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Lügnerparadox - elegante Lösung

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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Pippen » 10. Mär 2018, 02:41

Erst nochmal der Ausgangspunkt:

A: ~B und (~B = wahr)
B: A und (A = wahr)

Wichtig ist nun Folgendes: Wenn in B "(A=wahr)" falsch und "A" wahr ist (und damit B insgesamt falsch) und wenn A wahr ist, d.h. dort "~B" und "(~B = wahr) jeweils wahr, dann tritt kein Widerspruch auf. Das reicht, um zu zeigen, dass beide Aussagen verträglich zueinander sind und keine Paradoxie hervorrufen. Siehst du das genauso?

Haben wir dagegen:

A: ~B
B: A

dann führt das immer in einen Widerspruch.

p.s. Wir schreiben hier recht schamlos A: ~B, aber was wäre der Doppelpunkt eigentlich prädikatenlogisch? Ich stell mir das immer so vor, dass damit gesagt wird: A hat das Prädikat, dass ~B ist. Also: "Der nächste Satz ist falsch und der vorhergehende Satz ist wahr" wäre vereinfacht sowas wie: Der nächste Satz hat das Prädikat "falsch" und der vorhergehende Satz hat das Prädikat "wahr". Das könnte man dann weiter formalisieren und schließlich in PL aufschreiben. Oder was meint ihr?

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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Skeltek » 11. Mär 2018, 19:56

Pippen hat geschrieben:
10. Mär 2018, 02:41
Wichtig ist nun Folgendes: Wenn in B "(A=wahr)" falsch und "A" wahr ist (und damit B insgesamt falsch) und wenn A wahr ist, d.h. dort "~B" und "(~B = wahr) jeweils wahr, dann tritt kein Widerspruch auf.
Wäre dann nicht bereits in B ein Widerspruch? B wäre dann nicht mehr verträglich zu sich selbst, wenn es gleichzeitig etwas als auch dessen Gegenteil behauptet. Klar, der Widerspruch ist meistens auf der untersten Ebene, er muss sich nicht durch mehrere Aussagen hindurch hangeln.
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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Pippen » 11. Mär 2018, 21:43

Skeltek hat geschrieben:
11. Mär 2018, 19:56
Wäre dann nicht bereits in B ein Widerspruch? B wäre dann nicht mehr verträglich zu sich selbst, wenn es gleichzeitig etwas als auch dessen Gegenteil behauptet.
Das sehe ich eben nicht. Wenn B falsch ist, insoweit A wahr ist und (A ist wahr) falsch ist, dann ist dadurch A wahr und dort wird ja ausdrücklich gesagt, dass B falsch ist. Wenn B natürlich wahr wäre, dann haben wir einen Widerspruch, so dass das eben nicht sein kann.

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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Skeltek » 12. Mär 2018, 20:42

Man geht davon aus, dass eine Aussage entweder wahr oder falsch ist.
Du hast 4 Möglichkeiten:
A wahr, B wahr
A wahr, B falsch
A falsch, B wahr
A falsch, B falsch
Eine Aussage muss entweder wahr oder falsch sein. Wenn eine Aussage falsch ist, muss ihr Gegenteil gelten.
Du kannst beliebige Kombinationen deines Paradoxons mit den Wahrheitstabellen vergleichen, es wird immer irgendwo nicht passen. Außer den 4 oben genannten Kombinationen existieren keine weiteren.
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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Pippen » 19. Mär 2018, 17:09

@skeltek: Du denkst also, dass

A: ~B
B: A

eine Antinomie ist (da sind wir uns ja einig) und dass

A: ~B und (~B = wahr)
B: A und (A = wahr)

ebenfalls eine Antinomie ist?

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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Skeltek » 20. Mär 2018, 09:15

Ja
Da teilst du aussage A auf in:
A = C und D, wobei; C = ~B ; D =(~B)
Okay, wir lassen mal zunächst aus, dass ~B und (~B = wahr) eigentlich dieselbe Aussage sind.
Dann hast du bereits innerhalb von A folgende Kombinationsmöglichkeiten:
C und D -okay
C und ~D -Widerspruch
~C und D -Widerspruch
~C und ~D -okay
Die mittleren beiden muss man zwangsläufig ausschließen, da es nur wahre und falsche Aussagen gibt, kein drittes. A soll nur wahr oder falsch sein können und kein Widerspruch.
C und D => A ist wahr
~C und ~D => A ist falsch

Nun geht man beide Fälle der Anahmen A bzw ~A durch.
Geht man von A aus (nimmt also an, dass die Aussage von A wahr ist und daher B falsch), dann gilt das Gegenteil der Aussage, welche B macht. Da B behauptet, A sei wahr, muss also A falsch sein(das wäre die gegenteilige Aussage von B). Damit hat man aus A=wahr implikativ gezeigt, dass das dazu führt, dass A falsch sein muss. Das wäre also ein Widerspruch.
Geht man von ~A aus (nimmt also an, dass die Aussage von A falsch ist, und ihr Gegenteil gilt, dann muss B wahr sein. B sagt A sei wahr und man landet auch bei dieser Annahme bei einem Widerspruch.


Hat man statt zwei Aussagen nur eine, ist die Schleife kürzer.
hat man also eine Aussage A: "A ist wahr", dann lässt sich nicht prüfen, ob A tatsächlich wahr ist. in jedem Fall ist keine der Annahmen ein Widerspruch.
Nimmt man an, dass A falsch ist, dann muss das Gegenteil der aussage gelten. Da A behauptet es sei wahr, dann ist ausgehend von der Annahme A sei falsch das Gegenteil 'A ist falsch' der Fall, was sich mit unserer ursprünglichen Annahme deckt.
Nimmt man stattdessen an, dass A wahr ist, so gilt die von A gemachte Aussage: A ist wahr, wobei das unsere Annahme ist. Kein Widerspruch.

Bei einer Aussage B: "B ist falsch", führt das zu einem Widerspruch, egal ob man annimmt, dass B wahr oder dass B falsch ist. Egal was man annimmt, es gilt jeweils das Inverse dazu.
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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Pippen » 20. Mär 2018, 15:23

Lass uns bitte vereinbaren:

A: ~B und (~B = wahr)
B: A und (A = wahr)

und damit argumentieren, sonst komme ich in dem Zeichensalat schlicht nicht mit.

Ich zeige dir jetzt einen Weg, wonach kein Widerspruch entsteht, das reicht ja, um die Paradoxie aufzulösen: Sei die erste Aussage "A: ~B und (~B = wahr)" wahr, dann sind auch die beiden Teile "~B" und "(~B = wahr)" beide wahr, d.h. B wäre falsch. Wenn nun in der zweiten Aussage "B: A und (A = wahr)" nur der Teil "(A = wahr)" falsch wäre, während der Teil "A" wahr wäre, dann wäre B tatsächlich falsch und A trotzdem wahr. Kein Widerspruch. Dass in B der Teil "(A = wahr)" falsch wäre, würde ja nicht bedeuten, dass "A" falsch ist, sondern nur dass "A = wahr" falsch ist. "A" und "A = wahr" sind zwei verschiedene Sachen, nicht anders als A und B, denn das Eine bezieht sich auf Objekte, das Andere auf Aussagen zu Objekten.

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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Skeltek » 20. Mär 2018, 19:37

Ja, ich verstehe deine Argumentation.
Die Sache ist ja die, dass A entweder falsch oder wahr ist. Wenn "(A = wahr)" falsch ist, muss das zwangsläufig bedeuten, dass A nicht wahr ist. Man schließt eben ein Drittes "A ist weder wahr noch falsch" aus. Wenn A also nicht wahr ist, muss es falsch sein.

Ich persönlich halte rekursive Aussagen-Konstrukte allgemein für Quatsch, entsprechend bin ich da möglicherweise der falsche Ansprechpartner. Dass die Aussage B(/A/alles) letzten Endes Quatsch ist, weil selbst ohne Widerspruch keinerlei Wahrheits- oder Unwahrheits-Gehalt zugeordnet werden kann, ist ja für den Widerspruch selbst ohne Belang. Wir zeigen ja nur, dass die Annahme irgendetwas sei wahr oder falsch einfach zu einem Widerspruch bzw Inkonsistenz führt.
Der Widerspruch zeigt ja nicht, dass irgendeine Annahme falsch ist und ihr Gegenteil gelten muss... unter Umständen könnte man argumentieren, dass weder das eine noch das andere gilt. Der Widerspruch sagt letzten Endes gar nichts über die beiden Aussagen selbst aus, sondern lediglich, dass die Annahme welche wir über sie machen falsch ist.

Also kurz gefasst:
1. es soll zeigen: Widerspruch => Unsere Annahme über A war falsch
2. es soll nicht zeigen: Widerspruch => A ist weder wahr noch falsch
Das Letztere ist zwar normalerweise eine Implikation des Ersten, aber nicht das eigentliche ziel der Widerspruchsherleitung.
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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Pippen » 20. Mär 2018, 22:25

Skeltek hat geschrieben:
20. Mär 2018, 19:37
Ja, ich verstehe deine Argumentation.
Die Sache ist ja die, dass A entweder falsch oder wahr ist. Wenn "(A = wahr)" falsch ist, muss das zwangsläufig bedeuten, dass A nicht wahr ist.
Du hast Recht, so klappt es nicht.

A: "~B" und "dieser Satz ist wahr"
B: "A" und "dieser Satz ist wahr"

Was ist mit dieser Version? Nehmen wir wieder an, A ist wahr, dann sind auch beide seine Teilsätze wahr, woraus folgt, dass B falsch sein muss. B sei also falsch, in dem dort "A" wahr sei, dafür aber "dieser Satz ist wahr" falsch. Daraus folgt nun aber nur, dass B insgesamt falsch ist, aber nicht mehr unbedingt "A", richtig? Denn der Fehler, der zur Falschheit von "dieser Satz ist wahr" führt, könnte ja im ganzen Satz irgendwo stecken, ohne dass A davon betroffen ist, denn "dieser Satz" meint den gesamten Satz B.

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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Skeltek » 21. Mär 2018, 19:18

~B bedeutet also dass mindestens eine der folgendern drei Aussagen wahr ist:
1. A und ~B
2. ~A und B
3. ~A und ~B
2. und 3 schließen wir ja durch die Annahme aus.
Dann bleibt wie du sagtst 1. übrig.
Letzten Endes hast du dann das Problem reduziert darauf, dass B von sich behauptet wahr zu sein, was nicht überprüfbar ist und genausogut als falsch angenommen werden kann.

Dein Beispiel kann man somit kürzen auf:
A: "~B"
B: "B"
Die Annahme A sei wahr führt dann wie du sagst zu keinem Widerspruch, da du indirekt die Interpretationsmöglichkeiten von B wahr/falsch durch Selbstrekurison erweitert hast. Die Aussage B: "B" kann nach belieben als wahr oder falsch angenommen werden, je nachdem worauf man gerade Lust hat. Beide Annahmen führen zu keinem Widerspruch... es ist nicht feststellbar ob es wahr ist oder nicht. Hier hast du einen Joker eingebaut, der jederzeit bedeuten kann was dir gerade rein passt ^^
Das ist das was ich weiter oben meinte, dass man nämlich entweder ein System konstruieren kann, welches widersprüchlich ist oder eben unvollständig/mehrdeutig (sag das so aber auf keinem Fall einem Prof oder in einer Prüfung - das ist Goedel ad absurdum simplifiziert). Vielleicht kannst du mittlerweile verstehen, weshalb ich von rekursiven Wahrheitsaussagen nicht viel halte - entweder sie können weder wahr noch falsch sein, oder es ist nicht feststellbar ob wahr oder falsch.
Hier kann man übrigens auch nicht wirklich wissen, ob A lügt oder B lügt - das ist völlig offen.
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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Pippen » 21. Mär 2018, 22:54

Skeltek hat geschrieben:
21. Mär 2018, 19:18
Dein Beispiel kann man somit kürzen auf:
A: "~B"
B: "B"
Wie kommst du darauf? Mein Beispiel war:

A: ~B und dieser Satz ist wahr.
B: A und dieser Satz ist wahr.

Übersetzen würde ich das so:

A: ~B & (A = wahr)
B: A & (B = wahr).

Wenn A wahr ist, dann ist ~B wahr (also B falsch) und (A=wahr) wahr. Da B falsch sein muss, wäre in B schlicht die Teilaussage A wahr und die Teilaussage (B=wahr) falsch. Aus (B=wahr) = falsch folgt nun nicht mehr, dass B's Teilaussage A falsch sein muss, sondern dass offenbar die zweite Teilaussage (B=wahr) fehlerhaft ist. Damit stoppt der Regress, es gibt keinen Widerspruch zwischen beiden Aussagen mehr.

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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Skeltek » 22. Mär 2018, 07:54

Pippen hat geschrieben:
21. Mär 2018, 22:54
Skeltek hat geschrieben:
21. Mär 2018, 19:18
Dein Beispiel kann man somit kürzen auf:
A: "~B"
B: "B"
Wie kommst du darauf?
Wenn man annimmt, dass A wahr ist, dann ist '~B und A="wahr"'.
Dann muss ~B gelten.
B bedeutet 'A und B'.
Also bedeutet ~B die Summe der folgenden dreiMöglichkeiten:
1. A und ~B
2. ~A und B
3. ~A und ~B
Da 2. und 3. unserer Annahme widersprechen, gilt 1. bzw 'a und ~B'

Der erste Teil von B ist völlig unproblematisch, denn er widersprich unserer Annahme nicht.
Im Fall von B gilt 'A und B="wahr"'.
Im Fall von ~B gilt 'A und ~B'
Deshalb kann man B: "A und dieser Satz ist wahr" ersetzen durch B: "B ist wahr". A wird hier durch unsere Annahme+Eliminitation der Möglichkeiten ohnehin als wahr angenommen. Deshalb spielt für die Auswertung ohnehin nur der zweite Teil von B eine Rolle.
B hätte dieselben Wahrheitstabellen, egal ob man den ersten Teil der Aussage einbindet oder weg lässt.

Ja, du hast meine Argumentation ja eben selbst auch widerholt. A ist ohnehin als wahr angenommen - der erste Teil von B spielt daher keine Rolle, da er so oder so gelten muss.
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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Pippen » 30. Mär 2018, 10:38

Aha, wenn ich das richtig sehe, dann sind wir uns jetzt einig, dass

A: ~B & (A = wahr)
B: A & (B = wahr)

keinen Widerspruch ergeben, richtig oder habe ich dich falsch verstanden?

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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Skeltek » 30. Mär 2018, 16:43

Ja, ich stimme mal grob zu.
Allerdings muss einem klar bleiben, dass nicht das aussagensystem an sich zu einem Widerspruch führt, sondern höchstens die Annahmen, welche man als ausserhalb des Systems stehender Beobachter über das System machen kann.
Ein Aussagensystem an sich ist nie widersprüchlich, aber man kann manchmal feststellen, dass jede mögliche Annahme darüber zu einem Widerspruch führen kann. Unterlässt man es eine Annahme über A oder B zu treffen, bekommt man keinen Widerspruch, da hier der kausale Anfang dann fehlt.
Ob ein Aussagensystem sinnig ist oder nicht, urteilt man in der Regel von außerhalb dieses Systems. Ich persönlich finde Aussagen wie 'C: C ist wahr' oder 'D: wahr', unsinnig, da man weder einen Widerspruch noch Wahrheitsgehalt dieser feststellen kann.
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