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16. Verschiedenes

Übersichtsartikel zur Elementarteilchenphysik und zur Quantenfeldtheorie
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16. Verschiedenes

Beitrag von tomS » 21. Apr 2009, 22:43

[anker]16[/anker]16. Verschiedenes

In diesem Kapietl wollte ich verschiedene Themen zur Quantenfeldtheorie besprechen, die sich anderweitig schlecht unterbringen lassen: Fadee-Popov-Geister, Anomalien, theta-Vakuum, Axion, Instantonenund magnetische Monopole, chirale Symmetriebrechung, ...

Beginnen möchte ich mit dem Thema

[anker]16-1[/anker]16.1 Fadeev-Popov-Geister

Bis ich die notwendigen Formeln alle umgesetzt habe, möchte ich das Thema anhand folgender Webseite diskutieren: The Faddeev-Popov Ansatz - Invitation

Dabei beginnt der Autor zunächst mit einem gewöhnlichen, zweidimensionalen Integral, das veranschauliche soll, was eine Eichsymmetrie eigentlich bedeutet. In Gleichung (5) steht ein Integral, das nur von der Differenz x-y abhängt. Daraus folgt, dass der Integrand eine Symmetrie hat, nämlich die Transformation

x' = x+a
y' = y+a

Man sieht dies sofort durch Einsetzen: im Exponenten fällt die Transformation mittels a aus der Differenz x-y heraus. Das "Integrationsmaß" dx dy ist ebenfalls invariant. Um dies zu zeigen, muss man die Substitutionsregel für mehrdimensionale Integrale anwenden; dabei tritt eine Funktionaldeterminante (auch Jacobi-Determinante genannt) auf, die in unserem Falle exakt Eins ist.

Es ist hier nicht explizit gezeigt, aber das Integral hat sogar eine lokale Eichsymmetrie! Statt der Konstanten a kann man nämlich eine Funktion a(x-y) einführen. Wieder fällt im Exponenten die Transformation mittels a(x-y) aus der Differenz x-y heraus. Bei der Berechnung der Funktionaldeterminante stellt man nun fest,dass diese nur dann Eins ergibt, wenn die Funktion a(x,y) eben die spezielle Form a(x-y) hat. D.h. die Symmetrie des Exponenten aus der Differenz x-y findet sich hier wieder.

Zur Berechnung der Funktionaldeterminante siehe Wikipedia: Funktionaldeterminante

Der Autor zeigt weiter über die Variablentransformation, dass sich das Integral darstellen lässt als "wohldefiniertes Integral über z[down]-[/down] mal einem unendlichen Integral über a". Dieses unendliche Integral über a resultiert eben genaus aus der Eichsymmetrie des ursprünglichen Integrals. Bis zur Gleichung (6) wird versucht, eine Eichung dergestalt zu fixieren, dass nur über einen "Schnitt" integriert wird.

Angewandt auf eine echte Eichtheorie bedeutet dies folgendes: Variablenänderungen in Richtung z[down]-[/down] entsprechen physikalischen Veränderungen, d.h. physikalisch inäquivalenten Zuständen; Variablenänderungen in Richtung a dagegen entsprechen reinen Eichungen, d.h. physikalisch äquivalenten Zuständen. Die Einführung eines Schnitts bedeutet, dass über jeden physikalischen Zustand nur noch exakt einmal integriert wird. Dies ist in dem betrachten Fall alles etwas künstlich. Man lässt einfach die Integration über a weg und schon ist man sämtliche Probleme los. Es geht jedoch um die Darstellung der Problematik der Eichsymmetrie.

In Gleichung (6) steht schließlich die allgemeinste Eichfixierung, die in diesem Falle möglich ist (der Autor betrachtet keine lokale Eichsymmetrie, d.h. weiterhin ist a eine beliebige aber feste Konstante, keine Funktion a(x-y), wie von mir oben kurz angesprochen).

Zunächst hat er das Integral über a explizit separiert; man beachte, dass dies in einer realen Eichtheorie oft nicht möglich ist! In einer nichtabelschen Eichtheorie z.B. mit SU(N) Symmetrie zeigt sich, dass dieses Abspalten bzw. Weglassen nicht funktioniert. In einer abelschen Eichtheorie z.B. mit U(1) Symmetrie dagegen entspricht das Abspalten dem Zerlegen des Photonfeldes in physikalische und unphysikalische Komponenten.

Dann hat er das ursprüngliche Integral über dx dy stehen, wobei dieses durch die Delta-Funktion auf genau eine Eichbedingung f(a) festgelegt wird. Der Autor geht nicht darauf ein, wie diese Funktion i.A. beschaffen sein muss. In der kleinen Graphik sieht man, dass die physikalischen Freiheitsgrade und die Eichfreiheitsgrade sich gegenseitig exakt unter 90° schneiden. Dies entspricht der Eichung

x+y = 0

Andere Eichungen sind möglich, 90° sind nicht zwingend; was jedoch gelten muss ist, dass die Schnitte eindeutig und global definiert sind. So dürfen keine mehrfachen Schnitte auftreten und es darf auch nicht den Fall geben, dass bestimmte Paare von Linien sich nicht schneiden. I.A. entspricht dies in etwa der Einführung eines globalen Koordinatensystems.

Nun kommt ein Schritt, den ich noch nie so richtig verstanden habe, nämlich die Integration über alle möglichen Eichfunktionen f=c, mit einem Faktor, der das Integral endlich macht (hier die Gausskurve exp -c²). Aufgrund der Deltafunktion lässt sicht dieses Integral sofort ausführen (man erhält nun exp -f²).

Dies alles war eigentlich nur die Vorarbeit! Der interessante Term, aus dem schließlich die Fadeev-Popov-Geister entstehen, ist die Funktionaldeterminante |df/da|.

In einer abelschen Eichtheorie zeigt sich, dass df/da unabhängig von den Eichfelder ist und damit aus dem Integral herausgezogen werden kann. In einer nichtabelschen Eichtheorie ist df/da dagegen nichtlinear und von den Eichfeldern abhängig. Der eigentliche Trick der Fadeev-Popov-Quantisierung besteht nun darin, diese Funktionaldeterminante wieder in den Exponenten zu bringen (alle anderen Variablen x,y und f stehen ebenfalls im Exponenten). Die Wahl von f(a) ist entscheidend, ob die Eichfixierung mathematisch konsistent ist, oder ob (wie oben besprochen) Mehrdeutigkeiten oder Singularitäten auftreten.

Im zweiten Teil dieses Abschnittst möchte ich nun tatsächlich die Fadeev-Popov-Geistfelder einführen. Ich habe bisher versucht zu argumentieren, dass die Einführung einer Eichfixierung im Wesentlichen analog dazu ist, eine Delta-Funktion in ein Integral hineinzuschreiben. Die Wahl einer Eichfunktion erfordert gleichzeitig die Einführung einer Funktionaldeterminante, die mehrdimensionale Verallgemeinerung der Variablensubstitution.

Nun ist jedoch die Interpretation eines Pfadintegrals nur dann einfach möglich, wenn dieses die "einfache" Form

[Integral über alle Feldkonfigurationen] exp [Wirkungsintegral in Abhängigkeit von den Feldern]

hat. D.h. die Delta-Funktion und die Funktionaldeterminante stören diese Struktur und man muss beide mittels eines Tricks in den Exponenten bringen. Für die Delta-Funktion ist das relativ einfach und braucht uns hier nicht zu interessieren; für die Funktionaldeterminante muss man tatsächlich ziemlich viel Gehirnschmalz aufbringen. Zunächst betrachtet man dazu ein Integral über dr im n-dimensionalen Raum über eine n-dimensionale Form
[Vektor r]*Matrix*[Vektor r]. Man stellt fest, dass man dieses Integral tatsächlich lösen kann; man erhält eine Faktor der Form

1 / Quadratwurzel der Determinante der Matrix

Ersetzt man den reellen Vektor r durch einen komplexen Vektor z, so verschwindet die Quadratwurzel; leider aber tritt die Determinante immer noch im Nenner auf; wir benötigen sie jedoch im Zähler (deswegen führe ich auch die Rechnung nicht weiter vor, sie hilft uns letztlich nicht wirrklich weiter).

Nun greift man zu einem Trick, nämlich zur Einführung einer neuen Sorte an Zahlen. Betrachtet man normale reelle Zahlen, so gilt immer ab = ba. Man weiß, dass dies nicht immer so sein muss, z.B. gilt dies üblicherweise nicht für Matrizen. In unserem Fall benötigen wir sogenannte Grassmann-Zahlen; dies sind abstrakte Gebilde mit der Eigenschaft ab = -ba. Insbs. erhält man daraus durch Gleichsetzen a=b die Eigenschaft aa = -aa = 0. Letzteres bedeutet aber, dass Terme der Form a² = a³ = ... = 0 sind. Damit sind insbs. Taylorentwicklungen bzw. Potenzreihen von Funktionen in a extrem einfach, denn sie enthalten immer nur zwei Terme der Form f(a) = x+ay, da ein Term za² verschwindet. Dabei sind x und y gewöhnliche Zahlen.

Man kennt ein ähnliches Verhalten von fermionischen Operatoren. Tatsächlich benötigt man die Grassmann-Zahlen zur Beschreibung von Fermionen. In unserem Fall treten sie jedoch in einer Form auf, die zum einen diese "fermionische Eigenschaft a²=0" fordert, zum anderen aber auch erzwingt, dass es sich um Spin-0 Felder handelt.

Man kann nun ein Pfadintegral über diese Grassmann-Felder einführen, was dazu führt, dass man die Funktionaldeterminante nicht mehr im Nenner sondern tatsächlich im Zähler erhält. D.h. mittels dieses rein mathematischen Tricks ist es möglich, die Funktionaldeterminante wieder in der Form

Funktionaldeterminante = [Integral über alle Feldkonfigurationen] exp [Wirkungsintegral in Abhängigkeit von den Feldern]

zu schreiben, nur dass die Felder nun Grassman-Zahlen (bzw. Grassmann-Felder) sind. Man nennt diese Grassmann-Felder nach den beiden Physikern, die sie als erstes im Pfadintegralformalismus verwendet haben, auch Fadeev-Popov-Felder. Mittels dieser Fadeev-Popov-Felder erhält man also ein Wirkungsintegral, das neben den Eichfeldern auch Beiträge enthält, n denen die Fadeev-Popov-Felder an die Eichfelder koppeln. Die genaue Form der Kopplung hängt von der Wahl der Eichfunktion ab. Man kann Eichfunktionen finden, in denen diese Kopplung trivial wird, d.h. der Term quadratisch in den Fadeev-Popov-Feldern enthält keinen Beitrag der Eichfelder. Man spricht von Entkopplung. Dies gilt u.a. für die axiale Eichung A³=0 sowie alle abelschen Eichtheorien mit U(1) Symmetrie. I.A. und insbs. in vielen physikalisch relevanten Eichungen in der SU(N) Eichtheorie wird dies jedoch nicht der Fall sein.

Neben diesen Eigenschaften sind die Fadeev-Popov-Felder noch so beschaffen, dass sie nie als physikalische Felder in Erscheinung treten. So gibt es keinen Prozess, in dem im Endzustand ein Fadeev-Popov-Teilchen auftritt; es handelt sich also gewissermaßen um rein virtuelle Teilchen, die nie selbst physikalisch in Erscheinung treten. Diese Eigenschaft wird durch eine neuartige Symmetrie sichergestellt, die sogenannte BRST-Symmetrie. Dabei handelt es sich um eine Neuformulierung der Eichsymmetrie mittels Grassmann-Feldern. Zunächst hat man ja mittels der Delta-Funktion eine Eichfixierung durchgeführt. Nach dem Fadeev-Popov-Trick ist es nun weiterhin möglich, diese Eichfunktion zu variieren, ohne die physikalischen Vorhersagen, die aus dem Pfadintegral abzuleiten sind, zu modifizieren. Diese Variation der Eichfunktion erfolgt durch die BRST-Symmetrie, eine Art Überbleibsel der Eichsymmetrie in diesem neuartigen Formalismus.

Zusammenfassend haben die Fadeev-Popov-Felder einige ungewöhnliche Eigenschaften
- fermionische Symmetrie aufgrund der Grassmann-Felder
- und zugleich Spin-0 Felder
- keine physikalischen bzw. freien Teilchen im Endzustand eines physikalischen Prozesses

Aufgrund dieser seltsamen Eigenschafen nennt man diese Felder auch Fadeev-Popov-Geister.

Was hat man nun gewonnen? Im wesentlichen "nur" die Tatsache, dass man den Pfadintegralformalismus wie gewöhnlich anwenden kann. Dies war der wesentliche Durchbruch, der die Quantisierung und Renormierung der nichtabelschen Eichtheorien ermöglichte, und der schlussendlich das erste Fundament für praktisch alle Rechnungen zur QCD und zur el.-schw. Theorie darstellte. Erst viel später gelang die Quantisierung der QCD im hamiltonschen Formalismus, der ohne diese Geistfelder auskommt.

Nun gibt es allerdings noch ein Problem, das des sogenannten Gribov-Horizontes. Gehen wir nochmals zurück zur Eichfixierung mittels der Delta-Funktion. Idee war es, eine Funktion einzuführen, die garantiert, dass ein globaler Schnitt durch den gesamten Raum der Eichfelder existiert, so dass jede physikalische Eichfeldkonfiguration exakt einmal von diesem Schnitt getroffen wird. Dies entspricht der globalen Einführung eines Koordinatensystems. Betrachtet man beliebige Koordinatensysteme, so stellt man eine Gemeinsamkeit fest: zwei Koordinatenlinien (z.B. die x-und die y-Achse in der Ebene) schneiden sich immer in exakt einem Punkt. Man kann nun relativ beliebige Koordinatensysteme (mit gekrümmten Koordinatenlinien) einführen, solange gewährleistet ist, dass diese Eigenschaft erfüllt ist. Schneiden sich zwei Koordinatenlinien in keinem Punkt, so ist die Wahl des Koordinatensystems singulär, d.h. streng genommen ungültig. In vielen physikalisch relevanten Eichungen geschieht nun genau das: eine Eichfunktion definiert kein global gültiges Koordinatensystem. Lokal sieht alles wunderbar aus, die Koordinatenlinien definieren ein Koordinatensystem, global jedoch gibt es Fälle, wo sich die Linien nicht schneiden.

Diese Eigenschaft liegt natürlich in der Wahl der Eichfunktion begründet und überträgt sich auf die davon abhängige Funktionaldeterminante. Tatsächlich kann man zeigen, dass im Falle eines singulären Koordinatensystems die Funktionaldeterminante an bestimmten Stellen im Raum der Eichfelder Null wird. Hier ist das Pfadintegral nicht mehr definiert. Man nennt den Bereich, innerhalb dessen die Funktionaldeterminante strikt positiv ist, Fundamental-Domäne. Innerhalb dieses Bereiches ist die Theorie störungstheoretisch wohldefiniert; der Fall verschwindender Eichfelder A=0 gehört dazu. Dieser Bereich wird vom sogenannte Gribov-Horizont begrenz; auf diesem wird die Funktionaldeterminante Null, die Eichung singulär und das Pfadintegral ist sinnlos. Dies führt letztlich dazu, dass diese Art der Quantisierung nur innerhalb eines bestimmten Bereiches des Raumes der Eichfelder mathematisch definiert ist und dass daher der gesamte Pfadintegralformalismus mit Vorsicht zu genießen ist.

Im Falle des Confinements der QCD kann man zeigen, dass Eichfeldkonfigurationen wichtig werden, die exakt auf dem Gribov-Horizont liegen. Daher werden häufig auch Eichungen verwendet, in denen die Eichfelder von den Fadeev-Popov-Feldern entkoppeln und letztere trivialerweise eliminiert werden können, so dass diese Problemaztik gar nicht erst in Erscheinung tritt. Meist haben diese Eichungen jedoch andere Nachteile, insbs. die wesentlich aufwändigeren Rechnungen.
Zuletzt geändert von tomS am 5. Mai 2009, 00:02, insgesamt 3-mal geändert.
Gruß
Tom

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Re: 16. Verschiedenes

Beitrag von wilfried » 21. Apr 2009, 23:29

Tag Tom

ansatzweise habe ich die Fadeev-Popov Geister in unten angeführter Diskussion aufgezeigt.

viewtopic.php?f=6&t=240&hilit=+higgs

Eventuall kannst, Tom, Die diese Diskussion ansehen. Hintergrund war: Higgs Boson - Eichfixierung

Gruß

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Re: 16. Verschiedenes

Beitrag von tomS » 22. Apr 2009, 00:29

Danke für den Hinweis - was du zeigst ist die "Standard-Methode", aber angewandt auf die el.-schw. Theorie. Insbs. auf letztere wollte ich hier (zunächst) nicht unbedingt eingehen - ist eh' schon kompliziert genug :-)

Danke
Gruß
Tom

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Re: 16. Verschiedenes

Beitrag von tomS » 5. Mai 2009, 00:03

habe im ersten Beitrag den zweiten Teil zu den Fadeev-Popov-Geistern fertiggestellt.
Gruß
Tom

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Re: 16. Verschiedenes

Beitrag von Maclane » 5. Mai 2009, 03:14

Von den Grassmann-Zahlen hör ich heute zum ersten Mal. Und ehrlich gesagt, sind sie mir ziemlich suspekt.
Wo kommen wir denn hin, wenn wir die Mathematik verbiegen können, wie wir wollen?

Es scheint ja zu funktionieren, aber so richtig "richtig" fühlt sich das nicht an. :|

Gruß
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Re: 16. Verschiedenes

Beitrag von tomS » 5. Mai 2009, 07:00

Kannst du das nicht auch bzgl. der imaginären bzw. komplexen Zahlen sagen - und da haben wir uns ja auch dran gewöhnt
Gruß
Tom

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Re: 16. Verschiedenes

Beitrag von wilfried » 5. Mai 2009, 08:23

Tag zusammen

na da sollt ihr aber etwas vorsichtiger dran gehen, denn diese zahlenwerke sind Hilfsmittel. Nichts anderes als Hilfsmittel! In diese darf man nichts hineingeheimnissen, denn sie dienen dazu mit unserem System der mathematik Dinge zu beschreiben.

Diese Hilfsmittel sind von unseren Mathematik Kollegen auf ihre Gültigkeiten und Definitionsbereiche etc. gründlich geprüft und als nutzbar für uns dargestellt worden.

Deshalb bedienen wir uns ihrer.

Nur: Wer diese Hilfsmitel falsch nutzt, der macht der Fehler und bitte nicht umgekhert.

So habe ich deshäufigeren die Eichungen an unseren Pranger gestellt; nicht weil diese mathematische irgendetwas verbiegen -nein, das tun die nicht- sondern, weil wir es sind, die diese Hilfsmittel eventuell leichtfüßig verwenden. Wir haben die Pflicht zu prüfen und das sehr genau, ob denn ein solches Hilfsmittel tatsächlich in unseren Anwendungen gerechtfertigt ist und auch korrekt angewandt wird.

Gruß

Wilfried
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Re: 16. Verschiedenes

Beitrag von Maclane » 5. Mai 2009, 11:09

Ja Wilfried, da hast du sicher recht. Ich war vielleicht etwas voreilig. :oops:

Gruß
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