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08. Symmetrien I – Liealgebren und -gruppen

Übersichtsartikel zur Elementarteilchenphysik und zur Quantenfeldtheorie
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08. Symmetrien I – Liealgebren und -gruppen

Beitrag von tomS » 10. Mär 2009, 20:03

[anker]8[/anker]8. Symmetrien I – Liealgebren und -gruppen

In den letzten Teilen wurde immer wieder der Spin von Teilchen als Beispiel herangezogen. Hier sollen nun die mathematischen Grundlagen diskutiert werden, um diese Eigenschaft von Teilchen gruppentheoretisch zu beschreiben. Neben dem Spin werden dabei andere, eng verwandte Strukturen betrachtet. Grundlagen sind dabei die sogenannten Liealgebren und –gruppen.

Wem dieser Abschnitt zu mathematisch ist: kein Problem, die weiteren Themen sollten auch ohne diese Einführung in die Gruppentheorie verständlich sein.

Als warm-up möchte ich ein paar Ergebnisse vorwegnehmen, damit bereits zu Beginn klar wird, warum wir den ganzen mathematischen Aufwand eigentlich treiben und wohin die Reise geht:

Die SU(2) Gruppe beschreibt eine Erweiterung bzw. Verallgemeinerung der gewöhnlichen Rotationssymmetrie SO(3) im dreidimensionalen Raum. Man führt eine Klassifizierung der Hilbertraumvektoren = Teilchenzuständen nach ihrem Verhalten unter diesen Symmetrietransformationen durch, indem man Rotationen um drei (aufeinander senkrecht stehenden) Achsen betrachtet. Dem entspricht der Drehimpulsvektor L = (Lª) mit a = 1,2,3 bezogen auf diese drei Achsen. Die drei Komponenten Lª werden zunächst als Matrizen dargestellt, aus denen man allgemeine Drehmatrizen konstruieren kann. Man stellt fest, dass die geforderten Eigenschaften der Lª durch Matrizen verschiedener Dimension dargestellt werden können. Man findet Darstellung mittels 2*2 Matrizen (den Pauli-Matrizen), 3*3 Matrizen (entsprechend der normalen Rotationen im R³) bzw. allgemein n*n Matrizen mit n=1,2,3, … Die Anzahl der Dimension des Raumes steckt dabei nicht in diesem n, sondern immer in der Anzahl der Matrizen a=1,2,3. Man nennt n die Dimension einer Darstellung der SU(2).

Für die Klassifizierung der Teilchen betrachtet man das Absolutquadrat L² des Vektors

L = (Lª)

mit

L² = Lª* Lª (Summe über alle Komponenten a)

L² ist analog zu Lª eine n*n Matrix. Nun wendet man L² auf einen Teilchenzustand = einen Eigenvektor |ℓ) an

L²|ℓ) = ℓ(ℓ+1) |ℓ)

und bestimmt die zugehörigen Eigenwerte ℓ(ℓ+1); für diese Eigenwerte schreibt man ℓ(ℓ+1), da man dann einfachere Werte für ℓ erhält und nicht mit Wurzeln hantieren muss. Für n*n Matrizen erwartet man i.A. n verschiedenen Eigenwerte, es stellt sich jedoch heraus, dass diese n Werte alle identisch ℓ(ℓ+1) sind.

D.h. dass die Matrix L² von der einfachen Form

L² = ℓ(ℓ+1) 1

ist, wobei 1 für die n*n Einheitsmatrix steht.

In Abhängigkeit der Dimension

n = 1, 2, 3, 4, …

findet man unterschiedliche erlaubte Werte

ℓ = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, …

Reduzieren der Symmetrie von SU(2) auf SO(3) bedeutet, dass bestimmte Werte für n nicht mehr zulässig sind. Dementsprechend fallen auch Werte für ℓ weg, d.h. es gilt n=1,3,5, … mit ℓ=1,2,3, …

Die Existenz der halbzahligen Spins ist also der Tatsache geschuldet, dass nicht wie eigentlich zu erwarten die SO(3) sondern die SU(2) Symmetrie zu verwenden ist, Dies wiederum ist darauf zurückzuführen, dass die Lorentzgruppe SO(3,1) als vierdimensionale Verallgemeinerung der SO(3) eng verwandt mit dem Produkt SU(2) * SU(2) ist.

SO(3,1) ~ SU(2) * SU(2)

D.h. letztlich, dass die Existenz halbzahliger Spins das Resultat spezielle Struktur der Symmetrie der vierdimensionalen Raumzeit ist.

Jetzt folgen die Details:

[anker]8-1[/anker]8.1 Darstellungen

In der Elementarteilchenphysik benötigt man häufig den Begriff der Symmetriegruppen sowie deren Darstellungen. Interessanterweise kann man die Teilchen nicht nur nach ihrem Verhalten unter Raumzeitsymmetrien gemäß der Poincaregruppe klassifizieren (Skalare mit Spin 0, Fermionen mit Spin ½,Vektorbosonen mit Spin 1), sondern auch nach ihrem Verhalten unter sogenannten inneren Symmetrien. Diese Symmetrien haften quasi als zusätzliches Etikett an jedem Teilchen bzw. an jedem Feld in jedem Raumzeitpunkt. Deshalb nennt man sie auch innere Symmetrien im Gegensatz zu den äußeren Symmetrien der Raumzeit. Die Felder, die unter diesen inneren Symmetrien transformieren, „leben“ dann in einer sogenannten Darstellung der jeweiligen Symmetriegruppe.

Der Begriff der Darstellung ist von zentraler Bedeutung. Im Wesentlichen handelt es sich darum, dass man für die abstrakte Gruppenstruktur (also wie man z.B. verschiedene Drehungen zu einer neuen Drehung verknüpft) reale Darstellungen als Matrizen und Vektoren sucht. Interessanterweise gibt es nun Eigenschaften der abstrakten Gruppe, die für alle Darstellungen gelten (solange es sich um „treue“ Darstellungen handelt – und nur solche muss man meist betrachten), und andere Eigenschaften, die sich je nach Darstellung unterscheiden. Z.B. konstruiert man die Drehgruppe SO(3) meist als Drehung eines dreidimensionalen Vektorraumes. Man kann jedoch auch Darstellungen in anderen Dimensionen finden, wobei die Matrizen wiederum denselben Regeln folgen, die Vektoren jedoch in einer anderen Dimension leben.

Konkret betrachtet man eine Gruppenoperation bzw. die Verknüpfung von g und g’ zu einem neuen Element h.

g • g’ = h

Eine Darstellung hat man dann gefunden, wenn man zu jedem Gruppenelement g ein Objekt D(g) finden kann, so dass für die Ds ebenfalls die Verknüpfungsregel gilt:

D(g) • D(g’) = D(h)

Als Dimension dieser Darstellung bezeichnet man dann die Dimension des Vektorraums, auf dem die Matrizen D operieren, d.h. in einer n-dimensionalen Darstellung Handelt es sich bei den Ds um n*n Matrizen.

Ein Beispiel: Man betrachte die Gruppen SU(2) und SO(3). Erstere ist eine komplexe Drehgruppe von komplexwertigen Zweier-Vektoren, letztere die reelle Drehgruppe von reellen Dreier-Vektoren. Eigentlich handelt es sich dabei schon um eine Darstellung, nämlich die sogenannte Fundamentaldarstellung. Dies ist die kleinste Darstellung, in der alle Gruppenstrukturen treu abgebildet werden.

Man kann nun auch höherdimensionale Darstellungen finden. Z.B. kann man jede Drehung der SU(2) auf eine Drehung der SO(3) abbilden. D.h. die SO(3) ist eine Darstellung der SU(2), allerdings eben in drei Dimensionen. Ist diese Darstellung nun „identisch“ zur Fundamentaldarstellung? Nein, denn die Abbildung von der SU(2) auf die SO(3) ist nicht eindeutig. Man kann nämlich zwei verschiedene SU(2) Drehungen auf ein und dieselbe SO(3) Drehung abbilden. D.h. die SU(2) enthält quasi doppelt so viele Drehungen wie die SO(3).

Man hat also in diesem speziellen Fall

g ≠ g’

aber

D(g) = D(g’)

Bei den Elementarteilchen ist die Dimension der Darstellung sehr eng mit der Anzahl der Teilchen in der jeweiligen Darstellung verknüpft.

Interessant ist auch, dass man aus der Fundamentaldarstellung weitere Darstellungen konstruieren kann. In der Fundamentaldarstellung der SU(2) sitzen zwei Teilchen, in der nächst höheren Darstellung (die der SO(3) entspricht) sitzen drei Teilchen.

Wie findet man nun die höheren Darstellungen? Man kombiniert dazu die Teilchen in der Fundamentaldarstellung nach bestimmten Regeln (auf die ich hier nicht explizit eingehen kann; Stichworte sind irreduzible Tensoren und Young Tableaus). Auf diese Weise konstruiert man aus den fundamentalen Quarks z.B. die zusammengesetzten Zustände wie Proton, Neutron oder die Pionen. Alle diese zusammengesetzten Zustände liegen dann wieder in bestimmten Darstellungen
der Gruppe.

Eine spezielle Darstellung, die in Eichtheorien wichtig wird, ist die adjungierte Darstellung. Um sie zu verstehen muss man etwas vorgreifen, nämlich auf den Begriff der Algebra einer Liegruppe. In der adjungierten Darstellung operiert die Gruppe auf ihrer eigenen Algebra, also quasi auf sich selbst. Interessanterweise leben in allen bekannten Eichtheorien die fundamentalen Fermionen immer in der Fundamentaldarstellung, während die Eichbosonen immer in der adjungierten Darstellung leben.

[anker]8-2[/anker]8.2 Beispiele für Liegruppen und -algebren

Am einfachsten entwickelt man die Theorie der Liegruppen und –algebren anhand konkreter Beispiele, die dann auch später immer wieder benutzt werden. In der Quantenfeldtheorie sind im Wesentlichen die Gruppen SO(n) und SU(n) gebräuchlich. Ihre Fundamentaldarstellung wird realisiert durch reelle bzw. komplexe n*n Drehmatrizen. Das S bedeutet, dass jeweils eine zusätzliche Bedingung erfüllt ist, dass nämlich die Matrizen orthogonal bzw. unitär sein müssen. Dies bedeutet für die SU(n) im Wesentlichen, dass eine zusätzliche Bedingung erfüllt ist, so dass eine U(1) Drehung mit einem komplexen Phasenfaktor ausgeschlossen wird. Also

U(n) = U(1) * SU(N)

wobei die U(1) Drehung einfach eine komplexe Phase

exp(iθ) • 1 ist

1 ist dabei die n*n Einheitsmatrix.

SO(2)
Sehr einfach zu verstehen ist die spezielle orthogonale Gruppe in 2 Dimensionen: SO(2). Es handelt sich dabei um eine Beschreibung der Rotationssymmetrie in zwei Dimensionen mittels 2*2 Matrizen. Die Matrizen sind Orthogonal-Matrizen, d.h. dass das Produkt einer Matrix O mit ihrer transponierten Matrix trans(O) gleich der 2*2 Einheitsmatrix ist:

O • trans(O) = trans(O) • O = 1

Transponieren heißt Spiegeln der Matrixelemente an der Hauptdiagonalen.
Die Matrizen haben außerdem die spezielle Eigenschaft, dass ihre Determinante 1 ist, d.h. wir schließen Spiegelungen und Streckungen aus:

det O = 1.

Die Drehmatrix O = O(θ) hängt dabei von einem Parameter = Drehwinkel θ ab.
SO(2)-Symmetrie bedeutet nun, dass ein Skalarprodukt zweier Vektoren (x| und |y) invariant ist, wenn man beide Vektoren einer Drehung unterwirft:
(x’| = (x| trans(O)
|y’) = O |y)
(x’|y’) = (x| trans(O) • O |y) = (x|y)

Insbs. ist die Norm bzw. Länge eines Vektors invariant unter Rotationen

|x’|² = (x’|x’) = (x|x) = |x|²

Damit haben wir schon alles zusammen:
Einen Vektorraum der Dimension 2 mit einem Skalarprodukt.
Darauf definiert eine Drehmatrix O(θ).
Alle anderen Gruppen SO(n) und SU(n) können ganz ähnlich formuliert werden.

Ein paar Hinweise:
Der Vektorraum, auf dem Rotation definiert wird, ist bei SO(n) immer über den reellen Zahlen definiert, bei SU(n) über den komplexen Zahlen.
Der Vektorraum hat hier eine Dimension 2, die Drehgruppe die Dimension 1; die Dimension der Gruppe ist dabei die Anzahl der Parameter; in zwei Dimensionen kann man jede Drehung mit genau einem Winkel beschreiben. Es ist wichtig, diese beiden Dimensionen zu unterscheiden.

SO(3)
Als nächstes die spezielle orthogonale Gruppe in 3 Dimensionen: SO(3). Es handelt sich dabei um eine Beschreibung der Rotationssymmetrie in drei Dimensionen mittels 3*3 Matrizen.
Man stellt nun fest, dass die SO(3) drei Parameter (Drehwinkel θª mit a=1..3) zu ihrer Beschreibung benötigt. Im Falle der SO(2) war die Drehung um den Koordinatenursprung durch genau einen Parameter festlegbar. In drei Dimensionen benötigt man drei Parameter (drei mögliche Richtungen der Drehachsen, also drei Winkel) um eine allgemeine Drehung zu beschreiben.

Die erste Besonderheit der SO(3) ist, dass sie nicht-abelsch ist, dass es bei zwei Drehungen, die über jeweils drei Winkel θª und θ’ª definiert werden i.A. auf deren Reihenfolge ankommt, dass also

O(θª) • O(ηª) ≠ O(ηª) • O(θª)

gilt.

U(1)
Sehr einfach zu verstehen ist die unitäre Gruppe U(1) in 1 Dimension: es handelt sich dabei um eine Beschreibung der „Rotationssymmetrie“ in der komplexen Ebene mittels einer 1*1 Matrix, also einer komplexen Zahl. Die Matrix ist dabei unitär, d.h. dass das Produkt einer Matrix U mit ihrer adjungierten (= transponiert plus komplex konjugiert) Matrix adj(U) gleich der Einheitsmatrix ist:

U • adj(U) = adj(U) • U = 1.

(in einer Dimension ist transponieren natürlich trivial, d.h. es bleibt nur die komplexe Konjugation übrig).
Die „Drehmatrix“ U = U(θ) hängt dabei wieder von einem Parameter = Drehwinkel θ ab.
U(1)-Symmetrie bedeutet nun, dass ein Skalarprodukt zweier komplexer Vektoren (z| und |w) invariant ist, wenn man beide Zahlen einer Drehung U(?) unterwirft: θ

U(θ) = exp iθ
(z’| = (z| adj(U)
|w’) = U |w)

Insbs. ist die Norm einer komplexen Zahl invariant unter Rotationen

(x’|y’) = (x| trans(O) • O |y) = (x|y)

|z’|² = (z’|z’) = (z|adj(U) • U |z) = (z|exp(-iθ) • exp(iθ) |z) = |z|²

In einer Dimension ist das alles trivial, es handelt sich einfach um die Invarianz des Betrages einer komplexen Zahl unter der Multiplikation mit

Wir werden später sehen, dass es für alle SO(n) und SU(n) derartige Exponentialschreibweisen gibt.

Man kann nun die oben diskutierte SO(2) und alle verwendeten Formeln direkt auf die U(1) abbilden, indem man jedem Punkt (r,s) in der zweidimensionalen Ebene eine entsprechende komplexe Zahl

z = r + is
r = Re z
s = Im z

zuordnet. Dann entspricht die 2*2 Drehmatrix O(θ) genau der komplexen Zahl U(θ). cos(θ) und sin(θ) in der Darstellung der Drehmatrix erhält man sofort aus

U(θ) = exp(iθ) = cos(θ) + i sin(θ).

Die beiden Gruppen SO(2) und U(1) sind isomorph, d.h. sie sind (aus gruppentheoretischer Sicht) identisch.

SU(2)
Als nächstes die spezielle unitäre Gruppe SU(2) in 2 Dimensionen. es handelt sich dabei um eine Beschreibung der „Rotationssymmetrie“ in einem zweidimensionalen komplexen Vektorraum mittels 2*2 Matrizen, d.h. der Vektor hat die Dimension 2 und jede Komponente ist wieder eine komplexe Zahl.
Hier verwendet man wieder die Bedingung det U = 1.
Die Formeln können formal von der U(1) übernommen werden. Man versteht jetzt lediglich unter |z) einen komplexen Zweier-Vektor, nicht nur eine komplexe Zahl.
Man stellt nun fest, dass die SU(2) wiederum drei Parameter (Drehwinkel) zu ihrer Beschreibung benötigt, wie im Falle der SO(3). D.h. oben hatten wir einen dreidimensionalen reellen Vektorraum mit 3*3 Matrizen und drei Parametern in O(θª), a=1..3 jetzt haben wir zweidimensionalen, dafür komplexen Vektorraum mit komplexen 2*2 Matrizen und wieder drei Parametern in U(θª), a=1..3.

Die SO(3) ist anschaulich die Rotationssymmetrie des dreidimensionalen Raumes, die SU(2) dagegen kann man sich nicht mehr so leicht veranschaulichen, da man an dem zweidimensionalen komplexen Vektorraum scheitert. Zwei komplexe Zahlen bedeuten ja vier reelle Zahlen.

Die SU(2) ist analog zur SO(3) nicht-abelsch, d.h. es kommt wieder auf die Reihenfolge der Drehungen an.

U(θª) • U(ηª) ≠ U(ηª) • U(θª)

Interessanterweise kann man für je zwei Matrizen U aus der SU(2) eindeutig eine Matrix O aus der SO(3) finden. Die beiden Gruppen sind jedoch nicht isomorph, da man eben in SU(2) „doppelt so viele“ Drehungen hat wie in der SO(3). Insbs. stellt man fest, dass in der SO(3) die Drehung um 360° die Einheitsmatrix ist, während man in der SU(2) um 720° rotieren muss! Eine Rotation um 360° ergibt nicht die Einheitsmatrix 1 sondern -1.
Die beiden Gruppen sind also nicht identisch, aber doch eng verwand und liegen eigentlich allen quantenmechanischen Überlegungen zum Drehimpuls und zum Spin zugrunde.

SO(n)
Betrachtet man allgemein einen n-dimensionalen, reellen Vektorraum, so ist SO(n) wieder die entsprechende Rotationssymmetrie. Die Vektoren haben n Komponenten, die SO(n) besteht aus n*n Matrizen mit der Determinante 1.

SU(n)
Betrachtet man allgemein einen n-dimensionalen, komplexen Vektorraum, so ist SU(n) wieder die entsprechende Rotationssymmetrie. Die Vektoren haben n komplexe Komponenten, die SU(n) besteht aus n*n Matrizen mit komplexen Einträgen und der Determinante 1.
Für die Dimension der SU(n), d.h. die Anzahl der Parameter θª gilt

dim SU(n) = n² - 1

d.h. in n Dimensionen benötigt man n²-1 „Drehwinkel“.

8.3 Exponentialdarstellung der SU(n)

Alle o.g. Gruppen können im weitesten Sinne als Drehgruppen bezeichnet werden. Für die U(1) habe ich bereits eine Darstellung in Exponentialform

U(θ) = exp iθ

genannt. Diese Form existiert (mit notwendigen Verallgemeinerungen) für alle Drehgruppen. Man führt dazu die zu einer Gruppe gehörende Algebra, einen Satz von Matrizen tª, a=1.. K ein. Die Zahl K der Matrizen tª entspricht der Anzahl der Drehwinkel oder Parameter ?ª und hängt von der Gruppe selbst ab (Bsp. oben: für SU(2) und SU(3) ist K=3). Für die Exponentialdarstellung erhält man

U(θª) = exp iθªtª

wobei in θªtª über alle einzelnen Terme a=1..K summiert wird.
Dazu benötigt man die Definition der Exponentialfunktion einer Matrix. Diese kann man z.B. durch Taylorentwicklung definieren:

exp iθªtª = 1 + iθªtª + ½ (iθªtª)² + ...

Wichtig:
Die n*n Matrizen tª heißen Generatoren der Gruppe bzw. sie bezeichnen die Basis ihrer zugehörigen Algebra. Basis deswegen, weil man eine Art Vektorraum definiert hat, mit den tª als Basisvektoren und einem Vektor θªtª mit den Koeffizienten θª.

Die Algebra der tª ist in den meisten Fällen ausreichend, um die Eigenschaften der jeweiligen Gruppe zu studieren und um Berechnungen in der Quantenmechanik durchzuführen.
Die tª enthalten die wesentlichen Informationen über infinitesimale Drehungen; man sieht dies, wenn man nur den ersten Term der obigen Taylorentwicklung betrachtet:

exp iθªtª = 1 + iθªtª + …

Eine explizite Konstruktion der tª ist häufig nicht notwendig und wird für große SU(n), also große n, nicht explizit durchgeführt, jedoch sollte man sich das Beispiel SU(2) genauer vergegenwärtigen. Dafür erhält man die tª aus den Pauli-Matrizen gemäß

tª = ½ σª.

Mit Hilfe dieser Darstellung und einiger Rechenregeln für die σª kann man z.B. auch Taylorentwicklung für exp iθªtª wieder explizit berechnen. (Dies gilt für SU(n), n>2 leider nicht mehr).

Zur Form der tª: für die SU(n) kann man sich überlegen, welche Form die tª haben müssen: Zunächst betrachtet man immer die sogenannte Fundamentaldarstellung der Gruppe. Oben haben wir diese implizit eingeführt, indem wir z.B. SU(n) und SO(n) als Drehgruppen für n-dimensionale Vektoren bezeichnet haben. Demnach müssen auch die Generatoren tª n*n Matrizen sein.
Zunächst muss die Matrix exp iθªtª unitär sein. Dazu sind (reelle Drehwinkel θª vorausgesetzt), die tª sogenannte selbstadjungierte Matrizen, also adj(tª) = tª. D.h. komplexe Konjugation der Elemente plus Spiegelung an der Diagonalen liefert wieder dasselbe tª.
Dann überlegt man sich, wie viele tª es gibt: Die tª sind die Basis für einen Vektorraum aus n*n Matrizen. Dieser Vektorraum ist also n² dimensional, die Basis hat also n² Elemente (dass die n*n Elemente in einem quadratischen Schema statt in einem Vektor angeordnet sind, spielt für die Abzählung keine Rolle). Nun zieht man noch eine Matrix (die Einheitsmatrix) für die U(1) in der U(n) = U(1)*SU(n) ab, und erhält statt n² nur noch n²-1 Matrizen.

Zusammenfassend: Die SU(n) umfasst alle Drehungen von komplexen Vektoren der Dimension n. Die Anzahl K der Drehwinkel θª, a=1..K, ist n²-1, dies ist die Dimension der Gruppe SU(n). Demnach ist auch die Zahl der Generatoren tª gleich n²-1. Geht man von der SU(n) zur U(n) über, so muss man noch einen Generator, nämlich die Einheitsmatrix, mit dazunehmen.

[anker]8-4[/anker]8.4 Die Lie-Algebra

Die Wichtigkeit der Generatoren tª der Lie-Algebra su(n) liegt darin begründet, dass sie bereits die meisten Strukturen der vollen Gruppe SU(n) enthalten.

Ich habe bereits erwähnt, dass man in der Quantenmechanik eine Operatordarstellung der jeweiligen Algebra benötigt. Betrachtet man den Drehimpuls L in der Quantenmechanik: Man erhält einen quantenmechanischen Differentialoperator mit den Komponenten Lª, a=1..3. Wichtig dabei ist, dass diese Komponenten Lª dieselbe Algebra erfüllen wie die Matrizen tª der SO(3)!

Der Witz ist also, dass sich die Eigenschaften des quantenmechanischen Drehimpulses L aus rein algebraischen Relationen ergeben. Dies war in der Quantenmechanik eine revolutionäre Erkenntnis.

Es gibt weitere Fälle, in denen für Systeme mit besonderen Symmetrien die wesentlichen Eigenschaften ausschließlich aus einer Lie-Algebra ableitbar sind. Z.B. können die Energieeigenwerte des Wasserstoffatoms rein algebraisch ohne das Lösen einer einzigen Differentialgleichung hergeleitet werden.

[anker]8-5[/anker]8.5 Die Verwandschaft von SO(3) und SU(2)

In der SO(3) sind die tª 3*3 Matrizen, in der SU(2) sind es 2*2 Matrizen. Beide Gruppen haben drei Drehwinkel, also a=1..3. Beiden Gruppen sind eng miteinander verwandt.
Bei der Algebra bzw. den Kommutatoren sieht dies wie folgt aus: Jeder Kommutator hat in der SU(2) und in der SU(3) denselben Wert! D.h. dass zwar die Matrizen die tª in den beiden Gruppen unterschiedlich aussehen, dass jedoch die Strukturkonstanten f identisch sind! D.h. dass zwar die Gruppen SU(2) und SU(3) unterschiedlich sind (einmal handelt es sich um Drehungen von komplexen 2er-Vektoren, einmal um Rotationen von reellen 3er-Vektoren), die Algebra ist jedoch identisch!

[anker]8-6[/anker]8.6 Darstellungen II

Bisher sind wir davon ausgegangen, dass jede Gruppe, z.B. eine SU(n) dadurch definiert ist, dass sie n-dimensionale Vektoren rotiert, und dass man dazu n*n Matrizen tª benötigt, um die Drehmatrizen U(θª) = exp iθªtª zu beschreiben. Dann haben wir die Algebra der tª und die Kommutatoren bzw. die Strukturkonstanten betrachtet.

Man kann auch umgekehrt vorgehen; dazu betrachtet man ausschließlich die Kommutatoren sowie die Strukturkonstanten, und versucht, konkrete Matrizen tª zu finden, die diese Relationen erfüllen. Dabei stellt man nun fest, dass neben den oben gefundenen tª auch weitere Matrizen xª möglich sind, wobei diese i.A. eine andere Dimension haben, also keine n*n Matrizen mehr sind.

Man erhält somit unterschiedliche Darstellungen einer Gruppe. Die zuerst eingeführten tª definieren die sogenannte Fundamentaldarstellung oder definierende Darstellung, aus der man alle Eigenschaften sowie weitere Darstellungen ableiten kann. Insofern ist die Gruppe das zentrale Element, die einzelnen Darstellungen sind spezifische Ausprägungen davon.

In der Natur sind nun die einzelnen Darstellungen, das, was physikalisch realisiert ist. Eine Theorie mit einer zugrundeliegenden Symmetrie enthält immer einzelne physikalische Objekte, z.B. Teilchen, die dann innerhalb einer gewissen Darstellung „leben“.

[anker]8-7[/anker]8.7 Darstellungen der SO(3)

Zunächst muss man noch den Begriff des Casimir-Operators einführen. Dazu betrachtet man zum quantenmechanischen Drehimpulsoperator L dessen Komponenten Lª sowie das Drehimpulsquadrat

L² = Lª* Lª (Summe über alle Komponenten a)

In der Quantenmechanik findet man, dass dessen Eigenwerte quantisiert sind (dies ist bereits eine Eigenschaft der Algebra – also rein mathematisch ohne Quantenmechanik). Für die Eigenwerte von L², die den Gesamtdrehimpuls ℓ definieren, gilt

ℓ = 0, 1, 2, …
L²|ℓ) = ℓ(ℓ+1) |ℓ)

Dabei spezifiziert ℓ nun eine Darstellung der Darstellung der SO(3), d.h. ℓ ist abhängig von der gewählten Darstellung.

Die Bedeutung von L² ist, dass man den unendlich dimensionalen Hilbertraum der Quantenmechanik in verschiedene endlichdimensionale Darstellungen der SO(3) zerlegt.

Nun existieren zu festem ℓ jedoch 2ℓ+1 Vektoren |ℓ m), die mit einem weiteren Parameter m durchnumeriert werden. Man wählt dazu eine weiter Drehimpulskomponente (üblicherweise die 3- bzw. die z-Komponente), d.h.

L (z)|ℓ m) = m |ℓ m)

Man findet nun, dass die erlaubten Werte von m von –ℓ bis +ℓ laufen, d.h. es gibt 2ℓ+1 Möglichkeiten, entsprechend der Dimension 2ℓ+1 der Darstellung ℓ.

m = -ℓ, -ℓ+1, …, -ℓ
Dim Rep ℓ = 2 ℓ + 1

Damit hat man alle Darstellungen der SO(3) konstruiert, d.D.h. man hat den unendlich dimensionalen Hilbertraum zerlegen in

H = (1) + (3) + (5) + (7) + ...

Dabei steht (1) für die triviale Darstellung = das Singulett, (3) für die Fundamentaldarstellung = das Triplett usw.

Zu jeder dieser Darstellungen kann man die entsprechenden xª konstruieren. Die Dimension der Matrizen entspricht der Dimension des Vektorraumes bzw. der Darstellung, d.h. es handelt sich um (2ℓ+1) * (2ℓ+1) Matrizen

[anker]8-8[/anker]8.8 Darstellungen der SU(2)

Eine analoge Konstruktion funktioniert auch für die SU(2). Der wesentliche Unterschied liegt in der o.g. Struktur, dass SO(3) und SU(2) verwandt aber nicht identisch sind. Die SU(2) enthält neben den ganzzahligen Vektor-Darstellungen

ℓ = 0, 1, 2, …

der SO(3) noch die halbzahligen Spinor-Darstellungen mit

ℓ = 1/2, 3/2, …

Die Eigenwertgleichung, die Bedingung für m und somit die Dimensionalität bleiben, d.h.

L²|ℓ m) = ℓ(ℓ+1) |ℓ m)
m = -ℓ, -ℓ+1, …, -ℓ

Dim Rep ℓ = 2 ℓ + 1

D.h. man kann den unendlich dimensionalen Hilbertraum H zerlegen in

H = (1) + (2) + (3) + (4) + (5) + ... =
= (1) + (3) + (5) + ... +
= (2) + (4) + (6) + ... +

Die Fundamentaldarstellung der SU(2) ist zweidimensional:

ℓ = ½
m = -½, +½

D.h. es gibt zwei mögliche Spineinstellungen ±½.

[anker]8-9[/anker]8.9 SU(2) und Lorentzgruppe SO(3,1)

Warum ist nun in der Natur die SU(2) realisiert, obwohl wir doch im uns vertrauten dreidimensionalen Raum die SO(3) erwarten würden? Anders gefragt, was ist der Grund dafür, dass wir in der Natur auch halbzahlige Spins beobachten? Die Ursache dafür liegt in der Lorentzgruppe begründet, d.h. der Spin ist eigentlich eine relativistische Eigenschaft.

Wir haben oben gesehen, dass die SO(3) das dreidimensionale Skalarprodukt invariant lässt. Analog benötigt man für das Skalarprodukt

s² = t² - x² - y² - z²

die Gruppe SO(3,1), wobei damit dem relativen Vorzeichen Rechnung getragen wird. Im Unterschied zur SO(4) enthält die SO(3,1) für drei Generatoren einen imaginären Drehwinkel. Alternativ kann man auch reelle Parameter zulassen und das zusätzliche i in den Generatoren verstecken. Damit erhält man

{Tª; a=1..6} = {Lª, Kª; a=1..3}.

In Summe erhält man aus den sechs Matrizen Tª drei Drehungen Lª und drei Boosts Kª. Man definiert nun komplexe Linearkombinationen

Mª = Lª + iKª und
Nª = Lª - iKª

Für die neuen Generatoren Mª und Nª gilt, dass
- die Mª für sich eine SU(2) generieren,
- dass die Nª ebenfalls eine SU(2) generieren, und
- dass alle Mª mit allen Nª vertauschen!

Man schreibt dies kurz als

SO(3,1) ~ SU(2)*SU(2)

d.h. man kann die Algebra der SO(3,1) algebraisch umformen zu zwei unabhängigen SU(2)-Algebren.

Die Zahl der Dimensionen ist korrekt: man hatte für die SO(3,1) die Dimension sechs (drei Rotationen, drei Boosts), für die SU(2)*SU(2) findet man zweimal drei Generatoren der SU(2), also wieder sechs.

Man erhält die Spinoren zur Darstellung von Spin-½ Teilchen also aus einer algebraischen Manipulation der SO(3,1). Demnach ist der Spin keine rein quantenmechanische Eigenschaft, sondern zugleich auch eine relativistische. Nur über die Lorentzgruppe SO(3,1) ~ SU(2)*SU(2) erhält man diese spezielle Eigenschaft. Auch die „Verdoppelung“ der SU(2) findet man in der Natur wieder. So beschreibt man z.B. Elektronen, Positronen, Quarks usw. durch sogenannte Dirac-Spinoren (vierkomponentige Objekte, jeweils zwei Komponenten entsprechen einer SU(2).)

Zusammenfassend: Teilchen, d.h. physikalische Elemente eines Hilbertraumes in der QFT, lassen sich anhand von Symmetrien klassifizieren. Eine elementare Symmetrie ist die Rotationssymmetrie SU(2), die aus der Lorentzgruppe SO(3,1) folgt. Demzufolge werden alle Teilchen in Multipletts ℓ der SU(2) einordnen. Jedes Multiplett hat dabei insgs. 2ℓ+1mögliche Drehimpulszustände bzw. Spinstellungen entsprechend m=-ℓ, …,+ℓ.
Der Grund, dass sowohl ganz- als auch halbzahlige Spins vorkommen, liegt in der Tatsache begründet, dass die Lorentzgruppe SO(3,1) in zwei kommutierende Faktoren SU(2)*SU(2) zerlegt werden kann.

Ausblick: Dieselben Mechanismen werden wir verwenden, um die Quarks und Nukleonen gemäß SU(2) bzw. SU(3) zu klassifizieren.

Weitere Aspekte: Im Rahmen der modernen Formulierung von Eichtheorien diskutiert man heute die topologischen Eigenschaften von Lie-Gruppen. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass sie neben der algebraischen Gruppenstruktur auch die topologische Struktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit haben. Auf diese an sich sehr interessanten Aspekte möchte ich hier jedoch nicht weiter eingehen.
Zuletzt geändert von tomS am 16. Apr 2009, 22:50, insgesamt 2-mal geändert.
Gruß
Tom

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Re: 8. Symmetrien I – Liealgebren und -gruppen

Beitrag von gravi » 11. Mär 2009, 18:27

Also, Du legst ja ein Tempo vor!
Da komme ich kaum mit dem Lesen nach...

Und das Kapitel hier muss ich wohl noch mindestens 3 Mal lesen :shock:

Trotzdem: Hut ab vor so viel Engagement!

Netten Gruß
gravi
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Re: 8. Symmetrien I – Liealgebren und -gruppen

Beitrag von tomS » 11. Mär 2009, 19:03

Hallo,

das Tempo wird sich ganz von alleine reduzieren.

Wilfried war ja so nett, mal ca. 8 Kapitel zu checken. Ich wollte sie ihm nicht einzeln geben, damit er auch einen Gesamteindruck von dem hat, wo ich hin will. Ich habe jetzt noch ein paar Kapitel vorbereitet, aber viele der restlichen Punkte sind erst rudimentär vorhanden. Mein Status ist wie folgt:

3. Generelle Konzepte: Teilchenbegriff, Felder, Symmetrien
4. Elementarteilchen und Klassifizierungsschemata
5. Einschub - Das Standardmodell
6. Das Vakuum, Teilchen und Antiteilchen, virtuelle Teilchen
7. Pfadintegrale, Feynmandiagramme und Renormierung
8. Symmetrien I: Liealgebren und -gruppen
9. Symmetrien II: Eichtheorien, Constraints / Gauss-Gesetz
10. starke WW / QCD I: Quarkmodell, SU(3) Flavor-Symmetrie
11. starke WW / QCD II: Asymptotische Freiheit, Confinement, chirale Symmetriebrechung
12. starke WW / QCD III: Tiefinelastische Streuung, Formfaktoren und Strukturfunktionen
13. starke WW / QCD IV: Gittereichtheorie
14. schwache WW: chirale Struktur, Neutrinos, Higgs
15. Misc.: Anomalien, CP-Verletzung, Axion, …
16. Offene Punkte: Eindeutigkeit (Parameter), Hierarchieproblem, Renormierung, …
17. Erweiterungen / Ausblick: GUTs, SUSY/MSSM, SUGRA, Strings

Legende:

ins Forum eingestellt
fertig bis auf Layout, Korrekturen u.ä.
begonnen; Teile liegen vor
noch nicht begonnen

Was für alle Kapitel noch folgt ist das Thema Bilder, das mache ich in einem zweiten Durchgang
Gruß
Tom

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Re: 8. Symmetrien I – Liealgebren und -gruppen

Beitrag von wilfried » 22. Jul 2009, 09:28

Tag zusammen

lieber breaker, ich möchte die Ausführungen von Tom noch um ein klein wenig ergänzen:
ErläuterungSei L eine auflösbare Unteralgebra der gl(V ), V endlich dimensional. Wenn V # 0 gilt, dann existiert ein gemeinsamer Eigenvektor für alle Endomorphismen in L
Das ist der Satz von Lie.

Beweis (auch der von Engel in:
http://www.uni-due.de/~bm0062/Lie/Hai_add3.pdf

Lie-Gruppen sind Gruppen-Mannigfaltigkeiten und tauchen als Symmetrie-Strukturen in praktisch allen Gebieten der reinen und angewandten Mathematik auf.

Lie-Algebren sind die infinitesimalen Gegenstücke zu Lie-Gruppen.

netten Gruß

Wilfried
Die Symmetrie ist der entscheidende Ansatz Dinge zu verstehen:
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e

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Re: 8. Symmetrien I – Liealgebren und -gruppen

Beitrag von tomS » 27. Jul 2009, 00:02

Hallo!!!

Da sind wir wohl einem Missverständnis aufgesessen: Die Diskussionen zu Liealgebren und -gruppen passt schon unter mathematische Fragestellungen - aber der erste Hauptbeitrag gehört in die Elementarteilchenphysik! Bitte wieder dorthin zurückschieben.

Danke
Thomas
Gruß
Tom

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Re: 8. Symmetrien I – Liealgebren und -gruppen

Beitrag von wilfried » 27. Jul 2009, 08:50

Tag Tom

ist mir schon bewußt gewesen. Nur dachte ich, daß wir Lie als "Cluster" hier belassen. Trotzdem schiebe ich das wieder gerne zurück...besser, da ich in einigen Minuten abschlate und dann zum Segeln fahre, bitte dann unseren leiben tensor, dieses durchzuführen

Gruß

Wilfried
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Re: 8. Symmetrien I – Liealgebren und -gruppen

Beitrag von Xathan » 27. Jul 2009, 11:02

tomS hat geschrieben:Hallo!!!

Da sind wir wohl einem Missverständnis aufgesessen: Die Diskussionen zu Liealgebren und -gruppen passt schon unter mathematische Fragestellungen - aber der erste Hauptbeitrag gehört in die Elementarteilchenphysik! Bitte wieder dorthin zurückschieben.

Danke
Thomas
Hab das Thema zurück zur Elementarteilchenphysik verschoben.
Then one day, our people set foot upon a dark world where a terrible enemy slept. Never before had we encountered beings with powers that rivaled our own. In our overconfidence, we were unprepared and outnumbered.

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Re: 8. Symmetrien I – Liealgebren und -gruppen

Beitrag von tomS » 27. Jul 2009, 12:40

Danke schön!
Gruß
Tom

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