1/2^n gegen Null?

[Pippen]

Ich bin ja ein Fan von Metastochastiken, also Stochastiken über Stochastiken. So basiert die Wahrscheinlichkeitstheorie eines Münzwurfs auf der Wahrscheinlichkeit P = 1, dass die dafür notwendigen Voraussetzungen (P(K/Z) = 1, P(K) = 0,5,...) genauso vorliegen. Das ist natürlich nur eine Fiktion. Genaugenommen haben wir dort auch nur eine Wahrscheinlichkeit von 0,5, denn entweder es ist so oder es ist nicht so. Und so geht's dann immer weiter, denn auch dafür könnte man wieder Wahrscheinlichkeiten angeben.

Es kommt so zu einer Folge von Wahrscheinlichkeiten iFv 1/2ⁿ. Diese Folge geht gegen Null, aber wie beweist man das? Und wie würde man beweisen, dass eine Folge 1/1-x (x<1) ebenfalls immer gegen Null läuft?

Dass damit alle unsere Wahrscheinlichkeiten absolut gesehen gegen Null laufen halte ich übrigens nicht für widersprüchlich. Es heißt ja nur, dass es kein ausgezeichnetes Ereignis mehr gibt, sondern alles gleich unwahrscheinlich wird und wenn es dann passiert, dann ist's ja keine Wahrscheinlichkeit mehr, sondern Tatsächlichkeit.

[tomS]

zu zeigen: 1/2ⁿ ist eine Nullfolge

Beweis durch Widerspruch:

Annahme: 1/2ⁿ ist keine Nullfolge;
dann existiert ein x > 0, so dass 1/2ⁿ > x > 0 für alle n;
andererseits existiert ein N mit x = 1/2^N, also ln(x) = -N ln(2), N = - ln(x) / ln(2), so dass für n > N sicher gilt, dass 1/2ⁿ < x;
damit führt die Annahme auf einen Widerspruch;
und damit ist gezeigt, kein derartiges x existiert, d.h. dass 1/2ⁿ tatsächlich eine Nullfolge sein muss

[Pippen]

zu zeigen: 1/2ⁿ ist eine Nullfolge

Beweis durch Widerspruch:

Annahme: 1/2ⁿ ist keine Nullfolge;
dann existiert ein x > 0, so dass 1/2ⁿ > x > 0 für alle n;
andererseits existiert ein N mit x = 1/2^N, also ln(x) = -N ln(2), N = - ln(x) / ln(2), so dass für n > N sicher gilt, dass 1/2ⁿ < x;
damit führt die Annahme auf einen Widerspruch;
und damit ist gezeigt, kein derartiges x existiert, d.h. dass 1/2ⁿ tatsächlich eine Nullfolge sein muss

Die markierte Zeile verstehe ich nicht so recht. Sie setzt ja bereits voraus, dass jedes x durch ein bestimmtes N in 1/2^n erzielt werden kann, nur deshalb kannst du ja die Logarithmusfkt. verwenden, um dieses N zu berechnen (wobei ich von Logarithmen so überhaupt keine Ahnung habe, ich weiß gerademal, dass sie eine Umkehroperation sind, ähnlich wie die Division zur Multiplikation).

[tomS]

Das von mir eingeführte N ist keine natürliche sondern eine reelle Zahl; deswegen argumentiere ich mit n > N.

Wenn dir das nicht gefällt, dann gibt's andere Beweise.

Wenn du die Vollständigkeit der reellen Zahlen voraussetzt, dann folgt die Konvergenz als Nullfolge direkt daraus, dass 1/2ⁿ eine Cauchy-Folge ist; dazu muss man lediglich zeigen, dass 1/2ⁿ⁺¹ < 1/2ⁿ; und das ist offensichtlich.

[Pippen]

Mich irritiert nur, dass du in deinem Beweis sagst: y = 1/2ⁿ, d.h. jede beliebige Zahl ist durch 1/2ⁿ darstellbar und daher dann natürlich auch eine Zahl, die kleiner/gleich als die angenommene Schranke x ist. Aber wie beweist man das, wenn wir durchaus davon ausgehen wollen, dass IR vollständig ist? Denn nur mit diesem Unterbeweis verstehe ich dann deine Rechnung mit dem Logarithmus, die das ja voraussetzt.

[tomS]

Mich irritiert nur, dass du in deinem Beweis sagst: y = 1/2ⁿ, d.h. jede beliebige Zahl ist durch 1/2ⁿ darstellbar und daher dann natürlich auch eine Zahl, die kleiner/gleich als die angenommene Schranke x ist.

Ich sage nicht, dass jede beliebige Zahl so darstellbar ist. Ich sage lediglich, dass diese Gleichung invertierbar ist. Warum soll das nicht so sein? Setze y und n als reelle Zahlen an; dann ist y(n) stetig und streng monoton, also invertierbar (kannst du dir auch graphisch überlegen).

[tomS]

Wenn du die Vollständigkeit der reellen Zahlen voraussetzt, dann folgt die Konvergenz als Nullfolge direkt daraus, dass 1/2ⁿ eine Cauchy-Folge ist; dazu muss man lediglich zeigen, dass 1/2ⁿ⁺¹ < 1/2ⁿ; und das ist offensichtlich.

Sorry, das war nicht richtig. Es darf lediglich heißen "Wenn du die Vollständigkeit der reellen Zahlen voraussetzt, dann folgt die Konvergenz direkt daraus, dass 1/2ⁿ eine Cauchy-Folge ist."
Das Cauchy-Kriterium beweist demnach die Konvergenz, liefert also die Existenz des Grenzwertes, nicht jedoch den Wert.

[tomS]

Ein weiterer Beweis funktioniert mittels des Einschnürungssatzes.

Man definiert

a_n = 0
b_n = 1/n
x_n = 1/2ⁿ

Man verwendet, dass der Grenzwert von 1/n bekannt ist und dass x_n für alle n in [a_n, b_n] liegt. Daraus folgt die Konvergenz mit Grenzwert Null.