flach = unendlich + unbegrenzt

[Pippen]

Nehmen wir an, unser Universum wäre flach...wäre es dann automatisch immer unendlich groß und unbegrenzt?

[tomS]

Nein, es gibt durchaus kompakte = endliche Räume, die ebenfalls eine flache Metrik zulassen.
- einfachstes Beispiel: ein Torus T² (wobei das für den in den R³ eingebetteten Torus = den Autoreifen nicht gilt)
- ein weiteres Beispiel ist die (Poincaresche) Homologiesphäre, die nach Vernmessungen der Hintergrundstrahlung evtl. ein Modell für unser UNiuversum sein könnte

[belgariath]

TomS, du sagst also, es wäre nicht unendlich. Wäre es denn begrenzt?

[tomS]

nein, endlich aber unbegrenzt.

Stell dir eine Strecke [0,L] vor, auf der du ausschließlich L-periodische Funktionen betrachtest. Nun kannst du die Punkte 0 und L identifizieren und damit einen Kreis mit Umfang L definieren. Genau das selbe kannst du auch mit einem Rechteck durch paarweise Identifizierung gegenüberliegender Kanten oder in höherdimensionalen Räumen z.B. für Würfel und kompliziertere Polyeder druchführen.

[Timm]

Nein, es gibt durchaus kompakte = endliche Räume, die ebenfalls eine flache Metrik zulassen.
- einfachstes Beispiel: ein Torus T² (wobei das für den in den R³ eingebetteten Torus = den Autoreifen nicht gilt)
- ein weiteres Beispiel ist die (Poincaresche) Homologiesphäre, die nach Vernmessungen der Hintergrundstrahlung evtl. ein Modell für unser UNiuversum sein könnte

Das Poincaresche Dodekaeder hat soweit ich mich erinnere positive Krümmung, ist mit den WMAP Daten aber (noch) kompatibel.

Gruß, Timm

[tomS]

http://www.uni-ulm.de/misc/veranstaltun ... ustig.html
http://abenteuer-universum.de/kosmos/topo.html

[Pippen]

Ein flaches Universum ist für mich eines, in dem global euklid. Geometrie gilt, d.h. auf großen Skalen Innenwinkelsumme eines Lichtstrahlendreiecks 180° und zwei Lichtstrahlparallelen könnten sich nie schneiden. Ein solches Universum wäre mE unbegrenzt, unendlich und daher ohne Form (wie Torus, Kugel u.ä., die ja alle voluminös begrenzt sein müssen). Es wäre daher auch nie möglich, ein solches Universum zu verifizieren, denn man wäre sich ja nie sicher, ob nicht auf größerer Skala doch eine Krümmung vorliegt. Auf der anderen Seite würden auch Krümmungen diverser Art nie ein Beweis sein, weil es sich dabei im Verhältnis zum gesamten Universum auch nur um lokale Verzerrungen handeln könnte.

MaW: Was wir bräuchten wäre ein langer Stab aus einem Meterial, welches nicht der Gravitation oder anderen Kräften unterliegt. Wir bilden aus 3 dieser Stäbe ein Dreieck mit den drei Eckpunkten am Rande des für uns sichtbaren Universums. Damit hätten wir nicht nur bewiesen, dass der Raum in unserem Universum (entgegen Einstein) materieunabhängig ist, sondern könnten zumindest sicher feststellen, dass und wenn unser U. nicht flach wäre.

[tomS]

mathematisch (geometrisch) bedeutet "flach" dass die Krümmung verschwindet; das ist äquivalent dazu, dass die Winkelsumme in jedem beliebigen Dreicke 180° ist; dazu muss der Raum nicht endlich sein; ich habe das mathematische Modell eines flachen 2-Torus angefügt; ggü-liegende, gleichfarbige Ränder sind zu identifizieren, dadurch verschwindet die Auszeichnung des Randes; zwei Dreiecke habe ich eingezeichnet, außerdem den Abschnitt einer Gerade (diese wird durch ihre Windungszahl um den Torus klassifiziert; es gibt endliche, die in sich zurücklaufen, sowie unendliche); man kann jederzeit eine flache Metrik einführen.

[Timm]

Nochmal zum Dodekaeder.
http://en.wikipedia.org/wiki/Shape_of_the_Universe

A positively curved universe is described by spherical geometry, and can be thought of as a three-dimensional hypersphere, or some other spherical 3-manifold (such as the Poincaré dodecahedral space), all of which are quotients of the 3-sphere

Eine lokal nicht flache kompakte Topologie ist noch im Rennen. Auch wenn die Tendenz Richtung Omega = 1 geht, dürfte es schwer sein,
jemals k <> 0 sicher auszuschließen.

Gruß, Timm

[belgariath]

Ein flaches Universum ist für mich eines, in dem global euklid. Geometrie gilt, d.h. auf großen Skalen Innenwinkelsumme eines Lichtstrahlendreiecks 180° und zwei Lichtstrahlparallelen könnten sich nie schneiden.

Das stimmt.

Ein solches Universum wäre mE unbegrenzt, unendlich und daher ohne Form (wie Torus, Kugel u.ä., die ja alle voluminös begrenzt sein müssen).

Es stimmt, dass ein Torus ein endliches Volumen (2-dimensionales Volumen = Fläche) hat. Aber es stimmt eben nicht, wie TomS oben erklärt hat, dass ein flaches Universum zwangsläufig unendlich ist. Denn TomS hat mit dem Beispiel des aufgeschnittenen Torus gezeigt, dass ein Torus flache Geometrie hat und du hast selber gemerkt dass ein Torus voluminös endlich ist. Also kann eine flache Geometrie endliches Volumen haben.

Es wäre daher auch nie möglich, ein solches Universum zu verifizieren, denn man wäre sich ja nie sicher, ob nicht auf größerer Skala doch eine Krümmung vorliegt. Auf der anderen Seite würden auch Krümmungen diverser Art nie ein Beweis sein, weil es sich dabei im Verhältnis zum gesamten Universum auch nur um lokale Verzerrungen handeln könnte.

Das sehe ich auch so. Man kann immer nur Aussagen über das beobachtbare Universum treffen und nie ausschließen, dass das beobachtbare Universum in einer untypischen Region liegt.

[tomS]

Eine Anmerkung zur Torus-Geometrie: Man kann den n-dim. Torus T[up]n[/up] wie oben als kompaktifiziertes Rechteck einführen, oder äquivalent als Gitter im R[up]n[/up], d.h. man fordert für alle Objekte (Funktionen, ...) auf dem R[up]n[/up] Periodizität bzgl. der Kantenlängen L = {L[down]x[/down], L[down]y[/down], ...}. Dazu nun eine Feststellung und eine Frage:

Man muss ja bereits für den 1-Torus T[up]1[/up] der identisch mit einem Kreis S[up]1[/up] mit Umfang L ist die Frage der Metrik = des Abstandes klären; zwischen zwei Punkten a, b im Intervall [0,L[ gibt es zwei "Abstände", nämlich |a-b| sowie L-|a-b|; der kleinere davon ist dann der tatsächliche Abstand, der die Metrik definiert, d.h. es gilt

d(a,b) = min{ |a-b| sowie L-|a-b| }

Man kann das auch anders darstellen. Man betrachtet dazu einen Punkt a sowie zum zweiten Punkt b seine (Unendloich vielen) Kopien in auf der reellen Geraden, d.h. b[down]k[/down] = b+kL mit einer ganzen Zahl k; dann ist der Abstand definiert als

d(a,b) = min[down]k[/down] |a-b[down]k[/down]| = min[down]k[/down] |a-b-kL|

soweit so gut

Für den n-dim. Torus kann man diese Vorgehensweise je Koordinate anwenden; dazu gibt es aber zwei Vorgehensweisen!

1) man definiert zuerst den Differenzvektor

( d[down]i[/down](a[down]i[/down],b[down]i[/down]) ) = min[down]k[/down] |a[down]i[/down]-b[down]i[/down]-k[down]i[/down]L[down]i[/down]| je Koordinate i=1,2,...,n

und anschließend das Abstandsquadrat als Summe gemäß Pythagoras

d²(a,b) = d²[down]1[/down](a[down]1[/down],b[down]1[/down]) + d²[down]2[/down](a[down]2[/down],b[down]2[/down]) + ... + d²[down]n[/down](a[down]n[/down],b[down]n[/down])

2) man definiert zuerst alle euklidischen Abstände gemäß Pythagoras für zwei gegebene Punkte a und b sowie alle n-Tupel k sowie die vordefinierten Kantenlängen L.

d²(a,b,k) = |a - b - kL|²

und anschließend

d(a,b) = min[down]k[/down] d(a,b,k)

Mir ist irgendwie anschaulich klar, dass die beiden Methoden zum selben Ergebnis führen (oder täusche ich mich?), aber wie beweise ich das?

[positronium]

2) man definiert zuerst alle euklidischen Abstände gemäß Pythagoras für zwei gegebene Punkte a und b sowie alle n-Tupel k sowie die vordefinierten Kantenlängen L.

d²(a,b,k) = |a - b - kL|²

L liegt doch in diesem Fall beliebig im Raum, und hat deshalb keine feste Länge. Aber eigentlich verstehe ich nicht, warum Du das k einführst, weil man mit ganzzahligem k immer am gleichen Punkt landet, also, wenn man sich in der Dimension x befindet und mit L[down]x[/down] rechnet.

(Auch frage ich mich gerade, ob durch eine Torusform des Universums nicht Dimensionen festgelegt sein müssten, also manche Richtungen ausgezeichnet wären.)

[tomS]

Es geht darum, in einem unendlichen Gitter, das den Torus repräsentiert, die kürzeste Verbindung zu finden

[belgariath]

@ TomS: spannendes Problem. Und du hast es auch gut formuliert, sodass man versteht, was vorausgesetzt ist und was bewiesen werden soll. Ich denke der Schlüssel zu dem Beweis liegt in folgender Tatsache: Da man nur mit Beträgen, also nichtnegativen Zahlen hantiert, darf man die minimum-Funktion sowohl mit einer Summe als auch mit einem Quadrat vertauschen. Anders ausgedrückt: Das Minimum von vielen möglichen Summen ist gleich der Summe der einzelnen Minima. Und ebenso: Das Minimum vieler möglicher Quadrate ist gleich dem Quadrat des Minimums.
Ich habe versucht den Beweis mal auszuschreiben. Aber bei dem allerletzten Umformungsschritt bin ich nicht sicher, ob das immer gilt.

Zunächst gehe ich so vor, wie TomS es unter 1) vorgeschlagenen hat:

Methode 1.jpg (45.75 KiB) 13956 mal betrachtet

und jetzt so wie unter 2)

Methode 2.jpg (46.72 KiB) 13956 mal betrachtet

Am Ende steht jeweils der gleiche Ausdruck.
Geht das so, oder hab' ich was falsch gemacht?

Ach ja, ich wollte noch fragen, ob jemand ein anschauliches Beispiel für einen Raum mit unendlich großem Volumen, der aber begrenzt ist, kennt?

[tomS]

Ich bin inzwischen der Meinung, dass 1) falsch sein muss; die Vorgehensweise für 2) habe ich mal skizziert. Zunächst mal habe ich das Gitter eingezeichnet und zu den zwei Punkten A und B alle 'Kopien' in jeweils anderen Zellen. Man sieht unmittelbar, dass in diesem Fall die kürzeste Verbindung über die linke 'Nahtstelle' mit dem blassblauen Pfeil (der das Zusammenkleben und gemeinsame Orientierung zusammen mit dem rechten blassblauen Pfeil andeutet) erfolgt. Dabei ist m.E. klar, dass 1) nicht zutreffen kann, da man sich das Minimum nicht 'koordinatenweise' aussuchen darf.

[seeker]

Ich denke, dass beide Vorgehensweisen dasselbe Ergebnis liefern, liegt einfach in der Symmetrie begründet:
Wenn du einen echten minimalen Abstand hast, dann hast du alle minimale Abstände; wenn du von allen Abständen den Minimalen findest, dann auch von dem einen.

Was mir noch einfällt:

Man muss jeweils nicht unendlich viele Felder betrachten.
Jedes Feld ist nur von 3[up]n[/up]-1 Feldern umgeben, wobei n die Anzahl der Dimensionen ist.

Die Symmetrie ist sicher translationssymmetrisch, wie ich vermute auch drehsymmetrisch.
D.h. man kann das Koordinatensystem schieben und drehen.

Wenn man daher den Nullpunkt so setzt, dass ein Punkt A genau darauf zu liegen kommt (auf der "Ecke" eines Feldes), dann ist dieser Punkt A sogar nur noch von 2[up]n[/up] Feldern umgeben, was die Anzahl der relevanten Felder nochmals reduziert.

Wenn man zusätzlich das Koordinatensystem noch geeignet dreht, so kommt auch ein (beliebig gewählter) Punkt B auf einer der Koordinatenachsen ("Feldränder") zum Liegen.
Wenn man diesen Abstand (A-B) als S setzt und daraus (im 2-dim. Fall) ein Quadrat (2S)[up]2[/up] bildet (wobei A im Nullpunkt bzw. in der Mitte des Quadrats liegt), so muss eines der (höchstens 4) B, die in diesem Quadrat liegen, minimalen Abstand zu A haben.


Hilft dir das irgendwie weiter?

Beste Grüße
seeker

[tomS]

Klar muss man nicht alle Felder betrachten, sondern nur die Nachbarn; trotzdem glaube ich dass 2) stimmt und 1) nicht.

Sollte ja eigtl. nur ein Bsp. für einen flachen, endlichen Raum sein. Flach bezieht sich auf die Metrik, und die muss man für den Torus erst mal konstruieren; für den eingebetteten Torus ist sie nämlich nicht flach!

[seeker]

Na ja, ich interessiere mich halt und versuche das zu verstehen.

Ich möchte nochmal zurückgehen. Du schreibst:

Man muss ja bereits für den 1-Torus T1 der identisch mit einem Kreis S1 mit Umfang L ist die Frage der Metrik = des Abstandes klären; zwischen zwei Punkten a, b im Intervall [0,L[ gibt es zwei "Abstände", nämlich |a-b| sowie L-|a-b|; der kleinere davon ist dann der tatsächliche Abstand, der die Metrik definiert, d.h. es gilt

d(a,b) = min{ |a-b| sowie L-|a-b| }

Man kann das auch anders darstellen. Man betrachtet dazu einen Punkt a sowie zum zweiten Punkt b seine (Unendloich vielen) Kopien in auf der reellen Geraden, d.h. bk = b+kL mit einer ganzen Zahl k; dann ist der Abstand definiert als

d(a,b) = min[down]k[/down] |a-b[down]k[/down]| = min[down]k[/down] |a-b-kL|

soweit so gut

Frage dazu:
Was bedeutet das "min" bzw. das "min[down]k[/down]"? Oben könnte es "den kleineren Wert in der geschweiften Klammer" bedeuten... aber unten fehlt das "{...}".
Bedeutet es dort "den kleinsten Wert aller Ausdrücke (k)"?

Daher verstehe ich das hier noch nicht:

d(a,b) = min[down]k[/down] |a-b[down]k[/down]| = min[down]k[/down] |a-b-kL|

Hier haben wir doch zwei Abstände d(a,b), einen kleineren und einen größeren und es ist der kleinere gesucht - oder?
Ich setze mal beispielhafte Zahlen ein:

L = 10
a = 1
b = 7

Nun ist die Differenz (a,b) einmal 6 und anders herum 4.
... aber liefert der obige Ausdruck nicht nur die 6 oder wie geht das?

d(a,b) = min[down]k[/down] |a-b[down]k[/down]|
d(1,7) = min[down]1[/down] |1-7| = 6; min[down]2[/down]|1-17|= 16; .... ?

bzw.

d(a,b) = min[down]k[/down] |a-b-kL|
d(1,7) = min[down]1[/down]|1-7-10|= 16; min[down]2[/down]|1-7-20|= 26; ... ? (hier geht mir auch noch die 6 verloren, fängt k bei Null an?)

... gesucht ist doch aber die 4?

Muss es vielleicht so heißen:

d(a,b) = min[down]k[/down] ||a-b|-kL|, mit k= 0,1,2,3,... ?
d(a,b) = ||1-7|-10| = |6-10| = 4

Edit:
Ich sehe gerade:

mit einer ganzen Zahl k

Also ist k= ...,-2,-1,0,1,2,3... und es passt.

Bleibt immer noch die Frage: Was bedeutet "min"?

Beste Grüße
seeker

[tomS]

min[down]k[/down] bedeutet, dass der rechts davon stehende Ausdruck für alle k zu betrachten und dann das Minimum davon zu nehmen ist. min[down]k[/down] (k²-1) ist z.B. -1

[Skeltek]

Alternativ vorstellbar:
Stelle dir einen reelen Abschnitt ]-1,1[ vor bei dem du bei exakt 0 sitzt. Wenn du versuchst dich nach rechts zu bewegen, verschiebst du lediglich denrestlichen Inhalt nach links auf -1 zu, bleibst aber selbst auf der 0 stehen.
Die anderen Objekte merken nichts von der Verzerrung, da jedes Teilchen sein eigenes Universum aufspannt.

Mir geht es nur darum zu zeigen, daß der Abschnitt zwar endliche Ausdehnung hat, aber unendlich ist.

[seeker]

@TomS:

Danke.
Und du meinst nun, dass das hier [1)] nicht zutrifft: (?)

Für den n-dim. Torus kann man diese Vorgehensweise je Koordinate anwenden; dazu gibt es aber zwei Vorgehensweisen!

1) man definiert zuerst den Differenzvektor

( di(ai,bi) ) = mink |ai-bi-kiLi| je Koordinate i=1,2,...,n

und anschließend das Abstandsquadrat als Summe gemäß Pythagoras

d²(a,b) = d²1(a1,b1) + d²2(a2,b2) + ... + d²n(an,bn)

Bei deiner letzten Zeichnung schreibst du:

Dabei ist m.E. klar, dass 1) nicht zutreffen kann, da man sich das Minimum nicht 'koordinatenweise' aussuchen darf.

Warum?
Zumindest in dieser Zeichnung führt 1) doch auch zum richtigen Ergebnis (der rote Punkt links oben) - und zwar unabhängig davon in welcher Reihenfolge man die zwei Koordinaten abarbeitet?

T3.jpg (35.67 KiB) 13801 mal betrachtet

@Skeltek: Danke, aber ich will jetzt erst mal diese Sache hier verstehen.

Grüße
seeker

[tomS]

So, ich hab' jetzt mal ein bisschen rumprobiert und mittels "experimenteller Mathematik" Gegenbeispiele zur Konsistenz von 1) gefunden. Der Punkt ist eigtl. einfach: Man such sich bei der Abstandsmessung von A zu B ggf. einen Stellvertreter B', B', ...' (rote Kreise), so dass der Abstand zu diesem minimiert wird. Dies leistet die Methode 2) In der Methode 1) sucht man sich das Minimum bzgl. jeder einzelnen Koordinate!! Nun habe ich zunächst mal Fälle gefunden, bei denen der so definierte Abstand gemäß 1) kleiner ist als der gemäß 2) was nicht sein darf. Es ist auch klar, woran das liegt. Die Methode 2) wählt aus den Punkten B, B', B', ... den aus, der den Abstand zu A minimiert. Die Methode 1) führt diese Minimierung koordinatenweise aus, d.h. dass z.B. für die x-Koordinate der Punkt B' gewählt wird, für die y-Koordinate aber der Punkt B''. Das ist natürlich Blödsinn.

Nochmal der Vergleich
Methode 1) Summe über die Minima (je Koordinate) aller Quadrate
Methode 2) Minimum (über B, B', B'', ...) der Summe aller Quadrate

[positronium]

Hab's mir noch einmal angesehen - ich ging von einem eingebetteten Torus aus.
Beim nicht eingebetteten müssen die beiden Methoden gleiche Ergebnisse liefern, weil der Raum flach, die Entfernungsberechnung linear und die Koordinaten voneinander unabhängig sind. D.h. die Entfernung in einer Dimension wird durch die in einer anderen nicht beeinflusst.

...Die Methode 1) führt diese Minimierung koordinatenweise aus, d.h. dass z.B. für die x-Koordinate der Punkt B' gewählt wird, für die y-Koordinate aber der Punkt B''. Das ist natürlich Blödsinn.

Das kann so nicht sein. Durch Minimierung in der x-Dimension wählt man keinen Punkt, sondern man schränkt die unendliche Punktmenge in einer Dimension ein.

[tomS]

Es geht um den flachen Torus und du kannst mir glauben, 1) ist falsch; Ich stell ein Beispiel rein ...

[seeker]

So, ich hab' jetzt mal ein bisschen rumprobiert und mittels "experimenteller Mathematik" Gegenbeispiele zur Konsistenz von 1) gefunden.

Interessant! Kannst du eines angeben?

Die Methode 1) führt diese Minimierung koordinatenweise aus, d.h. dass z.B. für die x-Koordinate der Punkt B' gewählt wird, für die y-Koordinate aber der Punkt B''. Das ist natürlich Blödsinn.

Sorry, das sehe ich noch nicht ein. So wie ich das verstehe, wird z.B. für die x-Koordinate noch gar kein Punkt gewählt (es werden stattdessen mehrere Punkte in die Auswahl eingeschlossen und andere ausgeschlossen).

Ist das Vorgehen nicht so:

1. Wahl des kürzeren x-Abstands (d.h. es werden nur die x-Komponenten betrachtet):

T0a.jpg (37.29 KiB) 13779 mal betrachtet

... es bleiben die zwei linken roten Punkte übrig.

2. Wahl des kürzeren y-Abstands:

T0b.jpg (36.04 KiB) 13779 mal betrachtet

... es bleibt nur noch der linke obere rote Punkt übrig.

Bei mehr Dimensionen entsprechend. Ich meine, dass das auch dort funktioniert.

Das Interessante wäre, dass der kürzeste sich ergebende Vektor ausschließlich aus kürzesten Komponenten (x, y, z, ...) besteht (was zu beweisen wäre).
Das ist zunächst überraschend. Ich glaube aber, dass das in der Symmetrie begündet liegt.

Oder verstehe ich immer noch etwas verkehrt?

Beste Grüße
seeker