Re: Beweis für Gleichmächtigkeit der unendlichen Mengen N un
Verfasst: 8. Feb 2012, 20:04
Ich meinte das geht nicht in endlicher Schreibweise geordnet. Jedenfalls habe ich noch nie einen Beweis gesehen, daß es möglich ist einen Algorythmus zu erstellen, der alle ordnet.tomS hat geschrieben:Doch, das 10er-System (und jedes andere auch) ist durchaus geeignet, ALLE reellen Zahlen darzustellen. Es enthäöt (aufgrund der Mehrdeutigkeit bei bei x = ...999...) einige Zahlen sogar mehrfach
Nimm als Beispiel Kantors zweites Diagonalargument wie auf Wikipedia http://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_zw ... alargument beschrieben.
Setze dort
aij=5 für i>=j
aij=4 für i<j
dann erhälst du
z1=0,5444444444...
z2=0,5544444444...
z3=0,5554444444...
z4=0,5555444444...
z5=0,5555544444...
z6=...
Solange er keinen Algorithmus angibt, eine vollständige Liste aller rationalen Zahlen zu erstellen, weiß man nicht ob es überhaupt möglich ist. Ich habe in der Liste oben bewusst einen Zahlenbereich ausgelassen. Cantors Diagonalargument liefert uns die Zahl 0,55555555555... die in der Liste nicht vorkommt(die ist rational, es geht mir hierbei um etwas anderes...) obwohl unser Algorithmus alles daran setzt, sich dieser Zahl anzunähern, was das Argument ad absurdum führt.
Bei Cantors Diagonalargument wird nicht eine irrational Zahl erstellt, sondern der Logarythmus an der Nase herum geführt.
VIEL besseres Beispiel:
aij=0 für i<=j
aij=5 für i>j
Unsere Liste fängt hiermit an:
z1=0,0
Cantor generiert seinem Algorythmus nach nun folgende Zahl, die nicht in der Liste vorkommt:
0,5
Unser Algorythmus liefert als nächstes:
0,50
Cantor generiert:
0,55
Unser Algorythmus liefert als nächstes:
0,550
Cantor generiert:
0,555
Unser Algorythmus liefert als nächstes:
0,5550
Cantor generiert:
0,5555
Unser Algorythmus liefert als nächstes:
0,55550
Cantor generiert:
0,55555
Unser Algorythmus erstellt als nächste Zahl:
0,555550
usw
Das heißt: Selbst wenn man einen Algorithmus hat, der GENAU die Zahl generiert, von der Cantor behauptet sie sei nicht enthalten, ist sein Argument völlig schlüssig. Es ist als würde man beweisen, daß der Algorithmus, der nur eine Zahl z=0,ai ai ai ai... mit ai=5 generiert, die Zahl 0,periode(5) nicht darstellen kann. Solange wir mit unserem Algorithmus nicht fortfahren, liefert uns Cantors Argument auch keine nächste Zahl. Er wartet immer, bis unser Algorithmus etwas ausspuckt und generiert dann erst die Zahl, die nicht darin vorkommt. Solange unser Algorythmus nicht definiert ist, ist Cantors nicht vorkommende Zahl nicht existent.
Bei Cantors Argument handelt es sich nicht um einen richtigen Beweis, sondern um eine Konstruktionsvorschrift die Rekursiv auf unseren Algorithmus benötigt.
Noch absurder wäre eine natürliche Zahl zu generieren, die in N selbst nicht vorkommt:
gegeben sei eine vollständige Liste aller natürlichen Zahlen:
z=ai mit ai=i
man erhält:
z1=1
z2=2
z3=3
z4=4
Wir generieren eine natürliche Zahl, die in der Liste nicht vorkommt:
x=x1+x2+x3+x4... mit xi=ai
oder noch absurder:
x=x1+x2+x3+x4+x5+x6 mit xi=1
Cantors Argument ist "by design" eine Abbildung auf das komplementär unserer bisher aufgeschriebenen Bildmenge.
Es liefert uns für unsere Zahlen z(1) bis z(n) immer eine Restklasse Zahlen ab/von z(n+1).
Ich habe den Beweis Cantors verstanden, ich interpretiere das Ergebniss nur in anderen Worten. Für mich ist die Feststellung eher in der Kategorie der numerischen Berechenbarkeit eingeordnet.
Es ist einfach unmöglich, einen endlichen Algorithmus zu schreiben, der alle Grenzwerte die für n->unendlich möglich sind aufzuschreiben.
Cantros Argument ist keine Konstruktionsvorschrift zum berechnen einer Zahl, sondern eine Klasse von Konstruktionsvorschriften zur Abbildung von Restmengenelementen. Sein Algorythmus ist "by design" mächtiger als jede gegebene Konstruktionsvorschrift.
Da die Menge der möglichen unendlich langen Konstruktionsvorschriften gegen unendlich ist, kann sich sien Logarithmus immer nach oben hin Richtung "mächtiger" als unserer Listenalgorithmus flüchten. Geht unsere Konstruktionsvorschrift gegen unendliche Länge, strebt auch Cantors Algorithmus immer etwas schneller gegen unendlich als der unsere.
Er hat sozusagen eine Klasse Logarithmen beschrieben, die nicht nur endliche, sondern auch unendlich lange Logarithmen enthält.
Da unser i gegen unendlich geht, ist Cantors Konstruktionsalgorythmus im Vergleich zu unserem bis zu unendlich lang.