Hinweis auf die DSGVO: Auf unserer Seite werden keine Dritt-Anbieter-Cookies verwendet und nur Daten erfasst, welche für das Minimum an Board-Funktionalität notwendig sind.
Bevor Sie sich registrieren oder das Board verwenden, lesen Sie bitte zusätzlich die DSGVO-Erklärung, welche in der Navigationsleiste verlinkt ist.

Kurzfassung der unserer Meinung nach wichtigsten DSGVO-Punkte:
Es kann vorkommen, dass Benutzer eigenverantwortlich Videos oder sonstige Medien in ihren Beiträgen verlinken, welche beim Aufruf der Forenseite als Teil der Seite samt zugehörigem Material mitgeladen werden. Sollten Sie dies nicht wünschen, verwenden Sie beim Benutzen des Forums einen Blocker wie z.B. uMatrix, welcher das Laden von Inhaltsblöcken von Fremd-URLs effektiv unterbinden kann.
Wir blenden keine Werbung ein und schränken die Inhalte in keinster Weise bei Benutzung von Addblockern ein. Dadurch ist die Grundfunktionalität des Forums auch bei vollständigem Blockieren von Drittanbieter-Inhalten stets gegeben.

Cookies werden unsererseits nur verwendet um das Einloggen des Benutzers für die Dauer der Forenbenutzung zu speichern. Es steht dem Benutzer frei die Option 'Angemeldet bleiben' zu verwenden, damit der Cookie dauerhaft gespeichert bleibt und beim nächsten Besuch kein erneutes Einloggen mehr notwendig ist.
EMail-Adressen werden für Kontakt bei wichtigen Mitteilungen und zur Widerherstellung des Passwortes verwendet. Die verwendeten IPs können von uns ohne externe Hilfsmittel mit keiner realen Person in Verbindung gebracht werden und werden nach spätestens 7 Tagen gelöscht. Diese IPs werden höchstens verwendet um Neuanmeldungen unerwünschter oder gesperrter Nutzer zu identfizieren und zu unterbinden. Wir behalten uns daher vor bei Verdacht, die Frist für die IP-Löschung auf maximal 14 Tage zu verlängern.
Unsere Webseite läuft auf einem virtuellen Linux-Server, welcher von einem externen Anbieter gehostet wird. Etwaige Verstöße der DSGVO-Auflagen seitens dieses deutschen Hosters können wir nicht feststellen und somit auch nicht verfolgen.
Wir halten Backups unserer Datenbanken, welche in regelmäßigen Abständen als Schutz vor Katastrophen, Hackerangriffen und sonstigen Ausfällen erstellt werden. Sollte ein Nutzer die Löschung seiner Daten wünschen, betrachten wir es als Unzumutbar die Backups auch von den Daten zu befreien, da es sich hierbei um eine mehrtägiges Unterfangen handelt - dies ist für eine Einzelperson beim Betrieb eines privaten Forums nicht zumutbar möglich ohne das Backup komplett zu löschen.
Sollten Sie etwas gegen die dauerhafte anonyme Speicherung ihrer EMail-Adresse, ihres Pseudonyms und ihrer Beiträge in einem Backup haben, sehen Sie von der Registrierung in diesem Forum ab. Für Mitglieder, welche vor dem 25.05.2018 registriert waren steht jedoch das Recht im Raum, eine Löschung der Datenbank-Backups zu beantragen.



Wenn dies Ihr erster Besuch hier ist, lesen Sie bitte zunächst die FAQs sowie die wesentlichen Regeln zur Benutzung des Forums.
Um an den Diskussionen teilnehmen zu können, müssen Sie sich zunächst registrieren.

Unendlichkeiten, Endlichkeiten, Metrik, Mengen und Geometrie

Hier kann man alles posten, was nicht ganz zum Thema passt - Hauptsache es ist interessant!
Benutzeravatar
seeker
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 5330
Registriert: 26. Dez 2009, 10:29

Re: Zur Geometrie und zur Bedeutung der Metrik

Beitrag von seeker » 21. Feb 2018, 19:45

Pippen hat geschrieben:
18. Feb 2018, 19:26
Und genau da liegt mein Problem. ME ist das nämlich unmöglich. Eine Linie ist ein total geordnetes IR^1 Kontinuum mit überabzählbar vielen Punkten, die vollständig dicht beieinanderliegen. Jede Manipulation der Anordnung der Punkte dieser Linie würde das Kontinuum (und damit die Linie) notwendig zerstören.
Das bestreite ich.
Salopp als Vorstellung: Der Abstand zwischen zwei Nachbarpunkten ist sozusagen unendlich klein, wenn du diesen Abstand verdoppelst ist er immer noch unendlich klein, deshalb geht das. Und der Abstand zwischen den zwei (nicht existierenden) Enden der Linie ist sozusagen unendlich groß, wenn dieser verdoppelt wird ist er immer noch unendlich groß, deshalb geht auch das.

Nochmal, meine Kernaussage hierzu war:
seeker hat geschrieben:
17. Feb 2018, 01:16
Und ich glaube, dass es genau das ist, was du bestreitest. Zugegebenermaßen kann es zu Widersprüchen kommen, wenn man seine Mathematik entsprechend konstruiert, aber es muss nicht zwingend zu Widersprüchen kommen, wenn man eben anders konstruiert.
Das rückwirkend wieder auf die reale Welt übertragen hat zur Folge, dass wir nicht sagen können, wie es dort ist, wir wissen nicht, ob es in der Natur Unendlichkeiten gibt oder nicht gibt. Wenn wir etwas nicht wissen, müssen wir das offen lassen, beide Möglichkeiten erwägen, so lange bis wir es wissen.
Und weil wir es nicht wissen, wird allerlei Anstrengung unternommen, um genau diese Frage nicht entscheiden zu müssen und trotzdem etwas sagen zu können.
Schau mal nach was Tom in dem Thread "War der Urknall punktförmig?" getrieben hat, er hat in seiner Ausführung dort genau das getan, er hat das vermieden. Das Ergebnis war, dass eindeutige Aussagen möglich sind, rein über Grenzwerte, das Problem wäre nämlich ansonsten Uneindeutigkeiten, die sich ergeben würden.

D.h. im Falle der Expansion des Universums:
Wir wissen nicht, ob es unendlich ist oder nicht, wir müssen es aber auch nicht wissen, um die Expansion beschreiben zu können.

Außerdem betreite ich, dass man über die Analyse eines mathematischen Modells zwingend wahre Aussagen über die Natur selbst generieren kann.
(Das ist im Grunde Toms Punkt in Kurzform.)
Grüße
seeker


Mache nie eine Theorie zu DEINER Theorie!
Denn tut man das, so verliert man zumindest ein Stück weit seine Unvoreingenommenheit, Objektivität.

Benutzeravatar
ralfkannenberg
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 1272
Registriert: 13. Jan 2017, 10:00

Re: Zur Geometrie und zur Bedeutung der Metrik

Beitrag von ralfkannenberg » 22. Feb 2018, 09:38

seeker hat geschrieben:
21. Feb 2018, 19:45
Pippen hat geschrieben:
18. Feb 2018, 19:26
Und genau da liegt mein Problem. ME ist das nämlich unmöglich. Eine Linie ist ein total geordnetes IR^1 Kontinuum mit überabzählbar vielen Punkten, die vollständig dicht beieinanderliegen. Jede Manipulation der Anordnung der Punkte dieser Linie würde das Kontinuum (und damit die Linie) notwendig zerstören.
Das bestreite ich.
Salopp als Vorstellung: Der Abstand zwischen zwei Nachbarpunkten ist sozusagen unendlich klein, wenn du diesen Abstand verdoppelst ist er immer noch unendlich klein, deshalb geht das. Und der Abstand zwischen den zwei (nicht existierenden) Enden der Linie ist sozusagen unendlich groß, wenn dieser verdoppelt wird ist er immer noch unendlich groß, deshalb geht auch das.
Hallo zusammen,

hierfür braucht man weder das Kontinuum noch eine überabzählbare Menge, denn seekers Argument klappt schon in der dichten Menge der abzählbaren rationalen Zahlen. Wichtigt ist nur, dass die Punkte dicht liegen.

Falls jemand ein weniger hochtrabendes Stichwort wünscht: Intervallschachtelung

Hiebei genügt es schon völlig, die Intervalle in der Mitte zu halbieren - der Mittelwert zweier rationalen Zahlen, also deren Summe dividiert durch die rationale Zahl 2, ist ja wieder eine rationale Zahl und dann die beiden Teil-Intervalle zu betrachten. Das ist ein abzählbarer Prozess, bei dem abzählbar unendlich viele rationale Zahlen kostruiert werden. Wobei ohnehin nur abzählbar unendlich viele rationale Zahlen konstruiert werden können, weil es nur abzählbar unendlich viele rationale Zahlen gibt.


Freundliche Grüsse, Ralf

Pippen
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 1675
Registriert: 9. Jul 2010, 04:02

Re: Zur Geometrie und zur Bedeutung der Metrik

Beitrag von Pippen » 22. Feb 2018, 18:39

seeker hat geschrieben:
21. Feb 2018, 19:45
Salopp als Vorstellung: Der Abstand zwischen zwei Nachbarpunkten ist sozusagen unendlich klein, wenn du diesen Abstand verdoppelst ist er immer noch unendlich klein, deshalb geht das.
ME ist IR vollständig, d.h. zwischen zwei reellen Zahlen kann es keine mehr geben. Intervallschachtelung klappt nur bei rationalen Zahlen, weil die nur dicht sind.

positronium
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 2832
Registriert: 2. Feb 2011, 20:13

Re: Zur Geometrie und zur Bedeutung der Metrik

Beitrag von positronium » 22. Feb 2018, 18:43

Pippen hat geschrieben:
22. Feb 2018, 18:39
ME ist IR vollständig, d.h. zwischen zwei reellen Zahlen kann es keine mehr geben. Intervallschachtelung klappt nur bei rationalen Zahlen, weil die nur dicht sind.
Man kann in diesen Mengen keine unmittelbar benachbarten Zahlen benennen.

Pippen
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 1675
Registriert: 9. Jul 2010, 04:02

Re: Zur Geometrie und zur Bedeutung der Metrik

Beitrag von Pippen » 22. Feb 2018, 19:13

positronium hat geschrieben:
22. Feb 2018, 18:43
Pippen hat geschrieben:
22. Feb 2018, 18:39
ME ist IR vollständig, d.h. zwischen zwei reellen Zahlen kann es keine mehr geben. Intervallschachtelung klappt nur bei rationalen Zahlen, weil die nur dicht sind.
Man kann in diesen Mengen keine unmittelbar benachbarten Zahlen benennen.
Man kann keine benennen, aber geben tut es sie theoretisch schon, sonst wäre da ja eine Lücke und IR unvollständig, oder?

positronium
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 2832
Registriert: 2. Feb 2011, 20:13

Re: Zur Geometrie und zur Bedeutung der Metrik

Beitrag von positronium » 22. Feb 2018, 19:26

Pippen hat geschrieben:
22. Feb 2018, 19:13
Man kann keine benennen, aber geben tut es sie theoretisch schon, sonst wäre da ja eine Lücke und IR unvollständig, oder?
Nein, es gibt sie nicht. ralfkannenberg hat das oben auch schon geschrieben: Man kann ja für beliebige zwei Zahlen a und b immer berechnen c=(a+b)/2. c liegt offensichtlich zwischen a und b. Weil das für jedes a und b gilt, gibt es zwischen zwei Zahlen immer unendlich viele weitere Zahlen. Gerade wegen dieser Eigenschaft gibt es keine "Lücke".

Benutzeravatar
seeker
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 5330
Registriert: 26. Dez 2009, 10:29

Re: Zur Geometrie und zur Bedeutung der Metrik

Beitrag von seeker » 22. Feb 2018, 19:29

Pippen hat geschrieben:
22. Feb 2018, 18:39
Salopp als Vorstellung: Der Abstand zwischen zwei Nachbarpunkten ist sozusagen unendlich klein, wenn du diesen Abstand verdoppelst ist er immer noch unendlich klein, deshalb geht das.

ME ist IR vollständig, d.h. zwischen zwei reellen Zahlen kann es keine mehr geben. Intervallschachtelung klappt nur bei rationalen Zahlen, weil die nur dicht sind.
Na und? Wo ist das Problem dabei? Was hat das mit dem Thema "Dehnbarkeit" zu tun?
(Bitte erkläre das, was du meinst.)
Grüße
seeker


Mache nie eine Theorie zu DEINER Theorie!
Denn tut man das, so verliert man zumindest ein Stück weit seine Unvoreingenommenheit, Objektivität.

Pippen
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 1675
Registriert: 9. Jul 2010, 04:02

Re: Zur Geometrie und zur Bedeutung der Metrik

Beitrag von Pippen » 22. Feb 2018, 20:27

Du kannst nur dehnen, was dehnbar ist. IR ist das nicht. Es gibt zwischen zwei reellen Zahlen keine dazwischen, auch wenn wir das konstruktiv immer tun können, weil wir quasi nie die echten reellen Zahlen vor uns haben, sondern immer quasi-rationale. Deshalb brauchen wir eine Metrik auf IR, da geht das dann problemlos.

Benutzeravatar
tomS
Administrator
Administrator
Beiträge: 9637
Registriert: 19. Nov 2007, 20:29
Wohnort: Nürnberg

Re: Zur Geometrie und zur Bedeutung der Metrik

Beitrag von tomS » 22. Feb 2018, 22:45

Pippen hat geschrieben:
22. Feb 2018, 20:27
Du kannst nur dehnen, was dehnbar ist. IR ist das nicht.
Stimmt, weil "dehnbar" eine physikalische und keine mathematische Eigenschaft ist, IR jedoch ein mathematisches Objekt.

Deswegen können Dreiecke auch nicht ehrlich sein, und Pilze nicht algebraisch abgeschlossen.
Pippen hat geschrieben:
22. Feb 2018, 20:27
Es gibt zwischen zwei reellen Zahlen keine dazwischen, auch wenn wir das konstruktiv immer tun können ...
Das ist natürlich widersprüchlich. Wenn a und b mit a < b reelle Zahlen sind, dann ist c = (a+b)/2 eine reelle Zahl zwischen a und b, also a < c < b. Also liegt c gerade deswegen dazwischen, weil wir es geeignet konstruieren.
Pippen hat geschrieben:
22. Feb 2018, 20:27
... weil wir quasi nie die echten reellen Zahlen vor uns haben, sondern immer quasi-rationale.
Zunächst mal ist "quasi-rational" kein mathematisch definierter Begriff. Und zum zweiten ist (π+2π))/2 eine reelle Zahl zwischen den reellen Zahlen π und 2π.
Pippen hat geschrieben:
22. Feb 2018, 20:27
Deshalb brauchen wir eine Metrik auf IR, da geht das dann problemlos.
Und eine Metrik hat damit nun mal gar nichts zu tun.

Und ganz zuletzt sei mal gesagt, dass dieses pseudo-mathematische Phantasieren einigen hier gewaltig auf die Nerven geht, und deswegen ist jetzt mal eine Denkpause angebracht.
Gruß
Tom

«Hier konnte niemand sonst Einlaß erhalten, denn dieser Eingang war nur für dich bestimmt. Ich gehe jetzt und schließe ihn.»

Benutzeravatar
seeker
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 5330
Registriert: 26. Dez 2009, 10:29

Re: Unendlichkeiten, Endlichkeiten, Metrik, Mengen und Geometrie

Beitrag von seeker » 25. Feb 2018, 11:21

Pippen hat geschrieben:
22. Feb 2018, 20:27
Du kannst nur dehnen, was dehnbar ist. IR ist das nicht. Es gibt zwischen zwei reellen Zahlen keine dazwischen, auch wenn wir das konstruktiv immer tun können, weil wir quasi nie die echten reellen Zahlen vor uns haben, sondern immer quasi-rationale. Deshalb brauchen wir eine Metrik auf IR, da geht das dann problemlos.
Ganz verkehrt finde ich das nicht, was du meinst.
Ich würde einmal folgende Unterscheidungen treffen:

Mengen aus Zahlen (z.B. R) und geometrische Objekte: Punkte, Geraden

Dein Grundgedanke würde schon bei endlich langen Strecken greifen, nicht erst bei unendlich langen Geraden: Man könnte sie auch nicht dehnen, richtig?

Die Frage ist hier aus meiner Sicht:

IST R eine Ansammlung von Punkten und kann man sich eine Strecke als ein Objekt denken, das man sich als ganz viele, unendlich viele Punkte in einer Reihe angeordnet zusammengesetzt denkt?
(Diese Vorstellung wäre dann analog, wie wenn man einen Faden hätte, der ist aus Atomen aufgebaut, dehnt man den Faden, müssen sich die Abstände der Atome vergrößern, außerdem wird er dabei dünner, aber das sei einmal vernachlässigt.)

Funktioniert das? Welche Probleme ergeben sich?
Grüße
seeker


Mache nie eine Theorie zu DEINER Theorie!
Denn tut man das, so verliert man zumindest ein Stück weit seine Unvoreingenommenheit, Objektivität.

Pippen
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 1675
Registriert: 9. Jul 2010, 04:02

Re: Unendlichkeiten, Endlichkeiten, Metrik, Mengen und Geometrie

Beitrag von Pippen » 26. Feb 2018, 11:30

Vielleicht mal etwas Fundamentalmathematik aus meiner Sicht (und gern kritisierbar).

Sowohl Q als auch R sind Mengen. In beiden sind alle Elemente ihrer Zunft vollständig enthalten. Q kann man abzählen, d.h. man kann eine Liste erstellen, in der alle rationalen Zahlen drin wären. Diese Liste könnte man dann ordnen und hätte alle rationalen Zahlen drin ohne dass zwischen zwei rationalen Zahlen noch eine dritte sein könnte. Von dieser "platonischen bzw. mengentheoretischen Sicht" zu unterscheiden ist eine konstruktive, wonach man praktisch zwischen zwei rationalen Zahlen immer noch eine konstruieren kann, klar, wir können Q ja nicht wirklich fassen.

Bei IR ist die Sache gleich. Zwar kann man bei IR keine einfache Liste erstellen, man könnte aber eine geschachtelte Liste erstellen: man erstellt zunächst eine Liste 1 mit (abzählbar vielen) reellen Zahlen, dann eine Liste 2 mit allen (abzählbar vielen) reellen Diagonalzahlen aus Liste 1, dann eine Liste 3 mit allen (abzählbar vielen) reellen Diagonalzahlen der Zahlen aus Liste 2 usw. usf. Damit kann man irgendwann alle reellen Zahlen (geschachtelt) auflisten und dann letztlich auch ordnen, wenn jmd. den Überblick über alle geschachtelten Listen behielte (Super-Turingmaschine, Gott) und auch damit hätte man alle reellen Zahlen, ohne dass zwischen zwei noch eine dritte passen würde, auch hier wäre davon die konstruktive/praktische Sicht zu unterscheiden. Zugegeben dafür bräuchte ich ein Theorem, was mir meine Annahme mit den geschachtelten Listen bestätigt. Intuitiv klingt das aber erstmal recht plausibel. :)

Benutzeravatar
ralfkannenberg
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 1272
Registriert: 13. Jan 2017, 10:00

Re: Unendlichkeiten, Endlichkeiten, Metrik, Mengen und Geometrie

Beitrag von ralfkannenberg » 26. Feb 2018, 11:53

Pippen hat geschrieben:
26. Feb 2018, 11:30
Vielleicht mal etwas Fundamentalmathematik aus meiner Sicht (und gern kritisierbar).
Hallo Pippen,

vielen Dank für Deinen sehr guten Beitrag ! - Schaumer also mal :)

Pippen hat geschrieben:
26. Feb 2018, 11:30
Sowohl Q als auch R sind Mengen.
korrekt

Pippen hat geschrieben:
26. Feb 2018, 11:30
In beiden sind alle Elemente ihrer Zunft vollständig enthalten.
falsch: die rationalen Zahlen sind nicht vollständig: es gibt konvergente Grenzwert, die nicht in IQ liegen. Sogar die überwältigende Mehrheit von denen ist so, denn die reellen Zahlen kann man auch erhalten, indem man zu den rationalen Zahlen alle konvergenten Grenzwerte "hinzufügt".

Pippen hat geschrieben:
26. Feb 2018, 11:30
Q kann man abzählen, d.h. man kann eine Liste erstellen, in der alle rationalen Zahlen drin wären.
korrekt

Pippen hat geschrieben:
26. Feb 2018, 11:30
Diese Liste könnte man dann ordnen
falsch

Man kann zwar beide Mengen "anordnen", d.h. zu zwei Elementen der Menge stets feststellen, welches "kleiner gleich" ist, aber man kann sie nicht der Grösse nach sortieren.

Pippen hat geschrieben:
26. Feb 2018, 11:30
und hätte alle rationalen Zahlen drin ohne dass zwischen zwei rationalen Zahlen noch eine dritte sein könnte.
falsch, siehe oben

Pippen hat geschrieben:
26. Feb 2018, 11:30
Von dieser "platonischen bzw. mengentheoretischen Sicht" zu unterscheiden ist eine konstruktive, wonach man praktisch zwischen zwei rationalen Zahlen immer noch eine konstruieren kann, klar, wir können Q ja nicht wirklich fassen.
diese Aussage ist nicht als "korrekt" oder "falsch" bewertbar; deswegen: bitte bei der Mathematik bleiben

Pippen hat geschrieben:
26. Feb 2018, 11:30
Bei IR ist die Sache gleich. Zwar kann man bei IR keine einfache Liste erstellen, man könnte aber eine geschachtelte Liste erstellen: man erstellt zunächst eine Liste 1 mit (abzählbar vielen) reellen Zahlen, dann eine Liste 2 mit allen (abzählbar vielen) reellen Diagonalzahlen aus Liste 1, dann eine Liste 3 mit allen (abzählbar vielen) reellen Diagonalzahlen der Zahlen aus Liste 2 usw. usf.
Das klappt nicht, denn würde es klappen, so wäre die Menge der reellen Zahlen abzählbar.

Tatsächlich liegt der Fehler woanders: die Menge {IQ vereinigt mit allen reellen Diagnoalzahlen} ist noch lange nicht die Menge der reellen Zahlen, sondern nach wie vor eine echte, abzählbare Teilmenge der reellen Zahlen.

Pippen hat geschrieben:
26. Feb 2018, 11:30
Damit kann man irgendwann alle reellen Zahlen (geschachtelt) auflisten und dann letztlich auch ordnen, wenn jmd. den Überblick über alle geschachtelten Listen behielte (Super-Turingmaschine, Gott) und auch damit hätte man alle reellen Zahlen, ohne dass zwischen zwei noch eine dritte passen würde, auch hier wäre davon die konstruktive/praktische Sicht zu unterscheiden. Zugegeben dafür bräuchte ich ein Theorem, was mir meine Annahme mit den geschachtelten Listen bestätigt. Intuitiv klingt das aber erstmal recht plausibel. :)
Wie gesagt: das klappt so nicht.

Ich fasse kurz zusammen:

issue 1: man kann die rationale Zahlen zwar auflisten und diese Auflistung durchnummerieren, aber man kann die rationalen Zahlen nicht der Grösse nach auflisten.
issue 2: das Hinzufügen der reellen Diagonalzahlen führt nicht zur vollständigten Menge der reellen Zahlen


Freundliche Grüsse, Ralf

Benutzeravatar
seeker
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 5330
Registriert: 26. Dez 2009, 10:29

Re: Unendlichkeiten, Endlichkeiten, Metrik, Mengen und Geometrie

Beitrag von seeker » 26. Feb 2018, 13:19

Was es bedeutet, wenn man sagt die Zahlen in einer Menge liegen dicht, ist eine Sache und die Zahlen in R liegen ja dicht und was du schreibst ist ja zu einem guten Teil richtig, ich glaube aber es lenkt auch ab. Ich hätte trotzdem gerne eine Stellungnahme zu meinen Fragen Pippen:
seeker hat geschrieben:
25. Feb 2018, 11:21
Dein Grundgedanke würde schon bei endlich langen Strecken greifen, nicht erst bei unendlich langen Geraden: Man könnte sie auch nicht dehnen, richtig?
seeker hat geschrieben:
25. Feb 2018, 11:21
IST R eine Ansammlung von Punkten und kann man sich eine Strecke als ein Objekt denken, das man sich als ganz viele, unendlich viele Punkte in einer Reihe angeordnet zusammengesetzt denkt?
(Diese Vorstellung wäre dann analog, wie wenn man einen Faden hätte, der ist aus Atomen aufgebaut, dehnt man den Faden, müssen sich die Abstände der Atome vergrößern, außerdem wird er dabei dünner, aber das sei einmal vernachlässigt.)

Funktioniert das? Welche Probleme ergeben sich?
Wie muss man das machen, wenn man geometrische Objekte mit Mengen zusammenbringen will?
Und kann man aus Punkten eine Strecke zusammenbauen? Ist eine Strecke nichts weiter als eine Ansammlung von Punkten? Wodurch wäre dann festgelegt wie lang die Strecke ist, wodurch würde sie sich von einer anderen Strecke mit anderer Länge unterscheiden?
Grüße
seeker


Mache nie eine Theorie zu DEINER Theorie!
Denn tut man das, so verliert man zumindest ein Stück weit seine Unvoreingenommenheit, Objektivität.

Benutzeravatar
Job
übernimmt bald das Forum
übernimmt bald das Forum
Beiträge: 251
Registriert: 18. Aug 2014, 09:22

Re: Unendlichkeiten, Endlichkeiten, Metrik, Mengen und Geometrie

Beitrag von Job » 26. Feb 2018, 13:51

seeker hat geschrieben: IST R eine Ansammlung von Punkten
Das kommt darauf an, was Du genau damit meinst.

seeker hat geschrieben: und kann man sich eine Strecke als ein Objekt denken, das man sich als ganz viele, unendlich viele Punkte in einer Reihe angeordnet zusammengesetzt denkt?
Nein. Du kannst im R die Punkte in Deinem Sinne nicht aneinanderreihen, weil es keinen definierten Nachfolger einer reellen Zahl gibt. Laut Auswahlaxiom in seiner allgemeinsten Form gibt es zwar eine Wohlordnung für die positiven reellen Zahlen, aber diese kann nicht konstruiert werden und die positiven reellen Zahlen in ihrer natürlichen Anordnung sind keine Wohlordnung.

Man kann aus meiner Sicht den R3 auch nicht direkt mit dem physikalischen Raum identifizieren. Der R3 ist zunächst einmal ein mathematisches Konstrukt mit bestimmten mathematischen Eigenschaften, das erst einmal nichts mit dem physikalischen Raum (von dem wir zur Zeit nicht wissen, was er eigentlich wirklich ist) zu tun hat. Er hat aber bestimmte Eigenschaften, die evtl. auch der physikalische Raum hat und bestimmte Eigenschaften, die dieser nicht hat.

Zum Beispiel ist der R3 kontinuierlich. Dies ist m.E. eine Eigenschaft, die auch der physikalische Raum besitzt. Er hat drei Dimensionen. Auch das trifft m.E. zu. Zum anderen ist er unendlich. Auch dies ist meiner Meinung nach der Fall. Heute wird oft unser Universum als der physikalische Raum betrachtet. Aus meiner Sicht ist unser Universum aber nur ein winziger Teil des physikalischen Raums mit ganz bestimmten Eigenschaften. Es wäre also in etwas Größeres einbettet. In diesem Fall haben wir auch die Möglichkeit wie bei Toms Gummiband von einer Ausdehnung oder einer Kontraktion des Universums zu reden.

Der R3 hat einen Ankerpunkt (den Nullpunkt). So etwas gibt es aus meiner Sicht im physikalischen Raum nicht. Daher kann der R3 zwar sehr gut (weil er dreidimensional und kontinuierlich ist, Ordnungen, Maße, Metriken, usw. zur Verfügung stellt)) als Koordinatensystem für spezielle Betrachtungen des physikalischen Raumes benutzt werden, aber nicht als Raumersatz.

Daher hat Tom ja auch sein schönes Beispiel mit dem Gummiband gewählt. Die Punkte des R3 kann ich physikalisch nicht greifen. Ich kann in der Realität nicht sagen, das da ist der Punkt x. Physikalisch geht das nicht. Ich kann im physikalischen Raum keine Punkte markieren. Markieren kann ich nur etwas, was eine Ausdehnung hat. In der Mathematik ist vieles möglich, in der Realität aber nur das, was die Natur auch ermöglicht.

Einen Punkt, eine Gerade, eine Ebene gibt es im physikalischen Raum nicht. Dies wird im mathematischen R3 auch sichtbar, da eine Gerade oder eine Ebene bzgl. der natürlichen Topologie des R3 keine offenen Mengen sind und bzgl. der natürlichen Maße das Maß null haben.

Nur etwas, dass ein Volumen > 0 und damit eine Ausdehnung hat, ist m.E. physikalisch auch relevant.

Wenn wir also im Beispiel dieses Threads von etwas sprechen wollen, das sich real ausdehnt, dann müssen wir auch mit etwas starten, das bereits eine Ausdehnung hat wie das Gummiband von Tom und das aus Teilen besteht, die ich auch markieren kann. Und wir müssen ein Maß für die Messung der Ausdehnung haben, das durch den Prozess der Ausdehnung nicht beeinflusst wird. Ein Meterstab zum Beispiel wäre dafür evtl. nicht der geeignete Kandidat, da seine Länge unter Umständen durch die Ausdehnung auch betroffen sein könnte. Ein Kandidat dafür wäre zum Beispiel ein Teilchen, das seine Form und Ausdehnung nie verändert, in welcher Umgebung es auch immer sich aufhält. Die Materie, die wir kennen, erfüllt diese Voraussetzung in der Regel nicht.

Viele Grüße
Job
Alles ist einfacher, als man denken kann, zugleich verschränkter, als zu begreifen ist.
J.W. von Goethe

Benutzeravatar
seeker
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 5330
Registriert: 26. Dez 2009, 10:29

Re: Unendlichkeiten, Endlichkeiten, Metrik, Mengen und Geometrie

Beitrag von seeker » 27. Feb 2018, 13:40

Danke, Job.

Aber was meinst du zu meinen Fragen, Pippen?
Welche Antworten schlägst du vor? Wie kann bzw. muss man das machen?
Grüße
seeker


Mache nie eine Theorie zu DEINER Theorie!
Denn tut man das, so verliert man zumindest ein Stück weit seine Unvoreingenommenheit, Objektivität.

Pippen
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 1675
Registriert: 9. Jul 2010, 04:02

Re: Unendlichkeiten, Endlichkeiten, Metrik, Mengen und Geometrie

Beitrag von Pippen » 7. Mär 2018, 04:00

Hallo seeker, ich werde bald auf deine Fragen eingehen, aber dazu muss ich mir erst einige Sache nochmal durchdenken, gerade ralf's Beitrag. Bringt ja nix, wenn ich von völlig falschen Voraussetzungen ausgehe.

Benutzeravatar
ralfkannenberg
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 1272
Registriert: 13. Jan 2017, 10:00

Re: Unendlichkeiten, Endlichkeiten, Metrik, Mengen und Geometrie

Beitrag von ralfkannenberg » 7. Mär 2018, 09:27

Pippen hat geschrieben:
7. Mär 2018, 04:00
gerade ralf's Beitrag.
Hallo Pippen,

bitte frage ungeniert, Wenn es da Unklarheiten gibt. Wir können um diesen Thread zu entlasten hierfür auch einen Zusatzthread eröffnen, wenn das der besseren Übersichtlichkeit dient.

Und bitte gönne Dir auch diese Zeit, denn Du bist nicht weit weg von der Wahrheit, was immer auch "Wahrheit" bedeuten soll.

Wenn Du Lust hast können wir einmal zusammen die rationalen Zahlen und die algebraischen Zahlen abzählen, da sieht man dann ganz gut, auf was es bei dieser abzählbaren Unendlichkeit ankommt. Dabei siehst Du auch, dass diese Art Abzählung nicht in der Reihenfolge im Sinne der kleiner/gleich-Beziehung erfolgt.


Freundliche Grüsse, Ralf

Benutzeravatar
seeker
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 5330
Registriert: 26. Dez 2009, 10:29

Re: Unendlichkeiten, Endlichkeiten, Metrik, Mengen und Geometrie

Beitrag von seeker » 7. Mär 2018, 09:55

Pippen hat geschrieben:
7. Mär 2018, 04:00
Hallo seeker, ich werde bald auf deine Fragen eingehen, aber dazu muss ich mir erst einige Sache nochmal durchdenken, gerade ralf's Beitrag. Bringt ja nix, wenn ich von völlig falschen Voraussetzungen ausgehe.
Ja, das ist ok so.

@Ralf: Nee, noch einen Extra-Thread brauchen wir hoffentlich noch nicht, hier können wir uns erst einmal austoben, denke ich.
Der Thread-Titel und die Einordnung wurde ja deshalb auch geändert und ist nun recht allgemein gehalten.
Mein Anliegen ist es nur hier gemeinsam ein paar grundsätzliche Dinge bezüglich des Titels herausarbeiten zu können, einen roten Faden zu finden und dem zu folgen und den dann am Ende in wenigen Worten und Eckpunkten zusammenzufassen.

Wie gesagt möchte ich zunächst einmal den Zusammenhang zwischen Mengen und geometrischen Objekten auf ganz grundsätzlicher Ebene beleuchtet haben, davon werde ich mich nicht ablenken lassen - und zwar von meiner Seite her fragend. Pippen du sollt dir Antworten überlegen, die müssen nicht 100% wasserdicht sein, wir fragen dann nach, wo wir Schwierigkeiten sehen, du kannst dir dann weitere Antworten überlegen, ich glaube das bringt am meisten, jedenfalls ist es m. E. einen Versuch wert, das einmal so zu versuchen. Es würde mich freuen, wenn wir das gemeinsam so probieren könnten.
Grüße
seeker


Mache nie eine Theorie zu DEINER Theorie!
Denn tut man das, so verliert man zumindest ein Stück weit seine Unvoreingenommenheit, Objektivität.

Pippen
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 1675
Registriert: 9. Jul 2010, 04:02

Re: Unendlichkeiten, Endlichkeiten, Metrik, Mengen und Geometrie

Beitrag von Pippen » 8. Mär 2018, 00:44

ralfkannenberg hat geschrieben:
26. Feb 2018, 11:53
falsch: die rationalen Zahlen sind nicht vollständig
Ich meine damit: Q als Menge enthält alle rationalen Zahlen. Aber ich verstehe jetzt, dass man trotzdem zwischen zwei rationalen Zahlen a und b immer unendlich viele finden kann, so dass das bei IR erst recht so sein muss - und zwar bereits mengentheoretisch. Damit fällt meine ganze Argumentation in sich zusammen. Denn eine eindimensionale Linie kann man damit rein mengentheoretisch immer "dehnen", in dem man zwischen zwei Punkten a und b einfach soviele neue Punkte hernimmt, wie man braucht, es gäbe ja unendlich viele davon. Eine Metrik kann das verhindern bzw. regulieren.

Zurück zum vereinfachten U-Modell anhand einer Linie: Wir haben also eine Linie und markieren uns darauf die Zentimeter (Metrik M) inkl. eines Referenzpunktes 0. Sie wird damit zum Lineal. Dann messen wir mit diesem Lineal den Abstand zwischen zwei empirischen Objekten O1 und O2 und stellen fest: O1 liegt auf 0, O2 auf y, y-0 wäre der Abstand. Später legen wir das Lineal wieder an und stellen fest: O1 liegt auf 0, aber O2 liegt jetzt auf 2y, der Abstand wäre also jetzt 2y-0, er hätte sich vergrößert. Jetzt haben wir 2 Möglichkeiten: Wir können es dabei belassen und sagen, der Abstand in M habe sich halt vergrößert oder wir legen einfach eine neue Metrik M' fest, in der 2y -> y gilt, dann hätte sich der Abstand nicht vergrößert. M' wäre das, was wir Raumexpansion nennen. Durch M wüßten wir, dass sich O1 und O2 voneinander entfernen, durch M' erhalten wir die Skala. Das kann sinnvoll sein, um zwischen Abständen im Raum (M) und Abständen durch Raumexpansion (M') differenzieren zu können. Es macht ja empirisch durchaus einen Unterschied, ob jemand O2 von O1 auf dem Lineal auseinanderbewegt oder ob einer lediglich das Lineal auseinanderzieht.

Benutzeravatar
seeker
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 5330
Registriert: 26. Dez 2009, 10:29

Re: Unendlichkeiten, Endlichkeiten, Metrik, Mengen und Geometrie

Beitrag von seeker » 8. Mär 2018, 16:42

Pippen hat geschrieben:
8. Mär 2018, 00:44
Ich meine damit: Q als Menge enthält alle rationalen Zahlen. Aber ich verstehe jetzt, dass man trotzdem zwischen zwei rationalen Zahlen a und b immer unendlich viele finden kann, so dass das bei IR erst recht so sein muss - und zwar bereits mengentheoretisch. Damit fällt meine ganze Argumentation in sich zusammen. Denn eine eindimensionale Linie kann man damit rein mengentheoretisch immer "dehnen", in dem man zwischen zwei Punkten a und b einfach soviele neue Punkte hernimmt, wie man braucht, es gäbe ja unendlich viele davon.
Prima! Das ist aber nur die halbe Wahrheit.

Ich muss immer noch auf meiner Frage bestehen, was denn mengentheoretische Betrachtungen mit geometrischen Objekten zu tun haben?

Mal folgendes:

Ich zeichne zwei Strecken A und B, die eine (B) zeichne ich dabei auf ein Gummiband.
B ist halb so lang wie A, das kann ich beweisen, indem ich B direkt neben A so hinlege, dass beide Anfänge an derselben Stelle sind, das Ende von B auf A dann markiere und B dann verschiebe, sodass es bei dem markierten Punkt anfängt und an derselben Stelle wie A endet. Wenn das so herauskommt, dann ist B halb so lang wie A.
Als nächstes nehme ich die Menge der natürlichen Zahlen zur Hand und zeichne auf B drei Punkte ein: "1" am Anfang, "2" in der Mitte (die Mitte finde ich mit einem Zirkel) und "3" am Ende.
Auf A mache ich dasselbe, nur zeichne ich auf der Strecke A mit demselben Abstand dann 5 Punkte ein (die finde ich auch mit dem Zirkel).
Ich lege A wieder neben B, ich stelle fest: Die Punkte 1, 2 und 3 auf A und B befinden sich an derselben Stelle, sie haben denselben Abstand zueinander.
Wichtig zu bemerken ist hier: Ich kann, wenn ich die Methode des Einzeichnens der Punkte einmal so festgelegt habe keine weiteren Punkte einzeichnen, die in N liegen, zwischen den Punkten 1, 2 und 3 auf B klafft sozusagen eine Lücke.

So. Nun ziehe ich das Gumminband mit der Strecke B in die Länge - und zwar so weit, dass die Strecken A und B gleich lang werden.
Ich kann beweisen, dass es so ist, indem ich A und B wieder nebeneinander lege. Dafür brauche ich die eingezeichneten Punkte gar nicht!

Frage: Hat dieses Dehnen von B -und ob ich das tun kann- irgendetwas damit zu tun, ob und wie ich Punkte auf B eingezeichnet habe?
Änderst sich irgendetwas am Sachverhalt, wenn ich anders einzeichne, wenn ich z.B. R als Grundmenge nehme und sehr viele Punkte einzeichne oder mir gar vorstelle ich hätte für jede Zahl von R im Intervall [0,3] einen Punkt eingezeichnet?
Spielt es für das Dehnen der Strecke selbst irgendeine Rolle, ob zwischen zwei eingezeichneten Punkten immer noch weitere Punkte eingezeichnet werden können oder nicht?

Nochmal:
Hat eine mengentheoretische Betrachtung 'an sich' irgendetwas mit Geometrie zu tun, kann man Geometrie vollständig auf Mengentheorie reduzieren, brauche ich Mengentheorie um Geometrie betreiben zu können oder handelt es sich vielmehr schon im Kern um ganz verschiedene Kategorien der Anschauung?
Dieser Punkt ist mir wirklich wichtig, er ist genau zu klären.

Weierhin, damit zusammenhängend:

Kann man sagen, eine Strecke würde aus Punkten "bestehen", im Sinne von "sie ist aus Punkten zusammengesetzt"?
Wenn das der Fall wäre, dann müsste man eine Strecke so zerschneiden können, dass am Ende des Vorgangs nur noch Punkte übrig sind, nicht?

Probieren wir es (Gedankenexperiment):

Ich habe eine Strecke, ich halbiere sie, halbiere die beiden Hälften wieder, usw.
Gleichzeitig habe ich aber auch ein Mikroskop, bei dem ich nach jeder Halbierung die Vergrößerung verdopple.
Was sehe ich?
Ich sehe nach jeder Halbierung immer nur Strecken, es werden immer mehr und sie werden immer kürzer, aber unter dem Mikroskop sehen sie immer gleich aus.
Ich kann das Halbierungs-Spiel nun auch unendlich oft treiben, bis zum St-Nimmerleinstag, es bleibt dabei: Immer sehe ich als Ergebnis nur Strecken, nie sehe ich, dass ein Punkt entstanden wäre.
Ich kann mir sogar vorstellen ich hätte schon aktual unendlich oft halbiert, wäre also sozusagen schon fertig mit allem Halbieren, selbst dann wären es immer noch Strecken.
Was folgt daraus?
Pippen hat geschrieben:
8. Mär 2018, 00:44
Jetzt haben wir 2 Möglichkeiten: Wir können es dabei belassen und sagen, der Abstand in M habe sich halt vergrößert oder wir legen einfach eine neue Metrik M' fest, in der 2y -> y gilt, dann hätte sich der Abstand nicht vergrößert. M' wäre das, was wir Raumexpansion nennen. Durch M wüßten wir, dass sich O1 und O2 voneinander entfernen, durch M' erhalten wir die Skala. Das kann sinnvoll sein, um zwischen Abständen im Raum (M) und Abständen durch Raumexpansion (M') differenzieren zu können. Es macht ja empirisch durchaus einen Unterschied, ob jemand O2 von O1 auf dem Lineal auseinanderbewegt oder ob einer lediglich das Lineal auseinanderzieht.
Lass uns das noch etwas zurückstellen und evtl. später in Toms Thread diskutieren, in der ART ist es etwas komplizierter, bzw. gibt es da noch weitere Aspekte, die man berücksichtigen muss, denke ich.
Grüße
seeker


Mache nie eine Theorie zu DEINER Theorie!
Denn tut man das, so verliert man zumindest ein Stück weit seine Unvoreingenommenheit, Objektivität.

Pippen
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 1675
Registriert: 9. Jul 2010, 04:02

Re: Unendlichkeiten, Endlichkeiten, Metrik, Mengen und Geometrie

Beitrag von Pippen » 10. Mär 2018, 02:21

seeker hat geschrieben:
8. Mär 2018, 16:42
Hat eine mengentheoretische Betrachtung 'an sich' irgendetwas mit Geometrie zu tun, kann man Geometrie vollständig auf Mengentheorie reduzieren, brauche ich Mengentheorie um Geometrie betreiben zu können oder handelt es sich vielmehr schon im Kern um ganz verschiedene Kategorien der Anschauung?
Man kann Geometrie auf Mengentheorie reduzieren, aber man muss es nicht. Es kommt drauf an, wie exakt du arbeiten willst: exakter als Mengentheorie geht's nicht, sobald du es "griechisch" versuchst und statt mit Mengen mit Strecken & Co. arbeiten wolltest, müßtest du zB eine Strecke als Grundbegriff einführen, der natürlich komplexer ist als reine Punktmengen. Das ist dann so als wenn du klassische Mechanik machst, während andere die klassische Mechanik als QM betrachten, was den Vorteil hat, dass man genauer sein kann, weil die klass. Mechanik viele Vereinfachungen hernimmt, die "an sich" falsch sind.
Kann man sagen, eine Strecke würde aus Punkten "bestehen", im Sinne von "sie ist aus Punkten zusammengesetzt"?
Ja. IR ist die eindimensionale Linie (Kontinuum). Jeder Punkt wäre eine reelle Zahl.

Benutzeravatar
tomS
Administrator
Administrator
Beiträge: 9637
Registriert: 19. Nov 2007, 20:29
Wohnort: Nürnberg

Re: Unendlichkeiten, Endlichkeiten, Metrik, Mengen und Geometrie

Beitrag von tomS » 10. Mär 2018, 08:15

Die Mengenlehre enthält keine Begriffe wie Abstand oder Winkel.
Gruß
Tom

«Hier konnte niemand sonst Einlaß erhalten, denn dieser Eingang war nur für dich bestimmt. Ich gehe jetzt und schließe ihn.»

Benutzeravatar
seeker
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 5330
Registriert: 26. Dez 2009, 10:29

Re: Unendlichkeiten, Endlichkeiten, Metrik, Mengen und Geometrie

Beitrag von seeker » 10. Mär 2018, 11:49

Pippen hat geschrieben:
10. Mär 2018, 02:21
Ja. IR ist die eindimensionale Linie (Kontinuum). Jeder Punkt wäre eine reelle Zahl.
Wir nähern uns dem Auge des Sturms, würde Frank sagen... :)
Wenn ich mir R ansehe, dann sehe ich nur eine Menge an Zahlen, aber nirgendwo eine Linie...
Aber nehmen wir das einmal spielerisch als Postulat an, es sei so wie du vorschlägst oder definieren wir, dass es so sein soll.
Wie geht das dann mit meinem vorgestellten geometrischen Halbierungsbeispiel der Strecke zusammen?
Wie löst man dann dieses Problem, kann man es lösen?
Pippen hat geschrieben:
10. Mär 2018, 02:21
Man kann Geometrie auf Mengentheorie reduzieren, aber man muss es nicht.
tomS hat geschrieben:
10. Mär 2018, 08:15
Die Mengenlehre enthält keine Begriffe wie Abstand oder Winkel.
Aha! Was folgt daraus zwingend, wenn schon die grundlegenden Begriffe völlig andersartig sind?
Pippen hat geschrieben:
10. Mär 2018, 02:21
Es kommt drauf an, wie exakt du arbeiten willst: ...
Mein Halbierungsbeispiel und auch mein Beispiel mit der gedehnten Linie sind völlig exakt, exakter als völlig exakt geht es nicht, sie sind rein mit geometrischen Mitteln durchführbar, ganz ohne Zahlen und Mengen.
Und: Kann man Englisch auf Chinesisch reduzieren?
Spielt vielleicht die Exaktheit oder Mächtigkeit zur Beantwortung dieser Frage hier eine Rolle?
Kann man dann eine sehr einfache Ursprache "Alt-Steinzeitisch" auf Deutsch reduzieren, oder die Kommunikation von Delphinen untereinander auf Deutsch reduzieren?
Oder kann man stattdessen bei so etwas immer nur versuchen halbwegs gut zu übersetzen oder in Beziehung zu setzen, wenn doch schon die Grundbegriffe -und nicht nur die- andersartig sind?

Worin liegt der Unterschied zwischen den folgenden Behauptungen:

a) Eine Strecke besteht aus Punkten und die Punkte sind Zahlen!
b) Ich kann auf einer Strecke Punkte eintragen und diesen Punkten Zahlen zuordnen!

Was ist der Unterschied zwischen "besteht aus" und "kann zugeordnet werden"?
Grüße
seeker


Mache nie eine Theorie zu DEINER Theorie!
Denn tut man das, so verliert man zumindest ein Stück weit seine Unvoreingenommenheit, Objektivität.

Benutzeravatar
tomS
Administrator
Administrator
Beiträge: 9637
Registriert: 19. Nov 2007, 20:29
Wohnort: Nürnberg

Re: Unendlichkeiten, Endlichkeiten, Metrik, Mengen und Geometrie

Beitrag von tomS » 10. Mär 2018, 12:45

Daraus folgt, dass man auf Basis der Mengenlehre zusätzliche Begriffe definieren und einführen muss, um zunächst zur Topologie und dann zur Geometrie zu gelangen.
Gruß
Tom

«Hier konnte niemand sonst Einlaß erhalten, denn dieser Eingang war nur für dich bestimmt. Ich gehe jetzt und schließe ihn.»

Pippen
Ehrenmitglied
Ehrenmitglied
Beiträge: 1675
Registriert: 9. Jul 2010, 04:02

Re: Unendlichkeiten, Endlichkeiten, Metrik, Mengen und Geometrie

Beitrag von Pippen » 11. Mär 2018, 13:40

seeker hat geschrieben:
10. Mär 2018, 11:49
Wenn ich mir R ansehe, dann sehe ich nur eine Menge an Zahlen, aber nirgendwo eine Linie...
Wenn man statt jeder reellen Zahl einen Punkt dafür setzte, dann ergäbe sich die Linie. Wie toms schon andeutet, hat die Dehnung nichts mit den Punkten zu tun, sondern mit Abständen, die auf einmal größer werden. Ansonsten verweise ich mal darauf: https://www.amazon.de/Philosophie-Mathe ... 3110262916. Das Buch habe sogar ich als Laie verstanden und es behandelt meiner Erinnerung nach genau deine Themen, nämlich ob und wie IR das Kontinuum ist.
Worin liegt der Unterschied zwischen den folgenden Behauptungen:

a) Eine Strecke besteht aus Punkten und die Punkte sind Zahlen!
b) Ich kann auf einer Strecke Punkte eintragen und diesen Punkten Zahlen zuordnen!

Was ist der Unterschied zwischen "besteht aus" und "kann zugeordnet werden"?
Ich würde kreuzen: Eine Strecke besteht aus Punkten und diesen Punkten kann man (reelle) Zahlen zuordnen: dann entspricht das geoemtrische dem reellen Kontinuum und umgekehrt, mehr dazu in o.g. Buch.

Antworten