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07. Pfadintegrale , Feynmandiagramme und Renormierung

Übersichtsartikel zur Elementarteilchenphysik und zur Quantenfeldtheorie
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07. Pfadintegrale , Feynmandiagramme und Renormierung

Beitrag von tomS » 16. Apr 2009, 23:48

[anker]7[/anker]7. Pfadintegrale, Feynmandiagramme und Renormierung

Zu Beginn habe ich ja was zum Begriff der Teilchen und der Felder geschrieben. Dabei habe ich im Wesentlichen auf einem Formalismus aufgesetzt, den man als kanonische Quantisierung bezeichnet. Dabei geht man aus von klassischen Größen im Hamiltonformalismus und übersetzt die Objekte nach bestimmten Regeln in die Sprache der Hilberträume und der darauf wirkenden Operatoren. Diese Sprache hat immer wieder ihre Berechtigung, insbs. wenn es um die Entwicklung von Formalismen und exakten mathematischen Beweisführungen geht.

Dieser Formalismus hat jedoch auch einige Nachteile. Insbs. bricht er offenkundig einige wesentliche Symmetrien in der QFT. So zeichnet er z.B. eine Zeitkoordinate aus, um entlang dieser Koordinate die Entwicklung zu untersuchen. Der dafür zuständige Operator ist der sogenannte Hamiltonoperator des Systems. Bei der Ableitung des Hamiltonoperators ist es wichtig, dass dieser nur die physikalischen Zustände eines Systems wirkt, bzw. dass unphysikalische Zustände eliminiert werden. So müssen z.B. aus der QED zuerst die unphysikalischen Freiheitsgrade der Photonen eliminiert werden. Das Photonfeld bzw. das Viererpotential hat offensichtlich vier Freiheitsgrade, während es doch nur zwei physikalische Polarisationen des Photons gibt. In der QED eliminiert man zwei Freiheitsgrade wie folgt: zunächst setzt man A°=0, d.h. man wählt eine Eichung (A° ist ein unphysikalisches Feld, denn es gibt dafür keine Zeitableitung, also keine zeitliche Propagation). Dann muss man sicherstellen, dass ein weiterer Constraint, das sog. Gauß-Gesetz ebenfalls gültig bleibt, d.h. man setzt G(x)=0. Diese Gleichung gilt als Gleichung für die Zustände im Hilbertraum. Die resultierende Theorie ist eichinvariant und lorentz-kovariant, allerdings ist dies nicht unmittelbar einsichtig, sondern man muss erst explizit beweisen werden. Wir werden dies im Kapitel zu den Eichtheorien nachholen. Außerdem ist die gewählte Eichung A°=0 für einige Rechnungen extrem schlecht geeignet.

Statt nun also nur physikalische Freiheitsgrade im kanonischen Formalismus zu betrachten, sucht man einen anderen Formalismus, der nach wie vor alle Freiheitsgrade beinhaltet und dafür die volle Symmetrie (Eichsymmetrie, Lorentz-Symmetrie)der Theorie explizit sichtbar macht. Dies ist der Pfadintegralformalismus, der zuerst von Feynman in der Quantenmechanik eingeführt wurde und dann später auch für die Entwicklung der QFTs eingesetzt wurde. Insbs. gelang mittels des Pfadintegralformalismus zum ersten Mal die Quantisierung der QCD, sowie der Nachweis deren Renormierbarkeit.

Allerdings hat das Pfadintegral auch einige erhebliche Nachteile. So ist es i.A. mathematisch nicht wohldefiniert, d.h. viele der Rechnungen haben formalen Charakter, wobei das physikalisch vernünftige Endergebnis die mathematische Schlamperei rechtfertigt.

[anker]7-1[/anker]7.1 Pfadintegrale

Eine kurze Anmerkung vorab: Der Pfadintegralformalismus ist in der modernen Quantenfeldtheorie nicht mehr wegzudenken. Nur durch diese Rechenmethode gelang zunächst überhaupt die Quantisierung der QCD und der el.-schw. WW. Auch der Beweis der Renormierbarkeit beider Theorien wäre ohne diesen Formalismus kaum möglich gewesen. Trotzdem kann man diesen Abschnitt getrost überspringen; er ist für das Verständnis der folgenden Themen nicht notwendig.

Pfadintegrale in der Quantenmechanik

Pfadintegrale wurden ursprünglich in der Quantenmechanik eingeführt. Dort zeigt sich, dass sie im Wesentlichen ein Mittel sind, um die Interferenz mehrere (unendlich vieler) Amplituden zu beschreiben, wobei jede Amplitude einem Pfad entspricht, den ein Teilchen theoretisch zurücklegen könnte (das schließt z.B. auch klassisch verbotene Pfade mit ein!) Es besteht somit eine gewisse Verwandtschaft zwischen Interferenzphänomenen (z.B. am Doppelspalt) und generell der Dynamik von Teilchen in der Quantenmechanik.

Man könnte es so formulieren, dass ein quantenmechanisches Teilchen tatsächlich alle möglichen Pfade zurücklegt, und dass dabei die Pfade dominieren, für die die Interferenz maximal konstruktiv wird, während Pfade mit destruktiver Interferenz unterdrückt werden. Ein klassisches Phänomen zeichnet sich also dadurch aus, dass ein Pfad (nämlich die klassische Bahnkurve) dominiert.

Leider ist die Mathematik bereits hier sehr verwickelt, da ein Teilchen in der Praxis überabzählbar unendlich viele Pfade durchlaufen kann. D.h. dass bereits für einfachste Phänomene die Berechnung eines Pfadintegrals enorm aufwändig werden kann.

In der Quantenfeldtheorie ist die Situation noch komplexer, da wir es hier nicht mit dem Pfad eines Teilchens zu tun haben, das gewissermaßen den Raum durcheilt, sondern mit einem Feld, das den Raum aller möglichen Feldkonfigurationen durcheilt. Damit entfällt leider der letzte Rest einer anschauliche Interpretation.

Motivation

Die Idee des Pfadintegrals ist die Betrachtung des Vakuum-Vakuum Übergangsmatrixelement (0|0). D.h. man betrachtet die Struktur dieses Übergangs, wobei man noch eine „äußere Kraft“ J(x) einführt. Am Ende jeder Rechnung wird dieses J(x) wieder zu Null gesetzt.

Warum enthält nun gerade (0|0) im Wesentlichen die vollständige Information? Dazu betrachtet man den statistischen Operator in der statistischen Mechanik:

ρ = exp (iĤt)

Die Beiträge aller Zustände |n) findet man durch die sogenannte Spur = die Summe der Diagonalelemente der Matrixdarstellung, also

Tr ρ = Summe über alle n [(n| exp (iĤt) |n)] = Summe über alle n [exp (iE(n)t)]

wobei E(n) nun für die Energieeigenwerte des jeweiligen Zustandes |n) steht.

Nun weiß man aber, dass die aus Ĥ ableitbaren Strukturen wie Propagatoren o.ä. komplexwertige, analytische Funktionen sind. Diese Funktionen haben Pole = einfache Singularitäten bei den Energieeigenzuständen, sind aber ansonsten analytisch, d.h. insbs. können sie für komplexe Zeit t betrachtet werden. Man definiert s = -it und führt eine Transformation durch, so dass ab sofort alle physikalischen Objekte in dieser imaginären „Zeit“ s betrachtet werden. Man nennt diesen Trick die sogenannte Wick-Rotation.

Setzt man nun s = -it in die obige Gleichung ein, so findet man

Tr ρ(s) = Summe über alle n [exp (-E(n)s)]

Im Limes unendlich großer imaginärer Zeit s (gegen ∞) dominiert der Vakuumbeitrag E(0), alle anderen Beiträge werden stärker gedämpft. Damit bleibt aus der ursprünglichen Summe nur noch der Term n=0 übrig und es gilt

Tr ρ(s) = exp (-E(0)s) = (0| exp (-Ĥs) |0)

Im Hamiltonformalismus interpretiert man aber exp (iĤt) als Zeitentwicklungsoperator, d.h. es gilt

(0| exp (iĤt) |0) = (0, t| |0, t=0)

Das bedeutet, dass im Grenzfall unendlicher imaginärer Zeit s gilt

Tr ρ(s = ∞) = (0, ∞|0, 0)

D.h. dass die wesentliche Struktur des Operators ρ = exp (iĤt) in dem Übergangsmatrixelement vom Vakuumzustand in den Vakuumzustand gegeben ist. Damit enthält das Vakuum im Grunde die vollständige Information der gesamten Theorie. Um diese „herauszuholen“ verwendet man die externe Quelle J(x), die ich am Anfang angesprochen habe. D.h. man testet, wie sich das Vakuum verhält, wenn man mit einer kleinen, externen Kraft daran „rüttelt“.

Formalismus

Man betrachtet also die Übergangsamplitude

Z[J] = (0|0)

unter Einfluss der äußeren Kraft J(x). Oben haben wir gesehen, dass man dazu den Zeitentwicklungsoperator exp (iĤt) einführt. Man zerlegt nun den Übergang (0, t=T|0, t=0) in unendlich viele infinitesimale Zeitintervalle t, t´, t´´ … mit den Übergängen (A,t´|A,t) (A,t´´|A,t´) usw., so dass man zur Darstellung

(0, t=T|0, t=0) = ∫dA dA´ dA´´ … dA´´´ (0,T|A´´´,t´´´)(A´´´,t´´´|…|A´´,t´´)(A´´,t´´|A´,t´)(A´,t´|A,t)(A,t|0,0)

gelangt. Ich habe dies hier am Beispiel eines el-.mag. Feldes mit Potential A dargestellt. In der gewöhnlichen QM würde man stattdessen nur die Ortsvariable x im Integral finden.

Mathematisch beinhaltet diese Formel bereits die Wesentlichen Elemente des Pfadintegrals. Man verwendet dazu die Tatsache, dass man im Hilbertraum aller Feldkonfigurationen |A) einen vollständigen Satz an Basisvektoren definieren kann. In einem endlichdimensionalen Vektorraum kann man den Eins-Operator (also die Einheitsmatrix) formal als Tensorprodukt der Basisvektoren schreiben. Hier entspricht dem die Darstellung

1 = ∫dA |A)(A|

D.h. man schiebt für jedes unendlich kleine Zeitintervall einmal die Eins ein:

(…|…) = (…|1|…) = (…|∫dA |A)(A|…) = ∫dA (…|A)(A|…)

und spaltet die Zeitentwicklung in infinitesimale Zeitintervalle auf. Für jede Zeitscheibe integriert man aber über den vollständigen Hilbertraum aller Feldkonfigurationen, d.h. man betrachtet für jedes unendlich kleine Zeitintervall alle Übergänge (bzw. die Propagation) von einer beliebigen Feldkonfiguration A´ in eine neue Feldkonfiguration A´´.

Die Interpretation dieser Formel lautet also, dass das Feld A vom Vakuumzustand für t=0 in den Vakuumzustand für t=T wie folgt propagiert: für jedes infinitesimale Zeitintervall propagiert eine gegebene Feldkonfiguration in jede beliebige Feldkonfiguration; über alle diese neuen, beliebigen Feldkonfiguration wird integriert, d.h. alle diese Propagationen interferieren miteinander. Insgs. betrachtet man unendlich viele dieser infinitesimalen Zeitintervalle. Das Ergebnis ist das Integral über alle möglichen „Pfade im Raum der Feldkonfigurationen“.

Das Pfadintegral in der QFT ist also ein Ausdruck dafür, dass der Übergang von einem festen Ausgangszustand in einen festen Endzustand über alle theoretisch möglichen Zielkonfigurationen stattfinden kann.

Nun hat man immer noch Matrixelemente, die infinitesimal in der Zeit auseinander liegen. Dazu schreibt man nun die Zeitentwicklung über den Hamiltonoperator um; man erhält formal ein unendliches Produkt von e-Funktionen, wobei man dann aus dem Hamiltonoperator die Abhängigkeit von E (ich habe sie eh schon unterdrückt) ausintegrieren kann. Zurück bleibt eine e-Funktion, in der eine Funktion von A steht, die man als Wirkungsintegral kennt. Dieses Wirkungsintegral ist formal auch der Ausgangspunkt für die Quantisierung der Theorie; aus ihm wird zunächst der Hamiltonoperator abgeleitet. D.h. man landet zuletzt wieder bei einem Ausdruck, aus dem alle Operatoren und Zustandsvektoren verschwunden sind und in dem nur noch die klassische Wirkung vorkommt.

Die wesentliche Erkenntnis ist also, dass man aus der obigen Formel über den Umweg des Hamiltonformalismus ein Pfadintegral zurückerhält, in dem nur noch die aus der klassischen Theorie bekannte Wirkung enthalten ist.

Man definiert nun das unendliche Produkt über alle Integrationen gemäß

dA dA´ dA´´ … = DA

und schreibt dann für den Exponenten

S = S[A]

Das Pfadintegral lautet schlussendlich (für J=0)

Z[0] = ∫DA exp ( iS[A] / ħ )

Wendet man den Trick der Wick-Rotation an, so erhält man formal ein Minus statt dem i im Exponenten und somit ein exponentiell gedämpftes Pfadintegral.

Führt man nun noch die Elektronen wieder ein, so erhält man formal das Pfadintegral der QED

Z[0] = ∫DA Dψ* Dψ exp ( iS[A, ψ*, ψ] / ħ )

Zur Interpretation

Zu Beginn habe ich ja bereits angedeutet, dass dieses Pfadintegral alle Beiträge aus dem Hamiltonoperator kennt. D.h. obwohl zunächst nur das Vakuum betrachtet wird, ist implizit die Struktur aller angeregten Zustände im enthalten. Im Pfadintegral der QCD stecken als (verborgen) sämtliche Zustände wie Protonen, Neutronen, Pionen usw.

Die Interpretation ist die, dass zum Vakuum-Vakuum-Übergang alle Feldkonfigurationen A(x) beitragen, wobei eine Integration dA über alle möglichen Feldkonfigurationen A(x) läuft. In Summe wird also unendlich oft über alle Feldkonfigurationen integriert (für die Fermionen gilt das analog).

Man sieht dem Pfadintegral auch an, dass es formal den klassischen Grenzfall enthält. Bestimmt man aus S die Euler-Lagrange Bewegungsgleichungen (in unserem Fall sind dies die Maxwell- und die Dirac-Gleichungen), so kann man daraus zunächst die stationären Feldkonfigurationen ermitteln, für die S minimiert wird. Bezeichnet man die klassischen Felder als A° und ψ°, so ist der Hauptbeitrag zum Pfadintegral genau die klassische Wirkung

S° = S[A°, ψ°*, ψ°]

Nun entwickelt man die Felder um dieses Minimum, d.h. man führt Fluktuationen A’ und ψ’ ein. Die Terme erster Ordnung in diesen Fluktuationen verschwinden (das ist ja die Bedingung für ein Minimum), d.h. es tragen nur die Terme zweiter und höherer Ordnung bei. Man findet also

S = S° +s[A’, ψ’*, ψ’]

und

Z[0] = exp( i S°/ħ ) ∫DA’ Dψ’* Dψ’ exp ( is[A’, ψ’*, ψ’] / ħ )

In Z[0] kommt also der wesentlichen Beitrag vom klassischen Pfad A°, ψ°*, ψ°, die Fluktuationen sind unterdrückt. Man kann diese Entwicklung systematisieren und findet, dass dies (anders als die später zu diskutierenden Feynmandiagramme) eine Entwicklung in ħ ist. In nullter Ordnung ist der Beitrag exakt gleich der klassischen Lösung, in erster Ordnung tragen nur Schleifendiagramme mit genau einem Loop bei, wobei diese mit einem Faktor ħ unterdrückt sind.

Zusammenfassend: Ein q.m. Teilchen oder ein Feld legt also alle Pfade (daher der Name) bzw. alle Feldkonfigurationen zurück. Der Beitrag jedes Pfades wird dabei mit der Wirkung des jeweiligen Pfades gewichtet. Je „weiter“ sich der Pfad von der klassischen Konfiguration entfernt, desto geringer wird sein Beitrag (denn desto größer ist die Wirkung und desto stärker die Dämpfung im Exponenten). Alle Pfade interferieren miteinander mit der o.g. komplexen Amplitude. Pfade mit kleinem S in der Nähe des oben berechneten klassischen Pfades dominieren, Pfade mit großen S sind dagegen unterdrückt, aber kein Pfad ist von vorneherein ausgeschlossen.

Zum Abschluss

Die Pfadintegralquantisierung geht auf Feynman zurück. Sie ist für die Quantenmechanik tatsächlich mathematisch zu der bekannten Schrödingergleichung äquivalent bzw. kann aus ihr abgeleitet werden und umgekehrt. Man benutzt die Formulierungen jeweils in Abhängigkeit davon, in welcher sich bestimmte Rechnungen einfacher durchführen lassen, allerdings kann man an jeder Stelle zwischen den beiden Formulierungen hin- und herwechseln.

Für die obige Ableitung benötigt man zunächst die kanonische Formulierung, d.h. man muss zunächst den Hamiltonoperator konstruieren. Dies ist oft äußerst kompliziert (ich habe oben alle diese Zwischenschritte weggelassen), so gelang in der QCD die Pfadintegralquantisierung Anfang der siebziger Jahre, die kanonische Quantisierung erst ca. 20 Jahre später! In allen Fällen, in denen beide Konstruktionen möglich waren, haben sich beide Formalismen als äquivalent erwiesen. Dies hat dazu geführt, dass man häufig auch ohne explizite Konstruktion des Hamiltonoperators direkt das Pfadintegral auf Basis der klassischen Wirkung S als Definition der quantisierten Theorie heranzieht.

Was ist die Schwierigkeit bei der Pfadintegralquantisierung von Eichfeldern? Generell die Tatsache, dass man sowohl über Eichfeldkonfigurationen integriert, die sich durch die Dynamik ergeben und somit physikalisch bedeutsam sind, als auch über Eichfelder, die sich aus einer Eichfeldkonfiguration durch Eichtransformation ergeben und nur eine Koordinatentransformation im Raum der Eichfelder darstellen. Man darf aber über jede physikalische Eichfeldkonfiguration A nur einmal integrieren, d.h. nicht über alle ihre „Kopien“ A(θª) aus Eichtransformationen g(θª).

Die Komplexität im Pfadintegral verbirgt sich in dem unscheinbaren Kürzel DA, dem sogenannten Maß. In der QM kann Dx eindeutig konstruiert werden, in Quantenfeldtheorien ist dies teilweise nicht eindeutig möglich! So ist z.B. die Quantisierung der QCD über das Maß DA im Raum aller Eichfelder extrem kompliziert und nur in der Störungstheorie bzw. in bestimmten Eichungen konsistent. Leider verliert man in diesen Eichungen den wesentlichen Vorteil, nämlich die explizit kovariante Formulierung der Theorie. In anderen Eichungen (die die Kovarianz sicherstellen) muss man dagegen sogenannte Fadeev-Popov-Geistfelder einführen; Grund ist, dass die Eichfixierung alleine eben nicht alle unphysikalischen Freiheitsgrade eliminiert. Stattdessen müssen die Geister (ebenfalls unphysikalische Felder) deren Beiträge aufheben. Dieser Mechanismus funktioniert jedoch nur störungstheoretisch, d.h. er gilt für A in der Umgebung von A°, jedoch nicht global.

Es bleibt also festzuhalten, dass die Pfadintegralquantisierung immer über eine kanonische Quantisierung abgesichert werden sollte.


7.2 Feynmandiagramme



7.3 Regularisierung und Renormierung

Zuletzt geändert von tomS am 22. Jun 2009, 20:54, insgesamt 3-mal geändert.
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Re: 7. Pfadintegrale , Feynmandiagramme und Renormierung

Beitrag von gravi » 17. Apr 2009, 19:28

Vielen Dank für diesen Beitrag!

Einiges ist mir nun klarer, vor allem der Begriff der Pfadintegrale, der mir zuvor zwar nicht unbekannt war, aber doch ein wenig schleierhaft.

Sorry, den letzten Absatz habe ich nicht verstanden, vor allem was sind Fadeev-Popov-Geistfelder. Vermutlich werde ich das aber wohl doch nicht verstehen, denn die ganze erforderliche Mathematik fehlt mir - leider.

Auf jeden Fall hast Du wieder eine beachtenswerte Leistung vollbracht. Wir sollten uns mal darüber unterhalten, wie wir nach Fertigstellung Deiner "Serie" diese in eine komplette, eigenständige Form bringen können.

Netten Gruß
gravi
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Re: 7. Pfadintegrale , Feynmandiagramme und Renormierung

Beitrag von tomS » 17. Apr 2009, 22:16

Die Fadeev-Popov-Geistfelder werde ich noch ausführlicher beschreiben. Das ist zu knapp geraten. Viel Mathematik werde ich dabei nicht benutzen, die diese ist wirklich eklig schwierig. Gib mir etwas Zeit ...
Gruß
Tom

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Re: 7. Pfadintegrale , Feynmandiagramme und Renormierung

Beitrag von gravi » 19. Apr 2009, 19:17

Gerne :D

Gruß
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Re: 7. Pfadintegrale , Feynmandiagramme und Renormierung

Beitrag von tomS » 19. Apr 2009, 21:34

ich muss das irgendwie an das Kapitel für Eichtheorien dranhängen, denn man benötigt beide Formalismen; ich bin am Nachdenken, wie ich das etwas einfache gestalten kann.

Frage: kennst du die Dirac'sche Delta-Funktion? die braucht man auch dazu ...
Gruß
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Re: 7. Pfadintegrale , Feynmandiagramme und Renormierung

Beitrag von gravi » 20. Apr 2009, 19:09

Kennst Du ein kurzes Fragewort mit zwei Buchstaben?
Ich schon: Hä? :wink:

Nein, die ist mir nicht geläufig. Oder ich habe sie schon mal irgendwo aufgeschnappt und wieder vergessen.
Könntest Du sie in diesem Zusammenhang nochmals kurz beschreiben? Das wäre nett!

Schönen Gruß
gravi
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Re: 7. Pfadintegrale , Feynmandiagramme und Renormierung

Beitrag von tomS » 20. Apr 2009, 21:05

Zu dumm - die brauche ich, um die Eichfixierung im Rahmen der Pfadintegralquantisierung durchzuführen. Ich kann viel Mathe weglassen, aber ganz ohne geht's nicht.

Ist euch eigentlich schon mal aufgefallen, dass ihr die spannendsten Fragen immer zu solchen Themen stellt, wo man ohne Mathe wirklich nicht weiterkommt? Ich schreibe mir hier die Finger wund, habe sicher 'zig Sachen nicht gut erklärt - und du fragst nach den Fadeev-Popov Geistern! Na gut, ich denk mir was aus ... :slow:
Gruß
Tom

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Re: 7. Pfadintegrale , Feynmandiagramme und Renormierung

Beitrag von Maclane » 20. Apr 2009, 21:35

:mrgreen:

Naja, wie oft hört man Physiker schon von "Geistern" erzählen? ;)
Da muss man doch neugierig werden. :wink:

Da fällt mir ein Zitat von Dieter Nuhr ein (zum Thema "Geist und Materie"):

".... Da sind unsere Wissenschaftler schon viel weiter. Die sagen: Geist? ... wissen wir nicht. Aber Materie gibt's auf keinen Fall...." :lol:

Gruß Mac
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Re: 7. Pfadintegrale , Feynmandiagramme und Renormierung

Beitrag von wilfried » 21. Apr 2009, 09:51

Tag zusammen

lieber Tom, auch diersmal ist es Dir wieder gelungen einen komplexen Zusammenhang gegliedert und verständlich darzustellen.

zu den Fadev-Popov Geistern:

diese haben wir schon mal angerissen, beileibe nicht durchgesprochen oder gar diskutiert. Das passierte hier:

viewtopic.php?f=6&t=944&start=0&hilit=Popov

Diesen link habe ich eingestellt, da das Thema ins summa so vielseistig ist und ihr damit einen kleinen "memo" Hinweis bekommt, um an "alte" Diskussionen anzuschließen.

Netten Gruß

Wilfried
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rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e

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Re: 7. Pfadintegrale , Feynmandiagramme und Renormierung

Beitrag von gravi » 21. Apr 2009, 19:40

@Tom:

Du kannst uns ruhig mit Mathe "zuballern" - das stört nun wirklich nicht. Wenn ich auch nicht immer alles verstehe oder nachvollziehen kann, ist doch auch mancher Formalismus hilfreich, um den nicht immer leicht zu begreifenden Tobak besser zu durchschauen. Also nur keine Hemmungen...und wenn ich den Garten fertig habe, kommen auch wieder Fragen zum einen oder anderen Punkt! :wink:

Schönen Gruß
gravi
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Re: 7. Pfadintegrale , Feynmandiagramme und Renormierung

Beitrag von tomS » 21. Apr 2009, 23:47

Ich habe ein neues Kapitel 16. Verschiedenes angefangen und dort begonnen, etwas über die Fadeev-Popov-Geister zu schreiben. Ist noch nicht abgeschlossen, aber der Zwischenstand taugt für weitere Diskussionen ...
Gruß
Tom

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Re: 7. Pfadintegrale , Feynmandiagramme und Renormierung

Beitrag von gravi » 22. Apr 2009, 19:48

Habe ich gerade gesehen. Das war eine gute Idee, in diesem Verzeichnis könnte man auf diverse Themen, die in den einzelnen Kapiteln evtl. nur angeschnitten werden, näher beleuchten. So wie die "Geister" - wenn ich auch nicht in jedem Punkt folgen kann...

Gruß
gravi
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Re: 7. Pfadintegrale , Feynmandiagramme und Renormierung

Beitrag von tomS » 22. Apr 2009, 19:55

Dann nachfragen - ich bin aber auch noch nicht so ganz glücklich. Es ist ja schon für ein ganz normales zweidimensionales Integral ein riesen Aufwand, und ein Geist hat auch noch gar nicht vorbeigeschaut ...
Gruß
Tom

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Re: 7. Pfadintegrale , Feynmandiagramme und Renormierung

Beitrag von gravi » 23. Apr 2009, 19:43

Na, warte mal ab, wenn ich wieder mehr Zeit habe... :wink:

Gruß
gravi
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