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Warum ist die Zahl durch 7, 11 und 13 teilbar?

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Frank
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Warum ist die Zahl durch 7, 11 und 13 teilbar?

Beitrag von Frank » 18. Jul 2021, 08:12

Es gibt Dinge, die gehen an mich einfach nicht. D. H. Ich kapiere sie nicht 🤔🤔🤔

https://www.spektrum.de/raetsel/raetsel ... ei/1874479
Mit freundlichen Grüßen

Frank

ralfkannenberg
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Re: Warum ist die Zahl durch 7, 11 und 13 teilbar?

Beitrag von ralfkannenberg » 18. Jul 2021, 13:42

Frank hat geschrieben:
18. Jul 2021, 08:12
Es gibt Dinge, die gehen an mich einfach nicht. D. H. Ich kapiere sie nicht 🤔🤔🤔

https://www.spektrum.de/raetsel/raetsel ... ei/1874479
Hallo Frank,

keine Ahnung.

Was wollen wir machen: den Kopf in den Sand stecken oder es herleiten ?

Auch ohne den Artikel gelesen zu haben denke ich, wir dürfen "stillschweigend" annehmen, dass die Ziffern aus der Menge {0, 1, ..., 9} stammen - vermutlich könnte man das verallgemeinern, aber lassen wir das für den Moment.

Eine dreistellige Zahl, z.B. 256, sieht dann wie folgt aus: 2*100 + 5*10 + 6*1, und die Gesamtzahl der Aufgabe, da man die Zahl ja zweimal hintereinander aufschreibt, dann wie folgt: 256256, d.h. 2*100000 + 5*10000 + 6*1000+ 2*100 + 5*10 + 6*1.

Machen wir das im Allgemeinen, d.h. eine Zahl mit Hunderterziffer "a", Zehnerziffer "b" und Einerziffer "c", also "abc", sieht dann wie folgt aus:

a*100 + b*10 + c*1

Und zweimal aneinander gehängt, d.h. "abcabc":

a*100000 + b*10000 + c*1000 + a*100 + b*10 + c*1

Was ich auf den ersten Blick sehe ist, dass man die a, b und c ausklammern kann:

a*(100000 + 100) + b*(10000 + 10) + c*(1000 + 1).

Da kann man noch weiter ausklammern:

100a*(1000+1) + 10b*(1000+1)+c*(1000+1), also
100a*1001 + 10b*1001 + c*1001

Nun klammern wir auch noch die 1001 aus, dann erhalten wir:

(100a + 10b + c)*1001

Hmm ja, das hätte ich einfacher haben können, da die Zahl noch ein zweites Mal vornedran geschrieben einem Faktor 1000 entspricht.

Hm, und nun ? Vielleicht ist ja 1001 schon durch diese 3 Zahlen teilbar, dann wären wir bereits fertig.


Probieren wir es mal:


1001:7 = 143
07
---
030
028
----
0021


Heureka.

Und was ist 143:11 ?

Damit ist der Beweis erbracht und die Aufgabe war viel einfacher als ich zuerst gedacht hatte :)


Freundliche Grüsse, Ralf

ralfkannenberg
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Re: Warum ist die Zahl durch 7, 11 und 13 teilbar?

Beitrag von ralfkannenberg » 18. Jul 2021, 14:20

Hallo zusammen,

ok, und nun noch in der verständlichen Fassung:

Lemma: Sei a eine beliebige natürliche Zahl. Dann gilt: a*1001 ist durch 7,11 und 13 teilbar.

Beweis: 1001 = 7*11*13, smit ist jedes natürlich-zahlige Vielfache von 1001 ebenfalls durch die Zahlen 7, 11 und 13 teilbar.


Nun haben wir es im Artikel aber nicht mit beliebigen natürlichen Zahlen zu tun, sondern mit solchen, die dreistellig sind. Und wenn man solche Zahlen mit 1000 multipliziert und dazuaddiert, dann haben wir eben diese Zahl * 1001.

Damit ist die Aufgabenstellung im Artikel gelöst.


Warum geht das nicht für jede beliebige natürliche Zahl ? Das Problem ist, dass die natürlichen Zahlen kleiner als 99 eben durch das Ausklammern nicht die Zahl 1001 ergeben, sondern zweistellige Zahlen nur 101 und einstellige Zahlen nur 11 und weder 101 noch 11 erfüllen das geforderte Teilbarkeitskriterium.

Und für grössere Zahlen, also mindestens 1000, erhalten wir beispielsweise bei vierstelligen Zahlen die Zahl 10001 und diese ist kein Vielfaches von 1001 und erfüllt das Teilbarkeitskriterium somit auch nicht.


Freundliche Grüsse, Ralf

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seeker
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Re: Warum ist die Zahl durch 7, 11 und 13 teilbar?

Beitrag von seeker » 19. Jul 2021, 16:41

Danke, sehr schöne Ausführung! :well:
Grüße
seeker


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Re: Warum ist die Zahl durch 7, 11 und 13 teilbar?

Beitrag von Skeltek » 20. Jul 2021, 17:21

Hab die Überschrift gelesen. Ziffer n und n+3 sind gleich. => 1001 als Baustein muss durch die drei Zahlen teilbar sein. Geht halt z.B. im Dezimalsystem, nicht jedoch in anderen.
Die Zahl lässt sich darstellen als
x00x + y00y0 + z00z00 mit x, y, z aus N
Wenn die Bedingung für x00x gilt, gilt sie auch für das Vielfache.
Wenn sie für 1001 gilt, gild sie für jedes x00x. Also 1001 als Baustein für die anderen.
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Re: Warum ist die Zahl durch 7, 11 und 13 teilbar?

Beitrag von Jupiter » 13. Aug 2021, 10:11

Danke sind echt super erklärt :)

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