Beweis für Gleichmächtigkeit der unendlichen Mengen N und R?

[Skeltek]

Doch, das 10er-System (und jedes andere auch) ist durchaus geeignet, ALLE reellen Zahlen darzustellen. Es enthäöt (aufgrund der Mehrdeutigkeit bei bei x = ...999...) einige Zahlen sogar mehrfach

Ich meinte das geht nicht in endlicher Schreibweise geordnet. Jedenfalls habe ich noch nie einen Beweis gesehen, daß es möglich ist einen Algorythmus zu erstellen, der alle ordnet.
Nimm als Beispiel Kantors zweites Diagonalargument wie auf Wikipedia http://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_zw ... alargument beschrieben.
Setze dort
aij=5 für i>=j
aij=4 für i<j

dann erhälst du
z1=0,5444444444...
z2=0,5544444444...
z3=0,5554444444...
z4=0,5555444444...
z5=0,5555544444...
z6=...

Solange er keinen Algorithmus angibt, eine vollständige Liste aller rationalen Zahlen zu erstellen, weiß man nicht ob es überhaupt möglich ist. Ich habe in der Liste oben bewusst einen Zahlenbereich ausgelassen. Cantors Diagonalargument liefert uns die Zahl 0,55555555555... die in der Liste nicht vorkommt(die ist rational, es geht mir hierbei um etwas anderes...) obwohl unser Algorithmus alles daran setzt, sich dieser Zahl anzunähern, was das Argument ad absurdum führt.

Bei Cantors Diagonalargument wird nicht eine irrational Zahl erstellt, sondern der Logarythmus an der Nase herum geführt.

VIEL besseres Beispiel:

aij=0 für i<=j
aij=5 für i>j

Unsere Liste fängt hiermit an:
z1=0,0
Cantor generiert seinem Algorythmus nach nun folgende Zahl, die nicht in der Liste vorkommt:
0,5
Unser Algorythmus liefert als nächstes:
0,50
Cantor generiert:
0,55
Unser Algorythmus liefert als nächstes:
0,550
Cantor generiert:
0,555
Unser Algorythmus liefert als nächstes:
0,5550
Cantor generiert:
0,5555
Unser Algorythmus liefert als nächstes:
0,55550
Cantor generiert:
0,55555
Unser Algorythmus erstellt als nächste Zahl:
0,555550
usw

Das heißt: Selbst wenn man einen Algorithmus hat, der GENAU die Zahl generiert, von der Cantor behauptet sie sei nicht enthalten, ist sein Argument völlig schlüssig. Es ist als würde man beweisen, daß der Algorithmus, der nur eine Zahl z=0,ai ai ai ai... mit ai=5 generiert, die Zahl 0,periode(5) nicht darstellen kann. Solange wir mit unserem Algorithmus nicht fortfahren, liefert uns Cantors Argument auch keine nächste Zahl. Er wartet immer, bis unser Algorithmus etwas ausspuckt und generiert dann erst die Zahl, die nicht darin vorkommt. Solange unser Algorythmus nicht definiert ist, ist Cantors nicht vorkommende Zahl nicht existent.
Bei Cantors Argument handelt es sich nicht um einen richtigen Beweis, sondern um eine Konstruktionsvorschrift die Rekursiv auf unseren Algorithmus benötigt.
Noch absurder wäre eine natürliche Zahl zu generieren, die in N selbst nicht vorkommt:
gegeben sei eine vollständige Liste aller natürlichen Zahlen:
z=ai mit ai=i
man erhält:
z1=1
z2=2
z3=3
z4=4

Wir generieren eine natürliche Zahl, die in der Liste nicht vorkommt:
x=x1+x2+x3+x4... mit xi=ai
oder noch absurder:
x=x1+x2+x3+x4+x5+x6 mit xi=1

Cantors Argument ist "by design" eine Abbildung auf das komplementär unserer bisher aufgeschriebenen Bildmenge.
Es liefert uns für unsere Zahlen z(1) bis z(n) immer eine Restklasse Zahlen ab/von z(n+1).

Ich habe den Beweis Cantors verstanden, ich interpretiere das Ergebniss nur in anderen Worten. Für mich ist die Feststellung eher in der Kategorie der numerischen Berechenbarkeit eingeordnet.
Es ist einfach unmöglich, einen endlichen Algorithmus zu schreiben, der alle Grenzwerte die für n->unendlich möglich sind aufzuschreiben.
Cantros Argument ist keine Konstruktionsvorschrift zum berechnen einer Zahl, sondern eine Klasse von Konstruktionsvorschriften zur Abbildung von Restmengenelementen. Sein Algorythmus ist "by design" mächtiger als jede gegebene Konstruktionsvorschrift.
Da die Menge der möglichen unendlich langen Konstruktionsvorschriften gegen unendlich ist, kann sich sien Logarithmus immer nach oben hin Richtung "mächtiger" als unserer Listenalgorithmus flüchten. Geht unsere Konstruktionsvorschrift gegen unendliche Länge, strebt auch Cantors Algorithmus immer etwas schneller gegen unendlich als der unsere.
Er hat sozusagen eine Klasse Logarithmen beschrieben, die nicht nur endliche, sondern auch unendlich lange Logarithmen enthält.
Da unser i gegen unendlich geht, ist Cantors Konstruktionsalgorythmus im Vergleich zu unserem bis zu unendlich lang.

[Skeltek]

Also um es nochmal einfacher zu fassen:
Es ist nicht möglich, alle unendlich langen Logarithmen in einer Liste zu erfassen.
Es ist aber möglich, einen Logarithmus zu entwerfen, dessen Bildmenge N^n ist. Die Dimensionalität dieser Bildmenge geht für n->unendlich auch gegen unendlich(n ist ungefähr (log^(n-1))(i) oder sowas, wobei i unser Durchlaufindex ist). Die irrationalen überabzählbaren zahlen sind fraktale Grenzwerte in diesem unendlichdimensionalen rationalen Zahlenraum; werden somit nie erreicht.

[Pippen]

d.h. Mächtigkeit hat nix damit zu tun, dass R irgendwie mehr Elemente hat als N ...

Doch, so abwegig ist das nicht.

Nimm eine beliebige Menge X und konstruiere eine Bijektion mit N; wenn dies funktioniert, dass hast du X "abgezählt", denn jedem Element x aus X entspricht genau ein n aus N - das ist aber "Zählen". Wenn die Bijektion daran scheitert, dass immer "Elemente aus X übrig bleiben", dann funktioniert das Abzählen nicht.

Die Aussage "R ist überabzählbar" ist nur eine exaktere Variante von "R hat mehr Elemente als N".

Genau das bestreite ich eben und zwar entschieden . Seien R und N jeweils zwei Zahlenmengen. Wenn du ernsthaft behaupten möchtest, dass R mehr Elemente hat als N, also x€R > x€N, dann ist das bei unendlichen Mengen absurd und mE leicht widerlegbar. Die Mächtigkeitsfrage ist einfach nicht eine Frage danach, wer mehr Elemente hat, sondern ob die Elemente der einen Menge im Vorhinein den Elementen einer anderen Menge aufgrund eines vollständigen Algorhitmus zugeordnet werden können: ist das der Fall, spricht man von Gleichmächtigkeit, ansonsten von Übermächtigkeit. Gerade deshalb verstehen viele Laien diese Sache nicht, weil sie "Mächtigkeit" mehr oder weniger als "wer hat mehr Elemente" interpretieren.

[rick]

Ich stimme Tom zu , meine Analysis Bücher sagen mir ;D, dass Gleichmächtigkeit heißt, wenn eine bijektive Abbildung von der einen Menge zu der anderen Menge gefunden werden kann. Wenn ich nun eine bestimmte Menge auf N abbilde,oder andersrum, also zb. n->n^2 abbilde, hab ich dann halt sowas: 1->1;2->4;3->9 usw. Was aber doch nichts anderes als (ab)zählen ist.

Bei R ist es doch ganz natürlich, es gibt doch zwischen 2 natürlichen Zahlen unendlich viele Zahlen in R. Wie willst du denn da alle R auf N abbilden? Du kannst doch also so zu jeder Zahl in N unendlich viele in R finden. Selbst wenn du ins Unendliche gehst...

*edit*

Seien R und N jeweils zwei Zahlenmengen. Wenn du ernsthaft behaupten möchtest, dass R mehr Elemente hat als N, also x€R > x€N, dann ist das bei unendlichen Mengen absurd und mE leicht widerlegbar.

Wenn das so leicht ist, dann beweis es doch

*edit2*
Eben grad nochmal den Wiki Artikel dazu gesehn, finds gerade echt abgefahren, dass und gleichmächtig sind

[tomS]

noch abgefahrenen ist, dass R[up]n[/up] und R gleichmächtig sind

[tomS]

Nimm eine beliebige Menge X und konstruiere eine Bijektion mit N; wenn dies funktioniert, dass hast du X "abgezählt", denn jedem Element x aus X entspricht genau ein n aus N - das ist aber "Zählen". Wenn die Bijektion daran scheitert, dass immer "Elemente aus X übrig bleiben", dann funktioniert das Abzählen nicht.

Die Aussage "R ist überabzählbar" ist nur eine exaktere Variante von "R hat mehr Elemente als N".

Genau das bestreite ich eben und zwar entschieden :).

Wenn ich zwischen zwei Mengen A und N eine Bijektion konstruieren kann und N ist abzählbar, dann kann ich damit auch A abzählen, also die Elemente durchnumerieren; das ist eine exaktere Aussage für"gleich viel Elemente"; letzteres kan problematisch werden, weil ich "zu dumm bin", die Bijektion zu finden. Bsp. ist die Abzähbarkeit der geraden Zahlen; diese sind eben gerade nicht "weniger mächtig" als die natürlichen Zahlen. Hier geht es aber nicht um die Diskussion einer bestimmten Bijektion, sondern um den Existenzbeweis, d.h. die Frage, ob es eine Bijektion gibt oder nicht. Wenn ich beweisen kann, dass eine Bijektion nicht existiert, dass also prinzipiell immer Elemente übrig bleiben müssen, dann habe ich eine "größer als" Relation bewiesen, das ist letztlich nur noch eine Frage der Standardisierung des Sprachgebrauchs

[Pippen]

Mal auf die Schnelle:

1. Wir nehmen an: Rx > Nx, zu lesen als: alle x (Elemente) von R sind größer/mehr als x (Elemente) von N.
2. Dann muss gelten: Rx+y; Nx, d.h. es muss bei R y Elemente mehr geben, die N nicht hat
3. Wir nehmen weiter an, beide Mengen R & N sind unendlich.
4. Da N unendlich ist, muss per defin. y zu N hinzuzählbar sein, womit sofort ein Widerspruch zu 2. entsteht, so dass 1. nicht gelten kann.

Wenn es also rein um die Quantität der Elemente geht, ist es mE schlicht falsch (bei unendlichen Mengen!!!) zu sagen, die eine Menge hätte mehr Elemente als die andere. DAs hat mE gar nix mehr mit dem zu tun, worum es bei Mächtigkeit geht. Mächtigkeit ist keine quantitative Beschreibung von Mengenverhältnissen.

[tomS]

das verstehe ich nicht

was ist Rx? was ist Rx+y?

[Pippen]

das verstehe ich nicht

was ist Rx? was ist Rx+y?

Ich machs mal einfacher:

1. Wir nehmen an: Rx > Nx, zu lesen als: alle x (Elemente) von R sind größer/mehr als x (Elemente) von N.
2. Dann muss gelten: Rx hat die Elemente Rx1, Rx2,... mehr als N, so wie zB die Menge {1, 2, 3, 4} zwei Elemente mehr hat als die Menge {1, 2}, nämlich {3, 4}.
3. Wir nehmen weiter an, beide Mengen R & N sind unendlich.
4. Da N unendlich ist, kann per defin. die Mehr-Elemente Rx1, Rx2,... immer durch Nx1, Nx2,... ausgeglichen werden, womit sofort ein Widerspruch zu 2. entsteht, so dass 1. nicht gelten kann.

Ich hoffe es wird klar, worauf ich hinauswill. Bei zwei unendlichen Mengen gibt es keine "größere", d.h. eine mit mehr Elementen als der anderen. Will man beide Mengen vergleichen, muss man das anders tun und die Mächtigkeit findet dafür einen Weg, aber es ist eben NICHT so, dass die mächtigere Menge mehr Elemente als die weniger mächtige Menge hat; das geht bei unendlichen Mengen so nicht.

[seeker]

Eben grad nochmal den Wiki Artikel dazu gesehn, finds gerade echt abgefahren, dass und gleichmächtig sind

noch abgefahrenen ist, dass R[up]n[/up] und R gleichmächtig sind

Ja schon. Aber nur nach genau der Definition, nach der "Mächtigkeit" eben definiert ist. (EINE erfolgreiche Zuordnung genügt.)
Man kann in den genannten Fällen aber auch Zuordnungen finden, bei denen alle Elemente des Intervalls komplett zugeordnet sind (oder im 2. Fall alle Elemente von R) und dennoch noch (überabzählbar!) unendlich viele nicht-zugeordnete Elemente der anderen Menge übrig haben.

Würde man also beliebige paarbildende Zuordnungen als Nachweis von "gleich-mächtig oder nicht" zulassen, dann ergäbe sich ein Widerspruch: Einmal wäre die Antwort (in den dargestellten Fällen) "Ja" und unendlich oft wäre die Antwort "Nein". Selbst wenn man hier einen Mittelwert zwischen Nein- und Ja-Antworten bilden würde, wäre die Antwort hier ein klares "Nein, nicht gleich mächtig". Wir suchen uns aber die eine Ja-Antwort per Definition heraus und lassen die unendlich vielen Nein-Antworten einfach per selber Definition unter den Tisch fallen. Bei endlichen Mengen würden wir so niemals vorgehen. Dort ist es es egal, WIE man paarbildend zuordnet, man erhält immer dasselbe, eindeutige Ergebnis: eineindeutige Zuordnung möglich oder nicht, Ja oder Nein - nicht Ja und Nein.

Noch einmal die Frage: Was zwingt uns dazu "Mächtigkeit" genau so zu definieren und nicht anders?
(Ich versteh's immer noch nicht...)


Grüße
seeker

[tomS]

in der Mathematik erzwingt nichts und niemand eine Definition - es geht lediglich um widerspruchsfreie, "sinnvolle" Definitionen. Im Falle der Mächtigeit handelt es sich um die Verallgemeinerung von "hat gleich viele Elemente" mittelseiner Defintion. Bei Gleichmächtigkeit (siehe N bijektiv zu N) kann ich auch nicht-bijektive Zuordnungen finden; aber nur ausnahmsweise, kann ich eben auch gerade diese bijektiven Zuordnunegn finden. Im Falle von Nicht-Gleichmächtigkeit existiert dagegen eine Bijektion prinzipiell nicht (unabhämgg davon ob ich sie konstruieren kann); das ist schon eine starke Aussage.

[Skeltek]

das verstehe ich nicht

was ist Rx? was ist Rx+y?

Er meint einfach alle Elemente aus R



Was mich mal interessiert wäre, wie man eine bijektive Abbildung zwischen zwei gleich mächtigen überabzählbaren Mengen erstellt. Ohne Ordnungsvorschrift(die eine eindeutige Ordnungsrelation zwischen zwei beliebigen Elementen definiert) scheint mir das etwas schwierig... ^^

[tomS]

Bijektion zwischen R und ]0,+1[ z.B, durch die Tangens-Funktion

Bijektion zwischen ]0,+1[ und ]0,+1[ * ]0,+1[: schreibe Elemente des Intervalls ]0,+1[ in Dezimalschreibweise als 0.abcdefgh...; konstruiere daraus Zahlenpaare der Form 0.aceg..., 0.bdfh...

Generell muss man das nicht zwingend konstruieren; ein Beweis (mittels Auswahlaxiom) würde ausreichen

[seeker]

in der Mathematik erzwingt nichts und niemand eine Definition - es geht lediglich um widerspruchsfreie, "sinnvolle" Definitionen. Im Falle der Mächtigeit handelt es sich um die Verallgemeinerung von "hat gleich viele Elemente" mittelseiner Defintion.

OK, gut. Es fällt mir halt auf, dass man im Falle unendlicher Mengen eine engere Definition braucht als im Falle endlicher Mengen, um eine Gleichmächtigkeit an Elementen feststellen zu können.

Bei endlichen Mengen reicht es aus zu sagen:

"Nimm ein beliebiges freies Element aus der Menge A und ordne es einem beliebigen freien Element aus B zu. Fahre damit fort, bis du kein freies Element mehr in A findest oder kein zuordnungsbares freies Element in B findest. Schau alsdann nach, ob in A oder B noch freie Elemente vorhanden sind."

Bei unendlichen Mengen reicht das scheint's nicht aus. Ich halte das für interessant.

Bei Gleichmächtigkeit (siehe N bijektiv zu N) kann ich auch nicht-bijektive Zuordnungen finden

Wie geht das, wenn jedem Element der Menge A immer genau ein freies Element der Menge B zugeordnet wird?
(Menge A und B sollen jeweils genau die natürlichen Zahlen als Elemente enthalten)

Noch eine Frage (zum Verständnis) zum Sinn solcher Bijektionen:

Ist es richtig, dass wenn ich z.B. eine Vorschrift angeben kann, die es erlaubt auf bijektiv abzubilden, dass ich dann in einer konkreten Rechnung statt in R zu rechnen prinzipiell auch in dem Intervall rechnen kann (das wäre dann quasi eine Umskalierung)?

Grüße
seeker

[tomS]

Bei Gleichmächtigkeit (siehe N bijektiv zu N) kann ich auch nicht-bijektive Zuordnungen finden

Wie geht das, wenn jedem Element der Menge A immer genau ein freies Element der Menge B zugeordnet wird?
(Menge A und B sollen jeweils genau die natürlichen Zahlen als Elemente enthalten)

A und B sind i.A. verschiedene Mengen, z.B. A = N = {0,1,2,3,...}, B = {0,2,4,6,...}
eine Bijektion zwischen A und B für konkrete Elemente a aus A und b aus B ist gegeben durch b(a) = 2a
eine andere Abbildung wäre "wenn a gerade: a wird auf a abgebildet"; dann bleiben aber die ungeraden a übrig - und damit hat man eine Abbildung, aber eben keine Bijektion

Wichtig: im Falle der Gleichmäöchtigkeit kann ich eine Bijektion finden und umgekehrt: wenn ich eine Bijektion finden kann, dann sind die Mengen gleichmächtig (letztlich läuft das nur auf die Definiton hinaus); das bedeutet aber nicht, dass eine derartige Bijektion offensichtlich oder konstruierbar wäre, nur dass sie existiert; und sie ist nicht erzwungen, d.h. ich kann andere Abbildungen finden, die keine Bijektionen sind. D.h. wenn ich eine Abbildung habe, die keine Bijektion ist, darf ich daraus nicht schließen, dass die Mengen nicht gleich mächtig wären; evtl. habe ich nur eine ungeschickte Abbildung gewählt bzw. die Bijektion nicht gefunden.

Ist es richtig, dass wenn ich z.B. eine Vorschrift angeben kann, die es erlaubt auf bijektiv abzubilden, dass ich dann in einer konkreten Rechnung statt in R zu rechnen prinzipiell auch in dem Intervall rechnen kann (das wäre dann quasi eine Umskalierung)?

Nein, i.A. nicht - und mein anderes Beispiel zeigt das ja.

Man hat hier (in diesem konkreten Fall) eine Hierarchie von Strukturen gegeben
- Mengen
- Topologie (Punktbegriff, Beziehungen über Nachbarschaft von Elementen, ...)
- Algebra (+, -, *, /, ...)
- Metrik (Abstände
- ...

Mein Beispiel der Zuordnung zwischen Punkten aus R und R² verletzt bereits die Struktur der Topologie da nicht zwingend benachbarte Punkte in R auf benachbarte Punkte in R² abgebildet werden; dann gibt es algebraische Strukturen, die ich nicht transportieren kann, z.B. stimmt die Addition auf R und R² nicht überein.

Nennen wir meine Abbildung von R auf R² einfach Z und die Elemente aus R bezeichnen wir mit r, die aus R² mit (x,y). Dann ist nicht klar, dass für

Z(r) = (x,y)
Z(s) = (v,w)

r+s = t

auch gilt

Z(t) = (x+v, y+w)

also

(x,y) + (v,w) = (x+v, y+w)

D.h. es is keineswegs klar, ob die Abbildung algebraische Strukturen erhält.

Genauso bei der Metrik, also beim Abstandsbegriff. Schau dir mal Cantors Bijektion zwischen N und Q an, d.h. die Anordnung der Brüche in Q also p/q und deren Abzählung. Diese Bijektion erhält sicher nicht die algebraischen Strukturen und auch nicht den Abstandsbegriff (den man sowohl auf N als auch auf Q ja einfach durch |x-y| definiert)

Die Mengenlehrere kennt diese Strukturen einfach nicht, insofern kann sie darüber keine Aussagen treffen.

Strukturerhaltende Abbildungen sind jeweils den jeweiligen Strukturen zuzuordnen, d.h. eine Abbildung, die die topologische Struktur erhält, wird im Rahmen der Topologie untersucht; sie heißt "Homöomorphismus".

Die Abbildung zwischen ]0,1[ und R kann z.B. mittels Tangens zu einem Homöomorphismus werden, da benachbarte Punkte benachbart bleiben (über den Rand muss ich noch nachdenken).

Aber das geht alles über den Kontext des Threads hinaus

[rick]

Die Abbildung zwischen ]0,1[ und R kann z.B. mittels Tangens zu einem Homöomorphismus werden, da benachbarte Punkte benachbart bleiben (über den Rand muss ich noch nachdenken).

Das ist ziemlich cool. An den Tangens habe ich gestern gar nicht gedacht.

[Skeltek]

toms hat das echt gut beschrieben.
Du müsstest bei deiner neuen Urbildmenge entweder alle Elemente vollständig geschickt umbenennen, oder du definierst eine neue Struktur über der Menge, was Normen, Relationen und Auswertbarkeit durch die Formel miteinbezieht.

Eine Urbildmenge ist genau dieselbe, wenn bis auf die Namen/Bezeichner ihrer einzelnen Elemente alle anderen Sachverhalte gleich sind. Für Ziffern und Zahlen hat sich bereits eine Konvention durchgesetzt, bei der die Namensgebung der Elemente selbst die strukturbildende Grundlage bildet.
Die Mengen {1,2,4} und {1,3,4} sind genau dasselbe, nur daß es Standard ist, der 2 und 3 unterschiedliche numerische Handhabungsregeln zuzuordnen. Die beiden Mengen sind ähnlich, handelt sich ja schließlich nicht um Körper.

Der Bezeichner eines Elements ist völlig irrelevant. Um welches Element es sich in einer Struktur handelt, und welches Element in einer anderen Struktur diesem entspricht, ist allein von den Relationen mit den anderen Elementen abhängig(wo in der Struktur er sich befindet&wie die Beziehungen zu den anderen Elementen sind).

[tomS]

Genau; Insofern geht es zunächst in der Mengenlehre nur um Mengen, Elemente, Anzahl (Mächtigkeit) usw. Gut, richtig spannend wird's erst, wenn man damit rechnen kann (+-*/ usf.) aber das ist wirklich erst der zweite Schritt.

Mächtigkeiten, Auswahlaxiom, (verallgemeinerte) Kontinuumshypothese, Ordinalzahen / hyperunendloche Zahlen usw. sind zwar völlig abgehoben und (fast) ohne praktische Bedeutung - aber so mit das spannendste was die Mathematik zu bieten hat. Ich diskutiere in einem eigenen Thread mal ein praktisches (!) Beispiel.

[seeker]

A und B sind i.A. verschiedene Mengen, z.B. A = N = {0,1,2,3,...}, B = {0,2,4,6,...}
eine Bijektion zwischen A und B für konkrete Elemente a aus A und b aus B ist gegeben durch b(a) = 2a
eine andere Abbildung wäre "wenn a gerade: a wird auf a abgebildet"; dann bleiben aber die ungeraden a übrig - und damit hat man eine Abbildung, aber eben keine Bijektion

Ja, natürlich! Das hatte ich schon wieder vergessen.

Es bleibt mir dann nur der nochmalige Hinweis, dass sich endliche Mengen anders verhalten:

"Nimm ein freies Element aus der Menge A und ordne es genau einem freien Element aus B zu. Fahre damit fort, bis du kein freies Element mehr in A findest oder kein zuordnungsbares freies Element in B findest. Schau alsdann nach, ob in A oder B noch freie Elemente übrig geblieben sind. Falls nein, ist die bijektive Abbildung gelungen."

Nach diesem Vorgehen kommt man bei der Frage nach Gleichmächtigkeit immer zu demselben Ergebnis (man kann zufällig oder nach Vorschrift "wie man will" zuordnen), während dies bei unendlichen Mengen nicht so ist.
Daraus folgere ich, dass sich unendliche Mengen wesentlich von endlichen Mengen unterscheiden - man sollte eigentlich nicht einmal bei beiden dasselbe Wort "Menge" verwenden.
Was das bedeutet halte ich immer noch für nachdenkenswert.

Außerdem:
Wenn man bei zwei unendlichen Mengen N zufällig wählt, kommt auch immer heraus, dass sie gleichmächtig sind.
Auch das ist interessant.
Was würde bei zufälliger Wahl herauskommen, wenn man R mit einem Intervall aus R (z.B. 0 bis 1) vergleicht, was wenn man N mit R vergleicht?
Bei N mit R würde immer herauskommen, dass R mächtiger ist, beim ersten Fall (R mit Intervall aus R) bin ich mir nicht sicher.

Für den den Rest deines Postings danke ich dir. Ich muss mir den aber erst einmal in Ruhe zu Gemüte führen. Das braucht Zeit.

Beste grüße
seeker

[tomS]

Daraus folgere ich, dass sich unendliche Mengen wesentlich von endlichen Mengen unterscheiden - man sollte eigentlich nicht einmal bei beiden dasselbe Wort "Menge" verwenden.

ja - nein; du bezeichnest ja sowohl rationale als auch reelle Zahlen als "Zahlen"

Wenn man bei zwei unendlichen Mengen N zufällig wählt, kommt auch immer heraus, dass sie gleichmächtig sind.

nein - warum?

[seeker]

Daraus folgere ich, dass sich unendliche Mengen wesentlich von endlichen Mengen unterscheiden - man sollte eigentlich nicht einmal bei beiden dasselbe Wort "Menge" verwenden.

ja - nein; du bezeichnest ja sowohl rationale als auch reelle Zahlen als "Zahlen"

Ich glaube hier begehst du einen Zirkelschluss.

Wenn man bei zwei unendlichen Mengen N zufällig wählt, kommt auch immer heraus, dass sie gleichmächtig sind.

nein - warum?

Ich nehme 2 Mengen A und B. Beide Mengen sollen alle Elemente aus N enthalten.

Nun nehme ich eine Vorschrift, die folgendes tut:
Sie soll aus A zufällig ein Element auswählen und diesem ein genauso zufällig gewähltes Element aus B zuordnen. Falls das zufällig gewählte Element aus A oder B aber schon besetzt (zugeordnet) ist, so soll sie nichts tun und die Ziehung wiederholen. Wenn ich das unendlich lange laufen lasse, dann erhalte ich am Ende immer eine eineindeutige Zuordnung von A zu B, kein Element aus A oder B wird übrigbleiben.

Ich kann mir jetzt schon vorstellen, welche Einwände da vermutlich kommen.
Deshalb gehe ich raffinierter vor:

Ich nehme eine neue Vorschrift, welche genau so vorgeht (wie oben), aber nur die ersten hundert Elemente (aus A und B) beackert. Danach (wenn alle, der ersten hundert Elemente aus A zugeordnet sind und in diesem Intervall in A und B nichts übrig bleibt) nimmt sie die zweiten Hundert Elemente, dann die dritten hundert Elemente, usw.

Dann nehme ich eine 2. Vorschrifft, die genau dasselbe tut, nur dass sie immer 1000er-Päckchen beackert.

Dann eine 3. Vorschrift: genauso, aber 10.000er Päckchen.

usw.

Da ich jedesmal Erfolg habe (die Bijektion gelingt) schlussfolgere ich, dass ich die Päckchengröße gegen unendlich laufen lassen kann.
Wenn ich eine zufällige Auswahl aus einem unendlich großen Päckchen treffen kann, kann ich auch eine zufällige Auswahl aus N treffen, da beide identisch sind.
Voila!

Grüße
seeker

[tomS]

Zunächst sage ich ja nur, dass nur weil es Mengen mit unterschiedlichen Eigenschaften geben kann, ich trotzdem immer von 'Mengen' sprechen kann; wenn ich das unterscheiden will, dann spreche ich eben von endlichen Mengen, abzählbaren unendlichen Mengen, überabzählbaren Mengen usw. Bei Zahlen mache ich ja das selbe, ich rede von natürlichen Zahlen rationalen Zahlen usf.

Zu deinem zweiten Punkt: "Ich nehme 2 Mengen A und B. Beide Mengen sollen alle Elemente aus N enthalten". Damit ist alles klar, ich hatte nicht verstanden, dass es sich um diese ganz konkreten Mengen handelt. Wenn beide Mengen A und B genau die Zahlen aus N enthalten (keine mehr, keine weniger), dann sind sie ja sogar identisch A = B = N (der Rest ist zu kompliziert).

Ich dachte, du redest zunächst von beliebiegn Mengen, die auch N alsUntermenge enthalten können.

Bzgl. der Möglichkeit, Zahlen aus unendlichen Menge herauszupicken: das ist keinsewegs trivial, dass das geht; lies dir mal das Auswahlaxiom durch http://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom

[Skeltek]

Man kann nur eine Bijektion zwischen zwei unendlichen (reelen) Mengen erstellen, wenn es eine Möglichkeit gibt alle ihre Elemente restlos numerisch durch die ihnen zugeordnete Symbole/Bezeichner zu erfassen.
Bei Zahlen ist dies einfach, da es für die (unendlich langen) Bezeichner der Elemente bereits eine vorher festgelegte Bearbeitungsvorschrift gibt(möglich ist), die vom ´assoziierten über den Bezeichner zuzuordnenden Wert´ des Elementes festgelegt wird, beinhaltet.

Genauso kannst du aus einer beliebigen reelen Menge keine Elemente entnehmen, wenn du sie nicht mathematisch erfassen oder dem entnommenen Element keine eindeutige Identität zuordnen kannst. Es muss beim Ziehen von Elementen eindeutig sein, um welches Element es sich handelt. Es muss möglich sein die Elemente die man zieht zu benennen.

[tomS]

Man kann nur eine Bijektion zwischen zwei unendlichen (reelen) Mengen erstellen, wenn es eine Möglichkeit gibt alle ihre Elemente restlos numerisch durch die ihnen zugeordnete Symbole/Bezeichner zu erfassen.

Wenn du mit 'erstellen' eigtl. 'konstruieren' meinst, hast du evtl. recht. Aber du musst die Bijektion ja gar nicht konstruieren, es reicht, ihre Existenz zu beweisen. Außerdem gibt es explizite Konstruktionen überabzählbrer Mengen, die beweisbar gleichmächtig sind, z.B. weil sie dem gleichen Konstruktionsprinzip folgen (Stichwort Potenzmenge)

Genauso kannst du aus einer beliebigen reelen Menge keine Elemente entnehmen, wenn du sie nicht mathematisch erfassen oder dem entnommenen Element keine eindeutige Identität zuordnen kannst.

Das Auswahlaxiom behauptet, dass ich das kann!

Es muss möglich sein die Elemente die man zieht zu benennen.

Nein; man muss nur sicherstellen, dass man jedes Element genau einmal zieht

[seeker]

Ich habe die Sache mit dem Auswahlaxiom jetzt noch einmal nachgelesen.

Mein Eindruck:
So lange man sich mit endlichen Mengen beschäftigt, hat man keinerlei Probleme, bei unendlichen Mengen, wie N, eigentlich auch nicht.
Schwierig wird es erst bei Mengen wie R, deren Elemente ich ja auch verdächtige "Geisterzahlen" zu sein.
Es scheint zwar Mainstream zu sein dieses Axiom auch bei R zu akzeptieren, aber alle Leute tun das offenbar nicht.
Im Grunde scheint mir, dass Skeltek einfach so eine Position vertritt, die dem Konstruktivismus nahesteht (mit dem ich zugegeben auch liebäugle).

Von daher gibt es bei eurer Diskussion, wie mir scheint, kein "Recht haben" und "Unrecht haben", wie z.B. hier:

Es muss möglich sein die Elemente die man zieht zu benennen.

Nein; man muss nur sicherstellen, dass man jedes Element genau einmal zieht.

Das kann man wohl so oder so sehen... Darüber werden sich wohl auch manche Experten streiten.

Was mir dabei noch aufgefallen ist:
Mein Zufallsverfahren incl. Beweis (zur bijektiven Zuordnung zweier Mengen A und B, die beide alle Elemente aus X enthalten) funktioniert zwar bei X=N, nicht aber bei X=R, weil man aus R keine Intervalle bilden kann, die eine endliche Anzahl von Elementen enthalten (und was mir für meinen Beweis notwendig erscheint).
Das erscheint mir wichtig, ein Hinweis auf einen weiteren wesentlichen Unterschied bei Mengen-Typen: Endliche Mengen, N-Typ-Mengen, R-Typ-Mengen, ...???

Auf der anderen Seite:
Das für mich stärkste einfache Argument für die Existenz von R ist die Gegebenheit, dass ein Kreis sowohl einen Durchmesser, als auch einen Radius haben muss.
In dem Moment, wo wir einen perfekten Kreis denken, brauchen wir die irrationale Zahl Pi.

Es sei denn... :

Mir ist jetzt noch eine Frage in den Sinn gekommen:
Wenn die Mathematik die Natur möglichst exakt und vollständig beschreiben können soll, dann sollten sich Mathematik und Natur doch in ihren Grundzügen, in ihrem Wesen gleichen – oder?
Nun scheint es aber so zu sein, dass die Natur ab einer gewissen Größenskala prinzipiell unscharf wird, während unsere Mathematik auf jeder beliebigen Skala prinzipiell völlig scharf ist.
Wie können wir dann hoffen, mit einer solchen Mathematik die Natur beliebig gut bzw. vollständig beschreiben zu können?
Vielleicht sagt ihr nun, dass eine in den Grundzügen unscharfe Mathematik unmöglich ist.
Falls, dann kann ich nur sagen:
Dann sollten wir danach streben eine Möglichkeit zu finden es doch möglich zu machen oder zugeben, dass die Natur prinzipiell nicht beliebig gut durch die Mathematik beschreibbar ist.

... vielleicht ist diese Perfektionsforderung unangemessen.

Nachdenkliche Grüße
seeker