Für alle x,y,z € IN: x * y = z. MaW: Die Multiplikation zweier natürlicher Zahlen führt immer zu einer natürlichen Zahl. Wie geht der formal korrekte Beweis? Es müsste da ja sowas wie eine Gruppe, Ring oder Körper für IN geben, wo es ein Axiom gibt, was praktisch bereits genau das sagt, was oben steht und dann müsste man nur noch x, y und z für die Buchstaben des Axioms einsetzen. Ist das soweit richtig und kann jmd. den formalen Beweis kurz angeben, ich will mal sehen, wie das "aussieht"?
Weitere Frage: Nehmen wir das Axiom 'a + b = c & a,b,c € IN'. Wie wende ich jetzt dieses Axiom an, wenn ich zB die Formel 'x+y=z, x,y,z € IN' beweisen will? Was ist das für ein logischer Schluss, wo man letztlich die a's und b's und c's durch x's und y's und z's ersetzt? Ist das die sog. Einsetzungsregel der AL und PL?
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Beweis der Abgeschlossenheit der Multiplikation bei IN
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TomX
Re: Beweis der Abgeschlossenheit der Multiplikation bei IN
Die Multiplikation a*b einer Zahl b mit einer Zahl a nur eine Abkürzung für die a-fache Addition von b. Damit folgt die Abgeschlossenheit unter Multiplikation aus der Abgeschlossenheit unter Addition.
Re: Beweis der Abgeschlossenheit der Multiplikation bei IN
Ok, und wie würde ein Beweis zur Abgeschlossenheit der Addition aussehen? MaW: Woher weiß ich, dass bei "a+b=c" und a,b € IN auch c immer eine nat. Zahl sein wird? Wird das irgendwo axiomatisiert oder gefolgert?
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TomX
Re: Beweis der Abgeschlossenheit der Multiplikation bei IN
Analoge Argumentation:
Die Addition a+b einer Zahl a mit einer Zahl b nur eine Abkürzung für die b-fache Anwendung des Nachfolgers a. a+b = a'''...' (b-fach). Damit folgt die Abgeschlossenheit unter Addition aus den Axiomen: wenn a in N, dann auch a' in N.
Die Addition a+b einer Zahl a mit einer Zahl b nur eine Abkürzung für die b-fache Anwendung des Nachfolgers a. a+b = a'''...' (b-fach). Damit folgt die Abgeschlossenheit unter Addition aus den Axiomen: wenn a in N, dann auch a' in N.
Re: Beweis der Abgeschlossenheit der Multiplikation bei IN
Das Additionsaxiom von Peano lautet: Für alle n, m € IN: n + m' = (n + m)'.
Durch den Allquantor ist klar, dass n & m natürliche Zahlen sein sollen, wegen Peano 2 ist auch m' eine natürliche Zahl. Wir haben also auf der linken Seite eine "+"-Verknüpfung zwischen zwei natürlichen Zahlen. Auf der rechten Seite haben wir durch die Klammerung (n+m)' den Nachfolger einer "+"-Verknüpfung zweier natürlicher Zahlen. Aber woraus ergibt sich eigentlich, dass die linke und rechte "+"-Verknüpfung zweier natürlicher Zahlen (n+m) gleich einer natürlichen Zahl n sein muss (deren Nachfolger dann wieder eine nat. Zahl wäre)?
MaW: Woraus ergibt sich: Für alle n,m,o € IN: n+m = o? Wieso ist dieses Axiom offenbar überflüssig? Es ist mE nicht evident, dass dieses Ding "n+m" gleich einer natürlichen Zahl n ist. Man könnte genauso gut rätseln, was denn n+m und (n+m)' für Objekte sind, wo sie doch zwei natürliche Zahlen mit einem ominlösen "+" verbinden.
Durch den Allquantor ist klar, dass n & m natürliche Zahlen sein sollen, wegen Peano 2 ist auch m' eine natürliche Zahl. Wir haben also auf der linken Seite eine "+"-Verknüpfung zwischen zwei natürlichen Zahlen. Auf der rechten Seite haben wir durch die Klammerung (n+m)' den Nachfolger einer "+"-Verknüpfung zweier natürlicher Zahlen. Aber woraus ergibt sich eigentlich, dass die linke und rechte "+"-Verknüpfung zweier natürlicher Zahlen (n+m) gleich einer natürlichen Zahl n sein muss (deren Nachfolger dann wieder eine nat. Zahl wäre)?
MaW: Woraus ergibt sich: Für alle n,m,o € IN: n+m = o? Wieso ist dieses Axiom offenbar überflüssig? Es ist mE nicht evident, dass dieses Ding "n+m" gleich einer natürlichen Zahl n ist. Man könnte genauso gut rätseln, was denn n+m und (n+m)' für Objekte sind, wo sie doch zwei natürliche Zahlen mit einem ominlösen "+" verbinden.
Re: Beweis der Abgeschlossenheit der Multiplikation bei IN
Das ist kein Peano-Axiom; schau mal hier:
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Peano-A ... alisierung
Die Addition ist kein Axiom sondern eine Definition.
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Peano-A ... alisierung
Die Addition ist kein Axiom sondern eine Definition.
Gruß
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
Re: Beweis der Abgeschlossenheit der Multiplikation bei IN
Ich glaube, ich habe es. Peano definiert nämlich auch: n + 0 = n. Nun nehmen wir zwei nat. Zahlen n und m und addieren sie nach der zweiten Definition n+m' = (n+m)', und zwar solange heruntergeschachtelt bis nur noch eine Variable n übrigbleibt und das ist ja definitionsgemäß eine nat. Zahl.
Bsp. für die Addition von zwei und drei: 2 + 0''' = (2+0'')' = ((2+0')')' = ((((2+0)')')' = 2'''...und der Nachfolger des Nachfolgers des Nachfolgers der nat. Zahl 2 ist nach Peano 2 wieder eine nat. Zahl. So läßt sich jede Addition auf den Nachfolger der Null herunterrechnen, sozusagen rekursiv.
Bsp. für die Addition von zwei und drei: 2 + 0''' = (2+0'')' = ((2+0')')' = ((((2+0)')')' = 2'''...und der Nachfolger des Nachfolgers des Nachfolgers der nat. Zahl 2 ist nach Peano 2 wieder eine nat. Zahl. So läßt sich jede Addition auf den Nachfolger der Null herunterrechnen, sozusagen rekursiv.