Vom Vektor zum Tensor Teil Beispiele I

Beitrag von **wilfried** » 24. Dez 2008, 11:37

Vom VEKTOR zum TENSOR

Teil Beispiele I

Alle Beispiele sind mit Kenntnis der Teile 1 und 2 durchführbar.

Beispiel 1: Vektorprodukte, Normalenvektor, Hesse Form

1.1 Darstellung der Ebene

Wir habe ein kartesisches Koordinatensystem und darin legen wir 3 Punkte A, B und C fest. Diese Punkte werden mit Hilfe von Vektoren vom KS Nullpunkt ausgehend verbunden. Mit dieser Voraussetzung können wir schreiben:

V = B - A
W = C - A

V und W sind Vektoren dieser Ebene, d.h. sie liegen in der Ebene. Allgemein kann das ausgedrückt werden durch einen Ortsvektor O (Ursprung Nullpunkt) zu einem beliebigen Punkt P:

AP = O - A

Regel: Ausgehend vom Fusspunkt des Vektors AP "löuft" man den Vektorstrahlen AO sowie OP entlang. Damit können wir jetzt schreiben:

O - A = b ( B - A ) + c ( C - A )
O = (1 - b -c) A + b B + c C

Diese Gleichung kann zusammengefasst werden:

O = m A + n B + p C

und dieses ist die aus den Grundlagenbüchern der Vektorrechung her bekannte Ebenenform. Für die Skalare m, n und p gilt:

m + n + p = 1

Und damit geht diese Ebenenform über in:

$\bf {O} = {{mA + nB + pC} \over {m + n + p}}$

Diese Form wird Parameterdarstellung der Ebene genannt. Kommen wir zurück auf die erste Formel: O - A:

Die Behauptung ist: diese Formel stellt die Planarität der beteiligten Vektoren sicher. Es sind komplanar:

O-A mit B-A sowie C-A

Wenn diese Aussage richtig ist, so liefert das gemischte Produkt den Beweis dafür:

( O-A ) ( B-A ) ( C-A ) = 0

Ausmultiplizieren ergibt:

( O A B ) + ( O B C ) + ( O C A ) = ( A B C )

1.2 Die Hesse Normalenform

Die zuletzt dargestellte Form der Ebene wird weiter entwickelt, indem wir ausnutzen, daß die Ebene im KS beschrieben wird. Im Punkt A vereinen sich die Vektoren BA = B-A und CA = C -A. Es wird formuliert:

$\vec O \cdot \left[ \left( \vec A \times \vec B \right) + \left( \vec B \times \vec C \right) + \left( \vec C \times \vec A \right) \right] = \left[ \vec A \vec B \vec C \right]$

Mit Erinnerung an die Ausmultiplikation gemischter Produkte, gezeigt im Teil 1, vollziehen wir dieses Ausmultiplizieren an obiger Formel ( assoziatives Gesetz) :

$\left[ \left( \vec A \times \vec B \right) + \left( \vec B \times \vec C \right) + \left( \vec C \times \vec A \right) \right] \cdot \left ( \vec B - \vec A \right) = 0$

$\left[ \left( \vec A \times \vec B \right) + \left( \vec B \times \vec C \right) + \left( \vec C \times \vec A \right) \right] \cdot \left ( \vec C - \vec A \right) = 0$

Das ist die Erfüllung der Orthonormalitätsbedingung. Die Aussage: Der jeweils neben dem Ortsvektor O im skalaren Produkt stehende Vektor steht senkrecht auf der gesuchten Ebene. Das heißt: dieser vktor steht jeweils senkrecht auf: B - A als auch auf: C - A. Der Einheitsvektor in Normalenrichtung wird n, sein Absolutbetrag N genannt.

ErläuterungDer Absolutbetrag wird gebildet aus: $\left[ \left( \vec A \times \vec B \right) + \left( \vec B \times \vec C \right) + \left( \vec C \times \vec A \right) \right]$

Damit wird die Ebene mit einer eleganten Formel beschreibbar:

$\vec O \cdot N \vec n = \left[ \vec A \vec B \vec V \right]$

Die rechte Seite ist ebenfalls ein Skalar und damit läßt sich diese Fomel nochmals kürzer hinschreiber:

O n = p

Dieses ist die Hesse Form einer Ebene. Was ist passiert?

Es gibt einen beliebigen Punkt P in dieser Ebene sowie einen außerhalb der Ebene liegenden Nullpunkt 0. Senkrecht auf diese Ebene hin gerichtet liegt der Normaleneinheitsvektor n. Dieser wird mit p solange "verlängert", bis er ebenfalls im Zielpunkt die Ebene schneidet und somit zu einem Punkt der Ebene wird. Kurzgefasst heißt dies:

ErläuterungEine Ebene kann beschrieben werden mit einem beliebigen Punkt P auf dieser Ebene, zu dem ein vom Nullpunkt ausgehender Vektor O führt sowie dem um den Skalar p verlängerten Normaleneinheitsvektor p n.

Damit ist der Betrag des durch p verlängerte Einheitsvektors gleichbedeutend mit der kürzesten Distanz der Ebene vom Nullpunkt.

Auf die Hesse Form wenden wir die Komponentenzerlegung an (dran denken. rechtwinkliges KS!!). Wir können somit schreiben:

O = x i + y j+ z k

Dann "schauen" wir auf den Normaleneinheitsvekor n und drücken auch diesen bezüglich der KS Einheitsvektoren aus. Bitte dies einmal selbst machen. Bild malen, KS einzeichnen, Winkel bestimmen.

$x \dot \alpha + y \cdot \beta + z \cdot \gamma -p = 0$

Mit dieser Erkenntnis schreiben wir für die 3 skalar Komponenten von p:

$\vec r \cdot \vec n_x = p_x$
$\vec r \cdot \vec n_y = p_y$
$\vec r \cdot \vec n_z = p_z$

Mit dieser Anschrift werden 3 Ebenen festgelegt, in deren (gemeinsamen) Schnittpunkt der Endpunkt des Ortsvektors O liegt.

Beispiel 2: Die Drehung des Koordinatensystems

Ausgehend vom kartesischen Koordinaten System mit den Einheitsachsen x, y, z auf denen die Einheisvektoren i der x-Achse, j der y-Achse und k der z-Achse positioniert sind, werden wir dieses Koordinatenkreuz beliebig drehen. Dabei wird jedoch die Orthogonalität als auch der Bezug "Nullpunkt im Ursprung" unverändert gelassen. Nach der Drehung erhalten wir "neue" Koordinatenachsen mit ihren Einheitsvektoren $\bf {\bar i$ }, $\bf {\bar j}$ sowie $\bf { \bar k}$ mit ihren Eigenschaften auf Grund der Drehung:

$\bf { \bar i} = i \cdot cos (\alpha_m) + j \cdot cos (\alpha_n) + k \cdot cos (\alpha_o)$
$\bf { \bar j} = i \cdot cos (\beta_m )+ j \cdot cos (\beta_n) + k \cdot cos (\beta_o)$
$\bf { \bar k} = i \cdot cos (\gamma_m) + j \cdot cos (\gamma_n) + k \cdot cos (\gamma_o)$

Die Indizierung bei den Winkeln m, n, o bedeutet:
m Winkel in der Ebene i, j
n Winkel in der Ebene j, k
o Winkel in der Ebene k, i

Ebenso sind die Winkel der rückwärtigen Drehung anzuschreiben:

$\bf { i} = \bar i \cdot cos (\alpha_m) + \bar j \cdot cos (\alpha_n) + \bar k \cdot cos (\alpha_o)$
$\bf { j} = \bar i \cdot cos (\beta_m )+ \bar j \cdot cos (\beta_n) + \bar k \cdot cos (\beta_o)$
$\bf { k} = \bar i \cdot cos (\gamma_m) + \bar j \cdot cos (\gamma_n) + \bar k \cdot cos (\gamma_o)$

Für die Vektorkomponentnumrechnung läßt sich daraus für jeden beliebigen Vektor ableiten:

$\vec O = \vec i x + \vec j y + \vec k z = \vec {\bar i} \bar x + \vec {\bar j} \bar y + \vec {\bar k} \bar z$

Setzen wir letztere Beziehungen in diejenigen der Einheitsvektoren des ungedrehten als auch des gedrehten Systems ein, so erhalten wir:

$\bar x = x cos (\alpha_m) + y cos (\beta_n) + z cos (\gamma_o)$
$\bar y = x cos (\alpha_m) + y cos (\beta_n) + z cos (\gamma_o)$
$\bar z = x cos (\alpha_m) + y cos (\beta_n) + z cos (\gamma_o)$

$x = \bar x cos (\alpha_m) + \bar y cos (\beta_n) + \bar z cos (\gamma_o)$
$y = \bar x cos (\alpha_m) + \bar y cos (\beta_n) + \bar z cos (\gamma_o)$
$z = \bar x cos (\alpha_m) + \bar y cos (\beta_n) + \bar z cos (\gamma_o)$

Mit der Erkenntnis der Orthonormalität als auch den Normierungsbedingungen, die im Teil 1 nachzulesen sind können wir dann die zugehörigen Dreibeine schreiben:

$\sum_k = cos \alpha_{ik} \cdot cos \alpha_{jk}=\delta_{ij}$
$\sum_k = cos \alpha_{ki} \cdot cos \alpha_{kj}=\delta_{ij}$

In beiden Systemen -ungedreht und gedreht- hat das gemischte Produkt der Einheitsvektoren stets den Wert 1. Läßt man Spiegelungen zu -dieses wird auch Linkssystem genannt-, dann kann auch über das Vorzeichen keine eindeutige Aussage gemacht werden.

Die oben gezeigt Drehung läßst sich auch als Matrix schreiben. Dies wird auch Drehtensor genannt.

${\left[ \vec i \vec j \vec j \right]} = {\left[ \vec { \bar i} \vec {\bar j} \vec {\bar k} \right]} = {\left| \begin{eqnarray} cos ( \alpha_m ) & cos ( \alpha_n ) & cos ( \alpha_o ) \\ cos ( \beta_m ) & cos ( \beta_n ) & cos ( \beta_o ) \\ cos ( \gamma_m ) & cos ( \gamma_n ) & cos ( \gamma_o ) \end{eqnarray} \right|} = {determinant \left( cos ( \alpha_{ik} ) \right) } = +/- 1$

Was haben wir erreicht?

1. Wir haben eine Drehung mit Hilfe von 6 Gleichungen beschrieben
2. Wir haben diese Drehung symmetrisch aufgefaßt. Soll heißen, die Drehrichtung ist gleichbewertet, es gibt keinen Vorzug
3. Wir haben 9 verschiedene Winkel für die Drehung im Raum gefunden.

Das nutze Leonard Euler (15.4. 1707 - 18.09.1783) und ihm zu Ehren werden diese drei Winkel Euler Winkler genannt.

Was ist passiert?

Zerlegen wir eine Drehung in folgende drei Schritte:

Schritt 1:
Drehung des Dreibeins um die k-Achse mit Winkel phi

Schritt 12
Neigung der ij Ebene des gedrehten gegenüber dem ursprünglichen System um den Winkel theta

Schritt 3:
Drehung des Systems um den Winkel psi

Erläuterung:

Schritt 1:
Die Drehung erfolgt um eine Linie K, die acuh Knotenlinie genannt wird.

Schritt 2:
Es wird eine neue Drehachse gewonnen: PSI gewonnen. Diese dreht in Richung des Vektors der Knotenlinie K: k

Schritt 3:
Man erhält die neuen Achsenrichtungen $\bf \bar i , \bar j$

nach Ablauf dieser Schritte ist die Drehung vollständig abgearbeitet. Schreiben wir dies in Formelanschrift, so sieht das so aus:

$\bf \bar i = i [cos \phi cos \psi - sin \phi cos \theta sin \psi ] + j [sin \phi cos \psi - cos \phi cos \theta sin \psi ] + k [sin \theta sin \psi]$

$\bf \bar j = i [-cos \phi cos \psi - sin \phi cos \theta sin \psi ] + j [-sin \phi cos \psi - cos \phi cos \theta sin \psi ] + k [sin \theta sin \psi]$

$\bf \bar k = i [sin \phi cos \theta + j [cos \phi sin \theta] + k [sin \theta cos \psi]$

Verweise aus unsere Themen

Hier kann ich jetzt beginnen ganz vorsichtig einige unserer bereits im Forum besprochenen Themen zu referenzieren:

1. Darstellung der Drehung mit Hilfe von MAPLE und Aufzeigen, was passiert, wenn Unsymmetrien auftauchen

http://abenteuer-universum.de/userfiles/Drehungen.pdf

2. Das Themengebiet von Toms

In Abenteuer-Universum Foren-Übersicht -> Quantenphysik "Supersymmetrie"

3. sucht mit unserem Suchbegriff: auf der Top Seite "suchen" anklicken und dann das Stichwort Drehmatrix eingeben.

4. Drehgruppen werden mit diesen Drehmatrizen identifiziert und dabei sorgt diese matrix für die Gruppenidentifikation

Selbstverständlich kann noch nicht alles, was in den 4 oben genannten Referenzpunkten steht mit dem bisher geschriebenen verstanden werden, aber die Drehmatrix oder von mir aus der Drehtensor bildet die Grundlage dazu.

Die Drehung aller vektoren um einen Winkel gegen den Uhrzeigersinn um eine Drehachse mit vorgegebener Richtung ist ein Drehtensor.Die Determinante solch eines Drehtensors ist stets +1 und umgekehrt, dann ist die Determinante -1.

Beispiel 3: Die Drehung eines starren Körpers um eine feste Achse

Die vektorielle Geometrie erlaubt eine elegante Beschreibung einer Drehung um den Winkel $\phi$ : der ortsvektor = zu einem festgelegten Punkt P beschreibt einen Kreisbogen $\bar {P P*}$ mit dem Radius $o \ sin {\phi}$ .

Wir bestimmen den Ortsvektor O* nach der Drehung aus dem Ursprung Ortsvektor O , dem Drehwinkel $\phi$ bestimmen. Der Einheitsvektor e liegt in Achsenrichtung.

Vorstellung: Wir stellen uns eine Ebene mit Mittelpunkt M vor und lassen einen Vektor $\vec {MP}$ um den Winkel $\phi$ rotieren. Ausserhalb der Ebene befindet sich der Koordiantennullpunkt O, von dem aus der Ortsvektor O zum Punkt P bzw. O* zum Punkt P* verläuft. Der Einheitsvektor e liegt in Richtung des Vektors $\vec {MP}$ .

Damit können wir auf Grund der Vektorsumme anschreiben:

$\vec {O*} = \vec {O} \ cos \theta + \left( \vec e \ \times \ \vec O \right) \ sin \theta + \vec e \ \left( \vec e \ \cdot \ \vec O \ \right) \ \left( 1- cos \theta \right) \ \ I$

Der Winkel $\theta$ wird in der aufgespannten Ebene zwischen den Vektoren $\vec {MP}$ und Vektoren $\vec {MP*}$ aufgespannt. Im folgenden Schritt ersetzen wir den Pseudo-Einheitsvektor e durch die Einheitsvektoren eines kartesichen Koordinatensystems e1 und e2.

Daran denken: Die Rotation ist in diesem Beispie eine zweidimensionale Angelegenheit.

Mit e, e1 und e2 bilden wir ein orthonormiertes und rechtsgerichtetes Dreibein:

$\bf e \ \times \ O = \left(e_1 \ \times \ e_2 \right) \ \times \ O = e_2 \ \left( e_1 \ \cdot \ O \right) \ - \ e_1 \ \left( e_2 \ \cdot \ O \right) = \left(e_2 e_1 - e_1 e_2 \right) \ \cdot \ O \ \ II$

Mit können wir dir Gleichung I mit II mit dyadischen Produkten niederschreiben:

$\bf O* = O \ \cdot \ \left( e e + cos ( \theta ) \ \left( 1 - e e \right) \ + \ sin( \theta ) \ \left( e_2 e_1- e_1 e_2 \right) \right)$

Damit haben wir einen Versor gewonnen:

$\Omega = \Omega \ \left( e, \theta \right)$ , der als Operator die Drehung eines starren Körpers um einen Winkel $\theta$ veranlaßt.

Dieses MAPLE file zeigt, wie schön mit Vektortransformationen die Bahn des Mondes um dei Erde berechnet werden kann.

http://abenteuer-universum.de/userfiles ... t_Mond.pdf

Beispiel 4: Kristallgitter

Abschliessend zu diesem Thema möchte ich einige Dinge über die Kristallgitter erzählen. Unterstützend und damit auch visualisierend zeige ich einige meiner mit MATLAB berechneten Ergebnisse. Als erstes eine Gitterstruktur: ein kubisch flächenzentriertes Gitter (English: face centered cubical -fcc):

Bild

Die kristalline Struktur beschreibt man vorzugsweise mit Vektoren. Wir sehen die Telichen angeordnet in einer regelmäßigen Struktur, man darf auch sagen in einer räumlich periodischen Anordnung der Elementarteilchen. Auf Grund dieser Teilchenperiodizität ist eine kleinste Struktur vorhanden, eben diese, welche die Periodizität durch Wiederholung dieser kleinsten Struktur bedingt.
Diese Grundstruktur habe ich mit diesem Bild visualisiert. Man kennt diese Grundstrukturen auch unter dem Namen Bravais Gitter. Die Grundzelle legt durch ihre kanten, wenn wir wiederum unser bekanntes kartesiches Koordinatensystem anwenden, ein Dreibein e1, e2, e3 fest.Die Teilchen lassen sich mit Hilfe dieser Einheitsvektoren positionsmäßig beschreiben. Ein beliebiger Gitterpunkt wird demzufolge dargestellt mit seinem Ortsvektor GP (GP für GitterPunkt):

$GP_T = l^1 e_1 \ + l^2 e_2 \ +l^3 e_3 \$

wobei die l-Größen ganze Zahlen sind. Damit beschreibt sich ein Translationsgitter -deswegen die Indizierung T- vollständig.

ErläuterungDer Begriff Translationsgitter besagt, daß jede Gitterstruktur durch ein im Verbund des Kristalls zugrundeliegendes Grundgitters durch Verschiebung (Translation) dieses Grundgitters beschrieben werden kann.

In der Kristallphysik findet ihr beliebig komplexe Strukturen und diese lassen sich -meistens- mit diesen Grundzellen beschreiben. Es kommt auch vor, daß andere Punkte der Grundzelle besetzt sind, so wie in meinem Bild oben, dort habe ich in Mitten jeder Fläche noch ein Teilchen hinzugefügt. Das bedingt für die Kristallbeschreibung eine zusätzlcihe Elementargruppe:

$GP_B = m^1 e_1 \ + m^2 e_2 \ +m^3 e_3 \$

Die Indizierung B besagt Basisgruppe.

Beschreibung der Gitterebene: Miller Indizierung

Die Gitterebene, besser gesagt die kristalline Anordnung der Elementarteilchen, bedingt die Eigenschaften eines Kristalls. Eigenschaften wie beispielsweise:
It der Kristall leicht zerstörbar, beugt er Licht (welche Wellenlänge etc), etc
werden durch diese kristalline Struktur bedingt. Soll heißen: durch die Anordnung der zugehörigen Gitterpunkte, die Scharen von Gittern bilden. Auch durch eventuell vorhandene Störstellen, das sind die Stellen, an denen die angesprochene Gittersymmetrie nicht nachgewisen werden kann. Solche Fehlstellen kommen sehr häufig vor. Das sind beispiesweise Einlagerung von Fremdmolekülen -trivial genannt: Dreck- oder hochrein gesehen gewollte Fehlstellen durch Dotierungen => siehe Kristalle -Substrate genannt für Halbleiter.

In dem gewählten Bezugssystem mit den Grundvektoren e1, e2, e3 der Elementarzelle kann die Schar der Gitterebenen nur mittels zugehöriger Wertetripel $l^1, l^2, l^3$ für die jeweiligen Abschnitte auf den Achsen angegeben werden.

Jetzt kommen die Kristallphysiker und sagen, daß dies mathematische BZ etwas ungeschickt in der Praxis ist. Sie verwenden deshalb zu Recht ein BS, Stellung als auch Abstand der einzelnen Ebenen direkt zugängig zur Verfügung stellt.
Erinnerung: Eine Ebene bzw. ein Teil daraus, kann auch durch Projektion auf die Ebenen des BS festleget werden. Diese Projektionstechnik kann dann als planare Abbildung oder als Planargröße aufgefaßt werden. Jede dieser Planargröße wird durch einen Vektor (Pfeilrichtung) als auch deren duale Ergänzung angegeben.

ErläuterungDabei: Rechtssystem beachten

Kommen wir zurück auf die eingangs genannten Einheitsvektoren.
Diese erfüllen damit die Bedingung der reziproken Vektoren: $\bf e^1, e^2, e^3$ .

Wir können schreiben:

$\bf e^1 = {{e_2 \times e_3} \over {e_1 e_2 e_3}}$
$\bf e^2 = {{e_3 \times e_1} \over {e_1 e_2 e_3}}$
$\bf e^3 = {{e_1 \times e_2} \over {e_1 e_2 e_3}}$

Oder auch, wie zwischenzeitlich mehrfach bereits durchgeführt:

$e^i \cdot e_k = \delta_{ik}$

Parallele Ebenen, auch Netzebenen genannt, werden festgelegt durch die Richtung ihres Normalenvektors (Hesse Form). Die Richtung des Normalenvektors besitzt Komponeten in Richtung der $\bf e^1, e^2, e^3$ . Deren Projektionen auf $\bf e_2, e_3$ , die $\bf e_3, e_1$ als auch die $\bf e_1, e_2$ Ebenen entsprechen. Mit i=k, ergo $e^i \cdot e_i = 1$ ist ausgesagt, daß einem Vektor $l^1 \ e_1$ ein reziproker Vektor $a^1 \over l^1$ entsprechen muß. Der letzte Ausdruck legt gleichsam eine Maßzahl fest oder gibt die Bewertung an, für die größe der Projektion der gerasterten (kristallinen) Struktur. Das wird für alle Flächenstücke durchgeführt. Abschließend erhalten wir folgenden Normalenvektor zur Kristallebene:

$\bar h \ = \ {1 \over l^1 e^1} \ + \ {1 \over 2^1 e^2} \ + \ {1 \over l^3 e^3}$

Die $l^1, l^2, l^3$ bestimmen die Lage der Achsenabschnitte der Schar der Gitterebenen. Unter der Voraussetzung eines regelmäßigen, ungestörten Gitters reicht diese Angabe für die Ausdehnung des Kristalls aus. Es ist nur allzu menschlich Vereinfachungen zu verwenden. Und eine Niederschrift mit Quatienten hat nicht den Anklang gefunden! Demzufolge wurde vereinbart, daß die Beschreibung der Kristallstruktur über die reziproken Werte angegeben werden soll, damit meine ich: $l_i = 1 \ over l^i$ . Ferner wählt man dann die kleinsten ganzen Zahlen, (h1, h2, h3), die das gleiche reziporke Verhältnis zeigen.
Was muß man dazu tun?
Es wird das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) p der $l^i$ gesucht:

$h_i = {p \over l^i}$ für i = i ..3

Die Zahlen $h_1, \ h_2, \ h_3$ heißen Miller Indizes.

Alles weitere über Miller Indizes bitte ich selber nachzulesen, Ziel war es die mathematische Formulierung vorzustellen, jedoch nicht hier Kristallphysik anzufangen.

Beispiel 4: Spannungstensor

Wo auch immer in der Physik eine Richtungsanisotropie erfolgt oder beobachtet wird, ist die vollständige Dyade beteiligt. Sehen wir diese Anisotropie vereinfacht als lineare Funktion des Ortes an. Solche können sie:
Dielektrizitätskoeffizienten, Permeabilitätskoeffizienten, Spannungskoeffizeinten (gemeit: mechanische Spannung).
Befassen wir uns mit dem Originator des tensorbegriffs, mit der mechnischen Verformung, der mechanischen Spannung.

Wir haben einen Körper und dieser wird verformt. Die Ursache der Verformung sind Kräfte.
Aber: Zwischen den Teilen des Körpers wirken auch Kräfte, die vom Köper selber ausgehen (intrinsische Kräfte). Die Richtung dieser Kräfte ist nicht zwnagsläufig auch die Richtung der Normalen seiner entsprechenden Begrenzungsfläche. Somit sind die intrinsischen Kräfte in die Normalenkomponente als auch die Tangentialkomponente aufzuspalten.
Bekannt ist dies unter den Begriffen elastische Verformung, elasitische Spannung, Druckspannung, Schubspannung.

Auch hier gilt: im statischen Gleichgewicht ist die Summe aller Kräfte (damit auch der intrinsischen) innerhalb jeden herausgegriffenen Volumenteilchens Null. Nehmen wir ein solches Volumenteilchen einmal in die Hand: Wir haben ein $\Delta \tau$ eines Tetraeders in unser Hand.

Ein Tetraeder -beschrieben durch die drei bezugsebenen eines rechtwicnkligen Dreibeins (Koordinantensystem) i, j, k- hat 4 Flächen und damit haben wir 3 Normenvektoren: j, j, k, n. Sagen wir die Fläche des 4. sei A, so sind die übrigen:
$[tex]$ A cos ( \alpha ), \ $[tex]$ A cos ( \beta ), \ $A cos ( \gamma )$
wobei die Winkel diejenigen sind, die der Normalenvektor mit den anderen Flächen bildet. Nennen wir die Spannungskräfte $\bf S_1, S_2, S_3, S_n$ , wobei ich hier das n als allgemein mögliche Achse (können und werden später mehr als 4 sein) ansehe. Beschränken wir uns weiterhnin mit n=4, so sind die 4 Kräfte im Gleichgewicht und das können wir so festschreiben:

$S_n A = { \left( S_1 cos ( \alpha ) + S_2 cos ( \beta ) + S_3 cos ( \gamma ) \right) \ A }$

Diese Anschrift der Gleichbedingung ist bekannt: es ist die Resultierende, die sich aus der Vektorsumme ergibt. Schauen wir auf den Klammerausdruck. Dieser Ausdruck ist nichts anderes als das Skalarprodukt des Einheitsvektors n mit ienem Tensor:

$S_n = { \left( S_1 i + S_2 i + S-3 k \right) \cdot \left( i \cdot cos(\alpha) + j \cdot cos(\beta) + k cos (\gamma) \right) }$

Kürzen wir den Tensor ab mit $\Psi$ und nennen wir diesen Spannungstensor.

$S_n = \Psi \cdot n$

Weiter ist zu beachten, daß ein Gleichgewischtszustand auch das verschwinden eines Drehmoments bedingt. Damit erläutert sich die plausible Erklärung, daß sich im Gleichgewichtszustand die Schubspannungen aufheben oder anders ausgedrückt:
Die Schubspannungen müssen wechselseitig gleich sein, der zugehörende Spannungstensor muß dann symmetrisch sein.

Aus diesem grund wird ein sogenannter Maßellipsoid angegeben:
$r \cdot \Psi \cdot r = 1$

Dieser besitzt auf ein beliebiges rechtwinkliges Dreibein folgende Gleichung:

$\sigma_x x^2 + \sigma_y y^2 + \sigma_z z^2 + 2 \tau_{xy} xy + \tau_{yz} yz + \tau_{zx} zx =1$

Diese Gleichung wird auf die Hauptachsen transformiert, dabei sind die Schubspannungen parallel zu den Koordinatenflächen $\tau_{xy}, \tau_{yz}, \tau_{zx},$ zu sehen und verschwinden:

$\sigma_1 \xi_1^2 + \sigma_2 \xi_2^2 + \sigma_3 \xi_3^2$

$\sigma_x, \ \sigma_y, \ \sigma_z$ bezeichnet die Normalspannung -Zug bzw. Druck- und geht dann über in die zugehörige Hauptspannung $\sigma_1, \ \sigma_2, \ \sigma_3$ .

Zusammenfassung des ersten Anwendungsteils

Es wurden einige wenige Anwendungen aufgezeigt und dabei die Vektro als auch die Tensorstrukturen der ersten beiden Teile des Aufsatzes "vom Vektor zum Tensor" zur Anwendung gebracht. Auf weiterführende Details habe ich verzichtet, da dies weit über den Sinn des Forums hinausgeht. Aber ich habe die Suchbegriffe aufgezeigt und jeder kann nun diese begriffe im Internet finden oder sie in der Fachliteratur nachlesen.

Verwendet habe ich für die Teile 1, 2 als auch den Anwendungsteil 1 verschiedene Schriften aus dem Internet, diverse mathematische Fachbücher ein Auszug:

http://www.amazon.de/Vektor-Tensorrechn ... 3540118349
http://www.deutschesfachbuch.de/info/de ... TPMA10.pdf
http://www.einsteins-erben.de/tensorrec ... hp?men=rel
http://itp.tugraz.at/LV/schnizer/Analyt ... node9.html
http://de.wikipedia.org/wiki/Spannung_(Mechanik)
http://geol43.uni-graz.at/07W/GEO332/sp ... tensor.pdf
https://elearning.mat.univie.ac.at/phys ... sor_m6.pdf
http://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/m ... 3_2_1.html
http://www.gly.uga.edu/schroeder/geol65 ... dices.html
http://130.83.66.8/fileadmin/lehre/Akti ... lide01.pdf