Vierervektor genannt.

Damit ist die Serie vom Vektor zum Tensor beendet. Ich hoffe den Bogen einigermaßen verständlich gefaßt zu haben, wobei mir sehr bewußt ist, daß gerade in diesem Kapitel die mathematischen Anforderungen bereits sehr strapaziert werden.

Leider wird die ART selten in der Theoretischen Physik gelesen. Es wäre ein großes Anliegen dieses Kapitel in die Vorlesungsserien mit einzubeziehen.
Die Symmetrie ist der entscheidende Ansatz Dinge zu verstehen:
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e

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