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11. Starke WW / QCD II

Übersichtsartikel zur Elementarteilchenphysik und zur Quantenfeldtheorie
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11. Starke WW / QCD II

Beitrag von tomS » 23. Mär 2009, 13:27

[anker]11[/anker]11. Starke WW / QCD II

Im letzten Kapitel habe ich die Anfänge der QCD, das Quarkmodell, geschildert. Im Folgenden möchte ich nun die volle Theorie der QCD vorstellen. Sie ist ein wesentlicher Baustein des Standardmodells, eine der heute am besten verstandenen Wechselwirkungen. Sie enthält aber auch eines der größten wissenschaftlichen Rätsel, nämlich das sogenannte Quark- oder Color-Confinement, die Tatsache, dass Quarks und andere Farbladungsträger nicht als freie bzw. isolierte Teilchen in Erscheinung treten.

[anker]11-1[/anker]11.1 Symmetrien der QCD

Die folgenden Punkte sind im Grunde vollständig durch vorherige Kapitel abgedeckt; sie sollen hier jedoch speziell im Kontext der QCD betrachtet werden.

Die Struktur der QCD-Symmetrien ist relativ komplex. Zum einen hat man eine globale SU(f) Flavor-Symmetrie. Wie wir oben gesehen haben, hat man für f=2 und f=3 eine gute Symmetrie, für f größer 3 wird die Symmetrie aufgrund der größeren Quarkmassen dagegen schlechter. Zum anderen hat man die lokale SU(3) Color-Symmetrie, die strukturell einer Eichtheorie aus Kapitel 9 entspricht.

Häufig arbeitet man mit einem vereinfachten Modell, in dem Quarkmassen m(q) identisch Null gesetzt werden; für leichte Hadronen mit ausschließlich u-, d- und s-Quarks ist das eine recht gute Näherung. In diesem Fall m(q) = 0 ist die Flavor-Symmetrie exakt. Tatsächlich wird die Symmetrie dann sogar ausgeweitet! Man kann im Falle verschwindender Quarkmassen die Quark-Spinoren in rechts- und linkshändige Spinoren zerlegen (d.h. zwei Projektionsoperatoren P¹ und P² anwenden)

ψ¹(x) = P¹ ψ(x)
ψ²(x) = P² ψ(x)

ψ¹ + ψ² = ψ

und diese beiden Spinoren unabhängig voneinander rotieren.

U¹ = exp iρªtª
U² = exp iλªtª

Ψ¹’(x) = U¹ Ψ¹(x)
Ψ²’(x) = U² Ψ¹(x)

Dabei sind ρª und λª die „Drehwinkel“ der beiden chiralen Drehgruppen.


Diese sogenannte chirale Symmetrie wird durch die Gruppe

U¹(f) * U²(f)

realisiert, wobei jedes U eine Chiralität (Händigkeit) rotiert. In U(f) ist die ursprüngliche SU(f) als

U(f) = U(1) * SU(f)

enthalten.

In der Realität wird diese chirale Symmetrie jedoch auf zweierlei Weise gebrochen: Zum einen explizit durch die Massenterme für die Quarks (für die leichten Quarks allerdings nur schwach), zum anderen durch eine dynamische Symmetriebrechung, die ähnlich wie beim Higgs zu einem Feld mit nichtverschwindendem Vakuumerwartungswert führt. Im Falle der chiralen Symmetrie ist dies das sogenannte Quark-Kondensat. Dazu später mehr.

Die SU(3) Color-Symmetrie ist eine lokale Eichsymmetrie. Wie wir oben gesehen haben, resultiert aus dieser Symmetrie ein Constraint, d.h. eine zeitunabhängige Bedingung

Ĝª(x) |phys) = 0

der die lokale Eichinvarianz garantiert.

Durch Integration erhält man daraus die Gesamt-Farbladung mit einem Quark-und einem Gluon-Anteil:

Qª = ∫d³x Ĝª(x)

Qª |phys) = 0

D.h. dass alle physikalischen Zustände bzgl. der SU(3) farbneutral, d.h. Farbsinguletts sein müssen. Diese Symmetrie ist außerdem eine exakte Symmetrie des Hamiltonoperators.

[Ĥ, Qª] = 0

D.h. dass Ĥ ein Singulett unter SU(3)-Color Transformation ist, dass alle Eigenzustände von ? ebenfalls Singulettzustände sein müssen und dass diese Eigenschaften unter Zeitentwicklung erhalten bleiben. Außerdem ist diese Eichsymmetrie weder spontan (durch ein Higgs) noch anderweitig gebrochen.

An dieser Stelle eine Anmerkung zum Unterschied zwischen der Forderung nach Farbneutralität Qª(x) |phys) = 0 und Color-Confinement: Farbneutralität (Color-Neutrality) lässt auch Zustände zu, bei denen sich isolierte Farbladungen gegenseitig aufheben, in denen also Quarks und Antiquarks frei sind und sich ihre Ladungen nur in Summe gegenseitig aufheben. Color-Confinement dagegen bedeutet, dass sich die Farbladungen eben nicht weit voneinander entfernen können und nicht isoliert auftreten. Color-Confinement ist also die wesentlich stärkere Forderung (Neutralität gilt auch in der QED für die elektrische Gesamtladung)

[anker]11-2[/anker]11.2 Asymptotische Freiheit, laufende Kopplungskonstante

Die QCD ist eine im Vergleich zum Elektromagnetismus sehr starke Wechselwirkung. Dies zeigt sich zum einen an der starken Bindung der Quarks in Nukleonen, bei der Bindungsenergien im Bereich einiger 100 MeV liegen (während im Vergleich dazu die Bindungsenergien der el.-mag. WW z.B. in Atomen eher im eV Bereich liegen, also um einen Faktor 100 Mio. kleiner sind!).

Daher ist es erstaunlich, dass die QCD für hohe Energien schwächer wird, so dass man von der sogenannten asymptotischen Freiheit spricht. Tatsächlich kann man für extrem hohe Energien (z.B. Stöße hochenergetischer Elektronen an Protonen) die Wechselwirkung der Quarks untereinander in gewisser Weise vernachlässigen; das Elektron streut dann quasi an einem freien Quark. Diese Eigenschaft haben übrigens mathematisch beweisbar alle SU(N) Eichtheorien, nicht so jedoch eine U(1) Eichtheorie wie die QED.

Man kann sich die Bewegung von Quarks vorstellen wie die Bewegung von aneinander geketteten Sklaven. Für kleine Abstände (= hohe Energien) bewegen sie sich frei, erst bei größeren Entfernungen (= niedrigen Energien) machen sich die Ketten bemerkbar.

Die asymptotische Freiheit kann mathematisch über die Renormierungsgruppengleichung begründet werden. Die Kopplungskonstante α(Q²) beschreibt dabei so etwas wie die Stärke der Wechselwirkung; in der QED tritt hier die Feinstrukturkonstante bzw. die elektrische Elementarladung e auf.

α(Q²) = 12π / [(11n-2f) ln(Q² / Λ²)]

In dieser Gleichung bezeichnet Λ eine typische QCD-Energieskala, Q die Energieskala eines Prozesses, z.B. die Schwerpunktsenergie eines Stoßexperimentes, und n bzw. f die Anzahl der Farben bzw. Flavors.


Die Renormierungsgruppengleichung beschreibt dabei, wie sich die Stärke der Wechselwirkung in Abhängigkeit von der betrachtet Energie- bzw. Längenskala ändert. Die explizite Form für α(Q²) ist eine Näherungslösung der Renormierungsgruppengleichung für nicht zu kleine Q². Interessanterweise ist die Renormierung also nicht nur ein Trick, um die lästigen Unendlichkeiten loszuwerden, sondern auch ein physikalisch reales Phänomen, das die Abhängigkeit einer Theorie von der jeweils betrachteten Energieskala beschreibt.

Die Interpretation dieser Formel ist wie folgt: Anstelle einer echten Kopplungskonstanten ? ist die Kopplungskonstante α(Q²) in einer Eichtheorie eine energieabhängige Größe. Ursache dafür ist, dass sich je nach Energie- bzw. Entfernungsskala die wechselwirkenden Objekte unterschiedlich darstellen. Bereits im Quarkmodell haben wir gesehen, dass die Definition der Quarkmassen nicht einfach ist. Zunächst erscheint die Quarkmasse einfach ein gewisser Bruchteil der Hadronmasse zu sein; Nukleon: 3 Quarks, d.h. m(q) = m(N) / 3). Aber so einfach ist das nicht, denn wenn man höhere Energien aufwendet, dann stößt man gewissermaßen näher zum „nackten“ Quark vor, man sieht nicht mehr ein Quark eingehüllt in eine Wolke stark wechselwirkender, virtueller Quarks, Antiquarks und Gluonen, sondern vielmehr das elementare Quark selbst. Und dieses elementare oder nackte Quark scheint nach dieser Formel wesentlich schwächer wechselzuwirken, so dass man im Grenzfall unendlich großer Energien Q² tatsächlich extrem leichte, freie Quarks beobachtet.

Interessanterweise tritt hier eine neue Größe ? auf, eine Energieskala, die beschreibt, bis zu welcher Energie die QCD störungstheoretisch als schwach wechselwirkend angesetzt werden darf. Bei Q² = ?² divergiert die Kopplungskonstante α(Q²), d.h. die asymptotische Freiheit gilt sicher erst für wesentlich größere Energien.

Alleine die Existenz von Λ ist bemerkenswert, denn die Grundgleichungen der QCD enthalten keine fundamentale Längen- oder Energieskala; die klassischen Gleichungen der QCD sind skaleninvariant. Damit wäre es aber nicht möglich, dass überhaupt Hadronen auf einer bestimmten Energieskala bzw. mit einer bestimmten Abmessung existieren. Alle Skalen wären gleichberechtigt und man müsste davon ausgehen, dass Protonen oder Neutronen mit Radien von einigen Metern gleichberechtigt zu den mikroskopischen Teilchen existieren. Im Rahmen der Quantisierung und Renormierung stellt man aber fest, dass die Theorie zur Einführung einer fundamentalen Energieskala zwingt, die dann experimentell zu bestimmen ist. Diesen Mechanismus nennt man konforme Symmetriebrechung (die Symmetrie der Skaleninvarianz wird mathematisch als konforme Symmetrie bezeichnet)

In diesem Sinne ist Λ der einzige freie, durch das Experiment zu bestimmende Parameter der QCD. Ihr Wert beträgt Λ ca. 217 MeV, d.h. dies ist die „typische“ Energieskala der QCD. Tatsächlich bewegen sich die Effekte der QCD praktisch alle in diesem Energiebereich. (die Masse der Quarks selbst ist teilweise erheblich größer, doch diese werden nicht durch die QCD sondern durch die Kopplung an das Higgs-Teilchen festgelegt)

Die Formel zeigt außerdem, dass die QCD nur für

11n – 2f > 0

asymptotisch frei ist.

Mit n=3 erhält man

33 – 2f > 0

d.h. die QCD ist mit f=6 deutlich im asymptotisch freien Bereich. Da die Zahl der Flavors theoretisch nicht beschränkt ist, ist die Abschätzung interessant, wie viele maximal zulässig wären, d.h.

f < 33/2

Es gibt jedoch besserer (kleinere) experimentelle Grenzen; jedenfalls geht man heute davon aus, dass tatsächlich f=3 der korrekte Wert für die Anzahl der Flavors ist.

Die Stärke der QCD-WW ist auch die Ursache für die Schwierigkeiten, exakte Berechnungen durchzuführen. Für große Q² ist die Kopplungskonstante α(Q²) klein und man kann Störungstheorie betreiben, d.h. man erhält gute Ergebnisse aus einigen wenigen Feynmandiagrammen für α, α² und ggf. α³. In dieses Regime fallen Hochenergiestreuexperimente, auf die ich weiter unten eingehen werde. Für kleine Q² ist die Kopplungskonstante α(Q²) dagegen groß, und man müsste unendlich viele Feynmandiagramme berechnen und aufsummieren. Dies ist jedoch unmöglich. Außerdem zeigt die Funktion für α(Q²) an, dass diese Näherung in der Nähe von Q² = Λ² grundsätzlich versagt, da α(Q²) dort singulär wird: diese Singularität ist natürlich unphysikalisch, sie besagt lediglich, dass die oben gewählte Näherung hier ungültig wird.

[anker]11-3[/anker]11.3 Confinement

Zunächst wird Color-Confinement als nicht-Existenz von isolierten Farbladungen (nicht-Color Singuletts) definiert, d.h. es gibt kein Analogon zu freien elektrischen Ladungen (z.B. Elektronen, Positronen, …) bzw. zu deren Produktion (z.B. Produktion von Elektron-Positron-Paaren oder Ionisierung). Statt einer Ionisierung erfolgt Hadronisierung, d.h. beim Versuch der Erzeugung von isolierten Farbladungen entstehen Schauer von farbneutralen Hadronen. Außerdem gibt es indirekte Hinweise auf das Color-Confinement, das sich aus den Spektren der stabilen bzw. meta-stabilen Zustände der QCD ableiten lässt.

Das Problem ist also, mathematisch zu beweisen, dass (im Grenzfall schwerer Quarks) die Energie zur räumlichen Trennung eines Quark-Antiquarks-Paares für große Entfernung L mit σL skaliert. Damit wäre eine räumliche Trennung des Quark-Antiquarks-Paares mit einer extrem hohen (im Grenzfall unendlich großen) Energie verbunden. Ganz anders im Falle der QED: die typische Ionisierungsenergie liegt im Bereich weniger eV und kommt in jeder Leuchtstoffröhre vor.
σ = σ(N) ist dabei eine Konstante, die i.A. von der Details der SU(N) abhängt (auf die ich hier nicht näher eingehe).


Leider sind diese Phänomene – obwohl sowohl theoretische Ansätze als auch numerische Evidenz aus Computersimulationen existieren – im Grunde noch nicht befriedigend verstanden.

Chromo-elektrischer Meissner-Effekts
Einer der ersten Versuche, das Phänomen des Confinements zu erklären, war die Idee, dass Quarks über Flussschläuche des Gluonfeldes aneinander gebunden sind.

Grundlage für das Verständnis dieses sogenannten chromo-elektrischen oder dualen Meissner-Effekts ist die Supraleitung (dabei handelt es sich um einen Zustand, in dem innerhalb eines Festkörpers elektrische Ströme verlustfrei fließen können; auf die Ursache will ich hier nicht näher eingehen). In diesem Zustand hat der Festkörper weitere ungewöhnliche Eigenschaften, u.a. werden magnetische Feldlinien aus dem Inneren des Festkörpers verdrängt, d.h. er verhält sich wie ein perfekter Diamagnet. Man nennt dies den Meissner- oder auch Meissner-Ochsenfeld-Effekt. Die theoretische jedoch nur makroskopische Beschreibung im Rahmen der klass. El.-Dyn. liefern die London-Gleichungen.

In der QCD kann man nun das Farbfeld der Gluonen ebenfalls in "elektrische" und "magnetische" Komponenten zerlegen. Die Felder verhalten sich im Detail anders, sie tragen nämlich selbst Farbladungen, jedoch sind die Eigenschaften bzgl. Lorentztransformation identisch zum elektromagnetischen Feld. Es zeigt sich, dass die "abelschen" Komponenten des "chromo-elektrischen" Feldes dominieren, d.h. die Struktur ist sehr ähnlich zur QED mit einer abelschen Eichsymmetrie U(1).

Wer das Kapitel 9 aufmerksam gelesen hat, wird sich evtl. noch an die Struktur des Hamiltonoperators erinnern; dort sind sogenannte abelsche Zero-Modes aufgetreten, d.h. man kennt bereits eine mathematische Herleitung dieser Reduzierung SU(N) nach U(1).

Das Vakuum der QCD verhält sich nun bzgl. dieses chromo-elektrischen Feldes ähnlich wie ein Supraleiter bzgl. des gewöhnlichen Magnetfeldes, d.h. das QCD-Vakuum verdrängt die chromo-elektrischen Feldlinien, was aufgrund des Meissner-Effektes zum Zusammendrängen der Feldlinien zu Flussschläuchen führt. Die Flusssdichte in diesen Flussschläuchen und damit die chromo-elektrische Kraft zwischen den Quarks ist unabhängig von deren Abstand (d.h.der Länge des Flussschlauches), was letztlich zum Phänomen des Colour-Confinements führt: werden zwei Quarks weiter voneinander entfernt, so bleiben die Feldlinien in dem quasi-eindimensionalen Flussschlauch gefangen.

Während in der El.-Dyn.

U(r) ~ 1/r

gilt, ist in der QCD (für den langreichweitigen Anteil) näherungsweise

U(r) ~ r.

D.h. dass die Kraft zwischen zwei Farbladungen nicht mit deren Abstand abfällt sondern konstant bleibt.

Da dieser Effekt in der QCD nicht bzgl. des "chromo-magnetischen" sondern bzgl. des "chromo-elektrischen" Anteils des Gluonfeldes gilt, spricht man eben vom chromo-elektrischen oder auch dualen Meissner-Effekt. Im Gegensatz zur Supraleitung steht eine echte quantenfeldtheoretische Herleitung des Confinement noch aus.

Das Verhalten

U(r) ~ r.

des Potentials zwischen zwei Farbladungen erklärt (phänomenologisch) das Color-Confinement. Es handelt sich dabei um einen dynamischen Effekt der QCD, d.h. das Potential U(r) folgt auf nicht-triviale Weise aus der Dynamik insbs. der Gluonen. Dieses Potential ist sozusagen die „klassische Veranschaulichung“ des quantenmechanisches Effektes der Abwesendheit von isolierten Farbladungen. Der im oben diskutierten Hamiltonoperator enthaltene Potentialterm hat noch nicht diese Struktur für U(r)!

Neuere Untersuchungen von statischen Quark-Antiquark-Systemen weißen auf folgendes Verhalten der Energie hin

E° = σr + e° - π / 12r

Das also mit dem naiven Ansatz U(r) ~ r verträglich ist; es gibt jedoch noch einen reinen Coulombanteil bei kleinen Abständen.

„Abwesendheit von isolierten Farbladungen“ muss etwas präzisiert werden: auch in der QED geht man davon aus, dass die elektrische Gesamtladung des Vakuums und damit aller aus dem Vakuum entstehenden physikalischer Zustände Null ist, also Q|phys) = 0. Eine analoge Gleichung haben wir oben bereits aus dem Gauß-Gesetz abgeleitet. D.h. jedoch, dass Confinement mehr ist als die Abwesendheit von Farbladung. Confinement bedeutet, dass (im Gegensatz zu elektrischen Ladungen) Farbladungen nicht beliebig weit voneinander separiert werden können.

Ursache dafür ist das linear ansteigende Potential U(r) ~ r. Betrachtet man ein Quarks und ein Antiquark im Abstand r, so ist in U(r) die Feldenergie des chromo-elektrischen Flussschlauches gespeichert. Separiert man nun die beiden Teilchen genügend weit voneinander, so übersteigt diese Energie die Ruheenergie von zwei Quarks, was zum Aufbrechen des Flussschlauches sowie zur Entstehung eines weiteren Quark-Antiquark aus dieser Feldenergie führt. Man erhält damit zwei separate Flusschläuche, jeweils mit Quarks und Antiquark an den Enden.

Einen ähnlichen Prozess kann man tatsächlich an Beschleunigerexperimenten beobachten. Es handelt sich dabei um die Erzeugung von sogenannten Jets. Man betrachtet die Kollision eines hochenergetischen Elektrons mit einem Proton. Aus letzterem wird ein Quark herausgeschlagen, das sich immer weiter vom Rest-Proton entfernt. Dadurch „läuft es quasi das lineare Potential U(r) hoch“, was zur Ausbildung und vielfachem Aufbrechen eines Flussschlauches in ein Kette von Quark-Antiquark Paaren führt. Diese manifestieren sich als eng fokussierter Schauer von Mesonen, der in die Richtung des ursprünglich herausgeschlagenen Quarks läuft und dessen Impuls trägt. Dadurch lässt sich der Impuls des Primär-Quarks im Proton aus dem Gesamtimpuls des Jets minus dem Impuls des Elektrons rekonstruieren.

Phänomenologische Argumente
Im Grenzfall unendlich schwerer Quarks ist die Erzeugung von Quark-Antiquark-Paaren unterdrückt und der Flussschlauch kann unendlich lang werden, ohne aufzubrechen. In diesem Bild wäre die im Flussschlauch gespeicherte chromo-elektrische Energie gleich der chromo-elektrischen Energiedichte ½ Eª Eª integriert über die Länge L sowie den Querschnitt A des Flussschlauches. Im Falle konstanter Flussdichte Eª ergibt dies

E = L ∫dA ½ Eª(x) Eª(x) = Lσ

σ entspricht dabei der „Spannung“ (engl.: tension), die entlang des Flussschlauches herrscht. Betrachtet man den Flussschlauch als unendlich steif, d.h. vernachlässigt man seine Schwingungen, so kann man für Mesonen (= Quark-Antiquark-Paare) annehmen, dass ihre Masse M bzw. ihr Drehimpuls J aus einer Rotation des Flussschlauches mit einer Massendichte μ(r) bzw. einer Drehimpulsdichte j(r)

μ(r) = σ / √(1-v²)
j(r) = σ r v(r)

wieder integriert über die Länge L herstammt:

M = ∫ dr μ(r) = πσ L / 2
J = ∫ dr j(r) = πσ L² / 8

Man nimmt an, dass sich dabei die Endpunkte des Flussschlauches mit Lichtgeschwindigkeit c bewegen. Dabei ergibt sich zwischen Masse und Drehimpuls die sogenannte Regge-Beziehung

J = αM²
α = 1 / 2πσ


Diese Regge-Beziehung ist für Mesonen mit J = 1, 2, 3 und verschiedenen Massen M experimentell einfach zu überprüfen und funktioniert erstaunlich gut (wenn auch nicht exakt). D.h. man darf sich diese Mesonen näherungsweise als unendlich straff gespannte Saiten mit Länge L und Saitenspannung σ vorstellen, deren Endpunkte mit Lichtgeschwindigkeit um den Mittelpunkt rotieren.

Dieses Bild war übrigens Ende der 60iger Jahre der Startpunkt für die Entwicklung der Stringtheorie.

Gittereichtheorie
Zur Gittereichtheorie folgt noch ein eigenes Kapitel. Hier nur so viel: Der Grenzfall unendlich schwerer und damit statischer Quarks ist gut auf dem Computer simulierbar. Dieser Grenzfall ist deswegen so interessant, weil damit langreichweitige chromo-elektrische Flussschläuche untersucht werden können; angewandt auf die QCD bedeutet dies, dass die Quark-Freiheitsgrade „eingefroren“ werden, d.h. sämtliche Effekte dynamischer und damit auch virtueller Quarks werden eliminiert.

Bereits in 70igern und 80igern konnte das qualitative Verhalten des Quark-Antiquark-Potentials für große Abstände r bestimmt werden. Es stimmt hervorragend mit der o.g. Formel

E° = σr + e° - π / 12r

überein. Dabei können die Werte der Koeffizienten direkt mit Eigenschaften (Casimir-Operator, N-ality) der SU(N) in Verbindung gebracht werden.

Erste Zusammenfassung
Damit liegen in Summe etliche Indizien für dieses Verhalten U(r) der QCD bzw. der daraus abgeleiteten Eigenschaften der Hadronen vor: chromo-elektrische Flussschläuche, String-Modelle und Regge-Verhalten, numerische Ergebnisse im Rahmen der Gittereichtheorie. Jedes dynamische Modell des Confinements, das direkt aus der QCD abzuleiten wäre, muss diese Randbedingungen respektieren bzw. reproduzieren, um erfolgversprechend zu sein.

Im Folgenden sollen nun einige Modelle vorgestellt werden, die die Eigenschaft des Confinements direkt aus den mathematischen Eigenschaften der QCD herzuleiten versuchen.

Eine wichtige Rolle spielen dabei sogenannte Quasiteilchen Kondensate, das sind kollektive Anregungen von nicht-fundamentalen Objekten wie magnetischen Monopolen, Center Vortices, aber auch anderen Quasiteilchen (die ich im Folgenden nicht betrachten werde) wie Instantonen, Meronen oder Caloronen. Quasiteilchen sind aus der Festkörperphysik bekannt. Sie verhalten sich zum einen (ähnlich) wie Teilchen, zum anderen weiß man, dass sie sich aus fundamentaleren Freiheitsgraden zusammensetzen. In Der QCD handelt es sich dabei um gluonische Objekte. In allen diesen Fällen spielen topologische Eigenschaften der lokalen Eichsymmetrie SU(3) eine wesentliche Rolle.

Ein völlig anderer Zugang stammt aus der Untersuchung von sogenannten Propagatoren, Vertex-Funktionen sowie den Schwinger-Dyson-Gleichungen, insbs. in der Coulomb-Eichung div Aª(x) = 0. Hierbei wird untersucht, wie das Gluonfeld die Ausbreitung von „Quark-Wellenfunktionen“ beeinflusst bzw. die langreichweitige Propagation unterdrückt. Auf diese Mechanismen werde ich im Einzelne nicht eingehen.

Ein relativ neuer Zugang beruht auf der AdS/CFT Vermutung, einem Modell, das durch die Stringtheorie inspiriert wurde. Dabei wird eine Dualität zwischen einer bestimmten supersymmetrischen, konformen Eichtheorie und einer bestimmten Sorte Stringtheorie in einer 5-dimensionalen Anti-deSitter Raumzeit ausgenutzt. Beide Theorien entsprechen dabei sicher nicht den exakten Theorien, haben jedoch einige vertraute Eigenschaften, so dass insgs. ein einigermaßen vertrautes Bild des Confinements in der QCD abgeleitet werden kann. Auch darauf werde ich hier im Einzelnen nicht eingehen.

Zuletzt sei noch auf eine spezielle N=2 SUSY Eichtheorie hingewiesen, für die bereits in den 90igern eine Lösung inklusive Confinement mathematisch exakt konstruiert werden konnte. Dieses Resultat stelle ich ggf. zu einem späteren Zeitpunkt vor.

Magnetische Monopole
In diesem Abschnitt wird die Idee der chromo-elektrischen Flussschläuche wieder aufgenommen. In einem Supraleiter bilden sich magnetische Flussschläuche in einem Supraleiter aus, der wiederum durch ein Kondensat von elektrisch geladenen Objekten (Zustände aus zwei über Gitterschwingungen im Festkörper gebundene Elektronen, sog. Cooper-Paare) gebildet werden. In der QCD sollten sich somit in einem dualen Bild chromo-elektrischen Flussschläuche in einem Kondensat aus magnetischen Monopolen entstehen. Letztere sind keine elementaren Objekte, sondern sind Quasiteilchen, die aus einer komplexen Gluon-Feldkonfiguration entstehen.

Üblicherweise sind magnetische Monopole in einer abelschen Eichtheorie mit U(1) * U(1) * … Symmetrie bekannt. Für jeden U(1) Faktor existiert ein „elektrisches“ Feld, das einen Monopol bilden kann. In der SU(N) Eichtheorie könnte zunächst die SU(N) Eichtheorie über einen Effekt ähnlich der spontanen Symmetriebrechung jedoch ohne zusätzliche Higgs-Boson zu einer derartigen Gruppenstruktur führen. Anstatt nun dafür ein Higgs-Boson einzuführen, griff man die Idee auf, dass eine nichtlineare Feldkonfiguration der Gluonen sich selbst ähnlich wie ein Higgs-Feld verhalten und die Eichsymmetrie brechen könnte. In der SU(N) Eichtheorie gibt es eine U(1) * U(1) * … Untergruppe mit N-1 Faktoren und demnach N-1 „abelschen“ Eichfeldern.

Diese Theorien scheinen im Rahmen der Gittereichtheorie zunächst recht erfolgversprechend zu sein, haben jedoch meist das Problem, die Koeffizienten aus U(r) korrekt zu reproduzieren.

Eines der in diesem Szenario noch ungelösten Probleme ist die Abwesendheit von extrem schwachen, jedoch langreichweitigen Farbkräften zwischen farbneutralen Objekten vergleichbar mit den van-der-Waals Kräften zwischen elektrisch neutralen Atomen oder Molekülen.

Center Vortizes
Hier müssen wir zunächst etwas über den sogenannten Wilson Loop W[C] sowie den Center Vortex V[C] lernen.

Man betrachtet ein Quark-Antiquark-Paar mit einem Gluonstring oder –schlauch dazwischen. Eine derartige Feldkonfiguration sollte näherungsweise ein Meson beschreiben. Der Operator für die „Erzeugung“ dieses Mesons ist

Ô = Ψ*(0) γ° Pexp[ig ∫dx Aª(x) tª] Ψ*(R)

Dabei steht Ψ*(0) für ein Antiquark am Punkt 0, Ψ(R) für ein Quark im Abstand R, und Pexp[…] für den sogenannten pfadgeordneten Exponenten (dazu später mehr).


Im Falle unendlich schwerer Quarks sind Effekte von virtuellen Quark-Antiquark-Paaren unterdrückt und man kann den Erwartungswert ‹Ô› dieses Operators explizit über ein Pfadintegral berechnen:

‹Ô› = W[C]
W[C] = tr Pexp[i ∫dx Aª(x) tª]

C ist dabei die räumliche Kurve, die den Punkt 0 und den Punkt R verbindet. Im Folgenden wird W[C] für den Fall betrachtet, dass Quark und Antiquark an derselben Stelle sitzen, also R=0, wobei C eine geschlossene, aber ansonsten beliebige Kurve sein kann, also nicht notwendigerweise verschwindet.

W[C] ist der sogenannte Wilson-Loop.

Im Falle der QED erhält man einfach

W[C] = exp iΦ[C]

Φ[C] ist dabei der magnetische Fluss durch die von C berandete Fläche.


Der Wilson-Loop W[C] entspricht damit einer geschlossenen Schleife, die chromo-elektrischen Fluss trägt. Dieser induziert durch die von C berandete Fläche den dazu dualen chromo-magnetischen Fluss.

Prinzipiell kann man aus W[C] das Quark-Antiquark-Potential U(r) direkt berechnen; analytisch ist dies bis heute zwar unmöglich, in der Gittereichtheorie ist die Berechnung von W[C] sowie dem Potential jedoch gut verstanden. Man findet tatsächlich für große r ein lineares Verhalten U(r) ~ r.

`t Hooft führte nun einen weiteren, zu W[C] „dualen“ Operator V[C] ein, für den gilt

V[C¹] • W[C²] = exp( ln z L[C¹, C²] ) W[C²] • V[C¹]

Dabei ist z ein Element aus dem Zentrum der Eichgruppe SU(N) und L[C¹, C²] die Gaussche Windungszahl.

Das Zentrum Z der SU(N) besteht aus den Matrizen, die mit allen Elementen der SU(N) vertauschen, d.h. Z ist eine abelsche Untergruppe der SU(N). Das Zentrum enthält abzählbar unendlich viele Elemente z[n], die wie folgt beschrieben werden können:

z[n] = exp (2πi n/N) * 1

Dabei ist n eine beliebige ganze Zahl und 1 die N*N Einheitsmatrix.

Die Gaussche Windungszahl L[C¹, C²] zählt, wie oft sich die beiden Kurven C¹ und C² umeinander herumwinden (es gibt eine explizite Integralsdarstellung, die wir hier nicht benötigen).

Mit der obigen Degfinition von z[n] ist ln z[n] = 2πi n/N, also

V[C¹] • W[C²] = exp(2πi nL/N) W[C²] • V[C¹]


V[C] erzeugt nun analog zu W[C] ein rein gluonisches Objekt, den sogenannten Center Vortex.

Auch für V[C] ist eine explizite, jedoch noch wesentlich kompliziertere Form bekannt. Zunächst führt man eine sogenannte Funktionalableitung δ/δAª(x) im Raum der Eichfelder ein. Diese entspricht einer partiellen Ableitung, jedoch verallgemeinert auf dem unendlichdimensionalen Funktionenraum der Eichfelder, d.h. sie wirkt auf Funktionale

F[Aª] = (Aª | F)

Dann definiert man V[C] als

V[C] = exp[i ∫d²x Eª(x) δ/δAª(x)]


Im Falle der QED erhält man einen Operator, der den elektrischen Fluss durch die von C berandete Fläche misst.

In gewissem Sinne sind V[C] und W[C] zueinander dual; elektrischer und magnetischer Fluss werden vertauscht: der Center Vortex V[C] entspricht einer geschlossenen Röhre, die quantisierten chromo-magnetischen Fluss (quantisiert im Sinne des Zentrums Z) einschließt. Dieser induziert durch die von C berandete Fläche den dazu dualen chromo-elektrischen Fluss. Durch Vakuumfluktuationen entstehen nun spontan derartige Center Vortizes V[C] sowie Wilson Loops W[C]; erstere induzieren in die von ihnen L-fach (gemäß der o.g. Windunsgzahl L) durchstoßenen W’s den jeweiligen dualen Fluss und somit ein Verhalten, das letztlich zu einem linearen Quark-Antiquark-Potential U(r) ~ r führt.

Das Bild des QCD-Vakuums ist in diesem Bild sehr komplex. Anstelle von einfachen Quark-Antiquark- bzw. Gluonpaar-Vakuumfluktuationen hat man es mit Fluktuationen von komplexen Flusschläuchen zu tun. Diese Fluktuationen induzieren dabei bei Anwesendheit von Farbladungen ein linear ansteigendes Potential zwischen diesen Farbladungen, und führen somit dazu, dass sich diese Farbladungen nicht räumlich trennen.

Diese Ansätze sind im Rahmen der Gittereichtheorie zunächst qualitativ sehr vielversprechend; Probleme ergeben sich bei der genaueren Analyse der numerischen Vorhersagen sowie bei der verwendeten Eichfixierung, die nicht frei von Gribov-Kopien ist (d.h. die Eichfixierung ist nicht eindeutig).

Interessant ist außerdem der Fall, dass das Zentrum Z einer Eichgruppe trivial ist, d.h. nur das Eins-Element 1 selbst enthält. In diesem Falle existieren keine Center Vortices und dementsprechend dürfte es auch kein Confinement geben. SU(N) und SO(N) haben ein nichttriviales Zentrum, deshalb hat man die nichtabelsche Eichgruppe G(2) mit trivialem Zentrum in der Gittereichtheorie untersucht und tatsächlich festgestellt, dass G(2) kein Verhalten U(r) ~ r produziert, also kein Confinement – in Übereinstimmung mit der Erwartung.

Coulomb-Energie und Gribov Horizonte
Im Rahmen der QED entsteht das bekannte Coulombpotential durch die „Invertierung“ des Differentialoperators

∆ = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂y²

Dieser entsteht in der Maxwellgleichung ∆A(x) = -g j°(x) bei der Lösung des Gauß-Constraints in der Coulomb-Eichung div A(x) = 0.

Invertierung bedeutet, dass ein Operator ∆ˉ¹ definiert wird mit

∆ˉ¹ ∆ f(x) = ∆ ∆ˉ¹ f(x) = f(x)

Dieser Operator ∆ˉ¹ führt auf eine Integraldarstellung

∆ˉ¹ f(x) = ∫ dy U(x-y) f(y)


mit

U(x-y) = 1 / |x-y|

In diesem Sinne erhält man aus dem Laplace-Operator mittels Invertierung eine Integraldarstellung, wobei für die Funktion U(x) das bekannte Coulombpotential auftritt. Dieses Coulombpotential tritt auch als statisches Potential im Hamilton- bzw. Energieoperator der QED zwischen zwei Ladungsverteilungen auf:

V[Ψ] = -g ∫ dy ρ(x) U(x-y) ρ(y)

In der QCD ist die Eichfixierung über die Coulomb-Eichung wesentlich komplizierter. Insbs. tritt dabei ein Differentialoperator D[A] auf, der außer von ∂/∂x auch von Aª(x) abhängt:

D[A] = -∆ + g ∂ A
D[A] f(x) = -∆ fª(x) + g (∂A f)ª + g (A ∂f)ª

so dass das rechte ∂ auch auf rechts daneben stehenden Funktionen fª wirkt.

Damit wird auch der inverse Operator Dˉ¹[A] abhängig vom Gluonfeld Aª(x).

Das Coulombpotential in der QCD ist dann formal

V[Ψ, A] = ρ[Ψ] Dˉ¹[A] ρ[Ψ]

wobei eine einfache Integraldarstellung (wie in der QED) wegen der A-Abhängigkeit nur noch formal aber nicht mehr explizit definiert werden kann. Dˉ¹A] führt dabei im Wesentlichen auf den weiter oben diskutierten Operator h(n) für die SU(N) Theorie (allerdings war das o.g. h in einer anderen Eichung definiert).

Insbs. stellt sich nun das Problem der unvollständigen Eichfixierung bzw. des sogenannten Gribov-Horizontes. Die Bedingung

div Aª(x) = 0

fixiert die Eichung in der SU(N) Eichtheorie nicht vollständig, d.h. es gibt Eichfeldkonfigurationen A, A’, A’’ usw., die alle jeweils div Aª = 0 erfüllen, die jedoch trotzdem durch bestimmte SU(N) Eichtransformation verbunden sind. A’, A’’ usw. sind die sogenannten Gribov-Kopien von A. Diese Gribov-Kopien liegen in gewissem Sinne „weit“ von A entfernt, d.h. es gibt um A herum eine Domäne im Raum der Eichfelder Aª(x), die frei von derartigen Kopien ist, d.h. innerhalb der die Eichung eindeutig fixiert ist. Die Begrenzung dieser Domäne ist der sogenannte Gribov-Horizont.

Auf dem Gribov-Horizont entartet die Eichbedingung div Aª = 0, d.h. der Operator Dˉ¹[A] wird singulär. Man argumentiert nun, dass dadurch die Gribov-Kopien A’, A’’ usw. unphysikalisch werden, da zum Erreichen A’ ausgehend von A ein Durchtunneln der (unendlich hohen) Potentialbarriere am Gribov-Horizont notwendig wäre. So wie eine Singularität eines Potentials im Ortsraum das Durchtunneln der Wellenfunktion verhindert, so verhindert auch die Singularität im Raum der Eichfelder das Durchtunneln des Gribov-Horizontes, daher sind Eichfelder außerhalb des Gribov-Horizontes unterdrückt.

Die interessante Frage ist nun, ob das Coulombpotential V[Ψ, A] alleine ausreicht, um die beobachteten Phänomene des Confinements zu beschreiben. Dabei wird aus V[Ψ, A] für verschiedene Eichfeldkonfigurationen A das statische Quark-Antiquark-Potential U(r) bestimmt. Man hat in Rechnungen zur Gittereichtheorie festgestellt, dass dies tatsächlich zu einem linearen Anstieg des Potentials U(r) ~ r führt.

Die o.g. Center-Vortex Feldkonfigurationen liegen interessanterweise genau auf dem Gribov-Horizont; werden diese künstlich in der Gittereichtheorie unterdrückt bzw. eliminiert, dann erfährt die SU(N) Theorie eine Veränderung hin zum bekannten Verhalten der U(1) Theorie, d.h. die Eigenschaften von U(r) abgeleitet aus dem so modifizierten Operator Dˉ¹[A] ähneln denen des bekannten U(r) ~ 1/r.

Außerdem werden noch andere Konfigurationen, z.B. Quark-Quark-Konfigurationen betrachtet. Diese müssen ja als Color-Non-Singulett Zustand komplett verboten sein. Tatsächlich gibt es Hinweise, dass in dem hier vorgestellten Zugang die Energien dieser Konfigurationen gegen unendlich streben, sie also dynamisch unterdrückt sind. Dabei spielen wieder nichtlineare Effekte und Selbstwechselwirkungen eine entscheidende Rolle.

Damit weist sowohl das oben diskutierte Center-Vortex Modell als auch die hier diskutierten Gribov-Horizonte in der Coulomb-Eichung auf eine enge Verwandtschaft sowie ein ähnliches Erklärungsmuster des Color-Confinements hin. Die Coulomb-Eichung reproduziert damit einige der wesentlichen Eigenschaften der QCD. Außerdem zeichnet sich hier eine Brücke zwischen analytischen Untersuchungen und numerischen Methoden im Rahmen der Gittereichtheorie ab.

Auch in diesem Szenario ist allerdings der Grund für die Abwesendheit von langreichweitigen Farbkräften (van-der-Waals Kräften) noch unklar.

Zusammenfassung
Es gibt tatsächlich einige sehr erfolgversprechende Mechanismen zur Erklärung des Color-Confinements. Gemeinsam ist ihnen, dass sie auf Strukturen der nichtabelschen Eichsymmetrie SU(N) beruhen. Die wesentlichen Strukturen scheinen dabei nichttriviale Eichfeldkonfigurationen zu sein, wobei diese allesamt auf eine spezielle Untergruppe der SU(N), nämlich das Zentrum Z hinweisen.

Im Rahmen der Gittereichtheorie (späteres Kapitel) können diese Mechanismen tatsächlich quantitativ untersucht werden. Dabei ergeben sich inzwischen hervorragende Übereinstimmungen mit experimentellen Daten, z.B. zu den Massen der Hadronen sowie einiger ihrer elektromagnetischen Eigenschaften. Insgs. fehlt jedoch noch das letzte theoretische Mosaiksteinchen, um das Color-Confinement als endgültig verstanden bezeichnen zu können.

Auf weitere vorgeschlagene Mechanismen möchte ich hier aus mehreren Gründen nicht eingehen: sie weisen teilweise Ähnlichkeiten zu den oben diskutierten Ansätzen auf, sind wesentlich komplizierter zu erklären (ohne dass dadurch ein echter Erkenntnisgewinn erzielt wird), und sie sind wohl allesamt weniger erfolgversprechend als die die hier diskutierten Mechanismen.
Gruß
Tom

«while I subscribe to the "Many Worlds" theory which posits the existence of an infinite number of Toms in an infinite number of universes, I assure you that in none of them am I dancing»

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