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12. Starke WW / QCD III

Übersichtsartikel zur Elementarteilchenphysik und zur Quantenfeldtheorie
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12. Starke WW / QCD III

Beitrag von tomS » 25. Mär 2009, 22:41

[anker]12[/anker]12. Starke WW / QCD III

Im Folgenden möchte ich einen speziellen Prozess – die sogenannte tiefinelastische Streuung von Elektronen an Protonen betrachten. Im eigentlichen Sinne streut dabei das Elektron über ein Photon als Austauschteilchen der el.-mag. WW an einem geladenen Quark.

Dabei kommen nun zwei Dinge zusammen: zum einen werden die Eigenschaften des Quarks im Proton (an dem das Elektron streut) durch die QCD bestimmt; zum anderen ist der Streuprozess selbst jedoch störungstheoretisch mittels der QED für asymptotisch freie Quarks beschreibbar; d.h. dieser Prozess „misst“ die komplexen Eigenschaften des Protons mittels eines „trivialen“ Prozesses aus der QED.

[anker]12-1[/anker]12.1 Tiefinelastische Streuung

Die Quarks sind ja als elementare Teilchen nicht direkt sichtbar. Streuexperimente bzw. Stoßprozesse an Quarks erfolgen insbs. über Streuung von Elektronen an den in einem Proton gebundenen Quarks. Tiefinelastisch bedeutet dabei, dass der der Energieübertrag vom Elektron auf das Quarks in gewissem Sinne „groß“ ist, und dass das Proton dabei nicht erhalten bleibt (bei einer elastischen Streuung bleibt die Identität der Stoßpartner bei der Streuung erhalten).

(Andere Experimente wären die Streuung von Elektronen an Neutronen, z.B. in einem Deuterium-Target, die Neutrinostreuung oder die Streuung an polarisierten Targets; darüber sind Messungen anderer Nukleoneigenschaften möglich, auf die ich hier jedoch nicht eingehen möchte)

Damit kommen wir zur eigentlichen Problematik der Verteilung der Quarks im Proton:
- aus wie vielen Quarks besteht ein Nukleon?
- welchen Bruchteil des Proton-Impulses trägt ein Quark?
- welchen Bruchteil des Proton-Spin trägt ein Quark?
- was ist der Anteil der reellen bzw. der virtuelle Quarks?
- was ist der Anteil der verschiedenen Flavors?
- was ist der Anteil der Gluonen

Im Folgenden soll betrachtet werden, welche Beiträge die einzelnen Quarks (und Gluonen) zur Struktur des Nukleons leisten. Dabei wird insbs. der Unterschied zwischen dem naiven Quarkmodell und der QCD (als Quantenfeldtheorie dynamischer Quarks- und Gluonfreiheitsgrade) klar.

[anker]12-2[/anker]12.2 Kinematik


Wir betrachten den Stoßprozess

e(k) + N(p) –› e(k’) + X(p, p, p, …)

Dabei bezeichnet e(k) das einfallende Elektron mit Viererimpuls k, e(k’) das auslaufende Elektron mit Viererimpuls k’, N(p) das Nukleon (Proton) an dem gestreut wird, und X einen hadronischen Endzustand, der im einfachsten Fall (der elastischen Streuung) wieder ein Nukleon mit Impuls p’ ist, der in unserem Fall aber meist aus beliebig vielen Hadronen bestehen wird. Uns interessiert nicht, was mit den Hadronen im Einzelnen passiert, sondern wir konzentrieren uns ausschließlich auf das gestreute Elektron e(k’). Nur dieses wird auch im Detektor gemessen und ausgewertet.

k, k’, p, q bezeichnen dabei Viererimpulse. Nun definieren wir folgende Variable

q = k – k’;
Q² = -q²
ν = pq/M
W² = (p+q)²

q ist der Viererimpulsübertrag des Elektrons.

(Das ausgetauschte Photon ist virtuell; man sieht hier sehr schön, dass das Viererimpulsquadrat q² nicht Null ist wie bei einem realen Photon; hier wäre q² = m² = 0)

Im Ruhesystem des Protons gilt (wer Lust hat mit Vierervektoren zu spielen: Rechnungen zur Übung)

ν = E – E’

der Energieverlust des Elektrons (wobei die Elektronmasse m vernachlässigt wird!)

q² = (k-k’)² = -4EE’ sin²θ/2
Q² = -q²

mit dem Streuwinkel θ des Elektrons

Nun führt man die dimensionslose Variable x ein:

x = Q² / 2Mν

x liegt im Bereich

0 ≤ x ≤ 1

Den Bereich der tiefinelastischen Streuung definiert man als den Limes

Q² −›∞; ν² −›∞
x = const.

Die physikalische Annahme ist nun, dass im Bereich der tiefinelastischen Streuung die asymptotische Freiheit der QCD gilt und man lediglich Korrekturen zum naiven Quarkmodell zu erwarten hat. Die führenden Beiträge sind dann jeweils die freien Feldoperatoren der QCD (die das naive Quarkmodell reproduzieren); die weiteren Beiträge sind Korrekturen der QCD.

[anker]12-3[/anker]12.3 Strukturfunktionen


Man betrachtet nun die Streuamplitude sowie den experimentell bestimmbaren differentiellen Streuquerschnitt. Der Streuquerschnitt ist ein Maß für die Reaktionsfläche des Nukleons, die das Elektron als „Querschnittsfläche“ beim Stoß „sieht“. Der differentielle Streuquerschnitt ist ein Maß der Reaktion der Streuung des Elektrons in einen Raumwinkel Ω(θ,φ) und in ein Energieintervall E hinein. Der totale Streuquerschnitt ist wiederum das Integral über alle Raumwinkel (über eine Kugeloberfläche) und alle Energien E des gestreuten Elektrons.

Für den differentiellen Streuquerschnitt gilt

d²σ / dΩ dE = α²(q²)/q (E’/E) w(k,k’) W(p,q)

α(q²) ist die (energieabhängige) starke Kopplungskonstante
w(k,k’) ist ein leptonischer Tensor zweiter Stufe, der nur von kinematischen Variablen abhängt
W(p,q) ist ein hadronischer Tensor zweiter Stufe, der die nichttrivialen Informationen bzgl. der Nukleonstruktur enthält.

Im Bereich der tiefinelastischen Streuung sollte die Streuung von der Reaktion eines einzelnen, quasi-freien Quarks mit dem Elektron dominiert sein; die nachfolgende (sehr komplizierte) Wechselwirkung des gestreuten Quarks im hadronischen Endzustand X sollte keine Rückwirkung auf den Streuwinkel des Elektrons mehr haben.

Für den hadronischen Tensor W(p,q) findet man eine kovariante Zerlegung, in der nur noch zwei skalare Funktionen F¹(x, Q²) und F(x, Q²) vorkommen. Die Tensorstruktur steckt dann ausschließlich in den kinematischen Variablen p und q. F¹(x, Q²) und F(x, Q²) heißen Strukturfunktionen, die die Informationen über die elektrische und magnetische Struktur der Nukleonen beinhalten, bzw. wie sich diese Struktur darstellt, wenn sie von einem Elektron mit Viererimpulsübertrag q = k - k’ „getestet“ wird. D.h. die Struktur des Nukleons erscheint abhängig davon, mit welchem Viererimpuls das Experiment durchgeführt wird.

Man interpretiert dabei x als den Bruchteil des Nukleonimpulses, den das streuende Quark trägt. Im naiven Quarkmodell mit drei Quarks je Nukleon erwartet man, dass die Strukturfunktionen einen scharfen Peak aufweisen:

F(x) ~ δ(x – 1/3)

D.h. auch, man vernachlässigt den transversalen Anteil des Quark-Impulses. Das physikalische Bild des Nukleons (in dem betrachteten Limes) ist also im Wesentlichen das einer Schar lose gekoppelter, sich parallel bewegender Quarks mit näherungsweise gleichem Impulsanteil x.

Als Spezialfall kann man die elastische Streuung betrachten, dass nämlich X wiederum ein Nukleon ist und das Streu-Target erhalten bleibt. Man findet dann, dass die Strukturfunktionen F¹(x, Q²) und F(x, Q²) die sogenannten Nukleon-Formfaktoren reproduzieren, die die el.-mag. Stromdichte im Impulsraum, sowie speziell für Q²=0 die elektrische Ladung sowie das magnetische Moment beschreiben (die Formfaktoren entsprechen bei geeigneter Wahl des Koordinatensystems den Fouriertransformierten der el.-mag. Stromdichten).

[anker]12-4[/anker]12.4 Ergebnisse zum Aufbau der Nukleonen

Zur Erinnerung: wir betrachten den tiefinelastischen Bereich

Q² −› ∞;ν² −› ∞
x = const.

Wir nehmen an, dass in diesem Bereich lediglich die Streuung eines Elektrons an einem quasi-freien Quark dominiert und dass die WW des gestreuten Quarks im hadronischen Endzustand X vernachlässigbar ist.

Bjorken-Scaling

Betrachtet man die Q²-Abhängigkeit dieser Strukturfunktionen, so beobachtet man für große Q², dass die Strukturfunktionen tatsächlich näherungsweise unabhängig von Q² werden, d.h.

F¹(x, Q²) −› F¹(x)
F(x, Q²) −› F²(x)

Damit sind die Strukturfunktionen in diesem Regime unabhängig von einer äußeren Massenskala; dieses Verhalten weist auf punktförmige Konstituenten hin, eben die Quarks. Man nennt dieses Verhalten Bjorken Scaling. (Oft werden die Quarks auch als Partonen bezeichnet. Der Begriff Quarks wurde von Gell-Mann und Zweig eingeführt; Bjorken bezeichnete die Konstituenten als Partonen)

Zur Erläuterung: für die elektromagnetischen Formfaktoren des Protons existiert eine Energieskala, die die entsprechenden Funktionen mitbestimmt. Dieser Energieskala entspricht eine Längenskala, die wiederum die „Größe“ des Protons bestimmt. Im Falle von punktförmigen Teilchen verschwinden diese Längenskala und damit die Energieskala. Dies entspricht der Unabhängigkeit von Q².

Callan-Gross-Beziehung für Spin ½

Zunächst folgt aus der Struktur des hadronischen Tensors eine Beziehung für die Strukturfunktionen in Abhängigkeit vom Spin der Quarks. Experimentell ist die Callan-Gross-Beziehung

2xF¹(x) = F(x)

gut erfüllt; aus ihr kann man ableiten, dass es sich bei den Quarks um Fermionen mit Spin ½ handelt.

Allgemeines zu den Strukturfunktionen

Zur Berechnung und Interpretation von F¹(x) und F(x) nimmt man an, dass die QCD zwar die Impuls- bzw. Energieverteilung des streuenden Quarks über die Strukturfunktionen bestimmt, man geht jedoch weiter davon aus, dass während der Streuung das Quark sich wie ein freies Teilchen verhält. Dies ist Ausdruck der asymptotischen Freiheit der Quarks für große Impulsüberträge Q². Damit ist der Streuprozess selbst störungstheoretisch beschreibbar und man erwartet, dass das Elektron direkt die beiden Funktionen F¹(x) und F(x) misst.

Tatsächlich funktioniert diese Interpretation hervorragend. Aus den so gewonnen Daten können F¹(x) und F(x) rekonstruiert und die Substruktur des Nukleons interpretiert werden. Zunächst überlegt man sich, wie F(x) und F(x) aussehen müssten, wenn tatsächlich das naive Quarkmodel mit drei punktförmigen Quarks realisiert wäre. Anschließend betrachtet man Korrekturen der QCD zum naiven Quarkmodell.

Summenregeln

Aus F¹(x) und F(x) können über bestimmte Modellannahmen die Strukturfunktionen direkt für die einzelnen Quarksorten abgeleitet werden. Außerdem kann man sogenannte Summenregeln ableiten, das sind Regeln, die den Wert bestimmter x-Integrale über F¹(x) und F(x) vorgeben. Einige dieser Summenregeln gelten auch in der QCD exakt, andere erfahren Korrekturen

Zunächst spaltet man die Strukturfunktion in einzelne Funktion je Flavor sowie nach Quarks a(x, Q²) und Antiquarks ā(x, Q²) auf. Es gilt

F²(x, Q²) = x * Summe über alle Flavor a[ a(x, Q²) + ā(x, Q²) ]

Als Beispiel für eine Summenregel betrachte man die Integrale für die Flavor-Quantenzahlen

I[a] = ∫dx [a(x- ā(x)]

für die Flavors a = u, d, s.

Aufgrund der Flavor-Quantenzahlen des Protons erwartet man

I = 2
I[d] = 1
I = 0

Diese Summenregeln für Gesamt-Isospin und Gesamt-Strangeness entsprechen (nach Skalierung mit 1/3) exakt dem naiven Quarkmodell |Proton) = |uud) mit T³ = ½, S=0 und müssen exakt erfüllt sein.

Sea-Quarks

Nimmt man nun zunächst an, das Proton bestünde aus drei nicht wechselwirkenden Quarks, so wäre

F(x) ~ δ(x – 1/3)

Im Falle von rein gluonisch gebunden Quarks erwartet man eine Verbreiterung dieser Funktion um den Wert 1/3, allerdings mit

F(0) = F(1) = 0

Entgegen diesem naiven Modell stellt man jedoch fest, dass auch Quarks mit x ~ 0 einen wesentlichen Beitrag zu den Strukturfunktionen leisten, d.h.

F(0) ≠ 0

xF(x) hat auch weiterhin einen Peak bei x ~ 1/3.

D.h. die Quarks können sicher nicht als näherungsweise freie Quarks betrachtet werden, wie man sie aus dem naiven Quarkmodell erwartet. Stattdessen tragen auch sogenannte virtuelle oder Sea-Quarks bei. Diese Quark-See ist ein Effekt des QCD-Vakuums, d.h. bereits im Vakuum sind virtuelle Quark-Antiquark-Paare vorhanden, die im Rahmen der tiefinelastischen Streuung „sichtbar“ werden. Für kleine x ~ 0 dominieren diese Sea-Quark Effekte sogar und tragen auch messbar zu Summenregeln bei.

Man stellt außerdem fest, dass zu diesen Sea-Quarks auch s- und anti-s Quarks einen nicht zu vernachlässigenden Beitrag leisten (die s-Quarks kommen im naiven Quarkmodell gemäß Strangeness S = 0 im Nukleon nicht vor)

Im naiven Quarkmodell erwartet man außerdem, dass nur u- und d-Quarks zur elektrischen Ladung (Proton: Q=1, Neutron: Q=0) beitragen; in der QCD stellt man fest, dass auch die entsprechenden Antiquarks sowie die s- und anti-s-Quarks wesentlich sind.

Die Annahme, dass die Sea-Quarks bzgl. u und d symmetrisch wären, erfährt eine leichte Korrektur. Die Annahme, dass s-Quarks keinen Beitrag leisten, wird in der QCD korrigiert; die s-Quarks sind dabei natürlich reine Sea-Quarks.

Zuletzt betrachtet man noch weitere Feinheiten der Nukleonstruktur, die bisher vernachlässigt wurden.

Gluonen

Zum einen haben wir angenommen, dass das Nukleon eine reine Quark-Struktur hat, d.h. wir haben Strukturfunktionen für die Gluonen vernachlässigt (die Elektronen koppeln auch nur direkt an die Quarks, da die Gluonen ja elektrisch neutral sind. Die Summenregeln für den Quark- bzw. Nukleon-Impuls erfahren tatsächlich eine deutliche Korrektur: Für den Gesamtanteil am Impuls des Protons für eine bestimmte Quarksorte gilt

I[a] = ∫dx x a(x) = 0.54

a steht dabei für den jeweils an einem Streuprozess beteiligten Flavor. Daraus folgert man

I[g] = 1 - I[a] = ∫dx x g(x) = 0.46

Tatsächlich werden also gemäß der QCD nur ca. 50% des Nukleon-Impulses durch die Quarks getragen; mit anderen Worten: die Gluonen tragen ebenfalls ca. zu 50% bei.

Spin-Struktur

Zum zweiten haben wir bisher nur unpolarisierte Elektronen und Nukleon-Targets betrachtet, d.h. die Spinrichtung war nicht fixiert. Daher konnten keine Spin-Strukturfunktionen vermessen und die Frage nach den Beiträgen der Quarks und Gluonen zum Spin des Nukleons nicht beantwortet werden. In den 90iger Jahren machte das Wort von der Spinkrise die Runde. Hintergrund war die Tatsache, dass die naiven Modelle, nach denen die Quarkspins direkt zum Nukleonspin ½ koppeln, offensichtlich falsch waren. In der Praxis war der direkte Beitrag der gekoppelten Quarkspins praktisch Null. Auch die Gluonspins trugen praktisch nichts zum Nukleonspin bei.

Erst in den letzten Jahren wurde festgestellt, dass der wesentliche Anteil zum Nukleonspin aus dem Bahndrehimpuls der Quarks im Nukleon stammt.

Scaling Violatations

Ein letzter Punkt sind die sogenannten Scaling Violations in den Strukturfunktionen. Das Scaling gilt tatsächlich auch für große Q² nur näherungsweise. In der Praxis beobachtet man eine schwache logarithmische Abhängigkeit der Strukturfunktionen von Q². Hintergrund sind zum einen logarithmische Korrekturen der starken Kopplungskonstanten α(Q²), sowie auch im Limes Q² −›∞ nicht vernachlässigbare Korrekturen durch komplexer Streuprozesse.

Mit anderen Worten heißt das, dass es mit höherem Q² scheint, dass der Protonimpuls auf mehr Partonen verteilt ist. Man hat also bei großem Q² eine höhere Chance, ein Quark mit kleinem x zu finden. Umgekehrt sinkt die Chance ein Quark mit großem Impuls x ~ 1 im Proton zu finden, denn Quarks mit hohem Impuls haben eine größere Chance, einen Teil ihres Impulses an die Gluonen im Proton abzugeben.

Ausblick

Es gibt Modelle, wie diese schwache Q²-Abhängigkeit zum einen über Korrekturterme der QCD als Störung behandelt werden kann, und wie für eine Strukturfunktion F(x, Q²) für Q² eine Evolution zu einem anderen Wert Q’² möglich ist. Diese Modelle beruhen auf mathematischen Mechanismen der QCD und zeigen eine hervorragende Genauigkeit sowie exzellente Übereinstimmung mit dem Experiment.

Als Beispiel seien die DGLAP (Dokhshitzer, Gribov, Lipatov, Altarelli und Parisi) Gleichungen genannt. Zunächst spaltet man die Strukturfunktion in einzelne Funktion je Flavor sowie nach Quarks a(x, Q²) und Antiquarks ā(x, Q²) auf. Es gilt

F²(x, Q²) = x * Summe über alle Flavor a[ a(x, Q²) + ā(x, Q²) ]

Außerdem führt man die bisher noch nicht betrachtete Strukturfunktion g(x, Q²) für die Gluonen ein.

Die Q²-Abhängigkeit der Kopplungskonstante ist

α(Q²) = 12π / [(11n-2f) ln(Q² / Λ²)]

Dann betrachtet man die Splittingfunktionen P(z). Diese bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass ein Quark aus a(x) durch Wechselwirkung im Nukleon ein Gluon abstrahlt. D.h. man hat eine gewisse Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich ein Quark mit Impulsbruchteil x als Quark-Gluon zeigt, wobei das Quark den Impulsbruchteil y (von x) trägt. Effektiv bedeutet dies, dass ein Quark nie nur ein elementares Teilchen ist, sondern dass es immer auch virtuell als Quark-Gluon-Paar auftreten kann.

Eine analoge Betrachtung kann man auch für die Gluonen selbst durchführen.

Für P(z) findet man eine einfache rationale Funktion

P(z) = 4/3 (1+z²) / (1-z²)

P(z) gibt also die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Quark ein Gluon emittiert,
und somit seinen Impuls um den Anteil z reduziert.

Für die Splittingfunktion P’(z) des Gluons gilt

P’(z) = P(1-z)

Es ist im Folgenden über alle Impulsbruchteile x zu integrieren. Außerdem kann aus kinematischen Gründen natürlich nur ein z beitragen, wenn für

z = x/y

gilt:

y ≥ x
z ≤ 1

Nur dann ist das Splitting kinematisch erlaubt: das aufzusplittende Quarks trägt eine größeren Impuls als das Quarks im Quark-Gluon Paar.

Damit gilt mit x ≤ y ≤ 1

Q² ∂a(x,Q²) / ∂Q² = α(Q²) / 2π ∫ dy/y [ a(y,Q²) P(x/y) + g(y,Q²) P(1-x/y) ]

Diese Integro-Differentialgleichung besagt, dass die Zahl der Quarks mit Impuls x durch die Gluon-Abstrahlung der Quarks mit Impuls y bestimmt wird. Oder anders, ein Quark mit Impuls x kann durch ein Quark mit Impuls y entstanden sein, das ein Gluon abstrahlte. Die Gleichung beschreibt aufgrund des rein störungstheoretischen Splittings für einzelne Quarks sowie den Strukturfunktionen a(x,Q²) und g(x,Q²) die Evolution zu einem benachbarten Q² Wert. Eine analoge Gleichung gilt für die Antiquarks ā(x,Q²) sowie die Gluonen g(x,Q²).

Man beachte, dass über dy/y der Bereich für y ~ 0 in a(y, Q²) verstärkt wird, d.h. dass für diese Evolution erwartungsgemäß die Sea-Quarks nicht vernachlässigbar sind.

Ergebnisse:
Bei konstantem x ≥ 0.2 nimmt F²(x, Q²) mit wachsendem Q² ab. Aufgrund der Gluonabstrahlung findet man mit wachsendem Q² weniger Quarks mit großem Impulsbruchteil und mehr mit kleinem Impulsbruchteil im Nukleon vor.

Bei konstantem x ≤ 0.2 nimmt F²(x, Q²) mit wachsendem Q² zu. Die Gluonen tragen nur kleine Bruchteile des Nukleonimpulses,

Aufgrund der Quark-Antiquark-Paarerzeugung findet man mit wachsendem Q² (entsprechend höherem „Auflösungsvermögen“) mehr Quarks und Antiquarks mit kleinem Impulsbruchteil.
Mit Hilfe der DGLAP-Gleichungen kann die Gluonverteilung g(x, Q²) aus den gemessenen Strukturfunktionen F²(x, Q²) extrahiert werden.
Zuletzt geändert von tomS am 23. Jul 2009, 23:50, insgesamt 4-mal geändert.
Gruß
Tom

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Re: 12. Starke WW / QCD III

Beitrag von gravi » 28. Mär 2009, 19:33

Ich befürchte, nicht mal die Hälfte verstanden zu haben :wink:
Dennoch wieder einmal Hut ab vor Deiner Leistung!

Ein kleiner Hinweis:
Wäre es möglich, Ausdrücke wie z.B.
Q² ?› ?;?² ?› ?
in etwas größerer Schrift darzustellen? In meinem Alter sieht man nicht mehr so gut :oops:

Danke und netten Gruß
gravi
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Re: 12. Starke WW / QCD III

Beitrag von tomS » 28. Mär 2009, 20:00

Wie soll ich das größer schreiben? Meinst du einfach mittels der Schriftgröße?

Tja, ich habe das ganze ja erstmal offline in Word geschrieben, ohne irgendwelche Formatierungen. Abschließend wollte ich dann eine komplette Zusammenfassung als PDF mittels TeX erstellen. Sorry für die kleine Schrift - war nur aus Faulheit, weil ich eben nicht ständig nachformatieren wollte.

Frage: was verstehst du denn nicht? an welche Stellen müsste ich denn etwas ausführlicher werden? es soll ja nicht so sein, dass hier jeder nur "Bahnhof versteht". Zumindest zum Fragen und Diskutieren anregen sollen die Beiträge ja schon.
Gruß
Tom

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Re: 12. Starke WW / QCD III

Beitrag von gravi » 28. Mär 2009, 20:14

Was ich z.B. nicht verstehe
der Energieverlust des Elektrons (wobei die Elektronmasse m vernachlässigt wird!)

q² = (k-k’)² = -4EE’ sin²?/2
Q² = -q²

mit dem Streuwinkel ? des Elektrons

Nun führt man die dimensionslose Variable x ein:

x = Q² / 2M?

x liegt im Bereich

0 ? x ? 1
Du berechnest den Energieverlust des Elektrons beim Stoß. O.K. Aber wie kommst Du zu dem Ausdruck q² = (k-k’)² = -4EE’ sin²?/2, und wozu dient die Variable x?
Verstehe ich nicht so ganz...hab bestimmt noch ein paar andere Fragen :roll:

Gruß
gravi
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Re: 12. Starke WW / QCD III

Beitrag von tomS » 29. Mär 2009, 19:10

Zunächst definiere ich

q = k - k'
q² = (k - k')²

k und k' sind die Vierer-Impulse des Elektrons vor bzw. nach dem Stoß, d.h. q ist der Vierer-Impuls des Photons, das zwischen dem Elektron und dem Quark ausgetauscht wird. Dabei wird eigentlich nur die relativistische Kinematik für Vierer-Impulse verwendet. q² ist dabei ein Maß für "Inelastizität"; es gilt ja

q² = m²

aber für reelle Photonen ist m² = 0. D.h. je höher die "Inelastizität" desto weiter ist das Photon "von seiner Massenschale" m² = 0 entfernt.

Die Größe x bezeichnet im Elektron-Proton Schwerpunktsystem den Bruchteil x des Protonimpulses p(P), der vom Quark vor der Streuung getragen wird, d.h.

p(q) = x p(P)

Man betrachte dabei zunächst das Proton als "Strahl aus drei freien Quarks". Damit wäre ja x = 1/3, gleiche Quarkmasse m(q) für die drei Quarks vorausgesetzt. Die Dynamik der QCD zeigt sich nun darin, wie die Quarks im Proton gebunden sind und welche unterschiedlichen Impulsbruchteile sie tragen. D.h. dass sich eine Verteilung der Quarkimpulse mit Werten abweichend von x = 1/3 ergeben wird. Siehe dazu die später eingeführten Strukturfunktionen.
Gruß
Tom

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Re: 12. Starke WW / QCD III

Beitrag von tomS » 30. Mär 2009, 07:50

Eine Rechnung bin ich noch schuldig:



Die ersten beiden Terme liefern das Quadrat der Ruhemasse:



also



Nun setzen wir für die Vierevektoren ein



Ausmultiplizieren ergibt



Der Cosinus entsteht dabei aus dem Skalarprodukt der räumlichen Impulse, d.h. hier tritt der Streuwinkeln zwischen einlaufendem und auslaufendem Elektron auf.

Nun setzt man noch



Im Folgenden setzt man alle Terme mit m=0, d.h. man betrachtet die Näherung m/E viel kleiner 1. Damit bleiben nur noch folgende Terme übrig:



Mittels einer Identität für die Winkelfunktionen kann man noch umformen und erhält schließlich

Gruß
Tom

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Re: 12. Starke WW / QCD III

Beitrag von gravi » 30. Mär 2009, 19:53

Danke für die Erläuterungen!
Ich habe noch eine Frage:
Ich las irgendwo, dass Quarks und Gluonen nicht streng voneinander getrennt im Teilchen (z.B. Proton oder Neutron) vorliegen, sondern dass sie ständig ineinander übergehen. Könntest Du dazu noch etwas anmerken?

Dann noch zu den Sea- Quarks. Du schreibst sie kommen bereits als Quark- Antiquarkpaare im Vakuum vor. Wo bleiben denn da die Gluonen? Liegen die dort auch als virtuelle Pärchen vor?

Gruß
gravi
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Re: 12. Starke WW / QCD III

Beitrag von tomS » 30. Mär 2009, 21:17

Zum besseren Verständnis wären ein paar Feynmandiagramme nicht schlecht - die ich noch nicht zusammengestellt habe - sorry.

Im Vakuum kann aus dem Vakuum spontan ein Quark-Antiquark-Paar entstehen, das dann wieder in das Vakuum übergeht. Außerdem kann genauso das Vakuum in ein Gluon-Paar übergehen, das dann wiederum ins Vakuum übergeht. Diese Vakuumfluktuationen des Gluonfeldes führen zu den Effekten, die für das Confinement verantwortlich sind.

Zwischen den Quarks und Antiquarks aus dem Vakuum können natürlich auch Gluonen ausgetauscht werden, genausso wie zwischen den Quarks im Proton. Es ist so, dass man mittels x und q² quasi steuert, wie genau man hinschaut. Je genauer, desto tiefer schaut man in diese Fluktuationen hinein, desto mehr dominieren die virtuellen Teilchen.
Zuletzt geändert von tomS am 31. Mär 2009, 19:59, insgesamt 1-mal geändert.
Gruß
Tom

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Re: 12. Starke WW / QCD III

Beitrag von gravi » 31. Mär 2009, 19:18

Aha, dann habe ich ja doch etwas verstanden (bzw. gelernt) :D

Danke!

gruß
gravi
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Re: 12. Starke WW / QCD III

Beitrag von tomS » 31. Mär 2009, 20:32

Eines sollte ich vielleicht noch anmerken. Es gibt die (virtuellen) Sea-Quarks sowie die virtuellen Gluonen sowohl im QCD-Vakuum als auch in den Hadronen. Sie tragen wesentlich zu den Hadron-Eigenschaften bei. Man kann sie sich auch mittels der Feynmandiagramme veranschaulichen, muss dabei jedoch immer Folgendes berücksichtigen:

- die Feynmandiagramme sind eine graphische Veranschaulichung der sogenannten Störungstheorie
- über die Störunsgtheorie sind Korrekturen zur Q²-Abhängigkeit in F(x, Q²) berechenbar
- die Strukturfunktionen F(x) selbst werden durch nicht-störungstheoretische Effekte bestimmt!

D.h. dass die Störungstheorie selbst viele Aspekte der QCD nicht beschreiben kann. Die Ursache dafür zeigt sich bereits, wenn man die laufende Kopplungskonstante ?(Q²) betrachtet, die man ja aus der Störungstheorie ableitet:

?(Q²) = 12? / [(11n-2f) ln(Q² / ?²)]

Sie ist offensichtlich für Q² = ?² singulär, d.h. die Störungstheorie bricht spätestens dort zusammen.

Das ist ungefähr so, wie wenn man die Funktion 1/x in eine Taylorreihe entwickeln möchte. in der Nähe der Singularität von 1/x, d.h.bei x=0, ist dies einfach nicht möglich. Auch in der QCD spielen Effekte eine Rolle, die sich wie 1/?² verhalten und daher eine Entwicklung in ? verbieten!
Gruß
Tom

«while I subscribe to the "Many Worlds" theory which posits the existence of an infinite number of Toms in an infinite number of universes, I assure you that in none of them am I dancing»

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