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Lügnerparadox - elegante Lösung

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Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Pippen » 19. Feb 2018, 21:10

Ich habe eine sehr einfache Lösung für das Lügnerparadoxon gefunden, die auf A. Prior zurückgeht. Danach enthält jede Aussage implizit ihre eigene Wahrheitsbehauptung, so dass gilt: p ist dasselbe wie "p und diese Aussage ist wahr". Damit wird aus "Dieser Satz ist falsch" schlicht "Dieser Satz ist falsch und dieser Satz ist wahr" und das ist schlicht widersprüchlich und damit falsch. Soweit so gut, aber was ist mit folgendem Paradox:

(1) Der nächste Satz ist falsch.
(2) Der vorhergehende Satz ist wahr.

Nach o.g. Lösung wird daraus:

(1) Der nächste Satz ist falsch und dieser Satz ist wahr.
(2) Der vorhergehende Satz ist wahr und dieser Satz ist wahr.

Gefühlt würde ich sagen, dass hier kein Widerspruch auftritt. Kann das jmd. bestätigen? Genauso löst sich dann die Russell'sche Paradoxie auf, denn die lautete dann: "R := {x|x ~€ x) & diese Aussage ist wahr". Diese Aussage wäre schlicht falsch.

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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Skeltek » 19. Feb 2018, 22:15

Das 'und' im zweiten Satz fasst zwei Wahrheitswerte zu einem zusammen und der ist dann falsch.

Im Grunde genommen gibt es keinerlei Wahrheit, nur Widerspruchsfreiheit. Zur Erläuterung: Du kannst dein Paradoxon ganz leicht reduzieren auf:
(1) Dieser Satz ist wahr.
Wie man an dem Beispiel sieht, ist der Satz erstunken und erlogen, aber widerspruchsfrei ;P

Anderes Beispiel:
(1) Dieser Satz ist falsch.
Der Satz ist weder wahr noch falsch. Er ist egal welche Annahme man trifft widersprüchlich.

Letzten Endes ist selbst das menschliche Gehirn als Hypothesen-Maschine lediglich in der Lage, die eigenen Hypothesen über die Realität (ständig) durch Messdaten auf Widerspruchs-Freiheit zu prüfen, bis man gegebenenfalls einen Widerspruch findet. Hier kommen dann aber wieder Gödel bzw die Abwandlung des Halteproblems ins Spiel, dass man nie entscheiden kann, ob nicht doch irgendwann ein Widerspruch gefunden wird. Das Gehirn kann die Realität nicht auf Wahrheit überprüfen, nur auf Widerspruchsfreiheit von Messdaten oder Aussagen anderer.
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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von tomS » 20. Feb 2018, 08:04

Pippen hat geschrieben:
19. Feb 2018, 21:10
(1) Der nächste Satz ist falsch und dieser Satz ist wahr.
(2) Der vorhergehende Satz ist wahr und dieser Satz ist wahr.
Das ist äquivalent zu
A: ¬B und A
B: B und A
Pippen hat geschrieben:
19. Feb 2018, 21:10
Gefühlt würde ich sagen, dass hier kein Widerspruch auftritt. Kann das jmd. bestätigen?
Offensichtlich nicht, dann es folgt B und ¬B.
Gruß
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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Pippen » 20. Feb 2018, 12:29

@toms: Es entsteht aber keine Antinomie mehr, oder? A & B sind schlicht falsch bzw. wenn A wahr ist, dann ist B falsch und umgekehrt und nicht mehr: wenn A wahr ist, dann ist B falsch, dann ist A falsch usw. Ich will ja mit der Lösung die Antinomien ein für alle Mal ausschalten. Das wäre eine supereinfache Lösung.

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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von tomS » 20. Feb 2018, 13:21

Natürlich ist das eine Antinomie (sinngemäß "Unvereinbarkeit von Gesetzen"; eine spezielle Art des logischen Widerspruchs; zueinander in Widerspruch stehende Aussagen - nach Wikipedia).
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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Pippen » 20. Feb 2018, 18:24

Nicht mehr nach meiner Lesart, so meine ich.

Das heißt:

(1) Der nächste Satz ist falsch
(2) Der vorhergehende Satz ist wahr.

wäre eine Antinomie. Beide Sätze sind gleichzeitig wahr und falsch, egal wie man es dreht und wendet.

Wenn man dagegen annimmt, dass es heißt:

(1) Der nächste Satz ist falsch und dieser Satz ist wahr.
(2) Der vorhergehende Satz ist wahr und dieser Satz ist wahr.

dann kommt man nicht mehr in diesen antinomischen "Kreisel". Wenn (1) falsch wäre, dann wäre eben dort nur "dieser Satz ist wahr" falsch, so dass (2) wahr sein könnte - kein Widerspruch. Wäre (1) wahr, dann ist (2) falsch, aber nur wieder der Teil "dieser Satz ist wahr", während der andere Teil wahr sein könnte - kein Widerspruch. Das ist genial einfach.

Auch das russellsche Paradox würde sich in Wohlgefallen auflösen, wenn es hieße:

Gegeben sei die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten und diese Aussage (Menge) ist wahr. Das wäre kein Widerspruch mehr, sondern schlicht die leere Menge, weil "diese Aussage ist wahr" falsch wäre. Nicht umsonst sieht das sehr nach moderner Mengenlehre aus, wo Mengen ganz ähnlich ausgesondert werden (Aussonderungsaxiom). Leider überblicke ich nicht wirklich, ob ich da keinen Denkfehler mache, deshalb will ich mal die Meinung anderer (p.s. Bitte nicht an der "Künstlichkeit" des Zusatzes nörgeln, wir nehmen das einfach mal hin). Ich will auch darauf hinweisen, dass das nicht meine Idee ist, sondern die gibt's schon viele Jahrzehnte, aber sie gefällt mir sehr und ich wundere mich, warum sie sich offenbar nicht durchsetzte.

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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Skeltek » 20. Feb 2018, 18:48

Pippen hat geschrieben:
20. Feb 2018, 18:24
(1) Der nächste Satz ist falsch
(2) Der vorhergehende Satz ist wahr.

wäre eine Antinomie. Beide Sätze sind gleichzeitig wahr und falsch, egal wie man es dreht und wendet.
Die sind beide weder wahr noch falsch.

Folgend andere Beispiele die es eher treffen.
Beispiel 1:
(1) Der nächste Satz ist wahr
(2) Der vorhergehende Satz ist wahr
Beispiel2:
(1) Der nächste Satz ist falsch
(2) Der vorhergehende Satz ist falsch

Im ersten Beispiel sind entweder beide Sätze wahr oder falsch - kein Widerspruch bzw nicht entscheidbar ob sie wahr oder falsch sind.
Im zweiten Beispiel ist jeweils ein Satz wahr und der andere falsch, es ist aber nicht entscheidbar welcher - nur ein Satz ist widersprüchlich, aber nicht entscheidbar welcher.
In deinem Beispiel macht keiner der Sätze Sinn, egal ob man ihm wahr oder falsch zuordnet - da liegt der Widerspruch in beiden Sätzen - den Sätzen kann man beiden weder wahr noch falsch zuordnen.

Wenn man das ganze auf mein weiter oben genanntes einzeiliges Beispiel anwendet, kann man das durch Induktion auf beliebig große Aussagen-Systeme erweitern, von denen man dann nicht sagen kann ob sie wahr oder falsch sind (ist stark verwandt mit der Unvollständigkeit genügend komplexer widerspruchsfreier Systeme). Egal wie komplex ein Aussagensystem ist, kann man es höchstens auf Widerspruch testen.

Mit deinem erweiterten Beispiel gehst du ein wenig auf den Sachverhalt ein, nämlich: Wahrheitsgehalt eines widerspruchsfrei formulierten Satzes auf sich selbst bezogen (daher das 'und dieser Satz ist wahr'). Daher verstehe ich denke ich worauf du hinaus willst.
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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Pippen » 22. Feb 2018, 19:11

Skeltek hat geschrieben:
20. Feb 2018, 18:48
Pippen hat geschrieben:
20. Feb 2018, 18:24
(1) Der nächste Satz ist falsch
(2) Der vorhergehende Satz ist wahr.

wäre eine Antinomie. Beide Sätze sind gleichzeitig wahr und falsch, egal wie man es dreht und wendet.
Die sind beide weder wahr noch falsch.
Doch, doch.

Wenn (1) wahr wäre, dann wäre (2) falsch, doch damit (1) falsch, Widerspruch.
Wenn (1) falsch wäre, dann wäre (2) wahr, doch damit (1) wahr, Widerspruch.

Mit "meiner" Lösung scheint es diesen erzwungenen Widerspruch nicht zu geben:

(1) Der nächste Satz ist falsch und dieser Satz ist wahr.
(2) Der vorhergehende Satz ist wahr und dieser Satz ist wahr.

Hier kannst du keinen Widerspruch mehr erzwingen, wie weiter oben, beide Sätze sind konsistent vertretbar. Ich behaupte daher, dass die Lesart "p und p ist wahr" - die ja auch Sinn macht, denn wer behauptet Dinge und sagt dann, dass aber diese Behauptung falsch sei?!? - vermeidet jegliche Art von Paradoxa.

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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Skeltek » 22. Feb 2018, 20:21

Der nächste Satz ist falsch (sei wahr) und dieser Satz ist wahr(sei falsch).
Dann hast du eine Selbstrekursion. Indem du annimmst, dass 'der nächste Satz ist falsch' wahr ist, dann bleibt eigentlich nur noch übrig, dass 'dieser Satz ist wahr' im Endeffekt sich selbst falsch beurteilt.
Dann bleibt in der ersten Aussage als Konflikt stehen: 'dieser Satz ist wahr' (der bezieht sich ja auch auf sich selbst), was du dann von Außen als falsch beurteilst. Du kannst einem Satz der lediglich selbstrekursiv von sich selbst behauptet er sei wahr nicht willkürlich 'wahr' oder 'falsch' zuordnen. Im Grunde genommen hast du das dort von der ersten Aussage des Satzes völlig entkoppelt.

Das Problem ist letzten Endes, dass du den Unterschied zwischen 'nicht wahr' und 'falsch' machst, was denke ich durchaus vertretbar ist. Die eingebürgerte Logik setzt einfach voraus, dass Aussagensysteme einen Sinn ergeben, sich also Aussagen eindeutig 'wahr' oder 'falsch' zuordnen lässt. Das Problem ist schon Jahrhunderte alt und einfach ein Paradoxon das einfach durch Konstruktion aus diesem 'eindeutig wahr oder falsch, kein Drittes' ausbricht.

Durch Selbstbezug kann man eben nur Aussagen machen, die nicht entscheidbar oder widersprüchlich sind. Wie ich oben schon sagte, ist selbst 'Dieser Satz ist wahr' nicht entscheidbar. Dazu benötigt es keine 'hinreichend komplexen' Aussagensysteme (außer man will verschleiern wie banal der beschriebene Sachverhalt doch eigentlich ist).
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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Pippen » 23. Feb 2018, 18:30

Skeltek hat geschrieben:
22. Feb 2018, 20:21
Wie ich oben schon sagte, ist selbst 'Dieser Satz ist wahr' nicht entscheidbar.
Der Satz 'Dieser Satz ist wahr' muss wahr sein, weil er sonst widersprüchlich wäre.

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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Skeltek » 23. Feb 2018, 18:57

Pippen hat geschrieben:
23. Feb 2018, 18:30
Skeltek hat geschrieben:
22. Feb 2018, 20:21
Wie ich oben schon sagte, ist selbst 'Dieser Satz ist wahr' nicht entscheidbar.
Der Satz 'Dieser Satz ist wahr' muss wahr sein, weil er sonst widersprüchlich wäre.
Ne, er wäre dann nicht widersprüchlich sondern einfach falsch, was die Annahme bestätigt.

1. Satz(A) sei falsch; A behauptet von sich wahr zu sein.
2. Da wir annehmen die Aussage des Satzes sei falsch, invertieren diese Aussage um die Wahrheit herauszufinden und erhalten implikativ, dass der Satz falsch sein muss.
3. Das deckt sich mit der Annahme er sei falsch.

Wenn ich dir sage, dass Person B lügt, dann wirst du die Aussage von B nehmen(egal was diese behauptet) und annehmen, dass das Gegenteil von dem was dieser sagt wahr ist. Das haben wir oben so mit dem Satz A gemacht und herausgefunden, dass es unserer Annahme nicht widerspricht sondern sich mit dieser deckt.
Widerspruch bedeutet ja, dass deine Annahme eine Kette von Implikationen verursacht, die am Ende der Annahme widersprechen. Dass Person B lügt ist kein Widerspruch sondern bestätigt ja sogar meine Annahme daß er lügt.

Denk da lieber nochmal drüber nach.
'Dieser Satz ist falsch' führt zu einem Widerspruch, weil egal ob man wahr oder falsch annimmt, das Gegenteil meiner Annahme dadurch impliziert wird.
'Dieser Satz ist wahr' kann man durchaus als falsch betrachten, das führt zu keinem Widerspruch der Annahme, weil die Annahme nicht ihr eigenes Gegenteil impliziert. Annahme Satz falsch -> Aussage des Satzes wird invertiert -> Satz ist falsch =>kein Widerspruch
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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von tomS » 23. Feb 2018, 19:36

Nochmal: deine Aussagen lauten

A: ¬B und A
B: B und A

Wenn beide Sätze A und B gelten sollen, dann folgt: ¬B und A und B und A.
Gruß
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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Pippen » 23. Feb 2018, 19:53

Nein, sie lauten:

A: ~B und A
B: A und B.

Beide Sätze können natürlich nicht wahr sein, das wäre widersrpüchlich. Aber in der ursprünglichen Fassung - A: ~B & B: A - wäre immer ein Widerspruch da, egal, was gilt. Bei meiner jetzigen Lösung gibt es einen Weg, wo A und B widerspruchslos nebeneinander stehen können. Genauso wäre A: ~A immer widersprüchlich, weil entweder bei A's Wahrheit A: ~A oder bei A's Falschheit ~A: A. Dagegen ist "A: ~A und A" schlicht falsch und das Gegenteil "~A: ~(~A und A)" wahr, denn das ist kein Widerspruch.

@skeltek, Ich sehe das so: Angeommen der Satz "Dieser Satz ist wahr" wäre falsch. Das wäre ein Widerspruch. Also gilt per raa die Negation und das heißt, der Satz muss wahr sein.

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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von tomS » 23. Feb 2018, 20:12

Pippen hat geschrieben:
19. Feb 2018, 21:10
Ich habe eine sehr einfache Lösung für das Lügnerparadoxon gefunden ... danach enthält jede Aussage implizit ihre eigene Wahrheitsbehauptung, so dass gilt: p ist dasselbe wie "p und diese Aussage ist wahr".
Pippen hat geschrieben:
23. Feb 2018, 19:53
Beide Sätze können natürlich nicht wahr sein ...
Nun widerspricht du dir selbst.
Gruß
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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Pippen » 24. Feb 2018, 01:18

Mit "beide Sätze können nicht wahr sein" meine ich die Sätze:

Der nächste Satz ist falsch und dieser Satz ist wahr.
Der vorhergehende Satz ist wahr und dieser Satz ist wahr.

Denn das wäre sonst widersprüchlich. In der allgemeinen Satzform "p und dieser Satz ist wahr" kann natürlich nichts per se ausgeschlossen werden, das ist letztlich eine Konjunktion und deren Wahrheitswerttafel gilt.

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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von tomS » 24. Feb 2018, 08:39

Pippen hat geschrieben:
24. Feb 2018, 01:18
Mit "beide Sätze können nicht wahr sein" meine ich die Sätze:

Der nächste Satz ist falsch und dieser Satz ist wahr.
Der vorhergehende Satz ist wahr und dieser Satz ist wahr.
Aber die sagst doch, dass alle Sätze implizit ihre eigene Wahrheit behaupten, also auch diese.
Gruß
Tom

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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Skeltek » 24. Feb 2018, 13:22

tomS hat geschrieben:
23. Feb 2018, 19:36
A: ¬B und A
B: B und A
Pippen hat geschrieben:
23. Feb 2018, 19:53
A: ~B und A
B: A und B.
Ich sehe hier zwei Unterschiede.
1. Unterschied: Ausschluss eines Dritten. Ist A nicht wahr automatisch A ist falsch?
2. Unterschied: 'A und B' ist gleich 'B und A'. Tom hat es lediglich umgestellt um den Widerspruch explizit zu zeigen.

Vielleicht hilt es, für beide Sätze getrennt eine Wahrheitstabelle zu erstellen und zu vergleichen, ob irgendeine Kombination von A und B Aussagen in beiden Sätzen übereinstimmt.
@skeltek, Ich sehe das so: Angeommen der Satz "Dieser Satz ist wahr" wäre falsch. Das wäre ein Widerspruch. Also gilt per raa die Negation und das heißt, der Satz muss wahr sein.
Der Satz würde in dem Fall lediglich sich selbst widersprechen. Deine Annahme die du über den Satz triffst widerspricht sich aber nicht selbst. Sehe hier den Widerspruch im übergeordneten System nicht.
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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Pippen » 24. Feb 2018, 20:04

tomS hat geschrieben:
24. Feb 2018, 08:39
Pippen hat geschrieben:
24. Feb 2018, 01:18
Mit "beide Sätze können nicht wahr sein" meine ich die Sätze:

Der nächste Satz ist falsch und dieser Satz ist wahr.
Der vorhergehende Satz ist wahr und dieser Satz ist wahr.
Aber die sagst doch, dass alle Sätze implizit ihre eigene Wahrheit behaupten, also auch diese.
Ja, deshalb muss einer der beiden falsch sein. Der Punkt ist, dass daraus nichts mehr folgt. Im Ausgangsfall folgt aus der Falschheit eines Satzes seine Wahrheit und umgekehrt, zB wenn "der nächste Satz ist falsch" falsch ist, dann muss "der vorhergehende Satz ist wahr" wahr sein, womit "der nächste Satz ist falsch" wahr sein müsste, Widerspruch und so kommt man auf Widersprüche egal, was man annimmt. Das ist wie bei der Russellschen Menge R. Ohne ZFC hast du nur Widersprüche. Mit ZFC gilt, dass R nur eine Menge ist, wenn X bereits eine Menge ist und daraus alle Elemente mit der Eigenschaft "x ~€ x" ausgesondert und in R gesteckt werden können. Man kann dann leicht zeigen, dass es X nicht geben kann und damit gibt es kein R ohne dass nun die bekannten Widersprüche entstehen.

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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Skeltek » 26. Feb 2018, 13:59

A: Der nächste Satz ist falsch und dieser Satz ist wahr.
B: Der vorhergehende Satz ist wahr und dieser Satz ist wahr.

Bei der Annahme, A sei wahr, musst du eine Fallunterscheidung machen bei B.
Entweder A ist falsch oder B ist falsch (oder beides). Wenn B falsch sein soll, muss A auch falsch sein. -> Widerspruch

Bei der Annahme, A sei falsch, dann musst du Fallunterscheidung machen bei A.
Entweder der nächste Satz B ist wahr oder Satz A ist falsch. Wenn A falsch ist, muss B wahr sein. B sagt aus, A sei wahr -> Widerspruch

Wie du es drehst und wendest, bekommst du einen Widerspruch. Würde vorschlagen die Diskussion ruhen zu lassen, bis du auf einem Zettel ein Diagram mit allen möglichen Kombinationen und Fallunterscheidungen aus wahr und falsch machst.
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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von tomS » 26. Feb 2018, 15:14

Pippen hat geschrieben:
24. Feb 2018, 20:04
tomS hat geschrieben:
24. Feb 2018, 08:39
Aber die sagst doch, dass alle Sätze implizit ihre eigene Wahrheit behaupten, also auch diese.
Ja, deshalb muss einer der beiden falsch sein.
Welcher? Und warum gerade der?
Gruß
Tom

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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Skeltek » 26. Feb 2018, 17:25

tomS hat geschrieben:
26. Feb 2018, 15:14
Pippen hat geschrieben:
24. Feb 2018, 20:04
tomS hat geschrieben:
24. Feb 2018, 08:39
Aber die sagst doch, dass alle Sätze implizit ihre eigene Wahrheit behaupten, also auch diese.
Ja, deshalb muss einer der beiden falsch sein.
Welcher? Und warum gerade der?
Ich würde Fallunterscheidung machen:
1. erstes falsch
2. zweites falsch
3. beide falsch
und dann jeden Zweig durchgehen um zu sehen, dass überall derselbe Widerspruch raus kommt. Es gibt ja nur eine Hand voll Fälle. Letzten Endes muss ja eines verwirklicht sein.
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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Pippen » 7. Mär 2018, 03:54

tomS hat geschrieben:
23. Feb 2018, 19:36
Nochmal: deine Aussagen lauten

A: ¬B und A
B: B und A
Ich präzisiere noch mal:

A: ~B
B: A

Das ist die Ausgangsform des Paradoxons. Darin ergibt sich immer ein Widerspruch der Form (A & ~A) & (B & ~B). Das kann man beweisen. Deshalb schlage ich folgende Form vor:

A: ~B und (~B = wahr)
B: A und (A = wahr)

Denn jetzt gilt, dass o.g. Widerspruch nie auftritt. Dazu muss nur B falsch sein (und zwar dort das zweite Konjunktionsglied, während das erste wahr ist), dann ist A wahr. Damit sind beide Sätze zueinander konsistent. Diese Form entspricht auch unserem Sprachgebrauch. Wenn wir sagen "Berlin ist eine Stadt", dann meinen wir eigentlich: "Berlin ist eine Stadt und die vorhergehende Aussage (d.h. Berlin sei eine Stadt) ist wahr".

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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Skeltek » 7. Mär 2018, 22:14

Pippen hat geschrieben:
7. Mär 2018, 03:54
A: ~B und (~B = wahr)
B: A und (A = wahr)
A wahr => ... => ~B=wahr => (A und (A=wahr)) falsch => A falsch oder (A=wahr) falsch oder (A falsch und (A=wahr)falsch) => A falsch => ~B falsch oder (~B=wahr) falsch oder (~B falsch und (~B=wahr) falsch) => ~B falsch => B wahr
Widerspruch

Durch einfaches aufdröseln in mehrere Fälle, die jeweils immer das gleiche implizieren.
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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Pippen » 8. Mär 2018, 00:02

Skeltek hat geschrieben:
7. Mär 2018, 22:14
Pippen hat geschrieben:
7. Mär 2018, 03:54
A: ~B und (~B = wahr)
B: A und (A = wahr)
A wahr => ... => ~B=wahr => (A und (A=wahr)) falsch => A falsch oder (A=wahr) falsch oder (A falsch und (A=wahr)falsch) => A falsch => ~B falsch oder (~B=wahr) falsch oder (~B falsch und (~B=wahr) falsch) => ~B falsch => B wahr
Widerspruch
Das grün Markierte kann halt nicht sein, sonst droht der Widerspruch, es muss (A=wahr) falsch sein, dann gibt es keinen Widerspruch mehr. Nochmal: Wenn A wahr ist und B falsch - und zwar dort A wahr und (A = wahr) falsch - dann sind beide Aussagen zueinander verträglich. Genauso wenn wir den Lügnersatz statt mit "Dieser Satz ist falsch" mit "Dieser Satz ist falsch und 'dieser Satz ist falsch' ist wahr" übersetzen. Dann ist das Ding einfach falsch und Ende. Und wer halt sagt "Dieser Satz ist falsch", der meint damit ja genau das: dass dieser Satz falsch ist und das 'dieser Satz ist falsch' wahr sein soll. Für mich jedenfalls eine tolle Idee, um die semantischen Paradoxien zu umgehen, abgekupfert aus dem modernen Aussonderungsaxiom von ZFC.

Skeltek
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Re: Lügnerparadox - elegante Lösung

Beitrag von Skeltek » 8. Mär 2018, 20:48

Ja, ich hatte nicht gesehen, dass beim grün markierten bereits der Widerspruch auftaucht. Ich werde es nochmal bearbeitet rein schreiben.
Skeltek hat geschrieben:
7. Mär 2018, 22:14
A wahr => ... => ~B=wahr => (A und (A=wahr)) falsch => A falsch oder (A=wahr) falsch oder (A falsch und (A=wahr)falsch) => A falsch => ~B falsch oder (~B=wahr) falsch oder (~B falsch und (~B=wahr) falsch) => ~B falsch => B wahr
Widerspruch
Die farbigen Stellen markieren den Widerspruch der auftritt, wenn man davon ausgeht, dass A wahr ist.
Das ganze kann man auch machen, wenn man davon ausgeht, dass A falsch ist.

1. Es gibt nur wahr und falsch; es gibt kein 'Drittes'.
2. Annahme 'A ist wahr' führt zu Widerspruch dieses Versuches, eine gültige Ausprägung des Axiomensystems zu finden.
3. Annahme 'A ist falsch' führt genauso zu einem Widerspruch eine widerspruchsfreie Realisation des Aussagensystems zu finden.
4. Es gibt kein Drittes, also keine weitere Annahme über das Aussagensystem, welche nicht zu einem Widerspruch führt.

Es ist allgemein so, dass eine rekursives Aussagensystem von 'nirgendwoher' seinen initialen Wahrheitsgehalt oder Ankerpunkt zugewiesen bekommt. Man kann solche Aussagensysteme nicht auf Wahrheit prüfen, höchstens einen Widerspruch herbaiführen.
Die Aussage A: "A ist wahr" führt zu keinem Widerspruch, ihr Wahrheitsgehalt kann jedoch nicht ermittelt werden. Die Annahme A würde lügen, führt zu der Implikation, dass das Gegenteil der Aussage wahr sein muss. Das widerspricht nicht der Annahme.
Aie Aussage B: "B ist falsch" führt zu einem Widerspruch, egal ob man annimmt dass die Aussage wahr oder falsch ist.

ich denke es ist sehr wichtig die letzten beiden Beispiele zu verstehen, bevor man sich an komplexeres heranwagt.
Die plausibelste Erklaerung jedes hinreichend komplizierten Systems ist falsch

Unentscheidbarkeit für Dummies: Dieser Satz ist wahr
oder
Diese Menge hat zwei Elemente: A und B

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