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Unendlichkeiten, Endlichkeiten, Metrik, Mengen und Geometrie

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Re: Unendlichkeiten, Endlichkeiten, Metrik, Mengen und Geometrie

Beitrag von seeker » 11. Mär 2018, 18:51

Prima. Punkte sind also keine Zahlen, man kann aber Punkten Zahlen zuordnen.
Und Mengen enthalten keine Eigenschaft "Abstand" oder "Länge", ich behaupte, ebensowenig wie ein Punkt:
Eine Strecke hat die Eigenschaft "Länge", ein Punkt hat keine Länge, er hat diese Eigenschaft "Ausdehnung" nicht, das ist ein qualitativer, also grundlegender Unterschied, nicht nur ein quantitativer.
Pippen hat geschrieben:
11. Mär 2018, 13:40
Eine Strecke besteht aus Punkten
Nochmal:

Ich kann z.B. behaupten, dass ein Dreieck aus drei Strecken besteht, das kann ich auch beweisen, indem ich das Dreieck an den Ecken auseinanderschneide.
Umgekehrt kann ich drei Strecken immer zu einem Dreieck zusammenfügen.
Ebenso kann ich behaupten, dass eine Strecke der Länge L aus zwei Strecken der Länge L/2 besteht, auch das kann ich auf dieselbe Weise nachweisen: Teilen und Zusammensetzen.

Wenn ich daher behaupte, dass eine Strecke aus Punkten bestünde, dann müsste man eine Strecke auch so zerschneiden können, dass in eindeutiger Weise daraus Punkte entstehen und sonst nichts übrig bleibt und umgekehrt müsste man aus Punkten eine Strecke mit definierter Länge zusammenbauen können.
Dem widerspricht aber mein Halbierungsbeispiel.
Wenn man das nicht ignorieren will, was folgt dann daraus?
Grüße
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Re: Unendlichkeiten, Endlichkeiten, Metrik, Mengen und Geometrie

Beitrag von Pippen » 11. Mär 2018, 21:50

seeker hat geschrieben:
11. Mär 2018, 18:51
Prima. Punkte sind also keine Zahlen, man kann aber Punkten Zahlen zuordnen.
Und Mengen enthalten keine Eigenschaft "Abstand" oder "Länge", ich behaupte, ebensowenig wie ein Punkt:
Eine Strecke hat die Eigenschaft "Länge", ein Punkt hat keine Länge, er hat diese Eigenschaft "Ausdehnung" nicht, das ist ein qualitativer, also grundlegender Unterschied, nicht nur ein quantitativer.
Sehe ich genauso. Die Topologie doktriniert dann den Punkten einfach Abstandsbegriffe auf.
Wenn ich daher behaupte, dass eine Strecke aus Punkten bestünde, dann müsste man eine Strecke auch so zerschneiden können, dass in eindeutiger Weise daraus Punkte entstehen und sonst nichts übrig bleibt
Kann man. Man braucht nur jemanden, der einfach alle reellen Zahlen hernimmt und die Strecke entsprechend zerschneidet. Dass dieser jemand das nicht in Form einer Liste machen könnte heißt noch nicht, dass er es gar nicht könnte. Allein die Annahme von IR impliziert ja bereits die Möglichkeit auf jede einzelne reelle Zahl Bezug nehmen zu können, nur eben nicht mittelns Listen (also Abbildungen von natürlichen Zahlen). Könnte man nicht das Auswahlaxiom dafür nutzen?

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Re: Unendlichkeiten, Endlichkeiten, Metrik, Mengen und Geometrie

Beitrag von tomS » 11. Mär 2018, 23:25

Pippen hat geschrieben:
11. Mär 2018, 21:50
Die Topologie doktriniert dann den Punkten einfach Abstandsbegriffe auf.
Nee, das tut erst die Geometrie. Die Topologie kennt keinen Längen- oder Abstandsbegriff.
Gruß
Tom

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Re: Unendlichkeiten, Endlichkeiten, Metrik, Mengen und Geometrie

Beitrag von seeker » 12. Mär 2018, 00:25

seeker hat geschrieben:Wenn ich daher behaupte, dass eine Strecke aus Punkten bestünde, dann müsste man eine Strecke auch so zerschneiden können, dass in eindeutiger Weise daraus Punkte entstehen und sonst nichts übrig bleibt.
Pippen hat geschrieben:
11. Mär 2018, 21:50
Kann man. Man braucht nur jemanden, der einfach alle reellen Zahlen hernimmt und die Strecke entsprechend zerschneidet. Dass dieser jemand das nicht in Form einer Liste machen könnte heißt noch nicht, dass er es gar nicht könnte.
Wie geht das? Kannst du ein Beispiel einer funktionierenden Zerlegungsvorschrift nennen, wo die restlose Zerlegung einer Strecke in Punkte rauskommt?
Aber selbst wenn es geht, so geht es eben nicht eindeutig, je nach Zerlegungs- oder Zusammensetzungsvorschrift kann etwas anderes herauskommen, mein Zerlegungsbeispiel zeigt, dass es mindestens eine Möglichkeit gibt, wo man keine Punkte erhält, selbst dann nicht, wenn man sie aktual unendlich oft ausführt. Das reicht schon als Beweis, dass es keine eindeutige Zerlegung einer Strecke in Punkte geben kann.
Wenn etwas nicht eindeutig geht, kann man wenig mit anfangen und dann darf man auch nicht sagen, dass eine Strecke eindeutig nichts weiter als eine Ansammlung von Punkten sei.

In Abgrenzung dazu gelingt aber z.B. eine Zerlegung einer Strecke in gleich lange Teilstrecken immer eindeutig.
Pippen hat geschrieben:
11. Mär 2018, 21:50
Allein die Annahme von IR impliziert ja bereits die Möglichkeit auf jede einzelne reelle Zahl Bezug nehmen zu können, nur eben nicht mittelns Listen
Vorsicht, die Menge R ist nicht die Zahlengerade, lass dich von dieser Darstellung nicht täuschen.
Die Zahlengerade ist nichts weiter als eine Veranschaulichung, dass die reelen Zahlen eine lineare Ordnung bilden, man muss sich davor hüten da mehr als das hineinzuinterpretieren.
Die Topologie doktriniert dann den Punkten einfach Abstandsbegriffe auf.
Richtig ist m.E.:
Die Geometrie ermöglicht es dann verschiedenen Punkten, die auf geometrischen Objekten sozusagen als Marker eingezeichnet wurden, Abstandsbegriffe zuzuordnen.
Grüße
seeker


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Re: Unendlichkeiten, Endlichkeiten, Metrik, Mengen und Geometrie

Beitrag von Pippen » 12. Mär 2018, 00:36

tomS hat geschrieben:
11. Mär 2018, 23:25
Die Topologie kennt keinen Längen- oder Abstandsbegriff.
Ich meinte Maßtheorie, verdammte Tippfehler. :P
Wie geht das? Kannst du ein Beispiel einer funktionierenden Zerlegungsvorschrift nennen, wo die restlose Zerlegung einer Strecke in Punkte rauskommt?
Sei die Strecke durch IR repräsentiert. Dann machen wir einfach: IR -> IR und schon hätten wir alle Punkte einzeln "zerlegt".

Sieh auch mal hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Banach-Tarski-Paradoxon Ist das nicht, was du meinst, nur mit Kugeln statt mit Strecken?

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Re: Unendlichkeiten, Endlichkeiten, Metrik, Mengen und Geometrie

Beitrag von seeker » 12. Mär 2018, 09:33

Pippen hat geschrieben:
12. Mär 2018, 00:36
Sei die Strecke durch IR repräsentiert. Dann machen wir einfach: IR -> IR und schon hätten wir alle Punkte einzeln "zerlegt".

Sieh auch mal hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Banach-Tarski-Paradoxon Ist das nicht, was du meinst, nur mit Kugeln statt mit Strecken?
Ich denke nicht. Dort geht es um die Zerlegung einer Fläche in endlich viele Teilflächen mit anschließender anderer Zusammensetzung dieser Flächen, nicht um die Zerlegung einer Fläche in einzelne Punkte.
"In der Ebene und auf der Geraden ist dieser Satz nicht gültig", kann man auf der Seite nachlesen.

Aber wie gesagt, selbst wenn es irgendwie ginge eine Strecke vollständig in Punkte zu zerlegen, würde sofort das hier greifen:
seeker hat geschrieben:
12. Mär 2018, 00:25
Aber selbst wenn es geht, so geht es eben nicht eindeutig, je nach Zerlegungs- oder Zusammensetzungsvorschrift kann etwas anderes herauskommen, mein Zerlegungsbeispiel zeigt, dass es mindestens eine Möglichkeit gibt, wo man keine Punkte erhält, selbst dann nicht, wenn man sie aktual unendlich oft ausführt. Das reicht schon als Beweis, dass es keine eindeutige Zerlegung einer Strecke in Punkte geben kann.
Wenn etwas nicht eindeutig geht, kann man wenig mit anfangen und dann darf man auch nicht sagen, dass eine Strecke eindeutig nichts weiter als eine Ansammlung von Punkten sei.

In Abgrenzung dazu gelingt aber z.B. eine Zerlegung einer Strecke in gleich lange Teilstrecken immer eindeutig.
Und weiterhin weisen uns Paradoxa ja gerade darauf hin, dass da ein Problem existiert, ein Widerspruch oder eine Uneindeutigkeit, sowas wir möchten wir ja gerade möglichst vermeiden.

Und wenn wir das hier zulassen...
Pippen hat geschrieben:
12. Mär 2018, 00:36
Sei die Strecke durch IR repräsentiert. Dann machen wir einfach: IR -> IR und schon hätten wir alle Punkte einzeln "zerlegt".
...dann handeln wir uns definitiv Uneindeutigkeiten ein.
Dann könnte man so eine Strecke nämlich durch Zerlegung und und Wiederzusammensetzung (noch dazu in derselben Reihenfolge der Teile!) beliebig verlängern oder verkürzen, wir könnten sogar aus eine Strecke eine unendlich lange Gerade machen, deshalb, weil jedes Intervall [a,b] in R gleich viele Elemente enthält wie jedes andere Intervall in R und gleich viele wie gesamt R, in dem Sinne, dass alle Elemente der verschiedenen Mengen eineindeutig abgebildet werden können.

Wir möchten aber eindeutig arbeiten können. Es ist daher viel besser sich von ein paar Vorstellungen zu lösen:

- Eine Menge an Zahlen ist kein geometrisches Objekt
- Eine Menge an Punkten ist keine Strecke, ein Punkt ist keine Strecke, also kein 1-dimensionales Objekt mit Länge Null, sondern ein 0-dimensionales Objekt, das eine Eigenschaft "Länge" überhaupt nicht hat, also 'Nicht-Länge' statt 'Länge 0'.
- Eine Menge an Strecken ist keine Fläche, entsprechend
- Eine Menge an Flächen ist kein Volumen, entsprechend
- Es lassen sich aber Punkte z.B. auf Strecken identifizieren, man sollte sich das aber so vorstellen, dass man auf z.B. auf einer schon existierenden Strecke Punkte einträgt, wie mit einem Filzstift. Die Markierungen sind aber nicht die Strecke sondern auf der Strecke, welche allein die Eigenschaft "Länge" bzw. "Ausdehnung" hat, die eingetragenen Punkte haben diese Eigenschaft selbst nicht, sie zeigen nur darauf. Daher muss man aufpassen, ob Aussagen und Schlussfolgerungen über die eingetragenen Punkte auch für die zugrundeliegende Strecke gültig sind oder nicht.

In genau diese Falle bist du getappt, als du damals geschlussfolgert hattest, dass man eine Strecke nicht dehnen könne, weil du irgendwelche Probleme bei den darauf eingetragenen Punkten gesehen hattest. Das war 'den Bock zum Gärtner machen', man muss die Reihenfolge der Zusammenhänge strikt einhalten, darf sie nicht vertauschen.
Grüße
seeker


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Re: Unendlichkeiten, Endlichkeiten, Metrik, Mengen und Geometrie

Beitrag von Pippen » 12. Mär 2018, 12:46

seeker hat geschrieben:
12. Mär 2018, 09:33
Und wenn wir das hier zulassen...
Pippen hat geschrieben:
12. Mär 2018, 00:36
Sei die Strecke durch IR repräsentiert. Dann machen wir einfach: IR -> IR und schon hätten wir alle Punkte einzeln "zerlegt".
...dann handeln wir uns definitiv Uneindeutigkeiten ein.
Dann könnte man so eine Strecke nämlich durch Zerlegung und und Wiederzusammensetzung (noch dazu in derselben Reihenfolge der Teile!) beliebig verlängern oder verkürzen, wir könnten sogar aus eine Strecke eine unendlich lange Gerade machen, deshalb, weil jedes Intervall [a,b] in R gleich viele Elemente enthält wie jedes andere Intervall in R und gleich viele wie gesamt R, in dem Sinne, dass alle Elemente der verschiedenen Mengen eineindeutig abgebildet werden können.
Nun, das wäre eine notwendige Folge der Gleichsetzung von Kontinuums und IR. Ich sehe darin keine Uneindeutigkeit. Mit 'verlängern' oder 'verkürzen' hat das mE nix zu tun, dazu brauchst du zusätzlich eine Maßtheorie und die entscheidet, was wie als verlängern oder verkürzen gilt. Dort wäre dann zB festgelegt, dass ein Intervall [a,b] kleiner ist als [a, b-x, wobei x>0]. Wenn wir also physikalisch von Raumexpansion sprechen, dann meinen wir damit mE mathematisch nicht die Mengen, sondern die Maße auf den Mengen. Wir hätten dann ein Maß a und können dieses Maß in 2a ändern. Damit "dehnen" wir den Raum (Gummiband).

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Re: Unendlichkeiten, Endlichkeiten, Metrik, Mengen und Geometrie

Beitrag von seeker » 12. Mär 2018, 13:42

Pippen hat geschrieben:
12. Mär 2018, 12:46
Nun, das wäre eine notwendige Folge der Gleichsetzung von Kontinuums und IR. Ich sehe darin keine Uneindeutigkeit.
Wenn ich zwei gleich lange Strecken A und B habe und eine davon (B) in unendlich viele Punkte zerlege und hinterher wieder zusammensetze und nicht sagen kann wie lange B nach den Operationen sein wird, ob länger, kürzer oder gleich lang wie A dann IST das uneindeutig - und das schon auf ganz grundlegender Ebene, weil ich zum Vergleich hier A und B nur nebeneinander legen muss, sieh es ein. Dass das so ist hängt mit den Eigenschaften bzw. Nicht-Eigenschaften des Konzeptes "Unendlichkeit" zusammen, Unendlichkeiten haftet immer eine gewisse Unbestimmtheit an.
Pippen hat geschrieben:
12. Mär 2018, 12:46
dazu brauchst du zusätzlich eine Maßtheorie und die entscheidet, was wie als verlängern oder verkürzen gilt.
Eben. Und deshalb brauchen wir uns da auch gar nicht drum kümmern, ob und wie eine Strecke in Punkte zerlegbar ist oder nicht, dieses Tor zur Hölle müssen wir gar nicht aufstoßen.
Es reicht wenn wir uns auf die Markierungen auf der Strecke konzentrieren. So kommen wir voran.

Und wenn es um Physik geht, müssen wir noch einen weiteren Schritt tun: Wir müssen dann physikalisch sinnvolle Abstände finden und definieren, damit sind wir also eingeschränkter als wenn wir uns rein in der Mathematik bewegen.
Physikalisch sinnvolle Abstände müssen irgendwie zu real durchführbaren Messungen in Bezug gesetzt werden können.
Und Abstandsänderungen ebenso, solche sind immer nur durch einen Vergleich fassbar, wenn etwas als größer geworden aufgefasst werden soll, muss man immer dazu angeben können, relativ wozu es größer geworden ist, man braucht also auch einen fixen und messbaren Maßstab.
Dazu können z.B. Lichtlaufzeiten in Kombination zur Lichtgeschwindigkeit herhalten oder die Größe von Galaxien oder die von Atomen: Wenn wir sagen, dass der Raum expandiere, dann kann man damit z.B. meinen, dass der Raum relativ zur Größe der Galaxien expandiert, dass also alle Abstände zwischen den Galaxien im Mittel zunehmen, während die Galaxien im Mittel gleich groß bleiben.
Grüße
seeker


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