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Vom Vektor zum Tensor Teil 3

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wilfried
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Vom Vektor zum Tensor Teil 3

Beitrag von wilfried » 16. Jan 2009, 10:48

:idea: :!:

Vom VEKTOR zum TENSOR

Teil 3 Vektoranalyis

3. 1. Vorbemerkungen




Dieser Teil wird eine Einführung in die Differentialoperatoren geben. Diese sind unumgänglich für das danach aufzubauende Verständnis der Differentialoperatoren höher dimensionierter Räume.

Mir ist klar, daß ab hier zunehmende Verständnisprobleme auftauchen werden, da das gebiet mehr und mehr abstrakt wird und die Mathematik nicht mehr vergleichbar sein wird mit derjenigen, die uns von der Schule, vom Gymnasium her und auch von den Hochschulen bis zum Vordiplom bzw. Bachelor bekannt ist. Diese Schwelle haben wir in Teil 1 und 2 erreicht und diese Schwelle werden wir überschreiten. Im Zuge der Weiterführung werden wir auch die Schwelle des Diplomhauptstudiums bzw. Masterstudiums überschreiten, insbesondere, wenn die höherdimensionalen Operatoren besprochen werden, Dann haben wir das Niveau eines Doktorandenseminars erreicht.

Diese Vorbemerkung muß ich in dieser Schärfe bringen, da ich eine Enttäuschung der Leser vermeiden möchte, wenn einige Kapitel dieser Weiterführung vielen unverständlich werden.

Was hilft dann?

Dann hilft:

a) im Forum um Rat und Hilfestellung fragen
b) in die Bibliothek (Hochschulbiblio) gehen nd lesen, lesen, lesen ...


3.2 Differentiation von Vektoren und Vektorprodukten

Die Differentiations- Integrationsregeln sind bei Vektoren nicht anders oder gar neu zu vrstehen, als bei "normalen" Funktionen. Der kleine Unterschied bei der Differentiation von Vektoren ist der, daß ein Vektor in den meisten Fällen mehrdimensional ist, wir damit im Wesentlichen die partielle Differentiation im Fokus haben. Stellen wir diesen Vergleich mathematisch dar:






Mit dieser Anschrift wird die Differentiation eines Vektors auf die Differentiation der Skalarkomponenten des Vektors zurückgeführt. Mit dieser Regel lassen sich auch vektorielle Produkte behandeln:



Der Weg zur Differentiation skalarer Produkte ist damit vorbereitet, da hier die klassische Differentiationsregel auf die Klammern angewendet werden darf:



Formal läßt sich das zusammenfassen zu:



Sei a = b liegt ein Spezialfall vor. Die zeitliche Änderung eines konstanten Vektors, sagen wir eines Einheitsvektors, kann auf Grund seines konstanten Absolutbetrags nur in einer Richtung bestehen. Die zuletzt angeschriebene Produktregel sagt dies bereits aus: denn wenn das Quadrat des Absolutbetrags genommen wird: a a = const oder in Einheitsvektoren: e e = const dann wird:


bzw.


Aussgae: Vektor a bzw. e steht senkrecht auf seiner zeitlichen Ableitung. Oder auch:
die zeitliche Änderung eines Vektors läßt sich als infinitesimaler Kreisbogen auffassen.

Interpretation:

Die Vektoren a und und a + da zu Beginn als auch am Ende eines infinitesimalen Zeitquants dt können durch eine Drehung mit der Winkelgeschwindigkeit u in Richtung der Drehachse auseinader hervorgehen.

Das heißt:


oder auch:


Vergleichen wir dies mit Teil1, dem Vektorprodukt, können wir in dieser Anschrift den Absolutbetrag eines vektorprodukts erahnen, das in vektorieller Anschrift den Zusammenhang zwischen d a /dt und u liefert:



Nehmen wir, daß der im Absolutbetrag konstante vektor ein Ortsvektor O sei und wenden die letzte Gleichung damit an und berücksichtigen das, was wir etwas weiter oben über die Drehbewegung gelernt haben, so läßt sich vorbereitend mit der Verschiebungsgeschwindigkeit der Zusammenhang zwischen dieser Verschiebungsgeschwindigkeit und der Winkelgeschwindigkeit feststellen:



Die Differentiation des vektoriellen Produkts gilt:


ErläuterungAchtung: Die Einhaltung der Reihenfolge im vektoriellen Produkt ist essentiell!


3.3 Vektor-Differentialoperatoren und Integralsätze

3.3.1 Der Gradient


Erinnern wir uns, wie eine Fläche mit Vektoren dargestellt wird:
a) Wir benötigen einen Ortsvektor und die Einheitsvektoren mit ihren Koeffizienten der zugehörigen Koordinaten
b) Wir benötigen die Einheitsvektoren mit ihren Koeffizienten der zugehörigen Koordinaten als auch den Normalenvektor zur Darstellung mit der Hesse Form.

Stellen wir uns eine Fläche vor und begeben wir uns zu einem beliebigen Punkt dieser Fläche, nennen diesen P1. Von P1 aus wandern wir zu einem anderen Punkt dieser Fläche: P2. Mit dieser Wanderung ändert sich der Funktionswert um oder wenn dies in infinitesimalen Schritten passiert um dz=df. Damit wir dies in eine mathematisch beschreibbare Darstellung bringen können, zerlegen wir diese Wanderung von P1 nach P2 in zwei Komponenten:
Vorbemerkung: Es wird ein kartesisches Koordinatensystem vorausgesetzt mit den Einheitsvektoren i, j, k.

1. Komponente: Schnitt parallel zur k-i Ebene Führt vom Punkt 1 zum Punkt 3
2. Komponente: Schnitt parallel zur k-j Ebene Führt vom Punkt 3 zum Punkt 2

Damit können wir folgendes Gleichungssystem anschreiben:



Dabei beschreibt der tangens den Profilwinkel, denn die beiden oben oben genannten Komponenten können auch als Profil = Projektion der Schnitte angesehen werden. Der so beschriebene Profilwinkel oder Neigungswinkel wird durch die partiellen Ableitungen beschrieben. Für eine drei dimensionale Schnittvorschrift sieht das ystem folgendermaßen aus:



Diese Form ist unter dem Namen Pfaff'sche Form bekannt. Entwickeln wir die Pfaff'sche Form weiter mit Hilfe der skalar Zerlegung (Auffassung: Produkt der Vektoren als skalares Produkt zerlegen), so erhalten wir:



Auf der rechten Seite steht als Zusammenfassung des Ergebnisses das Zeichen [tex \nabla [/tex]. Dieses Zeichen verkürzt die Niederschrift der linken Seite der DGL. Solch ein Verkürzungszeichen nennt man Differentialoperator oder kurz Operator.



Mit diesem Operator beschreiben wir die Koordinatenveränderung eines Verschiebungswegs. Die oben genannte Wegverschiebung läßt sich damit deutlich kürzer fassen:

ErläuterungNoch ein Kommentar zum Funktional f: f stellt eine Funktion dar wie: a=f(x,y,z) und f steht stellvertretend für eine Flächenschar. Hier taucht wieder der Begriff Schar auf. Daran muß man sich nicht nur gewöhnen, sondern dieses ist zu berücksichtigen: Die allgemein gültigen Darstellungen bedingen keine einzelne Lösung, sondern stets eine Gruppe von Lösungen, eine Lösungsschar.
Nehmen wir eine Lösung stellvertretend heraus:



so besagt diese, daß der Vektor bezügliich aller beliebigen Änderungen des Ortsvektors, welche in der Fläche f(x,z,z)=const liegen in Richtung der Flächennormalen n zeigt.



Damit kann für eine Änderung des Ortsvektors o = n dn df angeschrieben werden:




Eine Erweiterung dieser Gleichung wird durch die zeit als Variable erreicht. Damit ändert sich das Differential df/dn in das totale Differential



Die Normale steht senkrecht auf dem infinitesimalem Flächenelement in Richtung des Normalenvektors ndn.nDer Vektor weist von der Fläche in Richtung des größten Anstiegs von f(x,y,z,(t)) (Ableitungsmaximum). Deshalb wird diesem Vektor auch der Name gradient zugewiesen.

Schreibweise:

Der gradient zeigt, wie dargestellt, in die gleiche Richtung wie die Normale auf dieser Ebene oder diesem Flächensegement. Damit können seine Komponenten durch Differentiation der Flächengleichung F = f(x, y, z) gewonnen werden. In Folge dessen lassen sich die Winkel der Flächennormalen als Richtungskosinusse ausdrücken:





Dies kann in die Gleichung eingesetzt werden und damit sind die Richtungswinkel als Komponenten dargestellt. Da dieses eine einfache Übung ist, kann dies jeder selber nachvollziehen.

Wichtig zu bemerken ist, daß die Eigenschaften des gradienten unabhängig von der Wahl eines bezugssystems sind.
ErläuterungDer gradient ist eine vektoriell differentiations invariant.
Die physikalische bedeutung erlangt er in der Feldtheorie: er beschreibt das Potential eines felds. Anders ausgedrückt zeigt der gradient die potentielle Energie auf. Das ist vergleichbar zum skalar-Potential im Sinne newtons., welche für elektrostatische, magnetostatische und gravitative Felder gilt. Es ist eine skalr Funktion eines Ortes. Nutzen wir das Entfernungsquadratgesetz, so können wir daraus die analytische Form gewinnen, indem die zugehörigen Kräfte als gradienten des Potentialfeldes aufgefasst werden. Dieses Entfernungsquadratgesetz ist bekannt unter den Namen: Newton Gesetz und Coulomb Gesetz. Das Gesetz besagt:
ErläuterungDie Kräfte sind umgekehrt proportional dem Quadrat der Entfernung r vom anziehenden Zentrum und auf dieses hin ausgerichtet.
Somit werden die Kräfte angeschrieben zu:



Stillschweigend habe ich die Kugelsymmetrie berücksichtigt, da ich die Einheitsvektoren auf den Radius beziehe. Ich kann sie auch kartesisch darstellen. Diese Schreibweise, besser Darstellungsart zeigt, daß der gradient -wie oben erwähnt- vom Koordinatensystem unabhängig ist. Integrieren wir die gerade dargestellte Kraftbeziehung, so erhalten wir das neton Potential:



Die Dinemsion ist die der Arbeit und das ist gleichbedeutend der potentiellen Energie. Die Integrationskonstante hängt lediglich ab von der Wahl des Nullpunktes. r wird im "normalen" 3-dimensionalen Raum durch die Wurzel der Achsenquadrate der kartesischen Anschrift dargestellt. Differenzieren wir die Integralfunktion, so erhalten wir:



Diese Anschrift wird logarithmisches Potential genannt und stellt das Newton Potential eines Raumes dar, mit 2 Koordinaten das der Ebene.

Rekapitulation:


Mit dieser Gleichung, der Zuordnug des gradienten Vektors zu seinen Koordiantenableitungen können wir feststellen, daß ein vollständiger Umlauf oder der geschlossene Integrationsweg das Integral verschwinden läßt. Dies ergibt sich wegen grad (f) ds = 0.



3.4 Die Divergenz

Felder sind Gebiete welche Aussagen über den Fluß von Vektoren machen. Nach der ersten besprochenen Aussage über die Änderung von Feldstärken als gradient dargestellt, wenden wir uns in diesem Kapitel der Erscheinung zu, daß Vektoren als Büschel hervorquellen bzw. in einer Senke verschwinden. Dies wird unter dem Begriff Quellenfelder zusammengefaßt. Die Stärke des Quellens bzw. Versickern wird als Quellenergiebigkeit benannt. Interessant für die Beschreibung dieser Effekte sind somit die folgenden Aussagen:
- Verstärkung
- Verringerung
- Konstanz
des Vektorflusses

Mit dieser Beschreibung setzen wir voraus, daß es Quellen als auch Senken gibt, genauso aber auch, daß es diese nicht gibt. Wir werden ferner sehen, daß diese Beschreibung eine Singularität darstellt.
ErläuterungDie Ergiebigkeit einer Quelle wird mit dem Begriff der Divergenz belegt und darunter versteht man die Differenz des Vektorflusses, welcher aus einem Raumgebiet (Volumen) austritt gegnüber dem Vektorfluss, der an einer anderen Stelle (Ort) aus einem Volumen eintritt.
Die Divergenz wird normiert (bezogen) durch eine Division des Quell- bzw. Senkgebiets mit dem Gesamtvolumen
Unter Vektorfluß wird das Hüllenintegral eines Feldvektors über eine festgelegte Fläche bzw. ein festgelegtes Volumen verstanden. Das Hüllenintegral zeigt den Überschuß des aus dem Raumgebiets austretenden Vektorfluß bezogen auf den in das Raumgebiet eintretenden Vektorfluß.
Der Vektoroperator divergenz, abgekürzt div ist eben dieses Hülleninegral dividiert durch durch das Volumen des beobachtenten Raumgebiets. Mathematisch ausgedrückt:



Der Vektor n ist der Normalenvektor auf dem Oberfläche des betrachteten infinitesimalen Raumstücks. Führen wir die Divergenz innerhalb kartesischer Koordinaten durch, dann kann dieses wie folgt dargestellt werden:

1. Berechnung des Hüllenintegrals des Vektorflusses unter Durchführtung der Grenzübergänge in den kartesichen Koordinatenrichtungen:



Dies ist der Vektorfluß eines Quaders mit den Kanten . Von hier berechnet sich der in der x, y- und z-Achse liegenden Vektorflüsse aus zu:







Die Spitzklammern <nn> bedeuten die Verwendung des Mittelwerts der eingspitz geklammerten Funktion über die angegebene Fläche (Deltas). Fassen wir dies System zusammen, finden wir für die mittlere räumliche Divergenz den Ausdruck:



Jetzt haben wir die Vorbereitung für den Grenzübergang der Koordinatenabschnitte getroffen und lassen die Koordinatenabschnitte gegen 0 gehen:








Jetzt sind wir soweit, daß der Gesamtausdruck der Divergenz neidergeschrieben werden darf:



Der Nabla Operator gestattet eine bezugssystemfreie Anschrift der Divergenz zu formulieren. Dazu ist ein skalares Produkt des Nabla Operators mit einem Vektor erforderlich.



Was haben wir erreicht?
ErläuterungDer Divergenzoperator ist einerseits vom Bezugssystem völlig unabhängig ist und stellt andererseits eine skalare Invariante eines Vektors dar.
3.4.1 Der Gauß´sche Satz

Es geht um die Situation, daß etwas in die Fläche eindringt und etwas aus der Fläche herauskommt. Beides muß nicht gleich groß sein. Was können wir tun, um diese Situation zu erfassen?
Wir haben uns um den Fluß durch diese Fläche zu kümmner, soll heißen, wir müssen das Flächenintegral betrachten, besser sogar das Volumenintegral.
Warum Volumenintegral?
Schauen wir auf den Durchtritt eines Vektorflusses durch eine Fläche, so erhalten wir eine Aussage eines 2-dimensionalen Gebildes. Schauen wir durch den Durchtritt eines Vektorflusses bezüglich eines Körpers, dann entspricht diese Betrachtung viel eher dem allgemeingültigen Anspruch.


Liegt eine Strömung durch ein Volumen vor, so können wir diese Ströme durch den Fluss der Strömung in die Hülle hinein oder aus der Hülle heraus erfassend beschreiben:


oder auch:


Das ist der Gauss Satz. Er beschreibt eine Vektorströmung durch ein Volumen und drückt diese Strömung durch den Eintritt der Hülle, also der Oberfläche aus.
ErläuterungEinige Erläuterungen

Vektorfeld Gesamtheit der Gradienten einer Vektorschar
Vektorfluß Pro Flächeneinheit können soviele Flächennormalen eingezeichnet werden, wie sie dem Absolutbetrag des Gradienten wertmäßig entsprechen.
Äquipotentialfläche Flächen gleichen Potentials (Energie) Der negative Gradient weist in Richtung des Potentialgefälles. (Merkregel: negativ -> Gefälle) E = -grad V
Quelle Beschreibt das Vorhandensein einer Quelle (Ladungen treten aus)
Senke Beschreibt das Vorhandensein einer Abflusses (Senke) (Ladungen verschwinden)


3.4.2 Der Green´sche Satz

Das Problem der Integralrechnung ist stets das Finden der Integrationskonstanten. Integriert man allgemein, so erhält man auch eine unendliche Lösungsmenge. Beispiel: Integration über dx. Das Ergebnis ist x + C. Da aber C unbekannt ist, entspricht es dem Wertebereich aller reellen Zahlen von minus bis plus unendlich!

Damit stellt sich das Problem der Berechnung für eine bestimmte Lösung. Solch ein Vorgehen nennt man Finden des Randwertes oder auch Randwertproblem. Die Ansätze dazu habe ich bereits bei der Beschreiung des Gauss Satzes gesagt. Wir haben einerseits das Volumen, andererseits das Potential an der Oberfläche, also am Ort des "Geschehens", das wir beschreiben wollen. Damit müssen wir beispielsweise für ein elektrisches Feld die Ladungsverteilung innerhalb des zu betrachtenden Volumens als auch das Potential an der Oberfläche des Volumens festlegen.

Dies wird als erste bzw. zweite Randwertaufgabe bezeichnet. Ich schreibe die Green Sätze hier nicht rein, das Thema kann über Wikipedia studiert werden und bietet nichts Neues.

Randwerte werden vorzugsweise so gelöst, daß das Potential an einem beliebigen Punkt im Inneren des Voumens mit Hilfe von V und von ausdrückt und dabei mit dem 2. RGreen Satz anfängt. Dann kann aufgezeigt werden, dass sich z.B. im Volumeninneren eine Quelle oder gar ein Pol befindet.

3.4.3 Der Rotations Operator

Wir haben gesehen, daß Felder über ihren Gradienten als auch ihre Divergenz beschreibbar sind und haben diese auf ein skalares Potentialfeld zurückführen können. Das hessit auf die Änderungen bezüglich der geometrischen Feldausdehnung (Längenskalierung). Die zugehörigen Feldlinien erwiesen sich dabei als nicht geschlossen, haben demnach einen Beginn und ein Ende.
(Anmerkung: das habe ich nicht in allen Details dargestellt. Dieses Skript ist ja auch kein Lehrbuch der Vektoranalysis. Bitte bei Bedarf solche Details in der einschlägigen Literatur nachlesen)

Bei Feldlinien treten aber auch gweschlossene Feldlinien auf. Als markantes Beispiel nenne ich die magnetischen Felder. Solche Felder mit geschlossenen Linien leisten beim Umlauf um ihren Pol auf ihrer Bahn Arbeit. Diese Felder sind nicht durch gradientenartige Darstellungen beschreibbar. Das ist leicht einzusehen, denn folgt man dem gradienten, so folgt man der Richtung des stärksten Potentialanstiegs. Vollzieht man dabei einen vollständigen Umlauf -immer auf die Definition des gradienten achten: es wird die Spur des störksten Anstiegs verfolgt!!- dann muss zwangsläufig ein Sprung erfolgen, wenn man direkt vor dem Ausgangspunkt seines Umlaufwegs angekommen ist.
Ergo: wir benötigen eine weitere beschreibung entweder mittels einer mehrdeutigen Potentialfunktion oder wir müssen einen neuartigen vektoriellen Differentialoperator einführen.

Dieser neuartige differentielle Vektoroperator hat die Aufgabe das Vorhandensein geschlossener Feldlinien für Queränderungen des Feldes -darunter verstehe ich Änderungen senkrecht zur Richtung der Feldlinien- zu beschreiben.

Wie bereits oben erwähnt wird bei einem geschlossenen Feldumlauf um den Pol ds Fledes Arbeit verrichtet. Damit ist es sinnvoll diesen Operator auch so aufzufassen.

Auch an dieser Stelle verweise ich jetzt auf die weiterführende Literatur zum Studium der mathematischen Details.
Die Rotation, oder auch Zirkulation beschreibt einen Rotor eies vektors bezüglich der umlaufenen Fläche. So läuft die magnetische Feldstärke, als Zeiger im Kreis mit Rotationsmittelpunkt des zugehörigen Leiters des Verurschers: des Energieflusses, trivial Strom genannt. Die Komponenten dieses Umlaufs sind die Dimensionen der zugehörigen Metrik. Im 3-dimenionalem Raum ist die Rotorbeschreibung:







Fundamenterkenntnis:

Die Rotation ist eine vektorielle Differentiationsinvariante, da ihre Definition vom Bezugssystem unabhängig ist.

Wiederum an der Stelle: vertiefendes Studium der Vektoroperatoren und ihrer Zusammenhänge sind der einschlägigen Fachliteratur zu entnehmen.

3.45 Das begleitende Dreibein

In vielen unserer beiträge kommt der Begiff des begleitenden Dreibeins oder auch des begleitenden Vierbeins vor. Dieser steht in direktem Zusammenhang mit den Frenet'schen Formeln. Da wir dieses begleitende Dreibein so häufig erwähnen möchte ich auf die Anwendung der Frenet'schen Formeln eingehen.

Stellen wir uns im 3-d Raum eine Kurve vor, die wir verfolgen wollen. Wie kann das bewerkstelligt werden?

Zunächst ist die Frage: was ist eine Kurve?
Klingt trivial, ist aber zur mathematischen beschreibung essentiell. Deshalb werden wir uns eine Kurve im Detail ansehen.
Eine Kurve ist eine Aneinanderreihung von Punkten infinitesimalen Abstands, wobei jeder Punt mit seinem Vorgänger und Nachfolger verbunden ist. Eine Kurve hat beliebige Form im Raum, besteht allgemein gesehen aus Bogenstückchen s. Die Richtung eines jeden Bogenstücks kann als Kurvenelement dr mit seinem Absoltubetrag ds liefert den Einheitsvektor t der Kurventangente (t wegen Tangente):



Folgen wir der Kurve mit stetiger Sicht auf diesen Einheitsvektor, quasi stoppen wir bei jedem infinitesimalem Kurvenstück und malen den Einheitsvektor dort an, so erkennen wir, daß daß dt stets senkrecht auf t steht. dt stellt die Richtung des Normalenvektors oder auch "temporären" Eiheitsvektors dar.

Was haben wir erreicht?

Wir haben ein kartesisches Koordinatensystem so aufgestellt, dass sein Nullpunkt auf einem Punkt der Kurve steht und dieses Koordinatensystem nicht mehr statisch ist (fixes KS), sondern sich mit dem Fortschritt der Kurve fortbewegt und sich mit der Kurve so dreht,daß sich der Einheitsvektor dt stets senkrecht auf der Tangente des verfolgten Kurvenorts t abbildet.

Wir haben das Koordinatensystem so aufgerichtet:

Im Punkt ds
Vektor in Tangenrichtung t
Einheitsvektor Senkrecht auf Tangente dt oder n mit: dt = n ds / R
wobei R der Biegeradisu oder Krümmungsradius ist.
Einheitsvektor in der Krümmungsebene der Kurve b

Ich versuche dies in einem Schaubild darzustellen, dies Bild ist als Anhang beigefügt.
Alle Vektoren bilden ein orthogonales System. b beschreibt durch seine Richtung die Krümmung der Kurve. Diese Darstellung wird als begleitendes Dreibein bezeichnet.
ErläuterungEin begleitendes Drei- oder Mehrbein ist ein sich im Fortschritt einer Kurve im 3 bzw. n-dimensionalem Raum mitbewegendes kartesiches Koordinatensystem.
Ein Maß für die Kurve oder für die Richtungsänderung des Kurvenzugs gegenüber einem beliebigen Referenzpunkt auf der Kurve (der kann auch mitwandern ... könnte beispielsweise stets der voerherige Punkt sein) ist bei der Beobachtung des begleitenden Dreibeins in Bewegungsrichtung s die Torsion T, die Verdrehung dieses Dreibeins.

Ich habe im Zuge dieser Aufsatzreihe gezeigt, daß sich eine Änderung eines Einheitsvektors als Drehung eines Vektors in Richtung der Drehachse beschreiben läßt. Erinnerung: Kreuzprodukt von Vektoren.

Dieses wird im Falle eines begleitenden Dreibeins durch den Darboux Vektor beschrieben.



Durch unsere Voraussetzung sind die drei Vektoren t, n und b über das kartesische Koordinatensystem rechtwinklig zueinander starr verbunden, sie bilden einen festen, einen starren Verband und drehen sich um die gleiche Achse. Somit können wir das vektorielle Kreuzprodukt der gekrümmten Bahn anschreiben:









Anmerkung: Die Sternchen * sind Platzhalter der nicht besetzten Parameter

1.
Da dt in der Krümmungsebene liegt gilt:



2.
Für a3 finden wir:



3.
Die räumliche Krümmung erhalten wir über die Torsion T



4.
Für die Änderung des Binormalenvektors b erhlaten wir:


Damit lassen sich die Änderungen der Einheitsvektoren in Darboux Schreibweise umformen und wir erhalten die Frenet Formeln der Krümmung einer Kurve:







Der Darboux Vektor ist darin:



Und jetzt können wir durch eine Verallgemeinerung auch das Kreuzproduk umschreiben, indem wir substituieren:



Darin wird unter ein antisymmetrischer Tensor verstanden:


Dies Verfahren ist allgemein auf jeden n-dimensionalen Raum anwendbar. Dabei erweitert sich das parametrische System entsprechend seiner Anzahl der Dimensionen. Wir sprechen dann von einem begleitenden n-Bein.

Erinnerung: wie oft wurde in unseren Beiträgen das begleitende 3-Bein und das begleitende 4-Bein genannt. Jetzt wißt ihr, was draunter verstanden wird.

Hier wird auch zum ersten Male verdeutlich, was unter Krümmung verstanden wird. Dieser Abschnitt trägt -so ich hoffe- dazu bei, das Verständnis des gekrümmten Raums zu verbessern.

Mit dieser Form der Niederschrift an Stelle der Darboux'schen Niederschrift bedient man sich eines alternierenden Tensors m-ter Stufe. Ich verweise hier auf das Kapitel: Der Tensor und seine Eigenschaften -> Symmetrie und Antisymmetrie.


Es gilt dann:


Unter Verwendung bzw. Berücksichtigung der Fresnet Formeln -Darstellung als skalar Produkte- zeigen sich die Krümmungen k_1 .. k_m als invariant.
Begründung:



Ich schaffe es nicht diesen Stoff leichter darzustellen. Das jetzt erreichte Niveau soll nicht abschrecken sondern euch ermuntern unverstandene Details in der einschlägigen Literartur nachzulesen. Dieses Kapitel ist zwingend erforderlich die Krümmungen im Raum zu verstehen, nachvollziehen zu können, warum der ein oder andere Autor / Beitrag diese Art der Beschreibung verwendet.

Die Themenkreise über Trägheitskräfte: Tentrifugal, Zentripetal, Trägheitstensor usw. bringe ich in einem gesonderten Beitrag.
Dateianhänge
begleitendes Dreibein.JPG
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Die Symmetrie ist der entscheidende Ansatz Dinge zu verstehen:
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e

Gesperrt