Beweis, dass Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist

[Pippen]

"2/1=p²/q²". Dadurch muss - denn es handelt sich ja um eine Gleichung - weiterhin gelten: p²=2; q²=1;

Nein, denn eben(!) es handelt sich um eine Gleichung!

Das wäre ja genauso, wie wenn ich folgendes behaupte:

13/6 = a/b
daraus folgt ausschließlich: a = 13 und b =6 !?
Das ist Quatsch.
Es kann auch gelten a =26 und b = 12; a = 39 und b = 18; usw., d.h., du weißt NICHT welchen Wert a und b haben, es gibt unendlich viele Lösungen für a und b.
Du weißt NUR den Quotienten. Da kommst du nicht drum herum.
Du darfst eine Gleichung also NICHT auf diese Weise "separieren".
Jetzt?

Grüße
seeker

Ich habe ja in der neuen Variante meines Beweises klargestellt, dass der Bruch p/q teilerfremd ist (und damit immer bestmöglich gekürzt vorliegt), d.h. es gibt keinen gemeinsamen Teiler außer 1 mehr. Dadurch ist mE dein Einwand außer Gefecht. 13/6 = a/b und damit müssen a=13 und b = 6 sein, weil zusätzlich angenommen wird, dass a,b € N seien. Dadurch sehe ich den Fehler in meinem Beweis behoben, den ihr vorher korrekterweise aufgedeckt habt.

Nochmal zur Referenz mein "neuester" Beweis:

1. V2 = p/q.................................................................................|Annahme
2. p, q € N..................................................................................|Annahme
3. p/q vollständig gekürzt, d.h. kein gemeinsamer Teiler mehr außer 1...........|Annahme
4. V2 non-€ N..............................................................................|Annahme
5. 2 = p²/q²................................................................................|Potenzieren
6. 2/1 = p²/q².............................................................................|Gleichung als Bruch auf beiden Seiten
7. 2 = p² (und 1= q²)......................................................................|folgt aus 3. & 6.
8. V2 = p....................................................................................|Wurzelziehen bei p
9. p non-€ N................................................................................|folgt aus 4. & 8.
10. p € N....................................................................................|folgt aus 2.
11. ~(V2=p/q)..............................................................................|da Widerspruch (9.,10.), folgt: alle Annahmen im Rahmen des Beweises, also auch 1., sind falsch (wäre das eigentlich so korrekt?)

[Skeltek]

Das Widerspricht aber deiner Absicht.
Du willst zeigen, daß es irgendwelche 2 Zahlen gibt, die p/q= ergeben.
Du kannst nicht einfach q=1 setzen.

Tue ich doch eigentlich auch gar nicht. Durch Potenzieren komme ich von "V2=p/q" zu "2=p²/q²", was nichts anderes heißt als: "2/1=p²/q²". Dadurch muss - denn es handelt sich ja um eine Gleichung - weiterhin gelten: p²=2; q²=1; ein Bruch wie 103/73 kann es nie sein, denn es muss ja gelten: "2/1=p²/q²" und "2/1=103/73" geht eben nicht. Ach, es seeker hat schon recht: Beweisen ist echt harte Drecksarbeit (besonders wenn man bedenkt, dass der Beweis hier ja praktisch noch auf Mittelschulniveau angesiedelt ist).

Du interpretierst p und q anscheinend nicht als unbekannte ganze Zahl, sondern als Variable.
p und q sind unbekannte feste(!) Zahlen, die du nicht kennst.

[Skeltek]

Ich glaube leider auch, dass dir auch die neue Definition nicht wirklich weiterhilft.
Wenn du sagst "p/q vollständig gekürzt, d.h. kein gemeinsamer Teiler mehr außer 1", dann bedeutet das einfach:
p ist Primzahl (incl. 1) oder q ist Primzahl (incl.1). Es legt nicht fest, dass q = 1 ist. p/q könnte jetzt z.B. 103/73 oder 141406/99989 oder ... sein. (Setz doch mal diese Zahlen in deine Formel für p und q ein, dann sollte es klar werden.)

Aeh, p und q müssen keine Primzahlen sein. Sie sie nur teilerfremd.
als Beispiel:
p/q= 1*2*2*3*3*7*17 / 1*5*5*13*13*13
Bruch ist vollständig gekürzt, wie kommst du darauf, daß p und q Primzahlen sein sollten?

[seeker]

Stimmt! Also nicht einmal das muss sein.
Teilerfremd reicht aus.

Grüße
seeker

[tomS]

Pippen, ich schau mir das jetzt schon eine gewisse Zeit an; ich denke, ich sollte auch mal einen Versuch starten, dich von der Fehlerhaftigkeit deiner Argumentation zu überzeugen.

Wir nehmen also 2 = p² / q², p,q beide natürliche Zahken und teilerfremd

Stell dir nn mal vor, du wendest ein das Heron-Verfahren an; dann hast du Näherungen p[down]n[/down] und q[down]n[/down], wobei die Brüche immer besser gegen Wurzel 2 konvergieren. Die Konvergenz des Verfahrens ist bewiesen. Es bleibt also noch zu beweisen, dass die Brüche zwar konvergieren, die einzelnen Zahlen p[down]n[/down] und q[down]n[/down] jedoch nicht gegen natürliche Zahlen p und q konvergieren. Du startest deinen Beweis nun nicht mit unbekannten Zahlen p und q, deren nicht-Existenz du beweisen willst, sondern du führst deinen Beweis für sämtliche konkrete Zahlen p[down]n[/down] und q[down]n[/down] durch und zeigst, dass keine zwei davon exakt Wurzel 2 ergeben. Du kannst du dir per Taschenrechner, Excel, Mathematika oder sonstwie diese Zahlen bequem besorgen.

Nun zum Fehler in deienr Argumentation.

Nimm an, du steckst gerade in dem Beweisschritt für zwei konkrete Zahlen p[down]n[/down] und q[down]n[/down]; also

2 = p[down]n[/down]² / q[down]n[/down]²

Nun gemäß deiner fehlerhaften Argumentation

2/1 = p[down]n[/down]² / q[down]n[/down]²

und damit

2 = p[down]n[/down]² und 1 = q[down]n[/down]²

Du hast also durch 1 dividiert und damit deine zwei konkreten Zahlen p[down]n[/down] und q[down]n[/down] geändert! Das kann nicht sein, denn du hattest sie ja ganz konkret vorher festgelegt. Das ist dein Fehler

[seeker]

Nochmal zur Referenz mein "neuester" Beweis:

1. V2 = p/q.................................................................................|Annahme
2. p, q € N..................................................................................|Annahme
3. p/q vollständig gekürzt, d.h. kein gemeinsamer Teiler mehr außer 1...........|Annahme
4. V2 non-€ N..............................................................................|Annahme
5. 2 = p²/q²................................................................................|Potenzieren
6. 2/1 = p²/q².............................................................................|Gleichung als Bruch auf beiden Seiten
7. 2 = p² (und 1= q²)......................................................................|folgt aus 3. & 6.
8. V2 = p....................................................................................|Wurzelziehen bei p
9. p non-€ N................................................................................|folgt aus 4. & 8.
10. p € N....................................................................................|folgt aus 2.
11. ~(V2=p/q)..............................................................................|da Widerspruch (9.,10.), folgt: alle Annahmen im Rahmen des Beweises, also auch 1., sind falsch (wäre das eigentlich so korrekt?)

Ich glaube, dass dein Beweis nur sich selbst widerlegt (oder höchstens beweist, dass V2 nicht-Element von N ist. Er beweist aber nicht, dass V2 auch nicht-Element von Q ist.)
Mit deiner Beweisführung kann ich nämlich auch "beweisen", dass 0,5 bzw. V(0,25) nicht Element Q ist, was einen Widerspruch darstellt.
(Du kannst auch andere Zahlen nehmen, z.B. 1,5 = V(2,25) = V(9/4).)

Das geht so:

1. V(0,25) = p/q.................................................................................|Annahme
2. p, q € N..................................................................................|Annahme
3. p/q vollständig gekürzt, d.h. kein gemeinsamer Teiler mehr außer 1...........|Annahme
4. V(0,25) non-€ N..............................................................................|Annahme
5. (0,25) = p²/q²................................................................................|Potenzieren
6. (0,25)/1 = p²/q².............................................................................|Gleichung als Bruch auf beiden Seiten
7. 0,25 = p² (und 1= q²)......................................................................|folgt aus 3. & 6.
8. 0,5 = p....................................................................................|Wurzelziehen bei p
9. p non-€ N................................................................................|folgt aus 4. & 8.
10. p € N....................................................................................|folgt aus 2.
--> Widerspruch zwischen 9. und 10. (2.) ! Damit wäre nach deiner Argumentation bewiesen, dass V(0,25) nicht Element von Q ist.
Es gilt aber V(0,25) = 0,5 = 1/2, daher ist V(0,25) Element Q.

Zu 7.: Du darfst in deiner Beweisführung nicht davon ausgehen, dass du p und q schon kennst, nur dass es sie (als unbekannte Zahlen) gibt, die deinen allgemeinen Annahmen genügen.

Grüße
seeker

[Pippen]

@Seeker: Ja, jetzt "sehe" ich es auch. Ich muss meine Idee damit verwerfen, so einfach klappt es dann doch nicht.

Noch eine Frage in diesem Zusammenhang: Nehmen wir mal an, der Widerspruchsbeweis hätte funktioniert. Ich habe ja in diesem Beweis mehrere Annahmen gemacht, wobei nur ein/zwei Annahmen (zB "p,q €N") zu einem Widerspruch führen, die anderen eher neutral "danebenstehen" (zB "V2=p/q"). Würde man in der math. Logik dennoch alle Annahmen damit als falsch ansehen oder nur diejenigen, aus denen sich letztlich der Widerspruch ableiten läßt? Bei der normalen Darstellung eines Widerspruchsbeweises sieht man meist nur Bsp. mit einer Annahme und es ist klar, dass bei einem Widerspruch diese eine Annahme falsch sein muss. Aber wie ist es bei mehreren Annahmen? Gehen die alle den Bach runter? Ich hoffe es wird klar, was ich meine:

1. Annahme: A
2. Annahme: B
4. Annahme: C
5. aus C folgt nun ~A

Ist damit nur C widerlegt oder A,B und C?

[Skeltek]

Wenn sich ein Widerspruch ergibt, kann es an jeder Annahme liegen. Die Annahmen kommen als "Set" daher. Es ist keine der Annahmen, die zu einem Widerspruch führt, sondern die Kombination der Annahmen.