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Unendlichkeiten, Endlichkeiten, Metrik, Mengen und Geometrie

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Unendlichkeiten, Endlichkeiten, Metrik, Mengen und Geometrie

Beitrag von Pippen » 15. Feb 2018, 03:36

Nehmen wir mal IR^3 als Beispiel eines unendlichen Start-Universums. Dann kann es nie sein, dass der Abstand zwischen zwei Raumpunkten (x1,y1,z1) und (x2,y2,z2) "wächst", denn das hieße, dass sich eine Lücke auftäte, die es wg. der Vollständigkeit von IR nicht geben kann. Das Maßsystem ist völlig unwichtig, weil es um die Ausdehnung des IR^3-Universums geht und nicht um die Ausdehnung irgendwelcher Maße. Ausdehnung setzt das Potential für Ausdehnung voraus und das gäbe es nicht, so dass man gar nicht dazu kommt, ein Maß draufzulegen. Das wäre wie wenn jemand einen Kuchen backt, der vollständig die Backform ausfüllt. Da brauchen wir nirgends messen, denn wir wüßten: dehnen bzw. größer werden kann der Kuchen gar nicht! Dann käme ein Physiker, würde irgendwelche Maße definieren und sagen, dass aufgrund dessen der Kuchen doch größer wurde, aber das ist mE absurd. Das alles gilt für diskrete Universen genauso.

Wie man sieht, geht's wieder mal um die Grundlagen....

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Re: War der Urknall punktförmig?

Beitrag von tomS » 15. Feb 2018, 09:41

Pippen hat geschrieben:
15. Feb 2018, 03:36
Wie man sieht, geht's wieder mal um die Grundlagen ...
Genau. Und die solltest du dir erarbeiten oder zumindest zur Kenntnis nehmen.

Deine Beiträge sind unqualifiziert, solange du nicht darüber redest, was Mathematik und Physik tatsächlich besagen, sondern lediglich darüber, was du dir selbst zusammenreimst.
Gruß
Tom

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Re: War der Urknall punktförmig?

Beitrag von Pippen » 15. Feb 2018, 16:53

Ihr weicht nur aus, anstatt zu argumentieren. Schildert doch - wenigstens grob - warum das unangemessen sein soll.

Fakt ist, dass IR^3 ein vollständiges Kontinuum bildet. Dieses Kontinuum verändert sich nie, es ist statisch. Das gilt auch für IN^3 oder Q^3 (wenn das auch keine Kontinua sind). Daher meine ich - ohne eure Maßtheorie auch nur anzudenken - folgern zu können, dass so ein Universum niemals dynamisch sein könnte. Da sind wir uns wohl einig. Für euch ist scheinbar das Universum nicht IR^3 - wie für mich - sondern IR^3 + Maßsystem. Ich will aber nicht wissen, wie sich das Universum nach unseren Maßstäben verhält, sondern wie es sich an sich verhält. Deshalb verzichte ich auf ein Maßsystem und schaue mir nur die Menge an, weil ich da glaube, näher am "an sich" sein zu können (Ockham's Rasiermesser).

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Re: War der Urknall punktförmig?

Beitrag von positronium » 15. Feb 2018, 17:08

Pippen hat geschrieben:
15. Feb 2018, 16:53
Für euch ist scheinbar das Universum nicht IR^3 - wie für mich - sondern IR^3 + Maßsystem.
Ja, Koordinaten sind nur ein Hilfsmittel. Entfernungen/Längen werden nicht direkt über Koordinaten bestimmt (so wie im euklidischen Raum), sondern über die Metrik.
Wenn Du das in Frage stellst, stellst Du aber auch die Raumkrümmung und die ganze ART in Frage.

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Re: Zur Geometrie und zur Bedeutung der Metrik

Beitrag von tomS » 15. Feb 2018, 18:14

Pippen hat geschrieben:
15. Feb 2018, 03:36
Nehmen wir mal IR^3 als Beispiel. Dann kann es nie sein, dass der Abstand zwischen zwei Raumpunkten (x1,y1,z1) und (x2,y2,z2) "wächst" ... Das Maßsystem ist völlig unwichtig, weil es um die Ausdehnung des IR^3-Universums geht und nicht um die Ausdehnung irgendwelcher Maße ...
Das ist im Rahmen der Riemannschen Geometrie und damit der ART ein Irrtum.
Pippen hat geschrieben:
15. Feb 2018, 16:53
Fakt ist, dass IR^3 ein vollständiges Kontinuum bildet. Dieses Kontinuum verändert sich nie, es ist statisch ... Daher meine ich - ohne eure Maßtheorie auch nur anzudenken - folgern zu können, dass so ein Universum niemals dynamisch sein könnte.
Das ist im Rahmen der ART ein Irrtum, denn das Universum wird eben beschrieben durch die Metrik - formuliert mittels Koordinaten - nicht nur durch den unterlagerten 3-dim. Raum
Pippen hat geschrieben:
15. Feb 2018, 16:53
Für euch ist scheinbar das Universum nicht IR^3 - wie für mich - sondern IR^3 + Maßsystem.[/b]
Ja, denn die Beschreibung des Universums erfordert eine Metrik auf dem unterlagerten 3-dim. Raum. Das ist eine Kernausage der ART, und hinter die wollen wir nicht zurückgehen.
Pippen hat geschrieben:
15. Feb 2018, 16:53
Ich will aber nicht wissen, wie sich das Universum nach unseren Maßstäben verhält, sondern wie es sich an sich verhält.
Die Beschreibung des Universums erfordert eine Metrik auf dem unterlagerten 3-dim. Raum.
Pippen hat geschrieben:
15. Feb 2018, 16:53
Deshalb verzichte ich auf ein Maßsystem und schaue mir nur die Menge an, weil ich da glaube, näher am "an sich" sein zu können (Ockham's Rasiermesser).
Damit verwirfst du die Anwendung der Riemannschen Geometrie. Das bedeutet, dass du die Menge = den unterlagerten 3-dim. Raum an sich betrachten und damit Mathematik betreiben kannst, jedoch nicht das Universum im Sinne der ART modellieren.

Soviel zu dem Irrtum, der dir unterläuft. Bitte akzeptiere das erst mal und warte mit Antworten bis nach meinem nächsten Beitrag. Darin erkläre ich den notwendigen nächsten Schritt hin zu einer Metrik.
Gruß
Tom

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Re: Zur Geometrie und zur Bedeutung der Metrik

Beitrag von tomS » 15. Feb 2018, 19:41

Betrachten wir der Einfachheit halber eine 1-dim. Linie als Modell-Raum, sowie als zweite Dimension die Zeit. Um die Sache nicht zu verkomplizieren, ignorieren wir die Vermischung zu einer Raumzeit, d.h. wir reden wirklich nur über ein sehr einfaches Modell.

Auf der Linie existieren Punkte P,Q, …. Für diese führen wir Koordinaten x(P), y(Q), … ein; dadurch wird diese Linie zu einem R¹. Dieser R¹ erlaubt eine „natürliche Abstandsfunktion“ d(x,y), d.h. eine spezielle Metrik (ich verzichte auf die mathematisch präzise Definition) Präzisierung.

Nun folgendes: stell dir eine Linie ohne jegliche Bemaßung vor, sowie zwei Markierungen P, Q. Damit hast du zwei Punkte definiert, und diese beiden Punkte haben einen Abstand, den du mittels eines Lineals messen kannst, ohne dass du die gesamte Linie zuvor mit Markierungen bzw. Koordinaten x, y, … versehen musst. D.h. es existiert ein messbarer Abstand d(P,Q) zwischen zwei Punkte P,Q, ohne dass es überhaupt der Einführung von Koordinaten x(P), y(Q).

Wenn du nun jedoch Koordinaten x(P), y(Q) einführst, so wirst du das im o.g. Sinne des R¹ tun, so dass

d(P,Q) = d(x(P), y(Q)) = d(x,y) = |x – y|

gilt.

Dies ist genau die „natürliche Abstandsfunktion“.

Beachte: primär gegeben sind die Linie sowie zwei Punkte P,Q. Koordinaten x,y kommen erst später und sind zunächst unnötig, auch für die Definition und die Messung eines Abstandes.

Du hast nun den 1-dim. Raum im Sinne des R¹ mit seinen Koordinaten x,y, … im Sinn.

Daran ist mathematisch nichts falsch. Es hat sich jedoch gezeigt – und das musst du mir bitte glauben – dass man mit dieser Konstruktion nicht zur ART und damit auch nicht zu zutreffenden physikalischen Modellen gelangen kann. Die ART erfordert darüber hinaus die Einführung weitere mathematischer Strukturen, insbs. einer sogenannten Riemannschen Metrik.
Die mathematischen Grundlagen gehen auf die Mathematiker Bernhard Riemann und später Élie Cartan zurück. Angewandt für die Konstruktion der ART haben diese Methoden Albert Einstein zusammen mit dem Mathematiker Marcel Grossmann, sowie unabhängig davon der Mathematiker David Hilbert.

Die zentrale Erkenntnis ist, dass sich nicht nur Objekte innerhalb der Raumzeit bewegen, sondern dass die Raumzeit selbst dynamisch ist. Ersteres kann mit einer statischen Linie sowie den Koordinaten x,y,… im Sinne des R¹ beschrieben werden (Newtonsche Mechanik, letztlich auch SRT). Letzteres erfordert jedoch zwingend die zusätzliche Struktur der Riemannschen Metrik. Anders formuliert: ohne Riemannsche Metrik sind sämtliche dynamische Phänomene der Raumzeit, z.B. Gravitationswellen, nicht beschreibbar.

Im Zuge dieser Entdeckung sowie der Einführung der Riemannschen Metrik geschieht nun etwas Interessantes: die Koordinaten werden zu reinen Hilfsgrößen, auf die man theoretisch auch verzichten könnte (manchmal sind sie praktisch, für manche Argumentationen sind sie irrelevant oder sogar hinderlich. Siehe das o.g. Beispiel: die Punkte P und Q existieren auf der Linie, ohne dass du ihnen Koordinaten zuordnen musst. Auch die Ellipsenbahn der Erde um die Sonne existiert und man kann die Eigenschaften der Ellipse messen und beschreiben, ohne Koordinaten einführen zu müssen. Und last-but-not-least werden die Koordinatensysteme (fast) beliebig! Man kann unendlich viele verschiedene einführen und beliebig verändern, ohne dass sich die physikalischen Phänomene ändern.

Letzteres liegt daran, dass die physikalisch interessante Größe die Metrik d(P,Q) ist, nicht jedoch d(x,y). Dass beide identisch sind, ist dem o.g. Spezialfall geschuldet.

Wir verallgemeinern das jetzt wie folgt:

Wir haben wieder eine Linie und zwei Punkte P,Q; diese haben den Abstand D(P,Q). Nun führen wir (fast) beliebige Koordinatensysteme ein, d.h. Koordinaten x(P), x‘(P), x‘‘(P), x‘‘‘(P) … und y(Q), y’(Q), y’‘(Q), y‘‘‘(Q). Und für jedes Koordinatensystem benötigen wir eine spezielle Metrikfunktion d(x,y), d‘(x‘,y‘), d‘‘(x‘‘,y‘‘), d‘‘‘(x‘‘‘,y‘‘‘), ... Die Riemannsche Geometrie fordert nun, dass für alle diese Koordinatensysteme

D(P,Q) = d(x,y) = d‘(x‘,y‘) = d‘‘(x‘‘,y‘‘) = d‘‘‘(x‘‘‘,y‘‘‘) = …

gilt.

Beachte: die physikalische Aussage steckt im Abstand D(P,Q), nicht in einer speziellen Wahl eines speziellen Koordinatensystems mit einer speziellen Metrikfunktion. Der Abstand Erde – Mond ist dir bekannt, ohne dass du jemals ein Koordinatensystem dafür benötigt hättest. Lichtstrahl hinschicken, reflektieren lassen und die Lichtlaufzeit messen reicht völlig aus.

Zuletzt zu einem Spielzeugmodell für ein expandierendes Universum. Wir starten mit einer Linie, besser: einem Gummiband; dieses sei beliebig lang, jedenfalls deutlich länger als der zunächst angenommene Abstand zweier Punkte P,Q. Nun dehnen wir das Gummiband, was zu einem wachsenden Abstand führt. Man beachte, wir haben wiederum kein auf dem Gummiband markiertes Koordinatensystem eingeführt.

Nun betrachten wir das noch statische Gummiband und führen die üblichen Markierungen für ein Koordinatensystem ein, d.h. x = 0, x = 1, x = 2, …, einfach durch Markierung und Beschriftung. Wir verzichten dabei auf die Maßeinheit, warum, wird gleich klar.

Nun messen wir den Abstand D(P,Q) = 7 cm mittels eine Lineals. Geschickterweise haben die Markierungen bzw. Koordinaten die Werte x(P) = 0 und y(Q) = 7. D.h. wir können statt mittels des Lineals den Abstand auch durch Abzählen der Markierungen zu d(x,y) = 7 [cm] ermitteln, wobei wir die Maßeinheit cm ergänzen.

Nun beginnen wir das Gummiband zu dehnen!! Die Markierungen x(P) = 0 und y(Q) = 7 bleiben dabei unverändert auf dem Gummiband stehen, aber der mittels des Lineals gemessene Abstand D(P,Q) wird jetzt zeitabhängig und wachsen.

D.g. die Markierungen = Koordinaten x,y alleine liefern nicht den tatsächlichen Abstand!! Wenn wir etwas später das Gummiband so weit gedehnt haben, dass wir D(P,Q) = 14 cm mittels des Lineals messen, dann wäre die Rechnung |x-y| = |0-7| = 7 physikalisch belanglos.

Also müssen wir noch eine weitere Zutat einführen, die die Koordinaten x,y, mit dem physikalischen Abstand verknüpft. Wir wählen eine spezielle Metrik, die ziemlich genau dem Skalenfaktor in einem expandierenden Universum entspricht:

D(P,Q; t) = a(t) ⋅ |x – y|

D.h. im Skalenfaktor a(t) steckt die zeitabhängige Dehnung des Gummibandes. Dies liefert uns die Möglichkeit, die Hilfsgrößen x,y, zur Berechnung des Abstandes heranzuziehen. x,y, sind jedoch als Elemente des – wie du sagst – statischen R¹ nicht dazu geeignet, die Dynamik des Gummibandes und der veränderlichen Abstände auf dem Gummiband zu beschrieben; der ganze R¹ der übliche Abstandsbegriff |x-y| auf dem R¹ taugt dazu alleine nicht.

In der vollen ART ist dies alles natürlich wesentlich komplizierter …

Übertragen auf deine Kritik bedeutet dies, dass es in der Physik eben gerade nicht um die Ausdehnung des zugrundeliegenden R¹ geht – diese ist sozusagen statisch und immer gleich – sondern um die Ausdehnung des Universums, modelliert mittels der Metrik D auf dem R¹. Die Metrik ist also gerade nicht unwichtig, sondern essentiell. Der zugrundeliegenden R¹ ist tatsächlich statisch, aber er alleine ist eben nicht das Modell für das Universum. Deswegen ist für uns Physiker der zugrundeliegenden R¹ plus der Metrik das Modell des Universums, nicht der R¹ alleine. Wenn du wissen möchtest, wie sich das Universum an sich verhält, dann musst du den R¹ plus der Metrik betrachten; betrachtest du nur den R¹ ohne die Metrik, dann betrachtets du kein physikalisch sinnvolles Modell des Universums. Der Verzicht auf die Metrik folgt nicht Ockham, denn Ockham zufolge soll man auf verzichtbare Entitäten verzichten; die Metrik ist jedoch unverzichtbar.
Gruß
Tom

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Re: Zur Geometrie und zur Bedeutung der Metrik

Beitrag von Pippen » 16. Feb 2018, 20:19

Wir starten mit einer Linie, besser: einem Gummiband; dieses sei beliebig lang, jedenfalls deutlich länger als der zunächst angenommene Abstand zweier Punkte P,Q. Nun dehnen wir das Gummiband, was zu einem wachsenden Abstand führt.
Genau da liegt mein Problem, nämlich dass ich glaube, dass man eine Linie gar nie dehnen kann, weil sie nicht einem Gummiband, sondern eher einer starren undehnbaren Eisenstange entspricht.

Lass mich mein Problem verdeutlichen, in dem ich es noch mehr vereinfache. Wir stellen uns eine Linie im IN^1 aus nur 5 Punkten vor, also: "....." die wir der Einfachheit gleich nummerieren, so dass aus den Punkten Zahlen werden, also: "12345". Das sei unser Universum und man beachte, dass zwischen den Zahlen (Punkten) nichts ist. Sind wir uns einig, dass dieses Universum unexpandierbar wäre, egal was für eine Metrik wir darauf legen würden? Wenn ja, dann wäre das auch bei einer Linie, deren Punkte rationale oder reelle Zahlen wären oder in mehreren Dimensionen der Fall - wegen des gleichen Prinzips.

Wir sehen: Um überhaupt zu einer Raumexpansion kommen zu können, muss man annehmen, dass der Raum keine IR^x Menge ist, sondern irgendwas instabilieres, wo sich auf einmal Pi in Bezug auf V2 irgendwie anders verhält. Das ist in IR unmöglich und entfiele damit nicht die Voraussetzung - quasi die Dehnbarkeit des Gummibandes - um überhaupt daraufhin mit Metriken die angebliche Expansion einzufangen?

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Re: Zur Geometrie und zur Bedeutung der Metrik

Beitrag von tomS » 16. Feb 2018, 21:11

Pippen hat geschrieben:
16. Feb 2018, 20:19
Wir starten mit einer Linie, besser: einem Gummiband; dieses sei beliebig lang, jedenfalls deutlich länger als der zunächst angenommene Abstand zweier Punkte P,Q. Nun dehnen wir das Gummiband, was zu einem wachsenden Abstand führt.
Genau da liegt mein Problem, nämlich dass ich glaube, dass man eine Linie gar nie dehnen kann, weil sie nicht einem Gummiband, sondern eher einer starren undehnbaren Eisenstange entspricht.
Egal, denn wir starten mit einem Gummiband :-)

Also weiter.
Gruß
Tom

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Re: Zur Geometrie und zur Bedeutung der Metrik

Beitrag von positronium » 16. Feb 2018, 22:02

N ist als Basis für Überlegungen dieser Art nicht gut. Du solltest R nehmen, und ich denke, dass man sich das besser vorstellen kann, wenn man gleich infinitesimal denkt. Dann hat man im euklidischen Raum zwischen zwei Punkten (x und y) die Entfernung y-x, oder anders geschrieben
.
Wenn man jetzt eine Metrik m(p) einführt, ist die Entfernung
.
Der Raum der Koordinaten x und y ist nur noch ein Hilfsmittel. Die echte Entfernung ist das Integral.
Das ist alles.

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Re: Zur Geometrie und zur Bedeutung der Metrik

Beitrag von ralfkannenberg » 16. Feb 2018, 23:13

positronium hat geschrieben:
16. Feb 2018, 22:02
und ich denke, dass man sich das besser vorstellen kann, wenn man gleich infinitesimal denkt. Dann hat man im euklidischen Raum zwischen zwei Punkten (x und y) die Entfernung y-x, oder anders geschrieben
.
Hallo zusammen,

ich bin mir nicht sicher, ob wir allen stillen Mitlesern gegenüber den Begriff der "Integrale" voraussetzen dürfen.


Ich will deshalb diese einfache, aber kompliziert aussehende Gleichung geometrisch deuten:

f(p) = 1 ist eine Linie, die auf der "Höhe" 1 parallel zur p-Achse (entspricht der "x-Achse" oder auch "Abszisse") verläuft, denn f(0) = 1 für p=0, f(0.5) = 1 für p=0.5, f(1) = 1 für p=1, f(2) = 1 für p=2 u.s.w. Also für jeden Wert p ergibt die Anwendung der Funktion f(p) den Wert 1, so dass die zugehörige Kurve konstant auf der Höhe 1 verläuft.

Vorsicht an dieser Stelle mit "x" und "y": das sind beiden Ausprägungen von p, verlaufen also entlang der p-Achse, die hier stillschweigend mit der x-Achse ("Abszisse") assoziiert wird.

Das vorgenannte "Integral" verläuft aber nicht entlang der gesamten p-Achse, sondern nur von p=x bis nach p=y. Wenn wir das Integral geometrisch deuten, dann ist das Integral die Fläche unterhalb der Kurve f(p) und - nicht übersehen: oberhalb der Nullinie, und zwar zwischen p=x und p=y.

Diese Fläche ist also ein Rechteck mit den vier Eckpunkten unten links (p=x, 0) und unten rechts (p=y, 0), und oben links (p=x, f(p=x)) und oben rechts (p=y, f(p=y)). Und da im vorliegenden Fall die gesamte Kurve auf der Höhe 1 verläuft, haben wir ein Rechteck mit den Punkten (p=x, 0), (p=y, 0), (p=x, 1) und (p=y, 1).

Die Fläche eines Rechtecks ist Breite mal Höhe, also (y-x) mal 1, also (y-x).


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Zur Geometrie und zur Bedeutung der Metrik

Beitrag von positronium » 16. Feb 2018, 23:19

Ich hätte die Punkte nicht x und y, sondern besser a und b nennen sollen. ;-)

positronium
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Re: Zur Geometrie und zur Bedeutung der Metrik

Beitrag von positronium » 16. Feb 2018, 23:34

Schnell zwei selbsterklärende Bilder dazu:
euklidisch.png
euklidisch.png (9.7 KiB) 4123 mal betrachtet
metrisch.png
metrisch.png (13.27 KiB) 4124 mal betrachtet

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Re: Zur Geometrie und zur Bedeutung der Metrik

Beitrag von ralfkannenberg » 16. Feb 2018, 23:41

positronium hat geschrieben:
16. Feb 2018, 23:34
Schnell zwei selbsterklärende Bilder dazu:
Hallo positronium,

danke schön: ein Bild sagt mehr als tausend Worte :)

Aber: Vorsicht mit dem Sinus im Zusammenhang einer Metrik !


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Zur Geometrie und zur Bedeutung der Metrik

Beitrag von seeker » 17. Feb 2018, 01:16

tomS hat geschrieben:
16. Feb 2018, 21:11
Pippen hat geschrieben:
16. Feb 2018, 20:19
Wir starten mit einer Linie, besser: einem Gummiband; dieses sei beliebig lang, jedenfalls deutlich länger als der zunächst angenommene Abstand zweier Punkte P,Q. Nun dehnen wir das Gummiband, was zu einem wachsenden Abstand führt.
Genau da liegt mein Problem, nämlich dass ich glaube, dass man eine Linie gar nie dehnen kann, weil sie nicht einem Gummiband, sondern eher einer starren undehnbaren Eisenstange entspricht.
Egal, denn wir starten mit einem Gummiband :-)

Also weiter.
Nee, ich glaube, da können wir nicht einfach weiter gehen... :wink:
Denn das ist glaube ich dein ganz zentraler Knackpunkt Pippen: Wieso sollte da ein dehnbares Gummiband sein? Wann, unter welchen Voraussetzungen kann da überhaupt eines sein?

Deine Erklärung mit der Metrik und dem R1-Raum vom 15. Feb 2018, 19:41 fand ich übrigens wirklich richtig gut Tom. :well:

Ich möchte zu den Metriken bzw. Koordinaten/Koordinatensystemen noch eines anmerken:
Das ist interessanterweise m.W.n. etwas recht "neumodisches", geschichtlich gesehen gibt es das noch gar nicht so lange, die alten Griechen kannten so etwas noch nicht, die haben ihre Mathematik ohne bewerkstelligt.

Ich denke, wir können uns daher tatsächlich zunächst einmal eine Linie vorstellen, man braucht dazu genausowenig ein KS wie wenn man ein rechtwinkliges Dreieck oder einen Kreis zeichnen will.

1) Und dann können wir fragen:
Ist es vorstellbar, dass diese Linie auseinadergezogen werden kann, wie ein Gummiband?

Antwort:
Ja, sicher! Und wenn die Linie eine endliche Länge hat (das sehen wir ganz einfach daran, ob die Linie einen Anfang und eine Ende hat, wie lange die Linie in irgendeinem Maßsystem ist, ist dabei völlig egal), dann sehen wir das daran, dass die Linie beim Dehnen länger wird!

2) Nächste Frage:
Und wie ist es, wenn wir uns vorstellen, dass die Linie unendlich lang wäre, oder wenigstens so lange, dass wir keine Enden der Linie sehen können, weil sie dafür zu lang ist? Kann sie dann auch gedehnt werden wie ein Gummiband - und woran sehen wir das dann?

Antwort:
An der Linie selbst sehen wird das hier nicht, da keine Enden sichtbar sind, aber wenn wir zwei Punkte auf der Linie fix markieren, in einem Abstand, den wir überblicken können, dann haben wir eine Chance das zu sehen: Wenn wir nach der Markierungsarbeit sehen, dass sich die zwei Punkte voneinander entfernen, dann ist die Schlussfolgerung unausweichlich, dass sich die Linie dehnen muss, so lange wir selbst nicht unseren Beobachtungsabstand/-Winkel, unsere Perspektive zur Linie verändert haben. So viel steht fest...

3) Nächste Frage (und das ist glaube ich dein Knackpunkt, Pippen):
Nehmen wir an, wir würden genau das sehen, können wir daraus etwas zwingend folgern, ob die Linie, wo wir nicht sehen, ob sie Enden hat oder nicht, tatsächlich keine Enden hat, also unendlich lang ist oder ob wir sie einfach nicht sehen, weil zu weit entfernt?

Antwort:
Wir können da nichts zwingend folgern!
Wirklich wissen tun wir nur, dass da zwei Punkte sind, wo wir sehen, dass sie sich voneinander entfernen, ohne dass wir sehen können, ob die Linie selbst dabei auch länger wird (wir können hier so tun, wie wenn wir das wirklich in der realen Welt so sehen würden, so wie sich auch Galaxien sichtbar voneinander entfernen).
Wir wissen aber auch noch, dass es nicht zwingend zu Widersprüchen kommt, wenn wir annehmen, dass die Linie unendlich lang sei:*
Das ist dann eine rein mathematische und ganz andere Frage, wie man das dann konstruieren muss, dass sich kein Widerspruch ergibt, denn 2) bleibt als Tatsache davon ja unberührt.
Und: Wir müssen das gar nicht entscheiden, um beschreiben zu können, wie sich die beiden Punkte voneinander entfernen! Und das mit dem Beschreiben ist genau das was Physik tut, nicht mehr, nicht weniger, deshalb passt das auf jeden Fall...

*: Und ich glaube, dass es genau das ist, was du bestreitest. Zugegebenermaßen kann es zu Widersprüchen kommen, wenn man seine Mathematik entsprechend konstruiert, aber es muss nicht zwingend zu Widersprüchen kommen, wenn man eben anders konstruiert.
Das rückwirkend wieder auf die reale Welt übertragen hat zur Folge, dass wir nicht sagen können, wie es dort ist, wir wissen nicht, ob es in der Natur Unendlichkeiten gibt oder nicht gibt. Wenn wir etwas nicht wissen, müssen wir das offen lassen, beide Möglichkeiten erwägen, so lange bis wir es wissen.
Grüße
seeker


Mache nie eine Theorie zu DEINER Theorie!
Denn tut man das, so verliert man zumindest ein Stück weit seine Unvoreingenommenheit, Objektivität.

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Re: Zur Geometrie und zur Bedeutung der Metrik

Beitrag von tomS » 17. Feb 2018, 08:47

seeker hat geschrieben:
17. Feb 2018, 01:16
tomS hat geschrieben:
16. Feb 2018, 21:11
Pippen hat geschrieben:
16. Feb 2018, 20:19


Genau da liegt mein Problem, nämlich dass ich glaube, dass man eine Linie gar nie dehnen kann, weil sie nicht einem Gummiband, sondern eher einer starren undehnbaren Eisenstange entspricht.
Egal, denn wir starten mit einem Gummiband :-)

Also weiter.
Nee, ich glaube, da können wir nicht einfach weiter gehen.
Denn das ist glaube ich dein ganz zentraler Knackpunkt Pippen: Wieso sollte da ein dehnbares Gummiband sein? Wann, unter welchen Voraussetzungen kann da überhaupt eines sein?
Ich schreibe Gummiband, und ich meine Gummiband. Bis zum Schluss des Beitrags. Ein ganz gewöhnliches Gummiband.

Wenn das schon zuviel verlangt ist, weiß ich auch nicht weiter.
Gruß
Tom

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Re: Zur Geometrie und zur Bedeutung der Metrik

Beitrag von positronium » 17. Feb 2018, 10:32

ralfkannenberg hat geschrieben:
16. Feb 2018, 23:41
Aber: Vorsicht mit dem Sinus im Zusammenhang einer Metrik !
Ich definiere einfach, dass das Universum bei 0 und pi explodiert. ;a

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Re: Zur Geometrie und zur Bedeutung der Metrik

Beitrag von tomS » 17. Feb 2018, 11:51

Glaubt ihr wirklich, dass diese Diskussion Pippen irgendwie weiterbringen wird?
Gruß
Tom

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Re: Zur Geometrie und zur Bedeutung der Metrik

Beitrag von seeker » 17. Feb 2018, 12:07

tomS hat geschrieben:
17. Feb 2018, 11:51
Glaubt ihr wirklich, dass diese Diskussion Pippen irgendwie weiterbringen wird?
Absolut!
Grüße
seeker


Mache nie eine Theorie zu DEINER Theorie!
Denn tut man das, so verliert man zumindest ein Stück weit seine Unvoreingenommenheit, Objektivität.

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Re: Zur Geometrie und zur Bedeutung der Metrik

Beitrag von tomS » 17. Feb 2018, 12:18

seeker hat geschrieben:
17. Feb 2018, 12:07
tomS hat geschrieben:
17. Feb 2018, 11:51
Glaubt ihr wirklich, dass diese Diskussion Pippen irgendwie weiterbringen wird?
Absolut!
Nee, ich glaube das absolut nicht. Ich hatte mit dem Beispiel des Gummibandes einen Plan, dem man folgen sollte, um zu einer gewissen Einsicht zu gelangen. Das erfordert aber, dass man bei der Sache bleibt.

Irgendwelche Integrale helfen da nicht weiter. Das Gummiband unendlich lang zu machen oder über nicht vorhandene Enden zu diskutieren führt bei Pippen erfahrungsgemäß lediglich dazu, dass er sich verläuft.

Bleiben wir doch bei dem anschaulichen, sich dehnenden Gummiband mit immer endlichen, mittels eines Lineals messbaren Abständen sowie immer endlichen Koordinaten aus
tomS hat geschrieben:
15. Feb 2018, 19:41
Betrachten wir der Einfachheit halber eine 1-dim. Linie als Modell-Raum, sowie als zweite Dimension die Zeit. Um die Sache nicht zu verkomplizieren, ignorieren wir die Vermischung zu einer Raumzeit, d.h. wir reden wirklich nur über ein sehr einfaches Modell.
Überall, wo Linie oder ähnliches steht, darf man sich getrost ein anschauliches Bild davon machen, das immer endlich bleibt.

Außerdem möchte ich an den Titel des Threads erinnern: b]Zur Geometrie und zur Bedeutung der Metrik[/b]. Von Unendlichkeiten steht da nichts.

@Pippen, wenn dir die Unendlichkeiten Sorge bereiten, dann kann ich das Beispiel gerne für eine Kreislinie umformulieren.
Gruß
Tom

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Re: Zur Geometrie und zur Bedeutung der Metrik

Beitrag von Pippen » 18. Feb 2018, 19:26

seeker hat geschrieben:
17. Feb 2018, 01:16
1) Und dann können wir fragen:
Ist es vorstellbar, dass diese Linie auseinadergezogen werden kann, wie ein Gummiband?

Antwort:
Ja, sicher!
Und genau da liegt mein Problem. ME ist das nämlich unmöglich. Eine Linie ist ein total geordnetes IR^1 Kontinuum mit überabzählbar vielen Punkten, die vollständig dicht beieinanderliegen. Jede Manipulation der Anordnung der Punkte dieser Linie würde das Kontinuum (und damit die Linie) notwendig zerstören.

Ansonsten, d.h. wenn man die Linie erstmal dehnen könnte, verstünde ich alles und dann gäbe ich euch auch Recht.

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Re: Zur Geometrie und zur Bedeutung der Metrik

Beitrag von tomS » 18. Feb 2018, 19:35

Pippen hat geschrieben:
18. Feb 2018, 19:26
seeker hat geschrieben:
17. Feb 2018, 01:16
1) Und dann können wir fragen:
Ist es vorstellbar, dass diese Linie auseinadergezogen werden kann, wie ein Gummiband?

Antwort:
Ja, sicher!
Und genau da liegt mein Problem. ME ist das nämlich unmöglich. Eine Linie ist ein total geordnetes IR^1 Kontinuum mit überabzählbar vielen Punkten, die vollständig dicht beieinanderliegen. Jede Manipulation der Anordnung der Punkte dieser Linie würde das Kontinuum (und damit die Linie) notwendig zerstören.

Ansonsten, d.h. wenn man die Linie erstmal dehnen könnte, verstünde ich alles und dann gäbe ich euch auch Recht.
Können wir uns spaßeshalber mal einem physikalisch realen, dehnbaren Gummiband zuwenden, und uns dazu die Mathematik anschauen?
Gruß
Tom

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Re: Zur Geometrie und zur Bedeutung der Metrik

Beitrag von Pippen » 18. Feb 2018, 20:07

tomS hat geschrieben:
18. Feb 2018, 19:35
Können wir uns spaßeshalber mal einem physikalisch realen, dehnbaren Gummiband zuwenden, und uns dazu die Mathematik anschauen?
Da verstehe ich alles, das hast du ja gut beschrieben. Ich verstehe nicht, wie ihr auf so ein Gummiband kommt. Nochmal: Du musst erklären, wie sich dein Universum - eine eindimensionale Linie - in ihrer Struktur verändern kann, wenn das per se unmöglich ist. Oder ist dein Universum gar nicht die Linie, sondern was Anderes, zB bereits eine Metrik der Linie, wo es zugelassen wird, dass der Abstand zwischen zwei Punkten (der Metrik!!!) sich ändern kann? Das wäre meine Vermutung.

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Re: Zur Geometrie und zur Bedeutung der Metrik

Beitrag von tomS » 18. Feb 2018, 20:14

Deswegen möchte ich, dass du nicht die Idealisierung der 1-dim. Linie R¹ als Modell des Universum betrachtest, sondern ein endliches Gummiband (oder einen Gummiring). Dass das Gummiband sich dehnen kann, ist ja wohl klar.

Es wird auch wieder die 1-dim. Linie R¹ auftreten, aber sozusagen als Hilfsgröße, nicht direkt als Modell.

Erscheint dir das vernünftig?
Gruß
Tom

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Re: Zur Geometrie und zur Bedeutung der Metrik

Beitrag von Pippen » 18. Feb 2018, 20:49

tomS hat geschrieben:
18. Feb 2018, 20:14
Deswegen möchte ich, dass du nicht die Idealisierung der 1-dim. Linie R¹ als Modell des Universum betrachtest, sondern ein endliches Gummiband (oder einen Gummiring). Dass das Gummiband sich dehnen kann, ist ja wohl klar.
Aha. Das Gummiband wäre dann also schlicht ein umgänglicher Name für eine Metrik auf einer 1-dim. Linie, die Abstände definiert und es zuläßt, dass sich diese Abstände ändern können, ja? Dann wäre alles klar und ich stimme dir zu, insbesondere stimme ich dann zu, dass es auch bei einem unendlich langen Gummiband Ausdehnung geben könnte (seeker hat das ja schon ausgeführt).

Die andere Frage wäre, ob ich so ein Modell für gut halte und es ist zumindest ziemlich riskant, nicht? Denn was ihr da macht, dass ist de facto, dass ihr es mathematisch bereits postuliert, dass der Raum sich dehnen kann, um es dann zu beobachten zu können. Das ist schon ziemlich mutig, vor allem, weil dem keinerlei Beobachtungsdaten oder Intuition entspringen und sogar entspringen können (wie will man Dehnung des Raumes beobachten und von schlichter Abstandsvergrößerung im Raum unterscheiden?). Aber ok, die Alternativen sind wohl noch komplizierter (Raum als nicht dehnbar zu betrachten und dann alles so umzukonstruieren, dass die ART auch im newtonschen Raume klappt).

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Re: Zur Geometrie und zur Bedeutung der Metrik

Beitrag von tomS » 18. Feb 2018, 22:38

Pippen hat geschrieben:
18. Feb 2018, 20:49
Das Gummiband wäre dann also schlicht ein umgänglicher Name für eine Metrik auf einer 1-dim. Linie, die Abstände definiert und es zuläßt, dass sich diese Abstände ändern können, ja? Dann wäre alles klar und ich stimme dir zu, insbesondere stimme ich dann zu, dass es auch bei einem unendlich langen Gummiband Ausdehnung geben könnte (seeker hat das ja schon ausgeführt).
Das Gummiband ist kein "umgänglicher Name für eine Metrik" sondern ein reales, physikalisches Objekt. Die idealisierte 1-dim. Linie ist ein mathematisches Gebilde, das zur Beschreibung gewisser physikalischer Eigenschaften nützlich ist. Und die Metrik ist ein mathematisches Objekt bzw. eine Vorschrift, die es z.B. erlaubt, zwei Punkten einen Abstand zuzuordnen. Dazu verwendet man dann z.B. auch wieder die idealisierte 1-dim. Linie.

Siehe das Beispiel oben: P und Q seien zwei ganz konkrete, markierte Punkte. Sie haben die Koordinaten x und y, die auf das Band geschrieben werden. Der Abstand zwischen P und Q werde berechnet mittels

D(P,Q) = a ⋅ |x – y|

Wenn sich das Band dehnt, bleiben die Koordinatenbeschriftungen x(P) und y(Q) für P bzw. Q fest, wohingegen der Abstand der realen Punkte P und Q wächst. Dieses Wachsen bzw. die Dehnung wird mittels des Skalenfaktors beschrieben, d.h. man erhält

D(P,Q; t) = a(t) ⋅ |x – y|

Eine derartige Vorschrift, die zwei Punkten einen Abstand zuordnet, ist eine Metrik [das ist nicht ganz korrekt, die Metrik ist ein allgemeineres und komplizierteres Gebilde, aber für unsere Zwecke sollte das reichen].

Die wesentliche Erkenntnis ist, dass die Punkte P, Q sowie deren Abstand D reale, physikalische und messbare Größen sind, die Objekte a, x, y dagegen nur mathematische Entitäten zur Beschreibung und Berechnung.
Pippen hat geschrieben:
18. Feb 2018, 20:49
Die andere Frage wäre, ob ich so ein Modell für gut halte und es ist zumindest ziemlich riskant, nicht? Denn was ihr da macht, dass ist de facto, dass ihr es mathematisch bereits postuliert, dass der Raum sich dehnen kann, um es dann zu beobachten zu können.
Nein, anders herum.

Wir hatten zunächst ein mathematisches Modell, das z.B. eine derartige Expansion mathematisch beschreiben konnte; ob das physikalisch realisiert ist, ist eine andere Frage. Tatsächlich war zuerst das mathematische Modell da (Einstein, Lemaitre, ...) und später die Beobachung (Hubble).

Der Physiker postuliert nicht, dass der Raum sich ausdehnt. Er hat (1) ein mathematisches Modell, das ihm korrekte Vorhersagen für (2) messbare Größen liefert, z.B. für die Rotverschiebung. Da dieses mathematische Modell dem des expandierenden Gummibandes gleicht, (3) spricht er von expandierendem Raum.
Pippen hat geschrieben:
18. Feb 2018, 20:49
Das ist schon ziemlich mutig, vor allem, weil dem keinerlei Beobachtungsdaten oder Intuition entspringen und sogar entspringen können (wie will man Dehnung des Raumes beobachten und von schlichter Abstandsvergrößerung im Raum unterscheiden?).
Das ist eine spannende Frage, und man kann durchaus geteilter Meinung sein.

Nochmal zu oben: es gibt
- ein Modell (1)
- messbare Größen (2)
- eine Interpretation (3)

Wenn dir die Interpretation (3) nicht gefällt, findest du vielleicht eine andere, oder du verzichtest völlig auf sie. Physik besteht zunächst aus (1) und (2); Mathematik besteht ausschließlich aus (1); (3) kann hilfreich sein, oder auch irreführend.

In populärwissenschaftlichen Büchern, YouTube-Videos und auch in Foren findest du viel (3), jedoch wenig (1) und (2). Lass' dich dadurch nicht täuschen, (3) ist nicht der Kern der physikalischen Methode. Manche Physiker mögen Interpretation, manche nicht.
Pippen hat geschrieben:
18. Feb 2018, 20:49
Aber ok, die Alternativen sind wohl noch komplizierter (Raum als nicht dehnbar zu betrachten und dann alles so umzukonstruieren, dass die ART auch im newtonschen Raume klappt).
Es ist nicht möglich, ein Modell (1) der ART zu konstruieren, das einerseits dem Newtonschen Raum entspricht und andererseits die korrekten Vorhersagen (2) liefert. Wenn dir aber (3) nicht gefällt, dann lass' es weg. Was du nicht weglassen kannst ist (1); die Gleichungen wirst du nicht los. Aber wenn da ein "a(t)" steht, dann musst du das nicht "Skalenfaktor in einem expandierenden Universum" nennen - obwohl es hilfreich ist, sich nicht zu sehr gegen etablierte Begriffe zu sträuben.
Gruß
Tom

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