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diverse Ideen zu "die leere Menge ist physikalisch irrelevant"

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Re: Die leere Menge ist physikalisch irrelevant

Beitrag von Analytiker » 16. Jan 2018, 15:55

Es gibt überabzählbar viele irrationale Zahlen und abzählbar viele rationale. Mengenmäßig dominieren ganz klar die irrationalen Zahlen über die rationalen.

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Re: Die leere Menge ist physikalisch irrelevant

Beitrag von ralfkannenberg » 16. Jan 2018, 16:06

Analytiker hat geschrieben:
16. Jan 2018, 15:55
Mengenmäßig dominieren ganz klar die irrationalen Zahlen über die rationalen.
Man kann das noch weiter präzisieren:

die reell-algebraischen Zahlen, z.B. Quadratwurzel(2) oder Quadratwurzel(3), sind ebenfalls irrational; aufgrund des Hauptsatzes der Algebra (auf dessen Gültigkeit ich immer wieder herumreite) sind sie aber ebenfalls abzählbar.

Somit verbleiben die reell-transzendenten Zahlen als überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen. Das ganze kann man auch noch auf die komplexen Zahlen "portieren", wobei sich dabei aber an der Mächtigkeit nichts ändert.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Die leere Menge ist physikalisch irrelevant

Beitrag von ralfkannenberg » 16. Jan 2018, 16:17

Analytiker hat geschrieben:
16. Jan 2018, 15:55
Es gibt überabzählbar viele irrationale Zahlen und abzählbar viele rationale. Mengenmäßig dominieren ganz klar die irrationalen Zahlen über die rationalen.
Das muss man noch begründen:

wäre die Menge aller irrationalen Zahlen nur abzählbar, so wären die reellen Zahlen die Vereinigungsmenge zweier abzählbarer Mengen und somit ebenfalls abzählbar. Dies steht im Widerspruch zum Cantor'schen Diagonalbeweis.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Die leere Menge ist physikalisch irrelevant

Beitrag von tomS » 16. Jan 2018, 18:34

Sorry für die Verwendung des Begriffs Nullmenge; diese wird erst im Rahmen der Maßtheorie relevant. Also zurück zur leeren Menge; dazu meine Korrekturen.
Pippen hat geschrieben:
16. Jan 2018, 11:05
tomS hat geschrieben:
16. Jan 2018, 08:12
Pippen hat geschrieben:
16. Jan 2018, 02:45
Ich will von toms gern hören: Das physikalische Komplement des Universums gibt es nicht (existiert nicht).
Das wirst du nicht hören.

Physiker verwenden hier ganz simple Mathematik; dieser zufolge ist das Komplement die Nullmenge leere Menge.
Fein, dann musst du aber auch folgender Aussage zustimmen: Jenseits des Universums existiert etwas, nämlich die Nullmenge leere Menge. Die mag für euch irrelevant sein ... aber sie selbst existiert und allein dadurch musst du nun die Frage beantworten: was ist das, was da existiert?
Ich sehe da kein Problem: die leere Menge existiert mathematisch, aber sie ist aus den o.g. Gründen physikalisch irrelevant.

Befasse dich bitte mit meiner o.g. Begründung!
Gruß
Tom

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Zur Nullmenge

Beitrag von tomS » 16. Jan 2018, 21:14

Dgoe hat geschrieben:
16. Jan 2018, 15:48
ralfkannenberg hat geschrieben:
16. Jan 2018, 12:27
Und zwar deswegen, weil die rationalen Zahlen in den reellen Zahlen nur eine Nullmenge bilden, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass eine reelle Zahl auch rational ist, beträgt exakt 0.
Hallo Ralf,

das würde ich einem Quiz als falsch ankreuzen.
Denn, wie bekannt:
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Reelle_Zahl hat geschrieben:Er ist eine Erweiterung des Bereichs der rationalen Zahlen, der Brüche, womit die Maßzahlen der Messwerte für übliche physikalische Größen wie zum Beispiel Länge, Temperatur oder Masse als reelle Zahlen aufgefasst werden können. Die reellen Zahlen umfassen die rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen.
Ein recht einfaches Maß ist das Riemann-Integral auf den reellen Zahlen.

Betrachten wir ein Intervall [a,b]; dessen Maß entspricht der Länge, also Maß([a,b]) = b - a. Eine Nullmenge ist eine Menge, deren Maß Null ist; das ist nicht gleichbedeutend mit der leeren Menge - sorry für die Verwirrung, die ich durch den Begriff Nullmenge gestiftet habe. Betrachten wir das Intervall [a,a], das genau einen Punkt enthält,m d.h. das der Menge {a} entspricht. Offensichtlich ist die Länge und damit das Maß von [a,a] = a - a = 0 (ohne dass die Menge {a} der leeren Menge entspricht).
Gruß
Tom

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Re: Die leere Menge ist physikalisch irrelevant

Beitrag von tomS » 16. Jan 2018, 21:27

Können wir damit den Ausflug in Richtung Nullmenge - für den ich mich nochmals entschuldige - wieder beenden?
Gruß
Tom

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Re: Die leere Menge ist physikalisch irrelevant

Beitrag von Pippen » 16. Jan 2018, 22:17

tomS hat geschrieben:
16. Jan 2018, 18:34
Ich sehe da kein Problem: die leere Menge existiert mathematisch, aber sie ist aus den o.g. Gründen physikalisch irrelevant.
...weil da nichts messbar ist. Ok. Die leere Menge existiert aber auch physikalisch - das hast du bereits zugegeben (siehe ein paar Beiträge vorher), doch etwas physikalisch Existentes, aber Unmessbares, ist doch widersinnig, oder? Da halte ich mich mal vorläufig für schlauer als die Physiker und vermute, dass ihr die leere Menge für mathematisch, aber nicht physikalisch, existent haltet und euch die math. Existenz nicht interessiert, weil sie physikalisch uninteressant ist. Das macht nämlich (jedenfalls für mich) Sinn.

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Re: Die leere Menge ist physikalisch irrelevant

Beitrag von tomS » 17. Jan 2018, 06:38

Pippen hat geschrieben:
16. Jan 2018, 22:17
Die leere Menge existiert aber auch physikalisch - das hast du bereits zugegeben (siehe ein paar Beiträge vorher) ...
Wo?

Sie existiert mathematisch, auch für den Physiker, der Mathematik anwendet.
Pippen hat geschrieben:
16. Jan 2018, 22:17
doch etwas physikalisch Existentes, aber Unmessbares, ist doch widersinnig, oder?
Sie ist nicht unmessbar, sondern sie hat das Maß Null - das ist etwas anderes.

Ich kann dir nicht folgen, und auch niemand sonst hier.
Gruß
Tom

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Re: Die leere Menge ist physikalisch irrelevant

Beitrag von ralfkannenberg » 17. Jan 2018, 09:25

Pippen hat geschrieben:
16. Jan 2018, 22:17
Die leere Menge existiert aber auch physikalisch - das hast du bereits zugegeben (siehe ein paar Beiträge vorher), doch etwas physikalisch Existentes, aber Unmessbares, ist doch widersinnig, oder?
Hallo Pippen,

wir haben nun viel Brainstorming betrieben und Gedanken formuliert.

Ich halte es für wünschenswert, wenn Du unter Einbezug der neuestemn Erkenntnisse uns nochmals erklärst / definierst, was die Bedeutung folgender Begriffe ist:

1. physikalische Existenz
2. physikalisches Komplement

Pippen hat geschrieben:
16. Jan 2018, 22:17
Da halte ich mich mal vorläufig für schlauer als die Physiker und vermute, dass ihr die leere Menge für mathematisch, aber nicht physikalisch, existent haltet
Das ist falsch, denn die Physik verwendet alle Axiome der Mathematik. Der Unterschied zur Mathematik ist der, dass sie zusätzliche Postulate verwendet, was zur Folge hat, dass die Lösungsmenge verringert wird.

Pippen hat geschrieben:
16. Jan 2018, 22:17
und euch die math. Existenz nicht interessiert, weil sie physikalisch uninteressant ist. Das macht nämlich (jedenfalls für mich) Sinn.
Ich denke, die Aussage war nicht, dass die leere Menge "physikalisch uninteressant" sei, sondern die Aussage war die, dass die leere Menge "physikalisch irrelevant" ist.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Die leere Menge ist physikalisch irrelevant

Beitrag von Dgoe » 25. Jan 2018, 01:55

Hallo Ralf,

ich bin mir recht sicher, dass Du diesen meinen Post am Ende von Seite 1 übersehen hast:
Dgoe hat geschrieben:
16. Jan 2018, 15:48
ralfkannenberg hat geschrieben:
16. Jan 2018, 12:27
Und zwar deswegen, weil die rationalen Zahlen in den reellen Zahlen nur eine Nullmenge bilden, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass eine reelle Zahl auch rational ist, beträgt exakt 0.
Hallo Ralf,

das würde ich einem Quiz als falsch ankreuzen.
Denn, wie bekannt:
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Reelle_Zahl hat geschrieben:Er ist eine Erweiterung des Bereichs der rationalen Zahlen, der Brüche, womit die Maßzahlen der Messwerte für übliche physikalische Größen wie zum Beispiel Länge, Temperatur oder Masse als reelle Zahlen aufgefasst werden können. Die reellen Zahlen umfassen die rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen.
Wie passt das zu oben zusammen? Verstehe ich nicht, klingt diametral widersprüchlich.

Gruß,
Dgoe
Ich muss zugeben, dass ich auch bei Wikipedia schwer folgen kann, das ist aber oft so.

Du sagst oben, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Element der Teilmenge auch zur Hauptmenge Teil wäre gleich 0 ist.
Das kann ja nicht.

Also das kann ja nicht, nicht, nicht. Verstehe ich nicht.

Muss größer 0 sein. Das ist doch sonst unlogisch.

Gruß,
Dgoe
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Re: Die leere Menge ist physikalisch irrelevant

Beitrag von Skeltek » 25. Jan 2018, 02:07

Da stellt sich mir gerade die Frage, ob ein Mechanismus denkbar wäre, welcher eine Materieart oder ähnliches in endlicher Zeit nach dem Urknall so (de)generiert/modifiziert, dass sie weder elektromagnetisch noch gravitativ mit dem restlichen Universum wechselwirkt und somit nur noch völlig entkoppelt existiert. Eine Art DM, welche zwar den gravitativen Regeln der gekrümmten Raumzeit folgt, aber selbst nicht gravitativ wirkt.
Aber ich denke das passt thematisch nicht in dieses Thema hinein. Gegebenenfalls mach ich dazu irgendwann vielleicht einen Extra-Thread; wobei ich nicht glaube, dass es da viel darüber zu diskutieren gibt oder es irgendeinen Sinn macht, mangels Verifkations-Möglichkeiten.
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Re: Die leere Menge ist physikalisch irrelevant

Beitrag von Dgoe » 25. Jan 2018, 02:19

;?
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Re: Die leere Menge ist physikalisch irrelevant

Beitrag von Dgoe » 25. Jan 2018, 04:45

Noch mal ganz langsam,

wenn die reellen Zahlen die rationalen Zahlen und von mir aus auch noch die Irrationalen umfassen, dann sagt dies doch, dass die rationalen Zahlen in der Menge der Reelen Zahlen enthalten ist. Ja oder nein?

Dann: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass irgend eine Zahl der reelen Zahlen auch eine rationale Zahl ist? Von mir aus verschwindend gering, aber niemals gleich Null!
Das ist unmöglich. Und ihr bringt mich hier um den Verstand. Halte so viel von Euch, aber das geht nicht.

Defenetiv nicht.
Gar nicht, überhaupt nicht und sowieso nicht.

Ralf, sag bitte, dass Du Dich verschrieben hast.

Ansonsten werden herbste Argumente nötig. Die ich vorsehend nicht zu akzeptieren gewillt bin, dem hinzufügend.

Gruß,
Dgoe
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Re: Die leere Menge ist physikalisch irrelevant

Beitrag von tomS » 25. Jan 2018, 07:20

Dgoe hat geschrieben:
25. Jan 2018, 04:45
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass irgend eine Zahl der reellen Zahlen auch eine rationale Zahl ist? Von mir aus verschwindend gering, aber niemals gleich Null!
Das ist unmöglich.
Nein, das ist mathematisch präzise.

Ein einfacheres Beispiel: gegeben sei die Untermenge M(N) = {1,2,3,...,N} der natürlich Zahlen, z.B. durchnummerierte Lottokugeln. Die Wahrscheinlichkeit - ein faires Verfahren vorausgesetzt - eine Zahl n aus M(N) zu ziehen, ist

p(n) = 1/N

Wir führen nun einen neuen Begriff ein, wir sprechen nicht mehr von der Wahrscheinlichkeit p(n) sondern vom Maß μ(n). Dafür gilt wiederum

μ(n) = 1/N.

Im Grenzfall N gegen Unendlich, d.h. für die Gesamtheit der natürlichen Zahlen, gilt für jedes n offensichtlich

μ(n) = 0.


In ähnlicher Weise kann man den Maßbegriff auf Untermengen der reellen Zahlen erweitern. Betrachten wir dazu das Intervall [0,1] der reellen Zahlen sowie dessen Untermenge Q(0,1), d.h. die Menge aller rationalen Zahlen in [0,1].

Es gilt

μ([0,1]) = 1
μ(Q[0,1]) = 0
Gruß
Tom

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Re: Die leere Menge ist physikalisch irrelevant

Beitrag von Dgoe » 26. Jan 2018, 12:23

Danke Tom,

das muss ich erst einmal verdauen. :?

Gruß,
Dgoe
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Re: Die leere Menge ist physikalisch irrelevant

Beitrag von tomS » 26. Jan 2018, 14:09

Gruß
Tom

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Re: Die leere Menge ist physikalisch irrelevant

Beitrag von ralfkannenberg » 26. Jan 2018, 15:09

Dgoe hat geschrieben:
25. Jan 2018, 01:55
Du sagst oben, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Element der Teilmenge auch zur Hauptmenge Teil wäre gleich 0 ist.
Das kann ja nicht.

Also das kann ja nicht, nicht, nicht. Verstehe ich nicht.

Muss größer 0 sein. Das ist doch sonst unlogisch.
Hallo Dgoe,

das ist korrekt, was Du schreibst.

Die "Teilmenge" ist die Menge der rationale Zahlen und die "Hauptmenge" ist die Menge der reellen Zahlen.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Die leere Menge ist physikalisch irrelevant

Beitrag von ralfkannenberg » 26. Jan 2018, 15:16

Dgoe hat geschrieben:
25. Jan 2018, 04:45
Ralf, sag bitte, dass Du Dich verschrieben hast.
Hallo Dgoe,

ich denke, es ist alles ok - beachte, dass die Hauptmenge die Menge der reellen Zahlen ist und die Teilmenge die Menge der rationalen Zahlen.

Die Menge der rationalen Zahlen bildet, obgleich sie unendlich gross ist, in der Menge der reellen Zahlen eine Nullmenge. Das heisst, eine reelle Zahl zu finden, die zusätzlich auch rational ist, ist gleich 0.

Selbstverständlich gilt die Umkehrung, da jede rationale Zahl auch reell ist.

Vorsicht: bei algebraischen Zahlen gilt das nicht, das die Nullstellen des Polynoms x²2 + 1 = 0 ebenfalls algebraische Zahlen sind. Und diese sind nicht-reell, sondern komplex.

Es gilt aber:
Die Menge der reell-algebraischen Zahlen bildet, obgleich sie unendlich gross ist, in der Menge der reellen Zahlen eine Nullmenge. Das heisst, eine reelle Zahl zu finden, die zusätzlich auch reell-algebraisch ist, ist gleich 0. Selbstverständlich gilt die Umkehrung, da jede reell-algebraische Zahl auch reell ist.

Die Menge der algebraischen Zahlen bildet, obgleich sie unendlich gross ist, in der Menge der komplexen Zahlen eine Nullmenge. Das heisst, eine komplexe Zahl zu finden, die zusätzlich auch algebraisch ist, ist gleich 0. Selbstverständlich gilt die Umkehrung, da jede algebraische Zahl auch komplex ist.


Freundliche Grüsse, Ralf


EDIT 27.1.2018 21:05 Uhr: die 2 im Quadrat hochgestellt
Zuletzt geändert von ralfkannenberg am 27. Jan 2018, 21:05, insgesamt 1-mal geändert.

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Re: Die leere Menge ist physikalisch irrelevant

Beitrag von Dgoe » 26. Jan 2018, 16:14

tomS hat geschrieben:
25. Jan 2018, 07:20
Wir führen nun einen neuen Begriff ein, wir sprechen nicht mehr von der Wahrscheinlichkeit p(n) sondern vom Maß μ(n).
Ok, dann steckt die Erklärung wohl in diesem anderen Begriff irgendwie.
tomS hat geschrieben:
25. Jan 2018, 07:20
Dafür gilt wiederum

μ(n) = 1/N.

Im Grenzfall N gegen Unendlich, d.h. für die Gesamtheit der natürlichen Zahlen, gilt für jedes n offensichtlich

μ(n) = 0.
Na ja, offensichtlich ist gut. Wenn das Brett (vor meinem Kopf) transparent wäre vielleicht.
Dann wird dort durch Unendlich dividiert? Unendlich ist doch nicht definiert...


Die Links zu den Artikeln lese ich erst heute abend vor dem Einschlafen, in der Hoffnung nicht vor der Pointe, vor dem Aha-Erlebnis eingeschlafen zu sein.
ralfkannenberg hat geschrieben:
26. Jan 2018, 15:16
...beachte, dass die Hauptmenge die Menge der reellen Zahlen ist und die Teilmenge die Menge der rationalen Zahlen.

Die Menge der rationalen Zahlen bildet, obgleich sie unendlich gross ist, in der Menge der reellen Zahlen eine Nullmenge. Das heisst, eine reelle Zahl zu finden, die zusätzlich auch rational ist, ist gleich 0.

Selbstverständlich gilt die Umkehrung, da jede rationale Zahl auch reell ist.
Wenn ich die Menge der rationalen Zahlen ausschließe, dann finde ich in der verbliebenen Menge der reellen Zahlen, keine rationale Zahl mehr. Trivial klar, aber das steht da ja nicht.

Zum Beispiel, die 1 ist doch eine reele Zahl, nicht wahr? Gut, sie ist auch eine rationale Zahl (1/1).

Nun finde ich mit der 1 eine reelle Zahl, die auch eine rationale Zahl ist, wie auch umgekehrt. Ich finde noch unendlich viele Gegenbeispiele.

Gruß,
Dgoe

[Typo korrigiert]
Zuletzt geändert von Dgoe am 27. Jan 2018, 13:10, insgesamt 1-mal geändert.
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Re: Die leere Menge ist physikalisch irrelevant

Beitrag von Skeltek » 26. Jan 2018, 16:25

Die Wahrscheinlichkeit eine ganz bestimmte Zahl aus einem reelen Intervall zu ziehen ist exakt 1, vorausgesetzt der Parameter der Zufallsfunktion entspricht genau dem Urbildelement, welches als Input eben genau diese eine Zahl als Bildelement zur Folge hat. Das Problem reduziert sich auf die Unkenntniss des Eingangsparameters (z.B. beim Würfel Geschwindigkeit, Drehimpuls, Position, Bewegung der Luftteilchen, Temperatur usw).
Man hat immer eine Abbildung einer Ausgangsmenge auf eine Bildmenge, wobei wir nicht genau sagen können, was heraus kommt, weil wir den aktuel auszuwertenden Parameter der Urbildmenge nicht kennen.
Die Wahrscheinlichkeit auf ein Element hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Urbildmenge ab, welche dann über die Abbildungsfunktion auf die Bildmenge übertragen wird.

Woraus sich die Unwissenheit über den Ausgang des Zufallsereignisses zusammensetzt sind:
- die Unkenntniss über die Ausgangslage bzw Eingangsparameter
- gegebenenfalls Unkentniss über die Zufallsfunktion

Man kann wenn man die Ausgangslage nicht kennt, die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Ausgangssituation auf die Wahrscheinlichkeiten der Endsituation übertragen.
Wie hoch die Wahrscheinlichkeit für eine reele Zahl ist, hängt von der Ausgangsmenge möglicher Ausgangssituationen ab und von der Funktion, in welche diese eingesetzt werden.
Die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Zahl wissen zu wollen ist sinnlos, solange man nicht spezifiziert, mit welchem Algorithmus oder Verfahren man aus dem Eingangsparameter den ausgangsparameter der Zufallsfunktion ermitelt.

Fragen muss man sich, ob die Ausgangsmenge reel ist oder rational. Will man eine Verteilung der Wahrscheinlichkeit über einen reelen Bereich haben, so muss auch die Menge der Ausgangssituationen reel sein (und eine Wahrscheinlichkeitsverteilung haben).
Dann muss man gegebenenfalls noch falls der Output rationale Zahlen enthalten soll, die Zufallsfunktion so anpassen, dass sie für bestimmte reele Bereiche der eingangsfunktion, eine bestimmte rationale Zahl ausspuckt.
So erreicht man z.B. eine gleiche Wahrscheinlichkeit für die Zahl 64/7 wie für den reelen Bereich von ]1/17, 1/16[ ohne rationale Zahlen oder ähnlich.

Geht man intuitiv vor, hat jede reele und rationale Zahl eine wahrscheinlichkeit von 0. Selbst wenn man ein Ergebniss bekommen würde, ist fraglich, ob man überhaupt weiss, welche Zahl man überhaupt 'gezogen' hat, bevor man nicht alle Stellen ausgelesen hat (was ja unmöglich ist).

Kurz gefasst: Wie errechnet sich aus der unbekannten Eingangszahl die Ausgangszahl der Zufallsfunktion? Irgendwie muss man ja das Zufallsergebniss überhaupt identifizieren können.
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Re: Die leere Menge ist physikalisch irrelevant

Beitrag von tomS » 26. Jan 2018, 17:49

Dgoe hat geschrieben:
26. Jan 2018, 16:14
tomS hat geschrieben:
25. Jan 2018, 07:20
Wir führen nun einen neuen Begriff ein, wir sprechen nicht mehr von der Wahrscheinlichkeit p(n) sondern vom Maß μ(n).
Ok, dann steckt die Erklärung wohl in diesem anderen Begriff irgendwie.
Nein, die Erklärung steckt da noch nicht drin, es handelt sich lediglich um eine Präzisierung. Der Grund ist, dass der Begriff der Wahrscheinlichkeit auf einer unendlichen Menge teilweise nicht definiert werden kann, der des Maßes jedoch schon.

EDIT: So ist es durchaus sinnvoll, dass die Menge der rationalen Zahlen Q als Untermenge der reellen Zahlen R das Maß μ(Q) = 0 hat; es ist jedoch nicht sinnvoll, dass man einer rationalen Zahl x aus Q die Wahrscheinlichkeit p(x) = 0 zuordnet, oder dass man der Untermenge Q in R als Ganzes die Wahrscheinlichkeit p(Q) = 0 zuordnet; das widerspricht einfach einer Eigenschaft, die man für ein Wahrscheinlichkeitsmaß in der Mathematik festgelegt hat, nicht jedoch einem allgemeinen Maßbegriff.
Dgoe hat geschrieben:
26. Jan 2018, 16:14
tomS hat geschrieben:
25. Jan 2018, 07:20
Dafür gilt wiederum

μ(n) = 1/N.

Im Grenzfall N gegen Unendlich, d.h. für die Gesamtheit der natürlichen Zahlen, gilt für jedes n offensichtlich

μ(n) = 0.
Na ja, offensichtlich ist gut. Dann wird dort durch Unendlich dividiert? Unendlich ist doch nicht definiert...
Aber der Grenzfall ist definiert. Genauer: wenn N beliebig groß wird, dann wird μ(n) = 1/N beliebig klein; d.h. ich kann ein beliebig kleines ε > 0 wählen und dazu ein geeignetes N finden, so dass μ(n) = 1/N < ε ist. Damit konvergiert μ(n) = 1/N im Grenzfall beliebig großer N gegen Null.
Gruß
Tom

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Re: Die leere Menge ist physikalisch irrelevant

Beitrag von Dgoe » 26. Jan 2018, 20:46

tomS hat geschrieben:
26. Jan 2018, 17:49
Aber der Grenzfall ist definiert. 
Ahaa, langsam dämmert's etwas. :well:
Das ist aber schon ziemlich "tricky"! Interessant.

Gruß,
Dgoe
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Re: Die leere Menge ist physikalisch irrelevant

Beitrag von Skeltek » 26. Jan 2018, 20:59

Toms Ausführung zur Gleichverteilung der Wahrscheinlichkeit bei N ist wirklich gut. Hier vielleicht noch wie man es anders machen könnte:

Uhm, um nochmal kurz eine Beispielverteilung darzulegen:
Für alle natürlichen Zahlen: P(n):=1/(2^n)
mit der Summe offensichtlich 1.
Das ist eine surjektive Abbildung vom Intervall [0,1[ nach N. Beim Intervall nimmt man hier als Ausgangsmenge eine abzählbare Menge reeler Intervalle. Man geht hier davon aus, dass der unbekannte(!) Parameter der Zufallsfunktion sich in einem dieser meßbaren Intervall befindet. (Glaube darauf will tom vermutlich über lang hinaus; man muss Intervalle messen können, um sie dann in ein Verhältniss zum Gesamtmaß setzen zu können).
Man kann eine surjektivee Abbildung von einer reelen Urbildmenge in eine abzählbare Bildmenge konstruieren, jedoch nicht anders herum (jeweils ein Intervall reeler Zahlen ergibt eine natürliche Zahl als Ergebniss).

Es wäre durchaus eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für R konstruierbar(!!! Wir legen das selbst fest!), wo Intervalle des reelen Urbildes abwechselnd auf reele Intervalle als auch auf rationale Zahlen zeigen.
Es gibt nicht 'die eine Wahrscheinlichkeit' für eine rationale Zahl in einem reelen Intervall, die Wahrscheinlichkeitsverteilung können wir beliebig selbst auswählen.
Anders herum geht es einfach nicht, man kann von einer abzählbaren Ausgangsmenge nicht stetig auf eine reele Bildmenge abbilden.
Auf das Auswahlaxiom will ich hier gerade nicht eingehen.

Hinzu muss man auch erwähnen, dass die Frage nach einem Anzahls-mäßigen Vergleich zwischen reelen und rationalen Zahlen (wenn man es ganz genau nimmt) unsinnig ist. Die reelen Zahlen sind nicht 'mehr' Zahlen als die rationalen Zahlen, sondern einfach überabzählbar, was nicht wirklich etwas mit dem klassischen Begriff der 'Anzahl' zu tun hat, sondern eher dass diese nicht vollständig der Reihe nach geordnet werden können.
Eine vollständige Ordnung der reelen Zahlen existiert zwar, jedoch nur mit unendlich verzweigten fraktalen Bäumen, bei denen es jedoch unmöglich ist diese vollständig sequentiell abzugehen (Tiefensuche terminiert nicht, Breitensuche erfasst nur rationales).

Cantor schrieb: "Unter einer ‚Menge‘ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‚Elemente‘ von M genannt werden) zu einem Ganzen."
Im Grunde genommen möchte ich an diesen Satz angelehnt sagen, dass man erst eine Verteilung/Einteilung dieser Menge im Kopf hat, bevor man dieser numerische Werte zuordnet. Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung determinieren zu wollen, ohne vorher eine Verteilungsfunktion festzulegen macht keinen Sinn.

Hier ist übrigens ein netter Link zu einer groben Chronologie der mathematischen Diskussion über die Überabzählbrkeit, Mächtigkeit, Auswahlaxiom usw über die Jahrhunderte hinweg. Es hat lange gebraucht, bis man sich da auf etwas geeinigt hat. Einige dieser Streitpunkte sind auch relevant für die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Mengen.
Chronologie Überabzählbarkeit, Kontinuum, Konstruktivismus und Blablabla
"Le's do it now. Le's make the world bedda"
'Sure, right now. I gotta. We gotta"

Unentscheidbarkeit für Dummies: Dieser Satz ist wahr

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Re: Die leere Menge ist physikalisch irrelevant

Beitrag von Pippen » 26. Jan 2018, 23:17

tomS hat geschrieben:
17. Jan 2018, 06:38
Sie ist nicht unmessbar, sondern sie hat das Maß Null - das ist etwas anderes.
Die leere Menge existiert also mathematisch und physikalisch und sie hat das Maß Null. Daraus folgt sofort, dass es jenseits des Universums noch etwas gibt, ein Außerhalb, dass - wenn es auch das Maß Null hat - so doch existiert. Ob man das dann für physikalisch irrelevant erklärt, ändert nichts an der Tatsache, dass wir damit ein dichtonomes Weltmodell bekommen, in dem unsere Welt durch zwei Existenzen konstituiert wird: das Universum und die Leere (Menge). Damit haben wir dann auch sofort eine neue Welt ohne Naturgesetze, nämlich die Welt außerhalb des Universums, was zu der Frage führt, wie und warum wir einfach so von der universellen Geltung der Naturgesetze ausgehen können. Wir bekommen damit sogar ein Weltmodell in Zwiebelform: unser Universum umgeben von unendlich vielen Schachtelungen von leeren Mengen (in denen sich jeweils bekanntlich ganz viele Falschheiten tummeln können, dann brauchen wir nur noch ein paar Theologen, die daraus was machen). Ich halte diesen Weg für gefährlich und unnötig. Einfach das mathematische Modell durch das physikalische Postulat einschränken, dass die leere Menge in der Physik nicht existiert (sondern ein bloßes math. Hilfsmodell ist, so wie ja auch bei den natürlichen Zahlen im Alltag niemand eine Null als was Existentes ansähe und zB zählte: 0,1,2,3,...) und Ende.
Zuletzt geändert von Pippen am 26. Jan 2018, 23:51, insgesamt 1-mal geändert.

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Re: Die leere Menge ist physikalisch irrelevant

Beitrag von tomS » 26. Jan 2018, 23:36

Wahrscheinlich hast du gerade die Existenz der Hölle bewiesen.
Gruß
Tom

«while I subscribe to the "Many Worlds" theory which posits the existence of an infinite number of Toms in an infinite number of universes, I assure you that in none of them am I dancing»

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