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Noch ein kleines Quiz ;)

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Re: Noch ein kleines Quiz ;)

Beitrag von seeker » 12. Jun 2013, 13:40

positronium hat geschrieben:Wenn ich mich recht erinnere, ist das vom Prinzip her das gleiche Problem, das seeker einmal in Bezug auf Sonne und Mond, und deren Abdeckung gepostet hat. Das liess sich glaube ich nur numerisch als Näherung lösen.
Ja das war so. Ich hatte das Rätsel etwas umformuliert, um es "weltraumforumtauglicher" zu machen. :wink:
Es kam dabei eine transzendente Zahl heraus, die man nur per Näherung ausrechnen kann.

Stephen hat geschrieben:a) Kann man die Menge der natürlichen Zahlen von 1 bis 21 so in Teilmengen zerlegen, dass in jeder dieser Teilmengen die größte Zahl gleich der Summe der übrigen Zahlen ist?
Jetzt wird es langsam immer schwieriger... :wink:

Wie ist das gemeint? Beispiel: {1,3,4}
Die 4 ist hier die größte Zahl und gleichzeitig gleich der Summe aus 1 und 3.

Oder: {2,4,8,14}: Hier ist die 14 Summe aus 2,4 und 8.
So?

Darf/muss jede der Zahlen 1 bis 21 genau 1x verwendet werden?

Gruß
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Grüße
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Re: Noch ein kleines Quiz ;)

Beitrag von Stephen » 12. Jun 2013, 14:03

@seeker: Richtig. Jede Zahl darf nur einmal verwendet werden, in der Reihe jedoch so viele, wie noch übrig sind. Es müssen natürlich mindestens 3 Zahlen sein, sonst funktioniert das Prinzip nicht mehr. Wichtig ist nur, dass die größte Zahl im jeweiligen Verbund der Summe aller der kleineren Zahlen davor entspricht und alle 21 Zahlen restlos aufgebraucht werden...

Somit wäre also auch (1,2,3,4,5,6,21) möglich. Aber mit den restlichen Zahlen (7 ... 20) wird man dann nicht mehr sehr weit kommen, befürchte ich ;)

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Re: Noch ein kleines Quiz ;)

Beitrag von positronium » 12. Jun 2013, 15:46

Stephen hat geschrieben:a) Kann man die Menge der natürlichen Zahlen von 1 bis 21 so in Teilmengen zerlegen, dass in jeder dieser Teilmengen die größte Zahl gleich der Summe der übrigen Zahlen ist?
Nein.
Begründung: In 1 bis 21 gibt es 11 ungerade Zahlen, also eine ungerade Anzahl ungerader Zahlen.
Es sind für Teilmengen zwei Fälle zu betrachten:
a) Die grösste Zahl ist gerade: Hier bedarf es einer geraden Anzahl ungerader Zahlen in der neuen Teilmenge.
b) Die grösste Zahl ist ungerade: Hier bedarf es ebenfalls einer geraden Anzahl ungerader Zahlen - einerseits die grösste Zahl, zuzüglich andererseits einer ungeraden Anzahl ungerader Zahlen.
Man sieht, dass die jeweils nach Erstellung einer neuen Teilmenge übrige Anzahl der 11 ungeraden Zahlen stets ungerade bleibt. Daraus folgt, dass es zum Schluss eine Teilmenge gibt, welche nur eine ungerade Zahl enthält - diese ist dann aber nicht mehr mit der Summe konsistent, weil diese gezwungenermassen gerade ist.

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Re: Noch ein kleines Quiz ;)

Beitrag von Xenia » 12. Jun 2013, 16:32

Stephen hat geschrieben:Der verschwundene Euro

Drei Wanderer gingen in eine Gaststätte, nahmen jeder eine Mahlzeit ein und bezahlten genau 30 Euro. Die Wirtin bemerkte später, dass sie sich in der Rechnung um 5 Euro (zu ihren Gunsten) verrechnet hatte und schickte den Wanderern einen Laufburschen mit den 5 Euro hinterher.

Da sich die Wanderer nicht einig werden konnten, wie sie die 5 Euro unter sich verteilen sollten, nahm jeder 1 Euro, die verbleibenden 2 Euro schenkten sie dem Laufburschen.

Somit bezahlte jeder Wanderer 9 Euro (10 minus 1, insgesamt 27), der Laufbursche bekam 2 Euro, macht insgesamt 29 Euro. Wo ist der verschwundene Euro?

Also ich rechne das nun anders somit fehlt aber KEIN €!!!!!!!!!!!! Sie zahlten 25 € + 3 € zu viel +2 € behielt der Kellner. Erinnert mich an die Zahl der 11 Finger an den Händen, wo man an einer Hand zurückzählt und die der Zweiten dann dazu rechnet.
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Re: Noch ein kleines Quiz ;)

Beitrag von seeker » 12. Jun 2013, 17:23

positronium hat geschrieben:Nein.
Begründung: In 1 bis 21 gibt es 11 ungerade Zahlen, also eine ungerade Anzahl ungerader Zahlen.
Es sind für Teilmengen zwei Fälle zu betrachten:
a) Die grösste Zahl ist gerade: Hier bedarf es einer geraden Anzahl ungerader Zahlen in der neuen Teilmenge.
b) Die grösste Zahl ist ungerade: Hier bedarf es ebenfalls einer geraden Anzahl ungerader Zahlen - einerseits die grösste Zahl, zuzüglich andererseits einer ungeraden Anzahl ungerader Zahlen.
Man sieht, dass die jeweils nach Erstellung einer neuen Teilmenge übrige Anzahl der 11 ungeraden Zahlen stets ungerade bleibt. Daraus folgt, dass es zum Schluss eine Teilmenge gibt, welche nur eine ungerade Zahl enthält - diese ist dann aber nicht mehr mit der Summe konsistent, weil diese gezwungenermassen gerade ist.
Stimmt! Das ist überzeugend! :sup:

Einwände, Stephen?
Grüße
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Re: Noch ein kleines Quiz ;)

Beitrag von Stephen » 12. Jun 2013, 18:12

Also ihr seid wirklich super :well:

@Xenia: absolut korrekte Beweisführung!

@positronium: vollkommen richtig!

Hier die offizielle Erklärung:
Antwort: Nein, das kann man nicht erreichen.
1. Beweis (durch Widerspruch über die Parität der Gesamtsumme): Die Gesamtsumme der natürlichen Zahlen von 1 bis 21 ist 1 + 2 + ... + 21 = (21 x 22) /2 = 231, dies ist eine ungerade Zahl.
Wäre nun eine solche Zerlegung in Teilmengen möglich, dann wäre in jeder solchen Teilmenge die Summe der Zahlen das Doppelte der größten Zahl in dieser Teilmenge, insbesondere wäre in jeder
Teilmenge die Summe aller Zahlen gerade. Da jede der Zahlen 1, 2, ...., 21 in genau einer der Teilmengen vorkommt, ist die Gesamtsumme aller Zahlen identisch mit der Summe über die Summe
in allen Teilmengen, also eine Summe gerader Zahlen und somit selbst eine gerade Zahl.
Dies steht aber im Widerspruch zu obiger Feststellung.
2. Beweis (durch Widerspruch über die Anzahl der ungeraden Zahlen): Wir nehmen an, es gäbe eine solche Zerlegung in Teilmengen. Bekanntlich ist der Wert einer Summe von ganzen Zahlen genau dann gerade, wenn die Anzahl ihrer ungeraden Summanden gerade ist. Ist nun in einer solchen Teilmenge die größte Zahl gerade, so kommt unter den übrigen eine gerade Anzahl von ungeraden Zahlen vor; und ist die größte Zahl in einer solchen Teilmenge ungerade, so kommt unter den übrigen Zahlen ein ungerade Anzahl von ungeraden Summanden vor. In jedem Fall ist also die Gesamtzahl von ungeraden Zahlen in einer solchen Teilmenge gerade. Da jede der betrachteten Zahlen in genau einer Teilmenge vorkommt, muss die Gesamtzahl der ungeraden Zahlen als Summe lauter geraden Zahlen selbst eine gerade Zahl sein. Unter den betrachteten Zahlen 1, 2, ..., 21 gibt es aber genau 11 ungerade Zahlen; dies ist eine ungerade Zahl und ergibt so den gewünschten Widerspruch.

Die Aufgabe erinnert mich ein wenig an Gauss. Sein Lehrer wollte die Schüler beschäftigen und sie sollten die Summe aller Zahlen von 0 bis 100 errechnen. Er war nach 2 Minuten fertig ;) Oder war es Adam Ries?
Zuletzt geändert von Stephen am 12. Jun 2013, 18:37, insgesamt 2-mal geändert.
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Re: Noch ein kleines Quiz ;)

Beitrag von positronium » 12. Jun 2013, 18:28

Danke!

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Re: Noch ein kleines Quiz ;)

Beitrag von Stephen » 14. Jun 2013, 16:24

@positronium:
Die von dir gelöste Aufgabe stammt übrigens aus einer bundesweit durchgeführten Mathematik-Olympiade für Gymnasiasten. Ich denke, dass du dir da schon mal ein Gläschen einschenken könntest für die erfolgreiche Beantwortung :beer:

Die anderen beiden Fragen
b) Kann man jedes Dreieck in genau 5 gleichschenklige Dreiecke zerlegen?
Hinweis: Bei allen betrachteten Dreiecken liegen die 3 Eckpunkte nicht auf einer Geraden.
c) A und B spielen folgendes Spiel: Sie schreiben abwechselnd je eine Ziffer (0...9) an die Tafel, wobei A beginnt. Jede weitere Ziffer wird entweder rechts oder links neben die schon an der Tafel stehende Ziffer geschrieben. Beweise, dass A verhindern kann, dass nach einem Zug von B die Ziffernfolge einschließlich evtl. führender Nullen eine Quadratzahl im Dezimalsystem darstellt.
lassen wir mal weg, dafür braucht es wohl einen IQ von 180 ;)

Vielen Dank fürs Mitmachen!
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Re: Noch ein kleines Quiz ;)

Beitrag von positronium » 14. Jun 2013, 17:35

:shock: Nie und nimmer dafür belohnen! Demnach habe ich ja gerade mal mit den Kindern mithalten können. :cry:
Die beiden anderen Aufgaben sind mir übrigens zu kompliziert. Bei b) wäre ein Gedanke, mit den Freiheitsgraden zu rechnen; ein anderer die Zerlegemöglichkeiten zu betrachten - wäre aber sehr aufwendig. Das liefe halt in jedem Fall darauf hinaus, zu zeigen, dass man nie vom beliebigen Dreieck als Rest weg kommt. Für c) muss man wohl Mathematiker sein.

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Re: Noch ein kleines Quiz ;)

Beitrag von Stephen » 14. Jun 2013, 17:53

@positronium: BUNDESWEIT ;) Da sitzen die schlauesten Köpfe der gesamten Nation. Keine Ahnung, wieviel das sind, aber bestimmt nicht mehr, als in eine normale Aula reinpassen...
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Re: Noch ein kleines Quiz ;)

Beitrag von seeker » 15. Jun 2013, 17:26

Stephen hat geschrieben:c) A und B spielen folgendes Spiel: Sie schreiben abwechselnd je eine Ziffer (0...9) an die Tafel, wobei A beginnt. Jede weitere Ziffer wird entweder rechts oder links neben die schon an der Tafel stehende Ziffer geschrieben. Beweise, dass A verhindern kann, dass nach einem Zug von B die Ziffernfolge einschließlich evtl. führender Nullen eine Quadratzahl im Dezimalsystem darstellt
767676767...

Bin noch am Knobeln:

A muss mit 7 beginnen. Jede andere Zahl verliert sofort.
Nun ist es so, dass bei Quadratzahlen als letzte Ziffer die 2, 3, 7 und 8 nie vorkommt, weil die letzte Ziffer ausschließlich von der letzten Ziffer der Zahl abhängt, aus der die Quadratzahl gebildet wird.

Beispiel:
Man kann eine 3-stellige Quadratzahl auch so schreiben: q = z² = (100c+10b+a)²
Nach einigen Umformungen kommt hier heraus: z² = 10{[10(10c+b)²]+(20c+2b)a}+a²
Man sieht: Die letzte Ziffer hängt nur von a (= die letzte Ziffer von z) ab.
Mit a e {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} und Betrachtung der entsprechenden Quadrate ekennt man, dass die letzte Ziffer einer Quadratzahl immer e {0,1,4,5,6,9} ist.

Dasselbe Spiel kann man nun auch für die beiden letzten Ziffern machen. Es kommt heraus, dass jede Quadratzahl immer mit einer Doppel-Ziffer der folgenden Liste endet:

00 01 04 09 16 21 24 25 29 36 41 44 49 56 61 64 69 76 81 84 89 96

Das schränkt dies Sache weiter ein. Man kann dasselbe Spiel auch mit den letzten 3, 4, ..., n Ziffern treiben.

Wenn A also mit 7 beginnt, dann kann B nur dann eine Quadratzahl erreichen, wenn er eine 6 hinten anhängt, denn 76 ist die einzige Kombination mit einer 7 an vorletzter Stelle, die eine Quadratzahl ergeben kann. Wenn B vorne ne Zahl anhängt ändert das nichts. In dem Fall hängt A einfach auch eine Zahl vorne an. So lange hinten eine 7 steht kann keine Quadratzahl entstehen.

Wenn also B überhaupt eine Chance haben will, muss er hinten eine 6 anhängen.
Wir kommen zu 76.

Nun bin ich mir noch nicht ganz sicher. A müsste wieder eine 7 anhängen.
Wir erhalten 767. B steht vor demselben Problem wie zuvor und muss eine 6 anhängen.

Man kommt zu der Folge: 767676767676767676...
Nun wäre noch zu zeigen, dass diese Folge mit beliebig vielen Ziffern fortgesetzt stets keine Quadratzahl ist.
Daran hänge ich noch, bin mir aber recht sicher, dass dem so ist.

Grüße
seeker
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Re: Noch ein kleines Quiz ;)

Beitrag von seeker » 15. Jun 2013, 18:45

Der vielleicht bessere Lösungsweg ist:

Wir kommen irgendwann zu einer Zahl xxx7 und danach zur xxx76. ("x" steht für irgendwelche Ziffern)
Nun ist es aber so, dass je mehr x vor der 7 stehen, desto eingeschränkter ist die Lösungsmenge, soll heißen: Mit jeder zusätzlichen Ziffer x steigt die Menge an zusätzlichen natürlichen Zahlen mehr an als die Menge an Quadratzahlen mit genauso vielen Ziffern und der 7 als vorletzte Ziffer.
Daher wird es für A immer leichter zu verhindern, dass B, wenn er irgendwann die 6 hinten dransetzt, eine Quadratzahl erreichen kann.
A weiß ja stets vorher, welche Ziffer er stetzen muss, damit B nachfolgend mit der 6 (hinten) keine Quadratzahl erreicht.
Es ist nämlich so, dass bei hinzufügen von einem x jeweils niemals bei jeder Ziffer eine Möglichkeit entstehen kann hinterher mit der 6 (hinten) zu einer Quadratzahl zu kommen.

Ich meine es so:
Man sei (mit B am Zug) bei der Zahl xxx7, die die Eigenschaft hat, dass xxx76 keine Quadratzahl ist. Daher setzt B eine Zahl davor und erzeugt bxxx7.
Nun kann A aber wissen, mit welcher weiteren Ziffer er verhindern kann, dass eine Zahl abxxx76 zu einer Quadratzahl wird.
Daher wählt er sein a entsprechend. Nun hat B eine neue Zahl vor sich: abxxx7, die weder durch hinzufügen einer Ziffer davor noch durch hinzufügen einer 6 danach zu einer Quadratzahl wird.
Egal was er jetzt tut, A ist immer im Vorteil und kann verhindern, dass B eine Quadratzahl erzeugen kann.
usw.

Also:
A fängt mit der 7 an.
B versucht zur 5776 zu kommen (das ist eine Quadratzahl) und setzt die 7 davor. Es ergibt sich: 77
A weiß, was B vorhat und vereitelt das, indem er z.B. die 7 davor setzt. Es ergibt sich 777.
B versucht eine neue Q-Zahl zu erreichen. Die kleinstmögliche wäre ab7776.
Er setzt b und erhält b777. A durchschaut ihn und setzt c. Es ergibt sich cb777 (also nicht ab777, was für ab7776 nötig wäre).
Usw., B kommt nie zum Ziel.

Setzt B stattdessen irgendwann die 6 hinten an, so kontert A, indem er eine neue 7 hinten dranhängt, wodurch die Situation wieder wie zuvor ist.

Ich glaube fast, das war es schon... (gut, vielleicht noch besser ausformulieren)
Richtig?

Grüße
seeker

Nachtrag: Wenn B hinten eine 6 anhängt muss A nicht unbedingt eine 7 hinten ansetzen; er kann mindestens aus 2,3,7, 8 wählen.
A kann sich auch beim hinten Ansetzen von Ziffern auf die Lückenstrategie verlassen.
Es ist nämlich so: Die DIfferenz zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen wird von Mal zu Mal um 2 größer:
Diese Differenz ist ab 3-stelligen Zahlen größer 20: 100-81 = 19, 121-100= 21

Das bedeutet, dass nachdem 2 Ziffern gesetzt sind (z.B. 76) kann A auf Lücken spielen, denn da die Differenz zwischen zwei Quadratzahlen nun größer 20 ist, muss es zwangsläufig in der vorletzten Ziffer aller nun nachfolgenden Quadratzahlen Ziffern geben, die nicht getroffen werden. Spielt er auf Lücke (indem er eben eine solche Ziffer wählt) braucht es nun mindestens zwei weitere Ziffern, um zu einer Quadratzahl zu gelangen.
Da abwechselnd gespielt wird, kann A verhindern, dass B eine Quadratzahl erreicht.
Grüße
seeker


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Re: Noch ein kleines Quiz ;)

Beitrag von positronium » 16. Jun 2013, 10:41

Seeker, Du hast mich mit Deinen Überlegungen inspiriert. Deshalb habe ich es noch einmal versucht - leider ohne Erfolg. Ich poste die Idee trotzdem. Vielleicht liesse sich das ja noch erweitern.

z sei die angeschriebene Zahl; w deren Wurzel und w[down]n[/down] die n-te Stelle von w. Für ganzzahliges w gilt:

und



Weil w[down]n[/down] ganzzahlig {0..9} ist folgt, dass die hintersten Stellen von z stets nur von den hintersten Stellen von w abhängen. Jeder Spieler darf nur eine Zahl anschreiben, weshalb nur die letzten beiden Stellen von z berücksichtigt werden. Diese ergeben sich aus folgendem Teil der Formel:


A muss also lediglich Sorge tragen, dass die beiden letzten Stellen in z niemals den beiden letzten Stellen eines möglichen Ergebnisses (0..9 einsetzen) dieser Formel entsprechen können.

Zu unterscheiden sind zwei Fälle:
- B schreibt seine Zahl links hin, dann wird w[down]0[/down] von A angeschrieben, wodurch gilt:

(x steht schon dort, und ist beliebig)
Mögliche Ergebnisse: 0, 1+20x, 4+40x, 9+60x, 16+80x, 25+100x, 36+120x, 49+140x, 64+160x, 81+180x
Man sieht, dass die letzte Stelle bei Quadratzahlen 0, 1, 4, 5, 6, 9 sein kann; wenn A also 2, 3, 7 oder 8 anschreibt, hätte er eine Quadratzahl verhindert.
- B schreibt seine Zahl rechts hin; es gilt:

Mögliche Ergebnisse (per http://www.wolframalpha.com/input/?i=Ta ... C{y%2C10}] und per Hand auf die beiden letzten Stellen bearbeitet und Doubletten entfernt): {00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89, 96}
Nicht erlaubte Ziffern für A (die jeweils linke in der Liste) sind: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9.
Es gibt also keine Zahl, die A anschreiben könnte, um zu verhindern, dass B eine Quadratzahl schaffen könnte.
Das ist aber auch kein Beweis dafür, dass B es immer schaffen kann - dafür ist der Beweis unvollständig.

Damit ist der Versuch gescheitert.
Hätte das funktioniert, wäre nur noch die Schnittmenge der "guten" Mengen zu bilden gewesen. :cry:

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Re: Noch ein kleines Quiz ;)

Beitrag von seeker » 16. Jun 2013, 12:17

Ja, genau positronimum, nach diesem Muster habe ich auch zuerst gesucht (und bin genauso gescheitert :beer: ).
(Es wäre halt auch ein schöner Beweis gewesen, wenn man explizit eine einfach zu berechnende, klare Abfolge an Ziffern hätte angeben können, die A setzten muss.)

Der Punkt ist aber, dass A zwar nicht verhindern kann, dass B passende Endziffern erzeugt, die in der Liste {00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89, 96} enthalten sind, dass ihm das aber nicht reicht um eine Qzadratzahl zu erreichen, denn alle Quadratzahlen an dem Punkt sind mindestens 3-stellig und B kann nicht gleichzeitig auch noch die restlichen Ziffern kontrollieren, was er aber müsste um eine Quadratzahl zu erzwingen.

Ich bin inzwischen sicher, dass die Lösung hierin liegt:
seeker hat geschrieben:Nachtrag: Wenn B hinten eine 6 anhängt muss A nicht unbedingt eine 7 hinten ansetzen; er kann mindestens aus 2,3,7, 8 wählen.
A kann sich auch beim hinten Ansetzen von Ziffern auf die Lückenstrategie verlassen.
Es ist nämlich so: Die DIfferenz zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen wird von Mal zu Mal um 2 größer:
Diese Differenz ist ab 3-stelligen Zahlen größer 20: 100-81 = 19, 121-100= 21

Das bedeutet, dass nachdem 2 Ziffern gesetzt sind (z.B. 76) kann A auf Lücken spielen, denn da die Differenz zwischen zwei Quadratzahlen nun größer 20 ist, muss es zwangsläufig in der vorletzten Ziffer aller nun nachfolgenden Quadratzahlen Ziffern geben, die nicht getroffen werden. Spielt er auf Lücke (indem er eben eine solche Ziffer wählt) braucht es nun mindestens zwei weitere Ziffern, um zu einer Quadratzahl zu gelangen.
Da abwechselnd gespielt wird, kann A verhindern, dass B eine Quadratzahl erreicht.
Machen wir die Differenz größer (20 könnte evtl. reichen, bin aber nicht ganz sicher): Warten wir bis sie > 100 ist. So weit überlebt A auf jeden Fall.
Wenn die Differenz zwischen zwei noch erreichbaren Quadratzahlen größer 100 ist, dann muss die nächste von B erreichbare Quadratzahl mit 3+2n Ziffern in der vorletzten Stelle Lücken haben, die A auswählen kann (dass A bis zu einer 3-stelligen Zahl nicht verlieren kann, kann man direkt nachweisen, indem man alle Möglichkeiten durchspielt).
Wenn A diese Lücken spielt, kann B nicht gewinnen, egal ob er vorne oder hinten Ziffern anlegt.

Beispiel:
Es sei die Zahl xxx mit B am Zug gegeben. Die nächste erreichbare Quadratzahl sei also q(1)= xxxxx, die darauf folgende Quadratzahl ist dann q(2) >xxxxx+100, d.h. es gibt zwischen q(1) und q(2) mindestens 8 Zahlen, die sich in der vorletzten Ziffer von beiden unterscheiden, selbst wenn q(1) und q(2) gleich viele Ziffern haben (was nicht der Fall sein muss).
(Und es gibt auch mindestens 3 Zahlen, die größer q(1) sind, keine Quadratzahlen sind und dennoch gleich viele Stellen wie q(1) haben, denn die jeweils größte Q-Zahl mit einer Ziffernanzahl n kann höchstens mit der größtmöglichen Endziffernkombination "...96" enden. Es ist also mindestens die 7 und die 8 e {2,3,7,8} dabei.)

Setzt A stets eine solche Zahl hinten an, falls B zuvor auch eine Zahl hinten drangehängt hat, kann B niemals eine Q-Zahl erreichen.
Setzt B aber eine Zahl vorne an, so kann A stets eine Zahl hinten anhängen, die Element aus {2,3,7,8} ist (denn bei einer Auswahl aus mindestens 8 Ziffern müssen mindestens zwei dieser Zahlen dabei sein, A wählt die richtige davon) und auch hier die Lückenbedingung erfüllt.

Damit müsste es bewiesen sein, dass A verhindern kann, dass B eine Quadratzahl erzeugt.
(Das ist zwar indirekter als unser obiger gescheiterter Versuch, aber es müsste als Beweis ausreichen.)

Einverstanden?

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Re: Noch ein kleines Quiz ;)

Beitrag von positronium » 16. Jun 2013, 14:38

Leider kann ich Deinem Beweis nicht folgen. Ich hänge schon bei "d.h. es gibt zwischen q(1) und q(2) mindestens 8 Zahlen...". Welche 8 Zahlen?
Jetzt habe ich noch einen Versuch in den Sand gesetzt. Ich geb's auf!

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Re: Noch ein kleines Quiz ;)

Beitrag von Stephen » 16. Jun 2013, 14:56

Sorry Jungs, leider muss ich euch einen Link zur Lösung anbieten, da ein einfaches Kopieren des Textes wegen den Formeln und Sonderzeichen nicht funktioniert.
Die Lösung steht auf Seite 11 (von 14) der PDF-Datei.

http://www.mathe-wettbewerbe.de/downloa ... 13-1-e.pdf

Ihr habt euch mächtig ins Zeug gelegt und hat hoffentlich auch Spaß gemacht... :sp: :well:

Und die Lösung mit den Dreiecken (eigentlich schon unverschämt schwer) ist auch gleich mit dabei ;)

Gruß
Steffen
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Re: Noch ein kleines Quiz ;)

Beitrag von positronium » 16. Jun 2013, 15:35

"1. Runde" :shock: Dann wird's in der zweiten bestimmt nicht so langweilig. :lol:
Weisst Du aus dem Stehgreif, wie lange die lieben Kleinen pro Aufgabe Zeit haben?

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Re: Noch ein kleines Quiz ;)

Beitrag von Stephen » 16. Jun 2013, 15:44

@positronium
Ich war zu DDR-Zeiten öfter mal bei einer Kreis-Mathe-Olympiade (die Qualifikation zur Bezirks-Olympiade habe ich nie geschafft), da gabs zwischendurch Mittagessen und alle mussten die Aula komplett verlassen. Danach ging es mindestens noch 2 Stunden weiter. Keine Ahnung, ob das auch heute noch so gehandhabt wird. Wir hatten also schätzungsweise so um die 6 bis 7 Stunden Zeit damals.

Es waren aber auch immer 5 Fragen - falls ich mich jetzt recht erinnere; demnach also eine reichlich gute Stunde pro Frage...

Gruß
Steffen
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positronium
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Re: Noch ein kleines Quiz ;)

Beitrag von positronium » 16. Jun 2013, 16:26

Das ist für solche Aufgaben wenig Zeit, finde ich. Eigentlich muss man demnach auf Anhieb die springende Idee haben, wo doch die Ausformulierung so eines Beweises schon einiges an Zeit erfordert.

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Re: Noch ein kleines Quiz ;)

Beitrag von Stephen » 16. Jun 2013, 16:47

ok, wir durften damals nicht mal einen Rechenstab benutzen (oder doch?) und die Aufgaben 1983 waren wirklich nicht so hammerhart wie diese ;)
Ich weiß nicht, welche Hilfsmittel heute erlaubt sind, lediglich bei der Funktionsaufgabe kenne ich die Hintergründe (die nicht Bestandteil des Mathe-Wettbewerbes war).

Habe tatsächlich noch DDR-Aufgaben aus meinem Jahrgang gefunden. Mag sein, dass ich die selber schon mal nicht lösen konnte :D
Auf einem Fluß mit konstanter Strömungsgeschwindigkeit v fährt ein Motorboot mit konstanter Eigengeschwindigkeit
c stromab nach einem Ziel, das vom Start die Entfernung s hat, und wieder zurück. Ein
anderes Motorboot fährt mit der gleichen Eigengeschwindigkeit zu einem ebenfalls in der Entfernung s, aber
genau senkrecht zur Strömungsrichtung liegenden Ziel und wieder zurück.
a) Wieviel reine Fahrzeit benötigen die beiden Boote?
b) Welches Ergebnis erhält man für s = 250 m, v = 150 m/min und c = 250 m/min?
Wie auf dem XXII. Parteitag der KPdSU mitgeteilt wurde, wird in der Sowjetunion von 1960 bis 1980 die
Produktion von Produktionsmitteln (d.s. Rohstoffe, Maschinen, Ausrüstungen für Industrie, Landwirtschaft
und Verkehr usw.) auf das 6,8fache steigen. Aber auch die Produktion von Gebrauchsgütern (Güter, die für
den Bedarf der Bevölkerung bestimmt sind) soll stark anwachsen, sie soll auf das Fünffache steigen. Die
gesamte Industrieproduktion steigt auf das 6,2fache.
a) Wieviel Prozent der gesamten Industrieproduktion betrug der Anteil der Produktion von Produktionsmitteln
im Jahr 1960?
b) Wieviel Prozent würde er im Jahre 1980 betragen?
Aber nun reichts wirklich, ab morgen gehe ich wieder arbeiten ;)
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Re: Noch ein kleines Quiz ;)

Beitrag von seeker » 16. Jun 2013, 18:39

Na, ja Beweis 3 ähnelt meiner Argumentation.
Es war ja in der Aufgabe auch nicht gefordert eine klare Strategie zu zeigen, sondern nur, dass solch eine Strategie jederzeit möglich ist.
positronium hat geschrieben:Leider kann ich Deinem Beweis nicht folgen. Ich hänge schon bei "d.h. es gibt zwischen q(1) und q(2) mindestens 8 Zahlen...". Welche 8 Zahlen?
Jetzt habe ich noch einen Versuch in den Sand gesetzt. Ich geb's auf!
Anm.: Ich nenne die Zahlen "2, 3, 7, 8", die bei keiner Quadratzahl als letzte Ziffer vorkommen "Blockierzahlen".


Beispiel:

Wir betrachten folgende Quadratzahlen:

2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481 3600
3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761 4900
5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241 6400
6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921 8100
8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801 10000

(Diese Liste ist im Intervall 2600-10000 vollständig.)

Du siehst, dass die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen stets > 100 ist. Das bedeutet, dass zwei dieser aufeinandefolgenden Q-Zahlen maximal zwei verschiedene Ziffern in der vorletzten Stelle besetzen können (bei ansonsten maximaler Nähe bei den sonstigen Stellen), wobei es genügend Nicht-Q-Zahlen dazwischen gibt, die alle anderen Ziffern besetzen, immer!

Beispiel:
3721 und 3844:
Die beiden besetzten vorletzten Ziffern sind die 2 und die 4. Die zwei Q-Zahlen sind sich maximal nahe, wegen 37xx und 38xx.

Dazwischen existieren die Nicht-Quadratzahlen 3722, 3723, 3724, ..., 3730, 3731, ..., 3750, ... 3760, ..., 3770, 3771, ... 3780, ..., 3790, ..., 3800..., 3810,... ,3843

Also existieren bei der Zwischenzahlenmenge stets alle anderen 8 Ziffern, die nicht von den zwei Q-Zahlen belegt sind, hier: 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 0
(sind die vorletzten Ziffern der beiden aufeinanderfolgenden Q-Zahlen gleich, sind es sogar 9 Ziffern).

Vermindert man diese Liste indem man die Schnittmenge aus diesen Ziffern und den "Blockierziffern" der Menge {2,3,7,8} bildet, wird klar, dass dann dennoch immer mindestens zwei Zahlen in der Schnittmenge übrig bleiben, hier im Beispiel {3, 7, 8}.
D.h. A hat stets eine Auswahl aus mehreren möglichen Blockier-Ziffern, die er hinten ansetzen kann.
Hier im Beispiel wählt er 3, 7 oder 8.

Da aber bei einer ja ansonsten (in den anderen Ziffern) schon gegebenen Zahl stets nur eine einzige letzte Nachkommastelle zu einer einzigen vorletzten Nachkommastelle passt (eben wegen diff > 100), hat A stets Erfolg.

Beispiel:
Es sei die Zahl 37 entstanden (mit A am Zug). Nun kann A (wegen obiger Überlegungen) eine beliebige Zahl aus {3, 7 ,8} hinten anhängen, denn aus keiner der dann entstandenen Zahlen 373, 377 oder 378 kann B eine Q-Zahl machen:

Wenn B vorne eine Zahl ansetzt eh nicht, weil hinten eine "Blockierzahl" steht und wenn er hinten ansetzt auch nicht, weil die einzige Q-Zahl, die mit 37 anfängt die 3721 ist.
Die 2 ist aber nicht Element der Liste {3, 7, 8}, die A durch seine Überlegungen erhält. Er wird sie also nicht setzen.
Die nächstmögliche und die vormögliche Q-Zahlen wären 3600 und 3844.
Sie scheiden eh aus, weil sie sich in der drittletzten Ziffer von der erreichbaren Zahl 3721 unterscheiden (6 und 8 statt 7), sind also eh von 37 ausgehend unerreichbar (wegen diff = q(2) - q(1) > 100).

Das funktioniert immer, ist doch offensichtlich - oder?
Gut mein Beweis ist etwas indirekter (dafür aber auch freier), aber ich glaube immer noch, dass er auch stimmt.

Beste Grüße
seeker
Grüße
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Re: Noch ein kleines Quiz ;)

Beitrag von Stephen » 16. Jun 2013, 18:59

Mannomann, jetzt habe ich echt ein schlechtes Gewissen, euch soviel Zeit geklaut zu haben :shock:
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Re: Noch ein kleines Quiz ;)

Beitrag von seeker » 16. Jun 2013, 19:03

Du klaust uns doch keine Zeit!
Ist doch unsere Entscheidung, ob wir uns mit so etwas beschäftigen wollen oder nicht.
Außerdem habe ich nun z.B. eine Menge interessante Dinge über Quadratzahlen gelernt... :)

Grüße
seeker
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Re: Noch ein kleines Quiz ;)

Beitrag von positronium » 16. Jun 2013, 19:16

@Stephen: Die beiden Aufgaben habe ich nur überflogen, sehe jetzt aber keinen Grund, der sie besonders schwierig machen würde - man kann Gleichungen konstruieren. Damit löst sich so etwas relativ direkt, nämlich durch fundamentale mathematische Methoden. Bei den anderen Aufgaben, vor allem b) und c), brauchte man spezielles Wissen, oder man musste sich das erst erarbeiten.

@seeker: Jetzt kann ich Dir folgen. Ich glaube, Du hast Recht! :well:

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Re: Noch ein kleines Quiz ;)

Beitrag von Stephen » 16. Jun 2013, 19:20

@positronium: Das waren auch Aufgaben aus Klasse 10 der EOS (nennt sich in der BRD heute Gymnasium) und nicht zum Ausrechnen gedacht ;)
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