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Vom Vektor zum Tensor Teil 4

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Vom Vektor zum Tensor Teil 4

Beitrag von wilfried » 27. Mär 2009, 13:46

:idea: :!:

Vom VEKTOR zum TENSOR

Teil 4 Vektorielle Differentialoperatoren in höherdimensionalen Räumen

4. 1. Vorbemerkungen


Als erstes möchte ich auf teil 2 verweisen, denn die dort eingeführten kontravarianten Transformationen werden in diesem Kapitel angewandt. Ich möchte aber auch nicht an jeder Stelle sagen: siehe Kapitel 2, Formel 23 oder ähnlich. Ich hoffe und denke auch, daß dieses nicht notwendig ist, denn die Formelmechanismen und um diese geht ja bei solchen Verweisen, können bei Bedarf im Kapitel 2 nachgelesen werden.

4.2 Krummlinige Koordinaten

Wir verlassen das kartesische System und unser zukünftiges Koordinatensystem hat nur noch gekrümmte Achsen. Machen wir dazu ein Experiment:
benötigt wird eine Haushaltsfolie, ein Edding Stift, ein Lineal und ein Nagen oder eine Reißzwecke.

Ein Stück dieser Haushaltsfolie wird auf einem Brett aufgespannt und an einer Ecke mit dem Nagel oder Reißzwecke befestigt. Man zeichne mit dem Stift und dem Lineal ein rechtwinliges Koordinatensystem und teile die Achsen, sagen wir in 5 gleich große Teile. An diesen Teilungen strichliert ihr Parallelen zu den Achsen und erhaltet so ein rechtinkliges Gitter. Ist das passiert, malt einen Vektor auf diese Folie.
Jetzt wird die Folie vorsichtig -sie darf am Nagel nicht ausreißen- erste einmal in die eine Richtung, dann in die andere Richtung verzogen.
Damit verziehen sich die Koordiantenachsen, werden krummlinig. Auch der Vektor wird verzerrt.

Aufgabe der mathematischen Beschreibung ist es, dieses Verhalten -so wie in diesem Experiment beschrieben- nachzuvollziehen. Folgend dem Kapitel 2 bezeichnen wir die transformierten Koordinaten mit hochgestelltem Index. Erinnerung: die Indexhochstellung gibt die kontravarianten Maßzahlen eines kovarianten Systems mit ortsabhängigen Basisvektoren an. Wir verwenden auch das in Kapitel 3 vorgestellte begleitende n-Bein. der i-te Basisvektor des n-Beins im Punkt P, der auf der Bahn der gekrümmten Bahnkurve liegt ergibt sich so als Tangente an die der durch diesen Punkt P gehenden Schnittkurve der Räume mit k=1,2,3,..,n; Ausnahme: k=i gilt nicht!

Den Ortsvektor zum Punkt P bezeichne ich ebenfalls mit P und nutze die Frenetssche Formel:



....


Damit ist das totale Differential anschreibbar:



zum System der oben aufgezeigten Einheitsvektoren läßt sich das System der kontragrendienten oder auch reziproken Vektoren angeben:



Damit können wir das System der kontravarianten Vektoren anschreiben:



...


Das Linienelement ds ist gleich dem Absoutbetrag von der Kurve im n-dimensionalem Raum, die den Punkt P berührt.
Das läßt sich folgendermaßen formulieren:



Mit unserer Metrik -Teil 2- läßt sich dies sehr elegant ausdrücken:



Das Linienelement läßt sich auch invariant darstellen



Mit dieser invarianten Anschrift lassen sich wiederum die kovarianten als auch die kontravarianten Komponenten der Vektoren mit ihren zugehörigen Metriken darstellen:






Die Wurzeln sind die Absolutbeträge der Einheitsvektoren. Schauen wir uns jetzt die Fläche des Parallelogramms an, welches von den kontravarianten Komponenten i und k gebildet wird:



Soeben habe ich die Metrik angeführt und diese setzt ich hier ein:








Mit diesen Beziehungen können wir das Parallelogramm auch folgendermaßen anschreiben:



und mit den kovarianten Komponenten:




Wenn wir den Rauminhalt berechnen wollen, so müssen wir das gemischte Produkt dieser Vektoren ausrechnen. Unter Verwendung der Gram'schen Determinante bilden wir den Wert des gemischten Vektorprodukts. Diese Determinate liefert das Kriterium für die lineare unabhängigkeit des Systems der verwendeten Einheitsvektoren.



Dies rechnen wir aus und schreiben das Ergebnis in Determinantenform an und verwenden die Metriken:



Natürlich läßt sich dieser Ausdruck auch für n-dimensionale Räume anwenden.

Für ein n-dimensionales Volumenelement dV in kovarianter, respektive kontravarianter Anschrift schreiben wir:






4.3 Verschiedene Koordinatensysteme: Übergänge

Übergänge von einem in ein anderes Koordinatensystem werden Koordinatentransformationen genannt. So beispielsweise von einem kontravarianten System (rechtwinklig, geradlinig) in ein krummliniges kontraviariantes System:



Schauen wir ins rechtwinklige KS: Darin ergibt sich für das Quadrat des Linienelements, d.h. für das Differential der Bogenlänge s:



Schauen wir in schiefwinklige KS, so ergibt sich hier:



Daraus wird das Orthonormierungskriterium abgeleitet:



Es können jetzt mit diesen Transformationsgleichungen die kontravarianten Differentiale durch die kontravarianten Differentiale eiens krummlinigen KS ausgedrückt werden:




Und damit läßt sich das Linienelementqaudrat folgendermaßen schreiben:


Durch Koeffizientenvergleich gewinnen wir schlussendlich:

g_{ik} \ = \sum_{l} {{\delta^l} \over {\delta u^i}} {{\delta^l} \over {\delta u^k}}

Damit dieses Verfahren besser verstanden wird, transformiere ich im 3-D Raum ein System mit räumlichen Polarkoordinaten in Zylinderkoordinaten.

Zwischen Zylinderkoordianten und rechtwinkligen Koordinaten besteht folgender Zusammenhang:









Die metrischen Fundamentalgrößen lassen sich berechnen zu:










Auf Grund von folgt "nebenher", daß die Zylinderkoordinaten ein Orthogonalsystem bilden.

Berechnen wir das Quadrat des Linienelements:



Den Flächenelementen können die Beträge zugeordnet werden:





Das Volumenelement wird dann:



Transformieren wir auf Polarkoordinaten, dann sind folgende Voraussetzungen vorhanden:





Adäquat zur Zylindertrafo folgt für die Polartrafo:




Die anderen Komponenten sind ebenfalls 0. Ergo:




Dito für Flächenelemente und Volumen:









Donnerwetter! Das ist doch ein interessantes Ergebnis?? Was sagt uns das?

AUS DEM QUADRAT EINES LINIENELEMENTS IN GERADLINIGEN KOORDINATEN WIRD NACH DER TRANSFORMATION IN KRUMMLINIGE KOORDINATEN EBENFALLS EIN QUADRAT DES LINIENELEMENTS:

DAS IST GLEICHBEDEUTEND MIT DER INFORMATION DA? DER EUKLID'SCHE RAUM UNVERÄNDERT BLIEB TROTZ DIESER TRAFO



4.4 Mannigfaltigkeiten: euklidische und nicht-euklidische Räume

Wir stehen quasi vor der Türe des Verständnisses der allgemeinen Relativitätstheorie Einsteins. Um ihm folgen zu können, müssen wir aber erst das Verständnis der gekrümmten Flächen bzw. Räume aufbauen. Gauß hat sich damit bereits beschäfitigt. Sein Punkt ist:
eine Oberfläche einer Kugel läßt sich auf keinem Wege in eine Ebene hinein ausbreiten. Das nennt man auch rektifizieren. Abgewickelte Oberflächen jedoch verhalten sich anders. Diese setllen sogenannte zweidimensionale Räume dar. Zur letzten Gruppe gehören Zylinderflächen und Kegelmantel.

Zweidimensionale Räume sind euklidisch, die Räume, welche nicht zu dieser Gruppe gehören, wie etwa die oben erwähnte Kugeloberfläche werden nicht eukidisch genannt.

Es läßt sich ausdrücken:
ErläuterungZweidimensionale Mannigfaltigkeiten, die in einem dreidimensionalen Raum eingebettet sind und sich durch keine Operation auf Flächen ausbreiten lassen, heißen nicht euklidische Räume.
Gauß behalf sich durch Einführung eines neuartigen Korrdinatensystems, diese Räume beschreibbar zu gestalten. Dieses KS wird auch Gauß Koordinatensystem genannt, die Koordinaten selber heißen Gauß Koordinaten.
Diese sind sphärisch und besitzen Breitengrade und Längenkreise.
Wir schreiben an:




Mit diesen Koordinaten läßt sich jede Kugelfläche beschreiben. Segler nutzen das, um ihre Kurse zu bestimmen (wenn z.B. Atlantik- Pazifikrouten berechnet werden). Bezüglich des 3-dimensionalen Raumes schreibt Gauss:





ist der Radiaus der betreffenden Kugel. Eine ganz ähnliche, verwandte Transformation habe ich im letzten Kapitel erst vorgestellt. Mit diesen Gauss Koordinaten kann einerseits das Linienelement und andererseits das Maß der Krümmung der Kugeloberfläche ausgedrückt werden. Allgemein: es wird ein n-dimensionaler nicht euklid'scher Raum in einen n+1-dimensionalen euklid'schen Raum eingebettet.

Wir bestimmen das Linienelement unter Verwendung des Vorgehens Koordinatentrafo im Euklidraum mit Hilfe der Gauss Koordinaten des nicht-Euklid Raums:



Gauss bezeichnet die Metrik mit E, F, G. Gemäß der original Anschrift von Gauss schreiben wir für das Quadrat des Linienelements:



Dabei wurde auch ersetzt:




Das Linienelement als Verbindungslinie zweier infinitesimal eng benachbarter Punkte gibt den Charakter der Raumstruktur in den Werten E, F und G wieder. In der Gauss Flächentheorie heißt dies:
erste Fundamentalform.
ErläuterungDie erste Gauss Fundamentalform beschreibt die Metrik des Raums
Folgend der Frenet'schen Formeln läßt sich darauf angewandt das Maß für die Raumkrümmung angeben. Dabei wird die Krümmung einer Kurve auf die Fläche übertragen und mittels skalarer Multiplikation der ersten Frenet Gleichung mit folgt:



Diese Gleichungssequenz ergibt sich unter der Voraussetzung, daß und auch (siehe Teil 2) d ist. Das infinitesimale Winkelstück beschreibt den Winkel, um den sich der Einheitsvektor bezüglich der Kurvennormalen dreht. R ist der zugehörige Kreisradius. Dieser Kreisradius ist nicht als konstant anzusehen, sondern ist ein Radius, der sich bei 2 infinitesimal benachbarten Punkten ergibt -beide Punktebesitzen das Linienelement ds- und haben dort die gleiche Tangente.

Mit anderen Worten:

Zur Bestimmung des Krümmungsmaßes wird die Krümmung einer Kugel bestimmt, die an besagtem Ort die gleiche Tangentialebene wie die aufgespannte Fläche beitzt. Damit hat sie 3 benachbarte Punkte mit diesem Flächenelement gemein.

Wir ermitteln jetzt dieses Flächenelement durch das besagte infinitesimale Dreieck, das die 3 benachbarten Normalen auf der Oberfläche selbiger Kugel inklusive des zugehörigen Raumwinkels bestimmt.

Es wird bezeichnet:

: das Flächenelement

: Raumwinkelelement

K: Krümmung der Kurve

: Krümmung der Fläche



ist das Raumwinkelelement. ist jenes besagte Krümmungsmaß: die Gauss Krümmung der Fläche mit als Radius der Krümmungskugel. Wollen wir das Flächenelement und auch das Rumwinkelelement bestimmen, so gehen wir voor, wie Geodäten auf der Erde: die Kugel wird mit einem Netz von Längen- und Breitengraden überzogen. Oder anders gesagt: wir überziehen die Kugel mit dem Netz der Gauss Koordinaten u und v. Für den Tangentenvektor bzw. gilt, wenn man diese nicht als Einheitsvektoren auffaßt:




Das Vektorprodukt dieser beiden legt die Tangentialebene fest und kann damit mit seinem Normalenvektor angegeben werden als:





Der Vektor steht auf als auch auf senkrecht. Dasselbe gilt auch für und . Mit dieser Erkenntnis lässt sich zusammenfassend hinschreiben:



Mit diesen Sequenzen ist festgestellt, daß das Gauss Krümmungsmaß durch die metrischen Fundamentalgrößen und durch ihre Ableitungen darstellbar ist.
Erläuterung stellt ein Kriterium für die Metrik und die Raumstruktur dar
Für den 2-dimensionalen Euklidraum gilt: und .
Das ist gleichbedeutend mit:

Dieses Kriterium ist aber nicht an die 2-Dimensionalität gebunden, sondern gilt auch in höherdimensionalen Räumen.

Es läßt sich noch viel mehr über die Gauss Koordinaten sagen, aber das kann in der einschlägigen Literarur nachgelesen werden. Hier geht es um die Gedankenansätze, die Grundlagen.

Hingegen ist es wichtig, daß wir aus den gezeigten Beziehungen bereits ableiten können, daß das Gauss Krümmungsmaß das Kriterium der Raum-Metrik darstellt, aber auch, daß alle Veränderungen des Raums, bei denen die Metrik erhalten beibt, das Gauss Krümmungsmaß unverändert lassen.

Damit kann folgende Aussage getroffen werden:

ist biegungsinvariant. Gilt auch für die erste Fundamentalform!

Bei einer reinen Biegung ändert sich der Abstand zweier benachbarter Punkte (entspricht dem Betrag des Linienelements) nicht.

Die 2. Fundamentalform ist variant gegenüber Biegungen. Grund: und gehören verschiedenen Flächen an!
Für 2-dimensionale Räume ist das Gauss Krümmungsmaß ein Skalar, bei höherdimensionalen Räumen ist das Gauss Krümmungsmass ein Tensor.

4.5 Das absolute Differential

Das Problem im nicht Euklid Raum ist, daß man einen Vektor v eines Vektorfelds, der in einem Punkt P angreift, nur auf ein Grundsystem ai beziehen kann. Dieses Grundsystem jedoch ist nur im Punkt P definiert und sonst nirgendwo! Damit wird eine Parallelverschiebung unmöglich bzw. muss auf geeignete Weise "nach definiert" werden.

Schauen wir, welche Aussagen sich im nicht Euklid Raum über die Änderungen dv eines Vektors finden lassen. Dazu wird zunächst vernachlässigt oder übergangen, welcher Art eine solche Verschiebung bzw. so ein Übergang darstellt. In der Literatur findet man dazu Maßzahlen der Übertragung . Diese zu den infinitesimalen Maßzahlen gehörende Übertragung lassen sich jedoch nur für den Euklid Raum angeben und sind meist nicht integrabel.

Der benannte Vektor v der Grundvektoren a im Punkt P schreibt sich:



Zwei verschiedene, infinitesimal entfernte Punkte P besitzen jeweils solch einen Vektor. Der Vergleich dieser Vektoren zeigt den Unterschied der Vektoren.



Bitte genau hinsehen!! Diese Form der Anschrift besagt, daß sich beim Übergang zwischen zwei infinitesimal benachbarter Punkte die Grundvektoren um d a bezüglich ai ändern. Dieses ist das absolute Differential dv. Jetzt verwenden wir die infinitesimalen Maßzahlen der Übertragung :



Die Einstein Summenkonvention wird hier weggelassen. Es sollen auch die im Teil 1 genannten Summen- und Produktregeln der gewöhnlichen Differentiation gelten. Dann kann diese Beziehung auch mit Hilfe der Metrik Anschrift dargestellt werden.

Dies ist bekannt als Lemma von Ricci.



Diese Anschrift stellt Gleichungen zur Bestimmung der infinitesimalen Maßzahlen der Übertragung dar.

4.6 Die lineare Übertragung

Gehen wir zurück zur eigentliche Aufgabe: der Bestimmung der Charakteristik der Bahnkurve und schauen uns den linearen Übergang an. Es wird der Tangenten Einheitsvektor ds/ds = const gesetzt. Heißt: für einen mitbewegten Beobachter zeigt sich dieser vektor konstant, damit wird sein absolutes Differential Null. Mit dieser Voraussetzung (linearer Übergang) erhalten wir eine Differentialgleichung der Bahnkurve:



Hier handelt es sich um lineare Differentiale, damit kann diese Gleichung vereinfacht geschrieben werden:



Mit dieser vereinfachten Form der Darstellung folgt dann für die Bahnkurve im Fall der linearen Übertragung:


ErläuterungWird ein im nicht Euklid Raum konstanter Vektor v längs einer Bahnkurve der linearen Übertragung verschoben, so bleibt der Winkel dieses Vektors zur Bahnkurve hin konstant
Begründung: Dieser Winkel ist der Winkel zwischen jeweils zwei konsanten und aufeinanderfolgenden Vektoren: v und ds/ds

4.7 Die Geodätischen Linien

Im Euklid Raum sind die Bahnkurven der linearen Übertragung Geraden. Begründung: Wegen der Konstanz der Metriken (Fundamentalgrößen) ist



und damit ist



Das sind die Gleichungen von Geraden.

Im nicht Euklid Raum sind die Bahnkurven der linearen Übertragung Kurven mit konstantem Winkel zur Bahnkurve.

Wegen begründet sich diese Aussage. Eine Gerade im Euklid Raum ist zusätzlich auch die kürzeste Verbindung zweier Punkte. Auf einer Kugel ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte die Verbindung der Punkte mittels einem Großkreis. Diese Linien werden geodätische Linien genannt.
Die Bogenlänge iner geodätischen Linie besitzt einen Extremwert, damit muß die Variation der zugehörigen Bogenlänge Null ergeben:



Dazu gehören die Euler Gleichungen:



Zu Anfang dieses Kapitels habe ich das Quadrat des Linienelement in Abhängigkeit der Metrik vorgestellt. Mit dessen Hilfe zeigt sich die Nennerwurzel zu 1 und diese komplizierte Gleichung läßt sich dann einfacher anschreiben:



Vom ersten Term wird das totale Differential gebildet und damit geht die letzte Gleichung über in folgende Form:


4.8 Die Christoffel Indizierung

Wir schauen auf die letzte Gleichung und darin auf den in der Doppelsumme stehenden geklammerten Ausdruck. Dieser läßt sich vereinfach wiefolgt anschreiben:



Dies nennt man Christoffel Indexsymbol 1. Art.
Die Anschrift mit dem Christoffel Indexsymbol 2. Art erhält man mittels Multiplikation mit und Summation über l. Das Christoffel Indexsymbol 2. Art läßt die Anschrift einer geodätischen Linie wesentlich einfacher aussehen:



Jetzt führen wir die gerade erwähnte Multiplikation mit und auch die Summation über i durch und benutzen gleichzeitig die zuletzt gezeigte vereinfachte Anschrift mit dem Christoffen Indexsymbol 2. Art:



...und erhalten damit die Anschrift der DGL einer geodätischen Linie. Wir vergleichen diese Ergebnis mit:



und zeigen so, daß geodätische Linien Bahnkurven einer linearen Übertragung sind unter der Prämisse, daß für die infinitesimalen Maßzahlen der Übertragungung folgendes gilt:



Da diese Indizierung sehr symmetrisch ist, reicht die Anzahl der Gleichungen aus dem Lemma von Ricci


zur Ermittlung von aus.
ErläuterungDiese Übertragung führt den Namen geodätische Übertragung
Die Symmetrie ist der entscheidende Ansatz Dinge zu verstehen:
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e

Gesperrt