Beweis für Gleichmächtigkeit der unendlichen Mengen N und R?

[Pippen]

1. Gegeben seien die unendlichen Mengen der natürlichen Zahlen (N) und der reellen Zahlen (R).

2. Zwei Mengen heißen "gleichmächtig", wenn jedem Elemente der einen Menge genau und nur ein Element der anderen Menge zuzuordnen ist, also hier: N(x) <-> Rx. Zwei Mengen heißen "ungleichmächtig", wenn es in einer der beiden Mengen ein Element gibt, dass keinem Element der anderen Menge zuzuordnen ist, also hier: ~[N(x) <-> R(x)] .

3. Wir nehmen an, es gäbe eine Element in R, wir bezeichnen es als R(x), dem kein Element aus N zuzuordnen wäre.

4. Da N einen unendliche Menge wäre, müsste dieses Element N(x) aber notwendigerweise gebildet werden können.

5. Aus 3. folgt also ein Widerspruch (3. und 4.)

6. Daraus folgt, dass 3. falsch sein muss.

7. Daraus folgt, dass es in R kein Element gibt, dem in N kein Element entspricht.

8. 3.-7. läßt sich auch für N zu R durchspielen, so dass daraus folgt, dass es auch in N kein Element gibt, dem in R kein Element entspräche.

9. Daraus folgt insgesamt, dass R und N gleichmächtig sind (es wurde hier darauf verzichtet, den Beweis auch für N durch.

Ich hoffe der Beweisversuch ist einigermaßen verständlich. Wo liegt mein Fehler (denn mein Beweis erscheint mir derart naheliegend, dass ich mir nicht vorstellen kann, dass Mathematiker das übersehen hätten)?

[Skeltek]

Die Menge aller durch eine endliche Zeichen- oder Symbolfolge darstellbaren, aus anderen Zusammenhängen konstruierbaren und aller vorstellbaren Zahlen aus R ist gleichmächtig wie N.
Du vergisst jedoch die Menge der nicht darstellbaren Zahlen aus R, die unendliche Zeichenfolgen haben, die aber keinen Regeln gehorchen, keine Periodizität aufweisen und nicht berechenbar sind.

Soweit ich weiss schiebt der Beweis von Kantor das Problem vor sich her, indem er beweist, daß man alle Zahlen, die mit einer endlichen Zeichenfolge darstellbar sind zwar darstellen kann, aber niemals alle erfassen kann. Du kannst nur alle Zahlen zu einer Klasse zusammenfassen, die mit der Zeichenfolge anfangen und dann immer weiter feiner differenzieren

Meiner Meinung nach hängt das mit der Unzulänglichkeit der numerischen Notation zusammen(du hast das Zehnersystem, das Binärsystem, Hexadezimalsystem usw).
Man müsste das Zahlensystem selbst während dem konstruieren der reelen Zahlen und Wurzeln nach jedem neuen Element erweitern, sodaß du auch Formeln statt Ziffern an einer Nachkommastelle schreiben kannst.

Kein endliches Zahlensystem kann alle reelen Zahlen aufzählen, nur eines, daß selbst reel ist. Und selbst beim konstruieren eines solchen Zahlensystems(N^n Elemente) würdest du die Mächtigkeit von R nicht erreichen sondern dich nur "annähern"(kann man so nicht sagen; Mächtigkeit ist immer noch die von N).

[Skeltek]

3. Wir nehmen an, es gäbe eine Element in R, wir bezeichnen es als R(x), dem kein Element aus N zuzuordnen wäre.

4. Da N einen unendliche Menge wäre, müsste dieses Element N(x) aber notwendigerweise gebildet werden können.

Du hast aber nicht nur ein Element in R, dem kein Element aus N zugeordnet werden kann, sondern unendlich viele.
Selbst wenn du diesem Elementaus R eines aus N zuordnest, stehst du wieder da, wo du vor Schritt 3 warst...

[tomS]

Mit dem Cantorschen Diagonalargument folgt unmittelsbar, dass N und R nicht gleichmächtig sind. Es ist einer der klassischen Beweise in der Mengenlehre

[Pippen]

3. Wir nehmen an, es gäbe eine Element in R, wir bezeichnen es als R(x), dem kein Element aus N zuzuordnen wäre.

4. Da N einen unendliche Menge wäre, müsste dieses Element N(x) aber notwendigerweise gebildet werden können.

Du hast aber nicht nur ein Element in R, dem kein Element aus N zugeordnet werden kann, sondern unendlich viele.

Das spielt mE für meinen Beweis keine Rolle, denn ich zeige ja, dass es nicht mal EIN Element von R oder N geben kann, welches beim jeweils anderen nicht eindeutig zuzuordnen wäre, womit beide Mengen gleichmächtig wären. Zeige mit eine reelle Zahl, die sich nicht zu einer nat. Zahl zuordnen läßt (oder umgekehrt) und ich zaubere dir eine neue nat. Zahl, die ich deiner reellen Zahl zuordne (oder umgekehrt)...und da es unendlich viele gibt, geht das auch immer. Wieso also soll dann R mächtiger sein als N?

@tomS: Was wäre denn an meinem Beweis zu bemängeln, denn wenn er gültig wäre, dann würde er gleichzeitig Cantor's Diagonalargument zerstören, denn wenn p und ~p bewiesen werden, dann wird nix bewiesen.

[tomS]

Dein Fehler liegt in (3) bzw. den daraus abgeleiteten Folgerungen

"3. Wir nehmen an, es gäbe eine Element in R, wir bezeichnen es als R(x), dem kein Element aus N zuzuordnen wäre."

Natürlich kannst du immer für ein beliebiges Element R(x) eine Zuordnung zu N(x) finden. Daraus ergibt sich keinesfalls ein Widerspruch. Nur kannst du keine Zuordnungsvorschrift finden, die für alle Elemenet aus R eineindeutig Elemente aus N zuordnet.

[Skeltek]

Alle durch eine endliche Folge an Vorschriften oder Zeichen darstellbaren Zahlen sind abzählbar(du kannst alle in einer eindimensionalen "Kette" anordnen, ohne daß eine ausgelassen wird; es ist möglich, eine endliche Vorschrift zu erstellen, die jedem Element der Menge ein Element aus N zuordnet).

Bei deinem Beweis gehst du davon aus, daß es du jeder endlichen Menge reeler Zahlen, die nich einem Element aus N zugeordnet sind, eines zuordnen kannst.


Mal was analog zu deinem Beweis:
Die Zeit um eine endliche Menge n Zahlen zu zählen ist endlich. Nehmen wir an, es gäbe eine Menge Zahlen n+1 aus N, die zu zählen unendlich lange dauert. Egal wie viele Zahlen ich hinzufüge, es wird immer endlich lange dauern alle Zahlen zu zählen.
Du kannst von der Tatsache, daß du endlich viele Zahlen zu Elementen aus N zuordnen kannst nicht schließen, daß das auch für eine Menge mit unendlich^2 viele Zahlen gilt.

--->Das ist so wie der Unterschied zwischen einer Fläche und einer Linie. Beide haben unendlich viele Punkte, trotzdem kannst du bei einem Quadrat nicht für alle Punkte, die auf den senkrechten Linien liegen einen Punkt auf der Grundseite finden.
Nimm einfach mal bei einem Quadrat mit den Eckpunkten (0,0), (0,1), (1,0), (1;1) die Linie von (0,0) bis (0,1) und versuche jedem Punkt auf der Linie einen Punkt auf der Grundseite des Quadrats zuzuordnen; du wirst eine Strecke s>0 benötigen. Das heißt auf der Grundseite des Quadrats ist nicht genug "Linie" vorhanden, um alle Punkte auf den senkrechten Linien zuzuordnen.
Bei dem Beispiel entspricht die Grundseite N und die Fläche R.
(Wobei ich hier etwas gemogelt habe, die Grundseite hat auch eine überabzählbare Menge Punkte. Beispiel dient nur zur Anschauung)

[tomS]

@Skeltek: Das Argument mit der Fläche ist irreführend, denn eine Linie und eine Fläche sind gleichmächtig

@Pippen: kennst du Cantors Diagonalelemenet?

[Skeltek]

@Skeltek: Das Argument mit der Fläche ist irreführend, denn eine Linie und eine Fläche sind gleichmächtig

Ja, die Verallgemeinerung seines ersten Diagonalelementes kenne ich.
Meinst du jetzt eine unendlich lange Linie, ein offenes Intervall oder ein geschlossenes Intervall?
Soweit ich das jetzt richtig im Kopf habe gibe es keine Bijektion von ]0,1[ auf [0,1]... jedenfalls gibt es keinen endlichen Algorythmus bzw Zuordnungsvorschrift, die das bewerkstelligt. Oder ist mein Hirn schon eingerostet?

Gruß, Skel


ps: Was soll eigentlich der Mist mit Cantors zweitem Diagonalargument? Konnte er nicht die in der "vollständigen Liste" nicht enthaltene Zahl nicht direkt mit "Null Komma Periode Neun" angeben?
Mit seinen 4ern und 5en hat er einfach eine Zahl am Rand der Menge liegend generiert und bewiesen daß sie nicht enthalten ist....

[Pippen]

Dein Fehler liegt in (3) bzw. den daraus abgeleiteten Folgerungen

"3. Wir nehmen an, es gäbe eine Element in R, wir bezeichnen es als R(x), dem kein Element aus N zuzuordnen wäre."

Natürlich kannst du immer für ein beliebiges Element R(x) eine Zuordnung zu N(x) finden. Daraus ergibt sich keinesfalls ein Widerspruch. Nur kannst du keine Zuordnungsvorschrift finden, die für alle Elemenet aus R eineindeutig Elemente aus N zuordnet.

Wenn feststeht, dass kein einziges/einzelnes Element von R nicht mit einem Element von N eindeutig zugeordnet werden kann - und das habe ich vermeintlich bewiesen (siehe meinen Beweis) - dann steht doch auch (und sogar banalerweise, so dass ich es in meinem Beweis gar nicht mehr thematisiere) fest, dass alle Elemente aus R eindeutig Elemente aus N zugeordnet werden können...und das reicht mE für Gleichmächtigkeit, oder? Ich glaube, ich habe nicht wirklich verstanden, wie Mathematiker "Mächtigkeit" und vor allem "Gleichmächtigkeit" und "Ungleichmächtigkeit" definieren, denn mir scheint mein Beweis zumindest unter Annahme seiner Prämissen erfolgreich oder sieht jmd. meinen Beweis schon als (selbst nach seinen eigenen Prämissen) ungültig an?

Ich kenne Cantors Diagonalargument nur vom Namen und Zusammenhang her, aber wie gesagt: irgendwo muss mein Beweis entweder ungültige Folgerungen verwenden oder von falschen Prämissen ausgehen, ansonsten fällt auch Cantors Diagonalargument, denn wenn mein Beweis von wahren Prämissen und logisch korrekt ist, dann wäre es eine Widerlegung jeder Übermächtigkeit von R zu N, denn dann gäbe es ja dazu mehrere widersprechende Beweise, die schwerlich die Übermacht von R beweisen können - eher umgekehrt.

[tomS]

Meinst du jetzt eine unendlich lange Linie, ein offenes Intervall oder ein geschlossenes Intervall?
Soweit ich das jetzt richtig im Kopf habe gibe es keine Bijektion von ]0,1[ auf [0,1]... jedenfalls gibt es keinen endlichen Algorythmus bzw Zuordnungsvorschrift, die das bewerkstelligt. Oder ist mein Hirn schon eingerostet?

Egal; die Unterschiede sind alle "vom Maß Null".

Du kannst eine Bijektion zwischen einer Strecke und einem Quadrat definieren, in dem du jedem Punkt der Strecke eine reelle Zahl zuordnest; dann kannst du aber die Dezimalstellen dieser Zahl abwechseln für eine x- bzw. y-Koordinate nutzen u.u.; damit hast du eine Bijektion (wenn auch keine, die irgendwie "praktisch" wäre); wenn dir der Rand des Quadrates dabei Schwierigkeiten bereitet, dann lass ihn weg, seine Mächtigkeit entspricht sowie der einer Strecke, d.h. dadurch ändert sich nichts wesentliches.

[breaker]

Dein Fehler liegt in (3) bzw. den daraus abgeleiteten Folgerungen

"3. Wir nehmen an, es gäbe eine Element in R, wir bezeichnen es als R(x), dem kein Element aus N zuzuordnen wäre."

Natürlich kannst du immer für ein beliebiges Element R(x) eine Zuordnung zu N(x) finden. Daraus ergibt sich keinesfalls ein Widerspruch. Nur kannst du keine Zuordnungsvorschrift finden, die für alle Elemenet aus R eineindeutig Elemente aus N zuordnet.

Wenn feststeht, dass kein einziges/einzelnes Element von R nicht mit einem Element von N eindeutig zugeordnet werden kann - und das habe ich vermeintlich bewiesen (siehe meinen Beweis) - dann steht doch auch (und sogar banalerweise, so dass ich es in meinem Beweis gar nicht mehr thematisiere) fest, dass alle Elemente aus R eindeutig Elemente aus N zugeordnet werden können...und das reicht mE für Gleichmächtigkeit, oder? Ich glaube, ich habe nicht wirklich verstanden, wie Mathematiker "Mächtigkeit" und vor allem "Gleichmächtigkeit" und "Ungleichmächtigkeit" definieren, denn mir scheint mein Beweis zumindest unter Annahme seiner Prämissen erfolgreich oder sieht jmd. meinen Beweis schon als (selbst nach seinen eigenen Prämissen) ungültig an?

Tom hat ganz Recht und Dein Beweis ist definitiv nicht richtig.
Wenn ich dich richtig verstanden habe, hast du folgendes vor:

Du ordnest jeder natürlichen Zahl irgendwie eine reelle Zahl zu (bevorzugterweise injektiv), und schaust dann, ob irgendeine reelle Zahl übrig geblieben ist, die nicht getroffen wurde.
Wenn ja, (nennen wir die Zuordnung f und die nicht getroffene Zahl x) dann nutzt du aus, dass es unendlich viele natürliche Zahlen gibt, um eine neue Zuordnung zu definieren, die dieses x trifft. Das ließe sich zum Beispiel so erreichen:
Definiere g(1):=x, g(2):=f(1), g(3):=f(2),...
Damit hat man eine neue Zuordnung g definiert, die x trifft.
Falls es dann immer noch ein y gibt, das nicht getroffen wird, wiederholst du dieses Verfahren.

Ist das so richtig?
Wenn ja, dann siehst Du vielleicht jetzt selbst schon der Problem: Damit dieses Verfahren irgendwann zu einem Ende kommt, muss die Menge der Zahlen, die am Anfang nicht getroffen werden, endlich sein, sonst bekommst du nie eine Zuordnung, die alle reellen Zahlen trifft! Die Annahme, dass die Menge der nicht getroffenen Zahlen endlich ist, ist aber nicht gerechtfertigt.


@Skeltek:
Ich würde meinen linken Arm darauf verwetten, dass es eine Bijektion zwischen (0,1) und [0,1] gibt. Es gibt vielleicht keine stetige Bijektion, aber danach war ja auch nicht gefragt.

[breaker]

Nachtrag:
Man kann tatsächlich ein ähnliches Verfahren wie das, das ich oben skizziert habe, anwenden, um auch unendlich viele nicht getroffene Zahlen zu treffen:
Seien f wie oben und M={x[down]1[/down],x[down]2[/down],x[down]3[/down],...} die Menge der von f nicht getroffenen reellen Zahlen.
Definiere: g(1)=x[down]1[/down], g(2)=f(1), g(3)=x[down]2[/down], g(4)=f(2),...
(d.h. für alle geraden natürlichen Zahlen setzt man g(n)=f(n/2) und die ungeraden benutzt man, um die Elemente aus M zu treffen.)
Mit diesem Verfahren kann man sogar unendlich viele nicht getroffene Zahlen treffen, aber es bleibt ein ähnliches Problem bestehen:
Das funktioniert nur, solange die Menge der nicht getroffenen Zahlen abzählbar ist!
Das bedeutet, bei Deinem Beweis hast du implizit schon angenommen, dass die reellen Zahlen abzählbar sind (sonst funktioniert dein Verfahren nicht)!

[Pippen]

Du ordnest jeder natürlichen Zahl irgendwie eine reelle Zahl zu (bevorzugterweise injektiv), und schaust dann, ob irgendeine reelle Zahl übrig geblieben ist, die nicht getroffen wurde.

Nein, sondern ich beweise, dass es keine Zahl in R geben kann, die nicht einer Zahl von N zugeordnet werden könnte, wenn man wollte. Und genau damit liegt mE Gleichmächtigkeit vor. Bei der Bestimmung von Mächtigkeit geht es mE nicht um ein bestimmtes Verfahren, mit dem man quasi von Vornherein einen Algorhitmus festlegt, mit dem die Zuordnung erfolgt - wenn dem so sei, dann verstehe ich, warum das nicht klappen kann (vgl. Cantor's Diagonalargument) - sondern darum, ob sich zu jedem Element der einen Menge eindeutig ein Element der anderen Menge zuordnen läßt - nicht mehr und nicht weniger; ob diese Zuordnung methodisch (durch Formel) oder chaotisch ("by doing") erfolgt spielt keine Rolle; entscheidend scheint mir also, ob und dass man zuordnen könnte, wenn man wollte.

wikpeida schreibt: Eine Menge A heißt gleichmächtig zu einer Menge B, wenn es eine Bijektion "f: A -> B" gibt. Man schreibt dann | A | = | B |. Wie diese Bijektion erfolgt, spielt danach keine Rolle und ich beweise, dass es zwischen R und N immer eine Bijektion geben muss, einfach weil das zur Charakteristik unendlicher Mengen gehört. MaW: Unendliche Mengen sind danach immer gleichmächtig - und in der Tat: Weder hat R mehr Elemente als N noch hat R Elemente, die man nicht einem Element von N zuordnen könnte, denn es gibt ja unendlich viele davon, also findet sich theoretisch immer eines dafür. Wieso soll dann R mächtiger sein als N? Vielleicht "anders", aber niemals "mächtiger" .

Ich denke, dass Mächtigkeit anders definiert wird, als ich es verstehe. Mächtigkeit wird wohl in etwa so definiert: |A| = |B|, wobei die Gleichheit schon vorher durch Angabe der einzelnen Zuordnungen oder Angabe einer Formel zur Feststellung der Zuordnungen (zB Diagonalisierung oder sowas) gezeigt werden muss. DANN leuchtet mir alles ein, dann beruht mein Beweis auch auf falschen Prämissen. Aber das steht so leider nirgends....

p.s. Wäre denn mein Beweis, wenn man seine Prämissen als wahr annähme, zumindest richtig?

[seeker]

Kurze Zwischenfrage:

Wofür ist das eigentlich gut sagen zu können, dass R mächtiger als N ist? Nur wegen den Kardinalszahlen?
Was kann man damit anfangen?

Grüße
seeker

[tomS]

praktisch anfangen kann man damit nichts; aber als Erkenntnis über die Fundamente der Mathematik (Mengenlehre) ist es von nicht zu unterschätzender Wichtigkeit; Cantors Arbeiten würde heute mit Sicherheit die Fieldsmedaille bekommen

[breaker]

@ Pippen:
Wenn Du behauptest, es gäbe eine Bijektion, dann solltest du diese angeben können, d.h. du solltest eine Art Formel oder zumindest ein Verfahren angeben können, mit dem man zu jeder natürlichen Zahl die dieser Zahl zugeordnete reelle Zahl bestimmen kann.
Wenn du das nicht tust, hast du keine Abbildung angegeben und damit auch keine Gleichmächtigkeit gezeigt.


(Bemerkung: Um zu zeigen, dass eine Abbildung existiert, ist es nicht immer zwingend notwendig, diese Abbildung konkret anzugeben. Es gibt Sätze (z.B. Hahn-Banach), die die Existenz von Abbildungen garantieren, ohne irgendwelche Aussagen darüber zu machen, wie diese Abbildung aussieht. Solche Sätze sind aber in der Regel schwer zu beweisen und benutzen sehr abstrakte Hilfsmittel, wie z.B. das Zorn'sche Lemma.)

[breaker]

Kurze Zwischenfrage:

Wofür ist das eigentlich gut sagen zu können, dass R mächtiger als N ist? Nur wegen den Kardinalszahlen?
Was kann man damit anfangen?

Grüße
seeker

Ob es wichtig ist, dass R größer ist als N, kann ich momentan nicht sagen, aber das Konzept der Abählbarkeit von Mengen hat in der Mathematik viele extrem nützliche Anwendungen.
(Für Experten: Man denke nur an den Begriff der Separabilität eines topologischen Raumes. Das hat nicht zuletzt in den schönen Effekt, dass man in der Quantenmechanik eine abzählbare Basis seines Hilbertraumes zur Verfügung hat.)

[Skeltek]

Ich versuch mich mal daran:

Es sei eine vollständige Liste aller Dezimalzahlen zn im Intervall [0,1] gegeben durch:
z1=0, a11 a12 a13 a14 a15...
z2=0, a21 a22 a23 a24 a25...
z3=0, a31 a32 a33 a34 a35...
...
zn=0, an1 an2 an3 an4 an5...

mit aij=(((i*(10^(j-1))) mod 10)+1)

Das heißt die erste Stelle hinter dem Komma ist durchlaufend immer von Ziffer 1 bis 0.
Die zweite Stelle hinter dem Komme wechselt die Ziffer immer erst nach 10 Zahlen.
Die dritte Stelle hinter dem Komma alterniert immer nach jeder 100sten Zahl.
Die vierte Stelle hinter dem Komma alterniert immer nach 1000 usw

z1 =0,1111...
z2 =0,2111...
z3 =0,3111...
z4 =0,4111...
z5 =0,5111...
z6 =0,6111...
z7 =0,7111...
z8 =0,8111...
z9 =0,9111...
z10=0,0111...
z11=0,1211...
z12=0,2211...
z13=0,3211...
z14=0,4211...
...


Dieser Algorythmus generiert hintereinander lückenlos alle Zahlen, die im Dezimalsystem zwischen 0 und 1 in endlicher Schreibweise dargestellt werden können. Wie man sieht ist z.B. "0, periode(2)"(Kenne den Mimetex Befehl für Periodenschreibweise nicht), genauso wie "0, periode(9)" in der Liste nicht enthalten. Diese Perioden und rationalen Zahlen kann man der Liste hinzufügen, indem man so eine Liste nacheinander mit unterschiedlichen Basen(Binär, mit 3 Ziffern, mit 4 Ziffern,..., Hexadezimalsystem usw) erstellt und die Elemente der geordneten Listen dann per Diagonalverfahren ordnet. Wurzeln kann man ebenso per einem weiteren Diagonalverfahren hinzufügen, sodaß die Liste sämmtliche rationale Zahlen enthält.

Die Liste ist trügerisch, 0,1 ist dem Algorythmus nach in der dezimalen Notation nicht enthalten. Die im Zehnersystem normalerweise als 0,1 bezeichnete Zahl ist aber durch "0,periode(1)" im 11er-System(11 Ziffern: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A) abgedeckt, das wir ja über ein Diagonalisierungsverfahren den bereits vorhandenen Listen hinzufügen.


Man kann mit diesem Verfahren absolut jede rationale Zahl, Bruch, Periode oder Wurzel irgendeinen Grades der Reihe nach abzählbar sortieren.



Ab hier fass ich mich mal kurz:
Das Problem an der Überabzählbarkeit reeler Zahlen ist, daß es Zahlen gibt, die in keinem Zahlensystem mit ganzen Ziffern darstellbar sind(nicht binär, nicht dezimal und auch in keinem anderen). Du kannst sie nirgendwo in obiger Liste finden, obwohl sie existieren.
Zum Beispiel Pi oder Epsilon sind in keinem Zahlensystem als Periode, Bruch oder ganze Zahl in endlichen Schritten darstellbar. Diese, nicht durch eine endliche Konstruktionsvorschrift darstellbaren Zahlen lassen sich nicht(das ist die Crux!!!) sortieren oder in einer festlegbaren Reihenfolge hintereinander aufzählen. Es sind unendlich viele und es gibt kein numerisches/logisches Verfahren um alle zu erfassen.
Dein Beweis funktioniert im Grunde genommen schon, allerdings ist es unmöglich diese dir fehlenden reelen Zahlen restlos ausfindig zu machen.

--->Du kannst den reelen Zahlen, denen kein Element aus N zugeordnet ist, keines zuordnen, wenn du sie nicht alle restlos mathematisch erfassen, ordnen oder in einer unendlichen Liste zusammenfassen kannst(Eine Konstruktionsvorschrift für die Liste kannst du nicht angeben, da sie sich nicht ordnen lassen!). Es ist so wie ein unendlich oft teilbarer Wassertropfen, der in einer perfekten Zimmerecke festsitzt. Egal wie fein oder geformt deine Schöpfkelle ist, mit der du den Tropfen restlost aus der Ecke abschöpfen möchtest, wird immer ein Rest des Tropfens in der Ecke übrig bleiben. Der Rest entspricht dann den reelen Zahlen, die du noch nicht einem Element aus N zugeordnet hast.


Ich hoffe ich habe soweit auf Formeln verzichten können, daß es leichter verständlich ist.

Gruß, Skel

[Pippen]

@ Pippen:
Wenn Du behauptest, es gäbe eine Bijektion, dann solltest du diese angeben können, d.h. du solltest eine Art Formel oder zumindest ein Verfahren angeben können, mit dem man zu jeder natürlichen Zahl die dieser Zahl zugeordnete reelle Zahl bestimmen kann.
Wenn du das nicht tust, hast du keine Abbildung angegeben und damit auch keine Gleichmächtigkeit gezeigt.

Genau das hatte ich mir gedacht, Skeltek hat es mit seinen Ausführungen ja nochmal bestätigt. Vielen Dank an euch beide nochmal. R und N haben also nicht etwa unterschiedlich viele Elemente, sondern sind als Zahlenmengen so strukturiert, dass man eine Bijektion zwischen beiden nicht vollständig formulieren bzw. algorhitmieren kann, d.h. Mächtigkeit hat nix damit zu tun, dass R irgendwie mehr Elemente hat als N, weil sowas lese ich häufiger und genau daher rührt mein eigentliches Problem mit Mächtigkeiten unendlicher Mengen.

[tomS]

d.h. Mächtigkeit hat nix damit zu tun, dass R irgendwie mehr Elemente hat als N ...

Doch, so abwegig ist das nicht.

Nimm eine beliebige Menge X und konstruiere eine Bijektion mit N; wenn dies funktioniert, dass hast du X "abgezählt", denn jedem Element x aus X entspricht genau ein n aus N - das ist aber "Zählen". Wenn die Bijektion daran scheitert, dass immer "Elemente aus X übrig bleiben", dann funktioniert das Abzählen nicht.

Die Aussage "R ist überabzählbar" ist nur eine exaktere Variante von "R hat mehr Elemente als N".

[Skeltek]

Obiges Konstruktionsverfahren war übrigens auch lange zeit der Grund, weshalb ich Cantors zweites Diagonalargument nie wirklich als vollwertigen Beweis anerkannt hatte. Er beschränkt sich auf das Dezimalsystem, das von seinem Wesen her bereits nur eine Teilmenge aller Zahlen darstellen kann. Danach beweist er, daß diese Liste nicht alle Zahlen darstellen kann...
An sich erscheint der Beweis schlüssig, stellt jedoch nicht sicher, ob es eine "Liste aller Zahlen" im Dezimalsystem überhaupt geben kann.
Der Algorythmus um Zahlen dezimal darzustellen ist nur eine Teilmenge aller möglichen Algorythmen zur Darstellung von Werten.

[tomS]

Doch, das 10er-System (und jedes andere auch) ist durchaus geeignet, ALLE reellen Zahlen darzustellen. Es enthäöt (aufgrund der Mehrdeutigkeit bei bei x = ...999...) einige Zahlen sogar mehrfach

[seeker]

Doch, das 10er-System (und jedes andere auch) ist durchaus geeignet, ALLE reellen Zahlen darzustellen. Es enthäöt (aufgrund der Mehrdeutigkeit bei bei x = ...999...) einige Zahlen sogar mehrfach

Ist es das wirklich? Direkt wohl nicht, denn man kann eben keine einzige irrationale Zahl exakt aufschreiben.
Z.B. "3,14159265...": man muss sich immer mit diesen Pünktchen behelfen oder mit nicht-endenden Rechenvorschriften oder sogar mit nicht-endlich langen Rechenvorschriften. Eigentlich kann man nicht einmal die ganzen Zahlen in R aufschreiben, denn um nachweisen zu können, dass es sich dort jeweils um genau die darzustellende ganze Zahl handelt müsste man ja z.B. nicht "1" schreiben, sondern "1,00000000000...". Wieder die Pünktchen...

Damit haben die reellen Zahlen für mich nach wie vor etwas Geisterhaftes.

Ich glaube, was Cantor getan hat muss doch folgendes gewesen sein:

Er hat ein Merkmal gesucht, um mit einer "größenähnlichen" (oder "Mächtigkeit", oder...) Eigenschaft verschiedene unendliche Mengen voneinander unterscheiden zu können. Damit stand seine Intention vor seiner Definition (bzw. Konstruktion/Entdeckung) dieses Unterscheidungsmerkmals (= Abzählbarkeit).
Es war also kein Zufall, dass sich ergeben hat, dass eine solche Unterscheidung stattfinden kann. Das war ja sein Ziel.
Wie wir gesehen haben, gibt es nämlich sicherlich tausend definierbare Merkmale/Definitionen, wo sich N und R nicht in einer größenähnlichen Eigenschaft (oder Mächtigkeit, oder... das Wort dazu muss hier extra definiert werden) unterscheiden.

Seine Leistung war m. E. , dass er überhaupt eine Möglichkeit der Unterscheidung fand (Es hätte ja auch sein können, dass das gar nicht geht.) und ein Verfahren dazu angeben konnte. (Womöglich ist das nicht einmal die einzige Möglichkeit mit dem Ergebnis der "größenähnlichen" Unterscheidbarkeit unendlicher Mengen.)

Man kann aber auch sagen, dass man so (wie er) nicht unterscheiden MUSS - es gibt andere Möglichkeiten. Wir haben also scheint's eine Wahl in diesem Punkt.
Solche Wahlfreiheiten (gerade in der Mathematik) erscheinen aber wiederum sehr unbefriedigend. Man möchte doch eben keine Wahl haben, damit alles aus einem Guss ist - oder?
(Ich glaube man könnte sogar darüber nachdenken, ob das Problem nicht bei Cantor liegt, sondern bereits bei der Definition der reellen Zahlen erzeugt wurde und ob man die wirklich für immer braucht.)

Warum das mit der Cantorschen Abzählbarkeit nun also so extrem wichtig, so unverzichtbar für die Mathematik ist, verschließt sich mir leider immer noch.
Muss ich dafür Mathe studieren oder kann ich das auch so begreifen? Was bringt mir z.B. eine abzählbare Basis eines Hilbertraums? Was geht ohne diesen Begriff "Abzählbarkeit" verloren? (Vorsicht, ich stecke da nicht so tief drin. Bitte Erklärungen vorzugsweise hauptsächlich mit Worten.)

Grüße
seeker

[tomS]

Doch, das 10er-System (und jedes andere auch) ist durchaus geeignet, ALLE reellen Zahlen darzustellen. Es enthäöt (aufgrund der Mehrdeutigkeit bei bei x = ...999...) einige Zahlen sogar mehrfach

Ist es das wirklich? Direkt wohl nicht, denn man kann eben keine einzige irrationale Zahl exakt aufschreiben.

Z.B. "3,14159265...": man muss sich immer mit diesen Pünktchen behelfen oder mit nicht-endenden Rechenvorschriften oder sogar mit nicht-endlich langen Rechenvorschriften. Eigentlich kann man nicht einmal die ganzen Zahlen in R aufschreiben, denn um nachweisen zu können, dass es sich dort jeweils um genau die darzustellende ganze Zahl handelt müsste man ja z.B. nicht "1" schreiben, sondern "1,00000000000...". Wieder die Pünktchen...

Es gibt auch einen anderen Beweis der Überabzählbarkeit, die nicht über Zahlensysteme und Diagonalargumen geführt wird, sondern über sogenannte Dedekindsche Schnitte; dabei tritt also das ier genannte Problem nicht auf.