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Beweis, dass Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist
Beweis, dass Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist
@Skeltek: Wo würdest du denn bei meinem Beweis (ich habe den Beweis übrigens nicht vollständig selbst entwickelt, sondern die Idee dazu irgendwo im Netz gelesen und dann nur ausgebaut) einen Fehler sehen, weil genau das interessiert mich. Ich halte nämlich diesen Beweis für noch einfacher und eingehender .
1. V2 = p/q; p, q € Z; V2 non-€ Z...| Annahmen
2. 2 = p²/q²...........................| Potenzieren
3. 2/1 = p²/q²........................| 2 als Bruch : 2/1
4. 2 = p²...............................| Isolierung von p², welches 2 sein muss bzw. auf 2 kürzbar, was aus 3. folgt
5. V2 = p...............................|Wurzelziehen; Widerspruch zu 1. ("p € Z" & "p non-€ Z")
7. Annahme 1 ist falsch..............| ~E nach KNS
q.e.d.
1. V2 = p/q; p, q € Z; V2 non-€ Z...| Annahmen
2. 2 = p²/q²...........................| Potenzieren
3. 2/1 = p²/q²........................| 2 als Bruch : 2/1
4. 2 = p²...............................| Isolierung von p², welches 2 sein muss bzw. auf 2 kürzbar, was aus 3. folgt
5. V2 = p...............................|Wurzelziehen; Widerspruch zu 1. ("p € Z" & "p non-€ Z")
7. Annahme 1 ist falsch..............| ~E nach KNS
q.e.d.
Zuletzt geändert von Pippen am 8. Feb 2012, 21:07, insgesamt 1-mal geändert.
Re: Beweis, dass Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist
Also ich weiß nicht so recht. Im Prinzip beginnst du ja richtig. Du machst einen Widerspruchsbeweis und gehst somit davon aus, dass man Wurzel zwei als Bruch darstellen kann. Aber Schritt 4, da musst du doch im Prinzip beweisen, dass du q=1 wählen darfst. Und auch dann, hättest du dich auf ein q festgelegt (also nicht mehr ObdA ?).
*edit* gerade das mit den ganzen Zahlen gesehen, dann solltest du zumindest noch sagen dass p!=q ;D
Euklid geht da ja sehr viel allgemeiner vor. Er sagt erst mal, dass er annimmt das man Wurzel(2) als Bruch darstellen kann und das der Bruch nicht mehr verkürzbar ist. Ansonsten würde man Ihn halt verkürzen und das Spiel beginnt von vorne ;D.
Also ist 2 = (p/q)^2, dann wird q^2 auf die andere Seite gebracht und man sieht, das man einen Ausdruck wie 2*q^2 =p^2 hat. Nun ist jede zahl N=2m, die man als 2 mal ne andere Zahl darstellen kann, gerade. Also ist p^2 gerade. Also ist auch p gerade, also kann man p=2*z schreiben. Somit ist die Gleichung 2*q^2=(2*z)^2=4*z^2 -> q^2=2*z^2, also ist anscheinend auch q^2 gerade ;D, somit folgt dass auch q gerade ist und daraus folgt dass p/g verkürzbar ist, entgegen unserer Annahme ;D.
Wo hast du denn bei dem Beweis Probleme? Ich finde den eigentlich ziemlich genial, da er mit so wenigen Annahmen auskommt und ziemlich elementar ist.
*edit* gerade das mit den ganzen Zahlen gesehen, dann solltest du zumindest noch sagen dass p!=q ;D
Euklid geht da ja sehr viel allgemeiner vor. Er sagt erst mal, dass er annimmt das man Wurzel(2) als Bruch darstellen kann und das der Bruch nicht mehr verkürzbar ist. Ansonsten würde man Ihn halt verkürzen und das Spiel beginnt von vorne ;D.
Also ist 2 = (p/q)^2, dann wird q^2 auf die andere Seite gebracht und man sieht, das man einen Ausdruck wie 2*q^2 =p^2 hat. Nun ist jede zahl N=2m, die man als 2 mal ne andere Zahl darstellen kann, gerade. Also ist p^2 gerade. Also ist auch p gerade, also kann man p=2*z schreiben. Somit ist die Gleichung 2*q^2=(2*z)^2=4*z^2 -> q^2=2*z^2, also ist anscheinend auch q^2 gerade ;D, somit folgt dass auch q gerade ist und daraus folgt dass p/g verkürzbar ist, entgegen unserer Annahme ;D.
Wo hast du denn bei dem Beweis Probleme? Ich finde den eigentlich ziemlich genial, da er mit so wenigen Annahmen auskommt und ziemlich elementar ist.
Re: Beweis, dass Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist
@rick: ME ist mein Beweis noch einfacher und daher natürlich verständlicher.
Bei Schritt 4 habe in der Tat das Problem gesehen, ob man einfach so q=1 als Erkenntnis annehmen darf. Natürlich ist klar. dass bei x²=1 x nur 1 sein kann, aber wie man das math. beweist, weiß ich auch nicht. Aber sowas hat auch Eukild in seinem Beweis...wo er zB einfach davon ausgeht, dass p² eine gerade Zahl ist.
Bei Schritt 4 habe in der Tat das Problem gesehen, ob man einfach so q=1 als Erkenntnis annehmen darf. Natürlich ist klar. dass bei x²=1 x nur 1 sein kann, aber wie man das math. beweist, weiß ich auch nicht. Aber sowas hat auch Eukild in seinem Beweis...wo er zB einfach davon ausgeht, dass p² eine gerade Zahl ist.
Re: Beweis, dass Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist
Nein, das meinte ich nicht, es ist nicht klar, warum du von 2/1=p^2/q^2 annimmst, dass q^2=1 sein muss. Warum kann es nicht noch andere p-q Kombinationen geben die 2 ergeben? Das musst du beweisen, aber genau das ist der Beweis den du machen willst ;D.
Wegen x^2=1, würde ich das so machen: x=wurzel(1)=(1)^1/2=(1*1)^1/2=(1^2)^ 1/2=1^2/2=1^1=1
Wegen x^2=1, würde ich das so machen: x=wurzel(1)=(1)^1/2=(1*1)^1/2=(1^2)^ 1/2=1^2/2=1^1=1
Re: Beweis, dass Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist
Unter der Annahme, dass V2=p/q und daraus (durch Potenzieren) folgernd also auch: 2/1 = p²/q² (man kann 2 auch als Bruch 2/1 schreiben!) muss, wenn die Gleichung richtig sein soll (was wir ja annehmen) q² = 1 sein und p² =2 sein (bzw. zumindest dahin kürzbar). Das ergibt sich schlicht aus der Gleichung, die aus unserer Annahme folgt, dass V2 durch Bruch darstellbar ist. Und dann ist es eben einfach zu zeigen, dass p² never ever 2 und gleichzeitig eine ganze Zahl sein kann.rick hat geschrieben:Nein, das meinte ich nicht, es ist nicht klar, warum du von 2/1=p^2/q^2 annimmst, dass q^2=1 sein muss. Warum kann es nicht noch andere p-q Kombinationen geben die 2 ergeben?
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Re: Beweis, dass Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist
Ersetze das non-€Z durch € Q. Du willst ja zeigen, daß die Annahme sei eine rationale Zahl zu einem Widerspruch führt.Pippen hat geschrieben: 1. V2 = p/q; p, q € Z; V2 non-€ Z...|wenn diese Annahme wahr wäre, dann wäre V2 eine rationale Zahl, ansonsten wäre sie irrational
Zunächst weiß ich nicht, ob bei dem ganzen Beweis von Vornherein davon ausgegangen wird, dass gilt: V2 non-€Ï Z, also dass V2 kein Element ganzer Zahlen ist. Denn nur so kommt es ja in meinem Beweis zum augenscheinlichen Widerspruch, ansonsten müsste man zusätzlich noch beweisen, dass gilt: V2 non-€ Z.
Der Beweis ist relativ einfach. Du willst zeigen, daß man als Verhältniss ganzer Zahlen darstellen kann.
=p/q ; p/q sei vollständig gekürzt => p ODER q sind nicht durch 2 teilbar
*q=p
Das obige Stichwort heißt "primfaktorgekürzt".
=
2=
2=
=> durch 2 teilbar; nicht ungerade UND p ganze Zahl => p gerade Zahl
=> Es gibt ein r € Z mit p=2r
UND
=>
=>
=>q durch 2 teilbar
=> q UND p durch 2 teilbar
=>Widerspruch zur Annahme q.e.d
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- Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
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Re: Beweis, dass Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist
Mir ist durchaus bewusst dass ich eine beliebige Zahl, durch 1 teilen kann und sie immer noch die gleiche Zahl ist . Aber es könnte zb. auch p^2=4 und q^2=2 sein . Dann würde es ja schon mal oben passen, musst jetzt ja nur noch unten beweisen ;D... . Ich denke du drehst dich ein bissel im Kreis.Pippen hat geschrieben:Unter der Annahme, dass V2=p/q und daraus (durch Potenzieren) folgernd also auch: 2/1 = p²/q² (man kann 2 auch als Bruch 2/1 schreiben!) muss, wenn die Gleichung richtig sein soll (was wir ja annehmen) q² = 1 sein und p² =2 sein (bzw. zumindest dahin kürzbar). Das ergibt sich schlicht aus der Gleichung, die aus unserer Annahme folgt, dass V2 durch Bruch darstellbar ist. Und dann ist es eben einfach zu zeigen, dass p² never ever 2 und gleichzeitig eine ganze Zahl sein kann.rick hat geschrieben:Nein, das meinte ich nicht, es ist nicht klar, warum du von 2/1=p^2/q^2 annimmst, dass q^2=1 sein muss. Warum kann es nicht noch andere p-q Kombinationen geben die 2 ergeben?
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Re: Beweis, dass Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist
Es geht darum, daß p/q vollständig gekürzt sind, also als Primzahlenprodukte aufgeschrieben, keine Primzahl sowohl oben als auch unten vorkommt.
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Re: Beweis, dass Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist
Das in dem Beweis von Euklid angenommen wird, dass p/q vollständig gekürzt sind, weiß ich. Siehe auch meinen ersten Beitrag in diesen Thread in dem ich den Beweis skizziert habe ;D. War aber trotzdem schön, dass du ihn nochmal mit Tex hingeschrieben hast .
Und genau darauf will ich unter anderen auch hinaus. Pippen hat das in seinen Beweis nicht angenommen . Und selbst wenn das so wäre, denke ich nicht, dass man q=1 wählen sollte, ich denke das würde die Allgemeinheit beschränken. Nehmen wir zb. an, q=1. Dann haben wir nach Pippen . So, das heißt also , falls also die Wurzel Rational ist, müsste man sie als Bruch darstellen können ->, was wiederum heißt das . Nun kann man natürlich wieder sagen b=1...usw.
Und genau darauf will ich unter anderen auch hinaus. Pippen hat das in seinen Beweis nicht angenommen . Und selbst wenn das so wäre, denke ich nicht, dass man q=1 wählen sollte, ich denke das würde die Allgemeinheit beschränken. Nehmen wir zb. an, q=1. Dann haben wir nach Pippen . So, das heißt also , falls also die Wurzel Rational ist, müsste man sie als Bruch darstellen können ->, was wiederum heißt das . Nun kann man natürlich wieder sagen b=1...usw.
Re: Beweis, dass Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist
@Skeltek: Wo würdest du denn bei meinem Beweis (ich habe den Beweis übrigens nicht vollständig selbst entwickelt, sondern die Idee dazu irgendwo im Netz gelesen und dann nur ausgebaut) einen Fehler sehen, weil genau das interessiert mich. Ich halte nämlich diesen Beweis für noch einfacher und eingehender .
1. V2 = p/q; p, q € Z; V2 non-€ Z...| Annahmen
2. 2 = p²/q²...........................| Potenzieren
3. 2/1 = p²/q²........................| 2 als Bruch : 2/1
4. 2 = p²...............................| Isolierung von p², welches 2 sein muss bzw. auf 2 kürzbar (was ich hier mal nicht weiter problematisiere, weil es auf dasgleiche rauskommt), was aus 3. folgt
5. V2 = p...............................|Wurzelziehen; Widerspruch zu 1. ("p € Z" & "p non-€ Z")
7. Annahme 1 ist falsch..............| ~E nach KNS
q.e.d.
1. V2 = p/q; p, q € Z; V2 non-€ Z...| Annahmen
2. 2 = p²/q²...........................| Potenzieren
3. 2/1 = p²/q²........................| 2 als Bruch : 2/1
4. 2 = p²...............................| Isolierung von p², welches 2 sein muss bzw. auf 2 kürzbar (was ich hier mal nicht weiter problematisiere, weil es auf dasgleiche rauskommt), was aus 3. folgt
5. V2 = p...............................|Wurzelziehen; Widerspruch zu 1. ("p € Z" & "p non-€ Z")
7. Annahme 1 ist falsch..............| ~E nach KNS
q.e.d.
Re: Beweis, dass Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist
wie folgerst du (4) aus (3)?
2 = p²/q²
also 2q² = p²
2 = p²/q²
also 2q² = p²
Gruß
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
Tom
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Re: Beweis, dass Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist
1. V2 = p/q; p, q € Z; V2 non-€ Z...| Annahmen V2 € QPippen hat geschrieben:@Skeltek: Wo würdest du denn bei meinem Beweis (ich habe den Beweis übrigens nicht vollständig selbst entwickelt, sondern die Idee dazu irgendwo im Netz gelesen und dann nur ausgebaut) einen Fehler sehen, weil genau das interessiert mich. Ich halte nämlich diesen Beweis für noch einfacher und eingehender .
1. V2 = p/q; p, q € Z; V2 non-€ Z...| Annahmen
2. 2 = p²/q²...........................| Potenzieren
3. 2/1 = p²/q²........................| 2 als Bruch : 2/1
4. 2 = p²...............................| Isolierung von p², welches 2 sein muss bzw. auf 2 kürzbar (was ich hier mal nicht weiter problematisiere, weil es auf dasgleiche rauskommt), was aus 3. folgt
5. V2 = p...............................|Wurzelziehen; Widerspruch zu 1. ("p € Z" & "p non-€ Z")
7. Annahme 1 ist falsch..............| ~E nach KNS
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3. 2/1 = p²/q²........................| 2 als Bruch : 2/1 Hier sieht man nur, daß p² doppelt so groß wie q² ist. Du kannst q=49 nicht einfach raus kürzen
4. 2 = p²...............................| Isolierung von p² müsste heißen 2q² = 1p² <- p ist gerade, ganze Zahl
Hoffe es hilft, hab nicht viel anders geschrieben als oben bereits.
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Re: Beweis, dass Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist
2 kann man auch als Bruch schreiben, dann gilt: 2/1 = p²/q², d.h. der Zähler 2 muss dem Zähler p² entsprechen (wenn man die Brüche richtig schön hinschreiben kann, sieht man das noch besser), d.h.: 2=p².tomS hat geschrieben:wie folgerst du (4) aus (3)?
2 = p²/q²
also 2q² = p²
@Skeltek: Ich habe mir schon was dabei gedacht, anzunehmen, dass V2 nicht zu den ganzen Zahlen gehört, denn so ergibt sich ja dann mein Widerspruch. Ich denke, es war auch Euklid schon vorher klar, dass V2 jedenfalls keine ganze Zahl sein kann, oder?
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Re: Beweis, dass Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist
Ja, das ging mir auch durch den Kopf. Ich hätte halt noch €Q zusätzlich hingeschieben, was wir ja widerlegen wollen.Pippen hat geschrieben: @Skeltek: Ich habe mir schon was dabei gedacht, anzunehmen, dass V2 nicht zu den ganzen Zahlen gehört, denn so ergibt sich ja dann mein Widerspruch. Ich denke, es war auch Euklid schon vorher klar, dass V2 jedenfalls keine ganze Zahl sein kann, oder?
Zum Fehler:
2/1= (2*13)/13
du leitest daraus ab, daß 2=2*13 sei. (Hier enspreche 2*13 der 2 deiner Argumentation nach. Die 13 im Nenner hast du ja 13=1 gesetzt)
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Re: Beweis, dass Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist
Nein, das stimmt so nicht.Pippen hat geschrieben:2/1 = p²/q², d.h. der Zähler 2 muss dem Zähler p² entsprechen
Nehmen wir an es gilt x = x/1 = p/q; dann ist xq = p, nicht x=p
Gruß
Tom
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Re: Beweis, dass Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist
Hm...aber 2/1 ist doch gleich 2*13/13, denn das ist kürzbar auf: 2/1 und damit gilt: 2/1 = 2/1. Wenn daher gilt: 2/1 = p²/q², dann steht mE fest, dass p²=2 und q² =1 sein muss und damit kann ich dann mit "p²=2" weiteragieren. Den Fehler verstehe ich da noch nicht ganz.Skeltek hat geschrieben:
Zum Fehler:
2/1= (2*13)/13
du leitest daraus ab, daß 2=2*13 sei. (Hier enspreche 2*13 der 2 deiner Argumentation nach. Die 13 im Nenner hast du ja 13=1 gesetzt)
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Re: Beweis, dass Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist
Wenn und ist.Pippen hat geschrieben:Hm...aber 2/1 ist doch gleich 2*13/13, denn das ist kürzbar auf: 2/1 und damit gilt: 2/1 = 2/1. Wenn daher gilt: 2/1 = p²/q², dann steht mE fest, dass p²=2 und q² =1 sein muss und damit kann ich dann mit "p²=2" weiteragieren. Den Fehler verstehe ich da noch nicht ganz.Skeltek hat geschrieben:
Zum Fehler:
2/1= (2*13)/13
du leitest daraus ab, daß 2=2*13 sei. (Hier enspreche 2*13 der 2 deiner Argumentation nach. Die 13 im Nenner hast du ja 13=1 gesetzt)
Dann ist Du sagst also und ?
Wenn ist, bedeutet daß nur, daß die Zahl oben im Bruch doppelt so groß ist wie die Zahl unten im Bruch. Es bedeutet nicht daß die Zahl oben 2 ist. Nur, daß sie doppelt so groß wie die unten im Bruch ist.
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Re: Beweis, dass Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist
Genau das sag ich doch die ganze Zeit und wenn dann q fest gewählt wird, wird eben auch p fest gewählt und dann "beweist" du das das p nicht existieren kann als Element von Z, weil es natürlich in den einen Fall in dem q=1 ist, Wurzel aus 2 sein muss. Aber damit beschränkst du ja die Allgemeinheit... man darf sich die Zahlen halt nicht so "hinbasteln", dass der Beweis funzt
Re: Beweis, dass Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist
Aber ein solcher Bruch ist doch immer auf 2/1 kürzbar, so dass eben 18/9 gleichzeitig 2/1 ist, d.h. es gilt: 18/9 = 2/1! Wenn ich also die Gleichung 2/1 = p²/q² habe, dann muss p² =2 und q² =1 sein, weil das ja die Aussage der Gleichung ist. Kann das jmd. widerlegen, denn eure bisherigen Beispiele bestätigen mich ja: 2*13/13 oder 18/9 ist nunmal jeweils 2/1 - es handelt sich jeweils nur um andere Schreibweisen, so wie zB 1/3 gleich 0,3~ ist....Skeltek hat geschrieben:
Wenn und ist.
Dann ist Du sagst also und ?
Wenn ist, bedeutet daß nur, daß die Zahl oben im Bruch doppelt so groß ist wie die Zahl unten im Bruch. Es bedeutet nicht daß die Zahl oben 2 ist. Nur, daß sie doppelt so groß wie die unten im Bruch ist.
Re: Beweis, dass Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist
Das ist schon so. Du musst es aber auch tun (kürzen).
Wo tust du das? Wo stellst du sicher, dass im Nenner eine Eins steht? Das hat ja schließlich Auswirkungen auf den Zähler, ob du gekürzt hast oder nicht.
Du kannst nicht einfach "isolieren". Du musst immer schön mit allen Variablen weiterrechnen, bis bewiesen ist, dass q auch wirklich 1 sein muss - und das hast du nicht.
Ansonsten könntest du ja auch gleich bei 1. hinschreiben:
oder
q gibt es dann in der gesamten Überlegung gar nicht.
Alles, was du tun kannst ist zu sagen:
WENN ; wenn nicht, dann nicht...
Das hilft aber nicht weiter.
Woher weisst du übrigens, dass im Fall nicht gilt ?
Grüße
seeker
Wo tust du das? Wo stellst du sicher, dass im Nenner eine Eins steht? Das hat ja schließlich Auswirkungen auf den Zähler, ob du gekürzt hast oder nicht.
Du kannst nicht einfach "isolieren". Du musst immer schön mit allen Variablen weiterrechnen, bis bewiesen ist, dass q auch wirklich 1 sein muss - und das hast du nicht.
Ansonsten könntest du ja auch gleich bei 1. hinschreiben:
oder
q gibt es dann in der gesamten Überlegung gar nicht.
Alles, was du tun kannst ist zu sagen:
WENN ; wenn nicht, dann nicht...
Das hilft aber nicht weiter.
Woher weisst du übrigens, dass im Fall nicht gilt ?
Grüße
seeker
Grüße
seeker
Wissenschaft ... ist die Methode, kühne Hypothesen aufstellen und sie der schärfsten Kritik auszusetzen, um herauszufinden, wo wir uns geirrt haben.
Karl Popper
seeker
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Karl Popper
Re: Beweis, dass Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist
Ok, wie ist das dann:
1. V2 = p/q; p, q € N; p/q vollständig gekürzt, d.h. kein gemeinsamer Teiler mehr außer 1; V2 non-€ N...| Annahmen
2. 2 = p²/q².....................................................................................................................| Potenzieren
3. 2/1 = p²/q²..................................................................................................................| 2 als Bruch : 2/1
4. 2 = p²; 1= q².................................................................................................................| folgt aus 3.
5. Es gibt keine nat. Zahl p, deren Potenz 2 ergibt........................................................................|müßte man extra beweisen, dürfte aber auch ohne Beweis ziemlich einsichtig sein
6. Daher Widerspruch zur o.g. Annahme: p,q € N.
7. Daher: Annahme "V2=p/q" falsch.........................................................................................| ~E nach KNS
q.e.d.??
1. V2 = p/q; p, q € N; p/q vollständig gekürzt, d.h. kein gemeinsamer Teiler mehr außer 1; V2 non-€ N...| Annahmen
2. 2 = p²/q².....................................................................................................................| Potenzieren
3. 2/1 = p²/q²..................................................................................................................| 2 als Bruch : 2/1
4. 2 = p²; 1= q².................................................................................................................| folgt aus 3.
5. Es gibt keine nat. Zahl p, deren Potenz 2 ergibt........................................................................|müßte man extra beweisen, dürfte aber auch ohne Beweis ziemlich einsichtig sein
6. Daher Widerspruch zur o.g. Annahme: p,q € N.
7. Daher: Annahme "V2=p/q" falsch.........................................................................................| ~E nach KNS
q.e.d.??
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Re: Beweis, dass Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist
Das Widerspricht aber deiner Absicht.
Du willst zeigen, daß es irgendwelche 2 Zahlen gibt, die p/q= ergeben.
Du kannst nicht einfach q=1 setzen.
Sonst könntest du ja gleich sagen, es gibt eine ganze Zahl p= ...
Du willst zeigen, daß es irgendwelche 2 Zahlen gibt, die p/q= ergeben.
Du kannst nicht einfach q=1 setzen.
Sonst könntest du ja gleich sagen, es gibt eine ganze Zahl p= ...
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- Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
- Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
- Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.
Re: Beweis, dass Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist
Ich glaube leider auch, dass dir auch die neue Definition nicht wirklich weiterhilft.
Wenn du sagst "p/q vollständig gekürzt, d.h. kein gemeinsamer Teiler mehr außer 1", dann bedeutet das einfach:
p ist Primzahl (incl. 1) oder q ist Primzahl (incl.1). Es legt nicht fest, dass q = 1 ist. p/q könnte jetzt z.B. 103/73 oder 141406/99989 oder ... sein. (Setz doch mal diese Zahlen in deine Formel für p und q ein, dann sollte es klar werden.)
Wenn man (wie wir) im Voraus schon weiß, was ungefähr herauskommt (indem man die Wurzel aus 2 anfängt auszurechnen), dann weiß man, dass q auf keinen Fall 1 sein darf, weil dann p = 1,41... wäre (nicht Element N). Das kann man also schon von vorneherein ausschließen.
Was ich sagen will: Dass Wurzel(2) nicht Element N ist, ist leicht einzusehen, dass es auch nicht Element Q ist, schon schwieriger. Darum geht es bei dem Beweis von Euklid.
Das mit den Beweisen ist manchmal ganz schön verflixt, nicht wahr?
Grüße
seeker
Wenn du sagst "p/q vollständig gekürzt, d.h. kein gemeinsamer Teiler mehr außer 1", dann bedeutet das einfach:
p ist Primzahl (incl. 1) oder q ist Primzahl (incl.1). Es legt nicht fest, dass q = 1 ist. p/q könnte jetzt z.B. 103/73 oder 141406/99989 oder ... sein. (Setz doch mal diese Zahlen in deine Formel für p und q ein, dann sollte es klar werden.)
Wenn man (wie wir) im Voraus schon weiß, was ungefähr herauskommt (indem man die Wurzel aus 2 anfängt auszurechnen), dann weiß man, dass q auf keinen Fall 1 sein darf, weil dann p = 1,41... wäre (nicht Element N). Das kann man also schon von vorneherein ausschließen.
Was ich sagen will: Dass Wurzel(2) nicht Element N ist, ist leicht einzusehen, dass es auch nicht Element Q ist, schon schwieriger. Darum geht es bei dem Beweis von Euklid.
Das mit den Beweisen ist manchmal ganz schön verflixt, nicht wahr?
Grüße
seeker
Grüße
seeker
Wissenschaft ... ist die Methode, kühne Hypothesen aufstellen und sie der schärfsten Kritik auszusetzen, um herauszufinden, wo wir uns geirrt haben.
Karl Popper
seeker
Wissenschaft ... ist die Methode, kühne Hypothesen aufstellen und sie der schärfsten Kritik auszusetzen, um herauszufinden, wo wir uns geirrt haben.
Karl Popper
Re: Beweis, dass Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist
Tue ich doch eigentlich auch gar nicht. Durch Potenzieren komme ich von "V2=p/q" zu "2=p²/q²", was nichts anderes heißt als: "2/1=p²/q²". Dadurch muss - denn es handelt sich ja um eine Gleichung - weiterhin gelten: p²=2; q²=1; ein Bruch wie 103/73 kann es nie sein, denn es muss ja gelten: "2/1=p²/q²" und "2/1=103/73" geht eben nicht. Ach, es seeker hat schon recht: Beweisen ist echt harte Drecksarbeit (besonders wenn man bedenkt, dass der Beweis hier ja praktisch noch auf Mittelschulniveau angesiedelt ist).Skeltek hat geschrieben:Das Widerspricht aber deiner Absicht.
Du willst zeigen, daß es irgendwelche 2 Zahlen gibt, die p/q= ergeben.
Du kannst nicht einfach q=1 setzen.
Re: Beweis, dass Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist
Vorsicht!
Es käme heraus
2/1 = 103^2/73^2 = 1,99
Bei den anderen Zahlen sieht es so aus:
2/1 = 141406^2/99989^2 = 2,00000566
Wenn du nicht genügend genau rechnest (z.B. nur bis zur 5. Nachkommastelle), dann merkst du den Unterschied gar nicht. Wenn ich beliebig große Zahlen wähle, rechnest du beliebig lange, bis du entscheiden kannst, ob genau 2 herauskommt oder nicht.
Dass es nicht so ein Bruch mit extrem großen Zahlen sein kann, das weißt du doch noch gar nicht. Das ist es ja gerade, was du erst noch beweisen willst.
Du machst aus meiner Sicht folgenden Fehler:
Das wäre ja genauso, wie wenn ich folgendes behaupte:
13/6 = a/b
daraus folgt ausschließlich: a = 13 und b =6 !?
Das ist Quatsch.
Es kann auch gelten a =26 und b = 12; a = 39 und b = 18; usw., d.h., du weißt NICHT welchen Wert a und b haben, es gibt unendlich viele Lösungen für a und b.
Du weißt NUR den Quotienten. Da kommst du nicht drum herum.
Du darfst eine Gleichung also NICHT auf diese Weise "separieren".
Jetzt?
Grüße
seeker
Es käme heraus
2/1 = 103^2/73^2 = 1,99
Bei den anderen Zahlen sieht es so aus:
2/1 = 141406^2/99989^2 = 2,00000566
Wenn du nicht genügend genau rechnest (z.B. nur bis zur 5. Nachkommastelle), dann merkst du den Unterschied gar nicht. Wenn ich beliebig große Zahlen wähle, rechnest du beliebig lange, bis du entscheiden kannst, ob genau 2 herauskommt oder nicht.
Dass es nicht so ein Bruch mit extrem großen Zahlen sein kann, das weißt du doch noch gar nicht. Das ist es ja gerade, was du erst noch beweisen willst.
Du machst aus meiner Sicht folgenden Fehler:
Nein, denn eben(!) es handelt sich um eine Gleichung!Pippen hat geschrieben: "2/1=p²/q²". Dadurch muss - denn es handelt sich ja um eine Gleichung - weiterhin gelten: p²=2; q²=1;
Das wäre ja genauso, wie wenn ich folgendes behaupte:
13/6 = a/b
daraus folgt ausschließlich: a = 13 und b =6 !?
Das ist Quatsch.
Es kann auch gelten a =26 und b = 12; a = 39 und b = 18; usw., d.h., du weißt NICHT welchen Wert a und b haben, es gibt unendlich viele Lösungen für a und b.
Du weißt NUR den Quotienten. Da kommst du nicht drum herum.
Du darfst eine Gleichung also NICHT auf diese Weise "separieren".
Jetzt?
Grüße
seeker
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seeker
Wissenschaft ... ist die Methode, kühne Hypothesen aufstellen und sie der schärfsten Kritik auszusetzen, um herauszufinden, wo wir uns geirrt haben.
Karl Popper
seeker
Wissenschaft ... ist die Methode, kühne Hypothesen aufstellen und sie der schärfsten Kritik auszusetzen, um herauszufinden, wo wir uns geirrt haben.
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