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03. Generelle Konzepte

Übersichtsartikel zur Elementarteilchenphysik und zur Quantenfeldtheorie
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tomS
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03. Generelle Konzepte

Beitrag von tomS » 26. Feb 2009, 01:55

[anker]3[/anker]3. Generelle Konzepte

[anker]3-1[/anker]3.1 Allgemeine Begriffe

Bevor wir Phänomene und Konzepte der Teilchenphysik diskutieren, möchte ich stichpunktartig einige Begriffe insbs. aus der Quantenmechanik und der Relativitätstheorie erläutern, die im Folgenden immer wieder verwendet werden. Ich hoffe, dass damit den Einsteigern in das Thema das Lesen erleichtert wird, obwohl ich hier natürlich keine vollständige Einführung zu diesen Themen präsentieren kann.

Bei offenen Fragen zu diesen Themen bietet es sich natürlich immer an, bei Wikipedia nachzuschlagen

Vektorraum
Unter einem Vektor versteht man zunächst eine gerichtet Größe, also so etwas wie ein Pfeil mit Länge und Richtung. Außerdem lassen sich zwischen Vektoren Addition und Multiplikation.
Ein Vektorraum ist nun eine Menge von Objekten, die sich im mathematischen Sinne wie Vektoren verhalten. Das könne die bekannten Vektoren sein, jedoch auch andere Objekte wie z.B. Funktionen oder kompliziertere Gebilde. In der QM und QFT hat man es häufig mit unendlichdimensionalen Vektotrräumen zu tun.

Hilbertraum
Aus Gründen der Anschaulichkeit darf man sich zunächst einen Vektorraum vorstellen, wie er z.B. im dreidimensionalen Raum realisiert ist. Die zentrale Eigenschaft eines Vektorraums ist seine Dimension, also in Anzahl der unabhängigen Richtungen (im Falle des dreidimensionalen Raumes sind dies z.B. „vorne“, „oben“ und „rechts“). Je Richtung existiert ein Vektor, der genau in diese Richtung zeigt und eine auf Eins festgelegte Länge hat – ein sogenannter Einheits- oder Basisvektor. Deren Gesamtheit bildet eine sogenannte Basis.
Alle diese Konzepte bleiben im Falle des Hilbertraumes gültig, allerdings wird die Anzahl der verwendeten Basisvektoren und damit die Dimension unendlich!

Fockraum
Der Fockraum ist nun ein spezieller Hilbertraum, der der Tatsache Rechnung trägt, dass zum einen bereits ein einzelnes Teilchen unendlich viele verschiedene Zustände einnehmen kann (und daher in einem unendlich-dimensionalen Hilbertraum lebt) und dass zum anderen potentiell 0, 1, 2, … unendlich viele Teilchen betrachtet werden müssen. Der Fockraum ist also die mathematische Zusammenfassung unendlich vieler unendlich-dimensionaler Hilberträume.

Vierervektor, Viererimpuls
Zunächst betrachtet man in der speziellen Relativitätstheorie die Zusammenfassung von Raumkoordinaten r (= Dreiervektor mit x,y,z) und der Zeitkoordinate t zur Raumzeit bzw. dem Vierervektor (t,r). Genauso kann man nun die räumlichen Impulskomponenten und die Energie zum sogenannten Viererimpuls (E,p) zusammenfassen. Dabei gilt immer E²-p² = m², wobei m für die Ruhemasse des Objektes steht. m ist eine relativistisch invariante Charakterisierung eines Objektes, d.h. ein Objekt bzw. Teilchen wird unabhängig vom Bezugssystem oder Bewegungszustand immer denselben Wert für m aufweisen.

Lorentz- bzw. Poincaresymmetrie
Darunter versteht man Symmetrien der vierdimensionalen Raumzeit. Im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum kennt man die Rotations- und die Translationssymmetrie. Diese sind in der Poincaresymmetrie ebenfalls enthalten. Außerdem werden diese jedoch in der vierdimensionalen Raumzeit mit weiteren zeitartigen Transformationen kombiniert.

Quantenzahlen
Unter einer Quantenzahl versteht man mathematisch eine Eigenschaft eines Teilchens, die sich aus der Quantenmechanik bzw. Quantenfeldtheorie ergibt und die durch eine diskrete Zahl beschrieben werden kann. Ein bekanntes Beispiel ist der Spin eines Teilchens. Er entspricht in etwa einem Eigendrehimpuls, wobei dieser keine beliebigen sondern nur noch diskrete, gequantelte Werte annehmen kann. Quantenzahlen dienen häufig zur Klassifizierung von Teilchen, z.B. unterscheidet man zwischen Teilchen mit ganzzahligem Spin 0, 1, 2, ..., den sog. Bosonen und Teilchen mit halbzahligem Spin = 1/2, 3/2, ..., den sog. Fermionen. Eine bestimmte Teilchensorte wird dabei durch einen vollständigen Satz von Quantenzahlen eindeutig beschrieben;
Keine Quantenzahl ist dabei die Masse einer Teilchensorte! Sie wird durch keinerlei quantenmechanisches Prinzip festgelegt und muss experimentell bestimmt werden.

Quantenmechanik
Die Quantenmechanik QM beschäftigt sich mit der Beschreibung einzelner Teilchen (z.B. Elektronen) in äußeren Felder (z.B. dem Potential eines Atomkerns) sowie der Wechselwirkung der Teilchen untereinander.
Ein wesentlicher Zug der Quantenmechanik ist, dass Teilchen ihre klassischen Eigenschaften verlieren; so sind Teilchen i.A. nicht mehr beliebig genau lokalisierbar und haben nicht gleichzeitig definierten Ort und Impuls (Heißenbergsche Unschärfenrelation). Die QM zwingt uns außerdem, den Begriff der Realität und Individualität von Teilchen teilweise aufzugeben und lediglich Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Beobachtungen zu diskutieren. Es treten sogenannte Quanteneffekte auf, wie z.B. die Quantelung = das Auftreten diskreter Werte der Energie eines Systems.

Quantenfeldtheorie
Die Quantenfeldtheorie QFT beschäftigt sich mit der Beschreibung von Systemen beliebig (unendlich) vieler bzw. variabler Teilchenanzahl. Dabei treten keine klassischen Felder mehr auf, diese werden ebenfalls quantisiert.
Ein wesentlicher Zug der Quantenfeldtheorie ist, dass man nicht mehr von „dem einen Elektron“ sprechen kann; der Formalismus beschreibt mittels des Elektronfeldes eigentlich alle möglichen Zustände aller möglichen Elektronen (und Positronen) im Universum. Erst im Ergebnis / Experiment zeigt sich dann wieder ein individuelles Elektron.

Quantisierung
Unter Quantisierung versteht man zunächst den Übergang von der klassischen Beschreibung von Teilchen mit definiertem Ort und Geschwindigkeit zum quantenmechanischen Formalismus auf Basis von Wellenfunktionen. Dieser Formalismus wird in der QM benötigt.
Unter zweiter Quantisierung versteht man den Übergang von der Beschreibung durch Felder (el.-mag Feld, Wellenfunktion der QM) zum Formalismus auf Basis von Feldoperatoren. Dieser Formalismus wird in der QFT benötigt, um Systeme mit beliebig vielen Teilchen sowie Entstehungs- und Vernichtungsprozesse zu beschreiben.

3.1 Der Teilchenbegriff

Zunächst also mal ein paar Ideen zum Teilchenbegriff. Ursprünglich stellte man sich unter einem Teilchen ein strukturloses, punktförmiges Gebilde vor, das noch ein paar weitere Eigenschaften wie Ladung und Spin haben konnte. Oder man dachte, es könne sich um eine kleine Kugeln o.ä. handeln. Alles das führt aber zu nichts. Man versucht dabei, klassische Begriffe auf die Quantenwelt zu übertragen – und scheitert grundsätzlich (unendliche Selbstenergie, Überlichtgeschwindigkeiten, Welle-Teilchen-Dualismus usw.).

Stattdessen muss man leider auf extrem unanschauliche, mathematische Konzepte zurückgreifen. Ein Teilchenbegriff, wie man ich heute aus den Quantenfeldtheorien ableiten kann, sieht ungefähr wie folgt aus: Man betrachtet den o.g. Fockraum, mit dessen Hilfe man verschiedene Teilchensorten (in unterschiedlichen Sektoren) sowie unendlich viele Teilchen als einzelne Basisvektoren beschreiben kann..Ein Teilchen mit allen seinen Eigenschaften wie Impuls, Spinrichtung oder Polarisation wird dabei als ein Vektor im Fockraum beschrieben. Unterschiedliche Impulse oder Spins entsprechen dabei unterschiedlichen Basisvektoren. Außerdem spricht man häufig von unterschiedlichen Sektoren im Fockraum, in denen (unendlich viele) verschiedenen Vektoren oder Zustände zusammengefasst sind, die gemeinsame Eigenschaften haben. Ein Beispiel sind die Elektron- bzw. Positron-Sektoren, in dem sich zum einen alle Elektron-, zum anderen alle Positron-Zustände befinden, also Teilchen unterschiedlicher Ladung. Die Masse m, Ladung e und Spinbetrag 1/2 sind innerhalb eines Sektor identisch.

Dieser unendlichdimensionale Vektorraum trägt nun einige mathematische Strukturen. Man fordert, dass ein physikalisches Teilchen ein spezieller Zustand (also ein Vektor) ist, der sich bezüglich bestimmter Symmetrietransformationen sinnvoll transformiert. Dies sind im Wesentlichen die Raumzeitsymmetrien der Poincare-Gruppe, innere Symmetrien wie Ladung, Isospin u.ä. und zuletzt die Eichsymmetrien.

Im Folgenden versuche ich (als Vorgriff auf spätere Kapitel) kurz zu erläutern, welche zentrale Rolle der Begriff des Fock- bzw. des Zustandsraumes für die Klassifizierung von Teilchen, Wechselwirkungen und Symmetrien spielt.

Betrachten wir zunächst die Raumzeitsymmetrien. Ein Teilchen soll definierten Viererimpuls p und definierten Spin s bzw. Eigendrehimpuls aufweisen. D.h. dass sich der Fockraum bzgl. dieser Symmetrietransformationen in Unterräume zerlegen lässt. Jeder Unterraum hat dabei eine bestimmte Eigenschaft bzgl. dieser Symmetrien. Am Beispiel eines Elektrons sieht das wie folgt aus: Man möchte ein Elektron mit vorgegebene Viererimpuls p und Spin ½ beschreiben. Dies entspricht nun einem Vektor |Elektron) mit (Großbuchstaben entsprechen Operatoren, kleine Buchstaben entsprechen Zahlen)

P|Elektron) = p|Elektron)
S|Elektron) = (+½)|Elektron)
Q|Elektron) = (-1)|Elektron)

Statt |Elektron) schreibt man dann besser so was wie |p=…, s=…, q=…) Damit kann man nun auch Positronen beschreiben, indem man nämlich statt q=-1 jetzt q=+1 setzt. Dabei habe ich bereits eine innere Symmetrie, hier die der el.-mag. WW und die zugeordnete Eigenschaft der Ladung eingeführt. Auch weiter Eigenschaften wie Isospin (bzgl. u- und d-Quark), schwacher Isospin usw. kann man auf ähnliche Weise mit einführen. Dies sei an dieser Stelle lediglich als Ausblick erwähnt; auf die Details der zugehörigen Symmetrien gehe ich später genauer ein.

Insgs. kann nun jedes beliebige Elektron als ein bestimmter Zustand in diesem Fockraum dargestellt werden. Der nächste Schritt ist die Darstellung mehrere Elektronen im Fockraum. Dazu benötigt man Zwei- Drei- usw. Teilchenzustände. Ein Zweiteilchenzustand wäre formal so etwas wie

|p=…, s=…, q=…; p’=…, s’=…, q’=…)

Mathematisch besteht die Möglichkeit, beliebig viele Teilchen in einem derartigen Fockraum zu beschreiben.

Man kann auf diese Weise auch zusammengesetzte Objekte repräsentieren. In der QCD entsprächen den elementaren Objekten zunächst die Quark-Zustände. Jeder Quark-Zustand trägt dabei ähnliche Eigenschaften wie ein Elektron, es kommt jedoch noch die Farbladung hinzu. Ein Quark-Zustand wäre also so etwas wie

|p=…, s=1/2, q=1/3, t=1/2, c=“gelb“)

Ein Proton-Zustand wäre dann z.B.

|p=…, s=1/2, q=+1, t=1/2, c=“farblos“)

Das t=1/2 steht für eine neue Eigenschaft der starken WW, den Isospin, das c für die Farbladung. Mittels des Isospins klassifiziert man up- und down-Quark bzw. Proton und Neutron. Interessant ist nun der Unterschied zwischen einem Quark-Zustand und dem Protonen-Zustand; letztere setzt sich im einfachen Quark-Modell aus einer Kombination von einigen drei-Quark Zuständen zusammen; am einfachsten schreibt man dies als |uud), wobei nur die drei Quarksorten genannt werden. Dabei werden alle weiteren Eigenschaften unterdrückt. Die Symmetrieeigenschaften dieses Zustandes bzgl. der starken WW sind eindeutig festgelegt. In der QCD ist ein Protonzustand dagegen etwas wesentlich Komplizierteres; er wird z.B. unendliche viele Quarks und Gluonen enthalten (dazu braucht man dann eine andere Notation). Trotzdem bleiben einige der hier beschriebenen Eigenschaften gültig:

P|Proton) = p|Proton)
S| Proton) = (+½)| Proton)
Q| Proton) = (+1)| Proton)
T³| Proton) = (+½)| Proton)
Cª| Proton) = 0; a=1..8

Die letzten beiden Gleichungen stehen für den Isospin und die verschwindende Farbladung. Eine analoge Vorgehensweise funktioniert für alle Teilchen aus dem Teilchenzoo (Baryonen = Proton, Neutron, … und Mesonen = Pionen, …).

Zusammenfassend: Das Teilchenkonzept ist untrennbar mit dem Begriff eines Zustandsraumes verbunden. Man rettet aus der klassischen Anschauung die einem Teilchen zugeordneten Eigenschaften herüber und repräsentiert diese in einem Hilbertraum. Dann ist jedes Objekt (d.h. jeder Vektor) in diesem Hilbertraum, das derartige teilchenartige Eigenschaften trägt, im weitesten Sinne ein Teilchen. Damit bleiben eigentlich nur die messbaren Größen sowie die zugrundeliegenden Symmetrien übrig. Ein anschaulicher Teilchenbegriff ist vollständig verloren gegangen.

3.2 Der Feldbegriff

Ähnliches passiert nun mit dem Feldbegriff. Man kann den Teilchen- eigentlich nicht vom Feldbegriff trennen. Beide sind in der Quantenfeldtheorie eng miteinander verbunden. Während aus dem klassischen Teilchen ein Zustand in einem Hilbertraum wird, wird aus dem klassischen Feld ein Feldoperator, der auf diesem Hilbertraum wirkt.
Ein Feld ist dabei ein mathematisches Objekt, das an jedem Raumzeitpunkt einen (oder mehrere) Werte annehmen kann; eines der einfachsten Felder ist ein Temperaturfeld, wobei die Temperatur T eben abhängig vom Ort x sein kann, also T(x).
Klassisch betrachtet man z.B. zunächst die Felder in der Maxwellschen Elektrodynamik. Dabei stößt man auf die Vektorpotentiale A sowie die el. und die mag. Feldstärken E und B, die wiederum durch A ausgedrückt werden können. Man führt dann für A und E eine Art Fourierzerlegung durch und stellt ein Feld A(x) im Ortsraum durch die Fourierkomponenten a(p) und a*(p) im Impulsraum dar:

a(p) = ∫d³x exp(-ipx) A(x)

Nun kommt der springende Punkt, nämlich die Durchführung der Quantisierung. Dabei werden aus a(p) und a*(p) Operatoren. a*(p) erzeugt ein Photon mit Impuls p, a(p) vernichtet ein Photon mit Impuls p. D.h. man kann nun ein-Photonzustände im Fockraum wie folgt darstellen:

|Photon) = a*(p)|Vakuum)
a(p)|Photon) = |Vakuum)
P|Photon) = p|Photon)

Auch Mehr-Photon-Zustände und damit prinzipiell alle Zustände im Fock-Raum können so konstruiert werden; z.B. können zwei Photonen, wobei eines den Impuls p und eines den Impuls q trägt, wie folgt dargestellt werden:

|Photon mit Impuls p, Photon mit Impuls q) = a*(q) a*(p) |Vakuum)

Weitere Eigenschaften wie Helizität bzw. Polarisation spare ich mir hier.

Dabei stößt man auf ein interessantes Gebilde, nämlich den Teilchenzahloperator

N(p) = a*(p) a(p).

Er „zählt“ die Anzahl der Photonen mit einem bestimmten Impuls p:

N(p) |Photon) = (+1)|Photon)

Die Energie eines Photons erhält man dann mittels des Ein-Photon Hamiltonoperators

H(p) = ħω(p) N(p)

gemäß

ħω(p) N(p) |Photon) = ħω(p) |Photon) = E(p) |Photon)

Die Gesamtenergie ermittelt man mittels des Gesamt-Hamiltonoperators

H = ∫d³p ħω(p) N(p)

Man zählt dabei zu jedem Impuls p die Anzahl der Photonen und integriert anschließend über alle Impulse. ħω(p) ist dabei die dem Impuls p zugeordnete Energie.

Dieser Hamiltonoperator H gilt für freie Photonen ohne Wechselwirkung mit Ladungen. Ich habe dabei einige Probleme bzgl. der Polarisation außer Acht gelassen. Ein Problem ist nämlich, dass das Vektorpotential A(x) vier Komponenten entsprechend der vier Raumzeitdimensionen hat, dass es jedoch nur zwei physikalische Polarisationen gibt (weiß jeder, der sich mit polarisiertem Licht auskennt). Man muss also bei der Quantisierung irgendwie noch die zwei überzähligen Komponenten loskriegen. Dies erfolgt erstens mittels Anwendung der Eichsymmetrie (am einfachsten setzt man A°(x) = 0) und zweitens mittels Anwenden des Gauß-Gesetzes, das nämlich zeigt, dass noch ein weiterer Freiheitsgrad nicht dynamisch ist und eliminiert werden kann. Mehr dazu im Abschnitt über die Eichtheorien.

Der Hamiltonoperator kann nun auf beliebige Zustände angewandt werden:

H |Photonen) = ∫d³p ħω(p) a*(p) a(p) |Photonen)

Dabei steht der Zustand |Photonen) i.A. für ein unendliches Produkt

|Photonen) = a*(p) a*(p’) a*(p’’) … |Vakuum)

Interessant wird es nun, wenn man Wechselwirkungen einführt. Zum einen muss man dann einen fermionischen Sektor im Hilbertraum mitberücksichtigen, denn die Photonen müssen ja mit irgendetwas, also z.B. Elektronen und Positronen wechselwirken. Zum anderen werden dann die einfachen Zustände wesentlich komplizierter. Meist können sie nicht mehr geschlossen konstruiert werden sondern müssen über Näherungen ermittelt werden. Insbs. geht dann der Begriff der o.g. Teilchenzahl wieder verloren, denn dieser Operator liefert dann nicht mehr unbedingt ganze Zahlen bzw. sogar unendlich. Diese Unendlichkeiten sind ein notorisches Problem der Quantenfeldtheorie. Sie müssen auf die eine oder andere Weise geschickt eliminiert werden. Bereits oben bei der Definition des Teilchenzahloperators habe ich das getan, ohne explizit darauf hinzuweisen. Die naive Quantisierung führt nämlich dazu, dass bereits das Vakuum die Teilchenzahl unendlich hat.

Insbs. können alle o.g. Operatoren P, H, S, Q, usw. aus den elementaren Feldoperatoren, also z.B. A(x) oder a(p) zusammengesetzt werden. Im Falle von weiteren Feldern in der Theorie (also z.B. Elektronen), werden auch neue Feldoperatoren eingeführt. Im Falle von Fermionen erhält man diese nicht aus der Maxwellgleichung und A(x), sondern aus der Diracgleichung und somit ψ(x). ψ ist ein vierkomponentiger Spinor.

Zusammenfassend: Das Teilchenkonzept ist untrennbar mit dem Begriff eines Feldes verbunden. Man erhält aus dem klassischen Feld ein abstraktes Gebilde, einen sogenannten Feldoperator. Dieser Feldoperator operiert auf den oben eingeführten Zuständen im Hilbertraum, er erzeugt und vernichtet Teilchen. (d.h. er erzeugt aus einem Zustand ohne Teilchen einen mit einem Teilchen).
Die Wechselwirkung wird dabei durch einen Hamiltonoperator H beschrieben, den man aus der klassischen Hamilton- bzw. Energiefunktion ableiten kann. H sowie alle weiteren Operatoren setzen sich aus den Feldoperatoren aller beteiligten Felder zusammen.

3.3 Der Symmetriebegriff

Dieser Abschnitt ist in gewisser Weise ein (stark verkürzter) Vorgriff auf das Kapitel über die Lie-Gruppen und -Algebren. Ich möchte hier lediglich einige Begriffe einführen, die im Folgenden immer wieder eine Rolle spielen werden. Details werden später ausführlich erklärt.

Die oben auf dem Hilbertraum definierten Symmetrien findet man bei den Operatoren wieder. Vereinfacht ausgedrückt kann man sagen, dass eine Theorie dann eine bestimmte Symmetrie aufweist, wenn man durch eine geeignete Kombination aus Drehung der Vektoren und Drehung bzw. Umdefinition der Operatoren eine transformierte Beschreibung erhält, die für alle physikalischen Größen wieder identische Ergebnisse liefert.
Für die Poincare-Symmetrie kann man relativ leicht zeigen, dass die klassische Algebra sich auf die Operatoren übertragen lässt. Man kann H und P sowie die Drehimpulsoperatoren L und die Boosts K aus den Feldoperatoren zusammensetzen. Dies erfolgt im Wesentlichen wie oben durch eine Integraldarstellung ∫d³p …
Die Operatoren erfüllen dann die aus der klass. Physik bekannten algebraischen Relationen.

Was bedeutet dies nun genau? Betrachten wir dazu die Drehimpulsalgebra der SO(3). Es handelt sich dabei um eine Menge von 3*3 Matrizen tª, die bestimmte algebraische Relationen erfüllen. Diese Relationen sorgen dafür, dass man aus diesen Matrizen tª sogenannte Drehmatrizen D(θ) konstruieren kann, wobei drei Drehwinkel θª (a=1..3) vorkommen. D erzeugt dabei eine bestimmte Drehung im dreidimensionalen Raum. Die Konstruktion von D erfolgt über die Matrix-Exponentialfunktion:

D(θ)= exp(i tª θª); Summe über a, a=1..3

Mittels D kann man nun sowohl Vektoren als auch andere Matrizen drehen. Eine Theorie gilt als rotationssymmetrisch, wenn man alle darin vorkommenden Objekte einer beliebigen Drehung D unterwerfen kann, wobei die physikalischen Ergebnisse sich nicht ändern. Der einfachste Fall ist die Länge eines Vektors. Man berechnet sie gemäß des Skalarproduktes (x|x)
Nun kann man den Vektor |x) einer Drehung D unterwerfen:

|x’) = D(θª) |x)
(x’| = (x|D(-θª)

Es gilt

(x’|x’) = (x|D(-θª) D(θª) |x) = (x|x)

Dabei habe ich benutzt, dass

D(-θª) D(θª) = 1

gilt.

Eine analoge Konstruktion funktioniert auch für die Lorentzgruppe, wobei diese neben den Drehungen noch die Boosts enthält. Statt drei Matrizen Tª hat man nun sechs, nämlich Lª und Kª, wobei die Lª für Drehungen und die Kª für die Boosts stehen. Man findet nun Linearkombinationen

Mª = Lª + iKª und
Mª = Lª - iKª

wobei interessanterweise nun Mª und Nª unabhängig voneinander gedreht werden können. D.h. dass eine Drehung, die nur die Mª verdreht, die Nª unangetastet lässt und umgekehrt. Außerdem kann man noch die restlichen Generatoren der Poincare-Symmetrie, nämlich die Translationen in Zeit und Raum mit hinzunehmen. Diese lauten pª, wobei a=0 der Zeit und a=1..3 den drei Raumrichtungen entspricht.

Nun quantisiert man die Theorie, d.h. man geht von den Feldern zu den Feldoperatoren über. Bei dieser Gelegenheit konstruiert man auch P° = H
Sowie die anderen o.g. Operatoren.
Nun stellt man folgendes fest: Man findet zu den Matrizen die entsprechenden Operatoren
H = P°, Pª, Mª und Nª. Statt gewöhnlicher 4*4 Matrizen (jetzt 4, da wir die Poincare- bzw. Lorentzgruppe betrachten, nicht mehr nur die Rotationen in drei Raumdimensionen) sind dies nun Operatoren, ausgedrückt durch die elementaren Feldoperatoren der jeweiligen in der Theorie vorkommenden Felder (Photonen, Elektronen, Gluonen, Quarks, …). Die Operatoren operieren nun auf dem unendlich dimensionalen Hilbertraum. Sie erfüllen aber noch dieselben Gleichungen, wie zuvor die algebraischen Objekte (Matrizen).

Damit hat man nun erreicht, dass die klassische Symmetrie unter Lorentztransformationen auch in der Quantenfeldtheorie gültig bleibt. D.h. man darf die physikalischen Zustände des Hilbertraumes gemäß dieser Symmetrien klassifizieren. Man erwartet also, dass das klassische Resultat

p° p° - pª pª = m²

das zunächst für die Viererimpulse gilt, auch für die physikalischen Zustände im Hilbertraum gilt:

(P° P° - Pª Pª)|phys. Zustand) = m²| phys. Zustand)

D.h. physikalische Zustände im Hilbertraum müssen eine invariante Ruhemasse aufweisen. Der Wert dieser Masse ist hier noch nicht definiert.

Analog müssen andere algebraische Relationen erfüllt sein. Z.B. erhält man aus der Drehimpulsalgebra die Forderung, dass Elementarteilchen (Zustände im Hilbertraum) definierten Spin 0, ½, 1, … haben müssen.

D.h. man kann den Hilbertraum in Sektoren unterteilen, in denen jeweils Vektoren gleichartiger Klassifizierung bzgl. dieser Symmetrien liegen. So erhält man z.B. in der QED einen bosonischen Sektor, in dem alle Photonen „leben“ und einen fermionischen Sektor, in dem die Elektronen „leben“. Dies gilt aber auch für zusammengesetzte Teilchen! Z.B. gibt es keine Feldoperator für das Proton in der QCD. Das Proton ist ein gebundener Zustand aus unendlich vielen Quarks, Antiquarks und Gluonen. Trotzdem „lebt“ das Proton im fermionischen Sektor mit definierten Eigenschaften bzgl. m², dem Spin und anderen Eigenschaften. Dieser fermionische Sektor zerfällt wiederum in verschiedene Sektoren für die Spins 1/2, 3/2, … Man hat tatsächlich angeregte Zustände des Protons mit Spin=3/2 nachgewiesen.

Zusammenfassend: Symmetrien der klassischen Theorie werden in der Quantenfeldtheorie in algebraische Eigenschaften der Operatoren H, … übersetzt. Die Symmetrien sind im Hilbertraum dergestalt realisiert, dass dieser in Sektoren zerfällt, die sich bzgl. der Eigenschaften dieser Symmetrien klassifizieren lassen (Masse, Drehimpuls, innere Symmetrien, …)
Eine Theorie weist eine bestimmte Symmetrie auf, wenn man ihre Operatoren und ihren Hilbertraum einer Symmetrietransformation unterwerfen kann, wobei die physikalischen Größen davon unberührt bleiben.

Ausblick: Auch wenn ich die Details dazu nicht darstellen möchte hier dennoch eine kurze Anmerkung zur Beziehung zwischen der Definition einer relativistischen Quantenfeldtheorie und der speziellen Relativitätstheorie sowie der darin verwendeten Begriffe wie Lorentz- bzw. Poincare-Symmetrie. Letztere bilden die Grundlage für die Definition der mathematischen Strukturen der Quantenfeldtheorie. Man benötigt sie für die exakte Definition der Feldoperatoren sowie deren mathematischen Eigenschaften, man benötigt einen Lorentz-invarianten Abstandsbegriff in der Raum-Zeit, die relativistische Definition von Energie und Impuls (u.a. bei der Diskussion von Teilchen und Antiteilchen), die Klassifizierung der Elementarteilchen gemäß der Lorentzgruppe etc. Insgs. lässt sich sagen, dass viele Erkenntnisse der modernen Quantenfeldtheorie letztlich in mathematischen Strukturen begründet sind, die wiederum eng mit Strukturen der speziellen Relativitätstheorie bzw. deren Symmetrien verknüpft sind.
Zuletzt geändert von tomS am 16. Apr 2009, 22:33, insgesamt 13-mal geändert.
Gruß
Tom

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Re: 3. Generelle Konzepte

Beitrag von gravi » 26. Feb 2009, 19:12

Da muss ich doch gleich gestehen, dass ich bislang einen ganz anderen Teilchenbegriff hatte.
(Die 6) Quarks waren halt Quarks und Elektronen eben Elektronen, fundamentale Teilchen, aus denen sich die Materie zusammen setzt. Abgesehen von den Bosonen und Antiteilchen und all den anderen Exoten des Teilchenzoos. Aber ich hielt sie für fundamental und unveränderlich (zumindest temporär).

Nun sagst Du, dass ein Teilchen unendlich viele Zustände einnehmen kann. Wie ist das möglich, ein Elektron hat doch stets dieselben Eigenschaften wie Ladung, Spin, Masse. Es kann doch nicht einfach mal eben als Proton in Erscheinung treten...

Und noch weitere Fragen:
Betrachten wir zunächst die Raumzeitsymmetrien. Ein Teilchen soll definierten Viererimpuls p und definierten Spin s bzw. Eigendrehimpuls aufweisen. D.h. dass sich der Fockraum bzgl. dieser Symmetrietransformationen in Unterräume zerlegen lässt. Jeder Unterraum hat dabei eine bestimmte Eigenschaft bzgl. dieser Symmetrien. Am Beispiel eines Elektrons sieht das wie folgt aus: Man möchte ein Elektron mit vorgegebene Viererimpuls p und Spin ½ beschreiben. Dies entspricht nun einem Vektor |Elektron) mit (Großbuchstaben entsprechen Operatoren, kleine Buchstaben entsprechen Zahlen)

P|Elektron) = p|Elektron)
S|Elektron) = (+½)|Elektron)
Q|Elektron) = (-1)|Elektron)
Bitte für Nichtwissende eine kurze Erklärung, was man unter einem Viererimpuls versteht.


Auch wäre eine kurze Erläuterung des Isospins wünschenswert, wenn er schon erwähnt wird. Vielleicht in der Form:
ErläuterungZ.B. können Proton und Neutron in den Quantenzahlen übereinstimmen und sich nur durch die Ladung unterscheiden. Früher glaubte man, es könne sich bei beiden Teilchen um verschiedene Zustände eines einzigen Teilchens (des "Nukleons") handeln. Somit hat man dem Proton den Isospin + 1/2 und dem Neutron - 1/2 zugewiesen, um sie voneinander zu unterscheiden.
Zum fundamentalen Verständnis wäre evtl. für unsere "Einsteiger" noch eine kurze Definition der Quantenzahlen angebracht (?)

Für den Anfang lasse ich es damit bewenden, obwohl sich noch Tausend Fragen ergeben werden...

Danke und schönen Gruß
gravi
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Re: 3. Generelle Konzepte

Beitrag von tomS » 26. Feb 2009, 21:04

Hallo gravi,
Aber ich hielt sie für fundamental und unveränderlich (zumindest temporär).

Nun sagst Du, dass ein Teilchen unendlich viele Zustände einnehmen kann. Wie ist das möglich, ein Elektron hat doch stets dieselben Eigenschaften wie Ladung, Spin, Masse. Es kann doch nicht einfach mal eben als Proton in Erscheinung treten...
Da habe ich wohl etwas irreführend formuliert. Auf welche Aussage beziehst du dich genau?

Bzgl. der anderen Punkte hast du recht und ich arbeite sie gerne ein.
Gruß
Tom

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Re: 3. Generelle Konzepte

Beitrag von tomS » 26. Feb 2009, 21:49

So, ich habe die Erläuterungen eingebaut. Ich denke, ich werde später diese Punkte später in einen einführenden Abschnitt zusammenfassen. Dabei habe ich natürlich das Problem, dass es immer schwer ist, zu entscheiden, was man voraussetzen kann und was nicht. Insbs. habe ich praktisch nichts zur SRT geschrieben ...

Die Diskussion zum Teilchenbegriff mit gravi führe ich natürlich gerne weiter.
Gruß
Tom

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Re: 3. Generelle Konzepte

Beitrag von tomS » 27. Feb 2009, 12:01

Ich habe jetzt die generellen Erläuterungen zu Beginn zusammengefasst. Wann immer eine kurze Erklärung eines Begriffes notwendig wird, werde ich sie hier einfügen.
Gruß
Tom

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Re: 3. Generelle Konzepte

Beitrag von gravi » 27. Feb 2009, 18:45

Vielen Dank für die Einfügung der Erläuterungen!
Das kommt nicht nur meinem Verständnis entgegen, sondern wird sicherlich auch vielen anderen Lesern eine Hilfe sein.

Bezüglich der unendlich vielen Teilchenzustände meinte ich folgende Aussage, die Du gleich zu Beginn dieses Abschnitts gemacht hast:
...Die Einheitsvektoren der Basis stehen aufeinander senkrecht. Teilchen werden dabei durch Vektoren repräsentiert – der Physiker spricht dabei von Zuständen. Alle diese Konzepte bleiben im Falle des Hilbertraumes gültig, allerdings wird die Anzahl der verwendeten Basisvektoren und damit die Dimension unendlich! Der Fockraum ist nun ein spezieller Hilbertraum, der der Tatsache Rechnung trägt, dass zum einen bereits ein einzelnes Teilchen unendlich viele verschiedene Zustände einnehmen kann (und daher in einem unendlich-dimensionalen Hilbertraum lebt) und dass zum anderen potentiell 0, 1, 2, … unendlich viele Teilchen betrachtet werden müssen. Der Fockraum ist also die mathematische Zusammenfassung unendlich vieler unendlich-dimensionaler Hilberträume.
Vielleicht kannst Du das noch ein wenig beleuchten?

Gruß
gravi
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Re: 3. Generelle Konzepte

Beitrag von tomS » 27. Feb 2009, 22:46

Nun sagst Du, dass ein Teilchen unendlich viele Zustände einnehmen kann. Wie ist das möglich, ein Elektron hat doch stets dieselben Eigenschaften wie Ladung, Spin, Masse. Es kann doch nicht einfach mal eben als Proton in Erscheinung treten...
Also ich schreib dazu noch mehr im Text, der ist ja wirklich etwas verwirrend, hier nur so viel:

Die unterschiedlichen Zustände sind z.B. verschiedene Impulse und Spinrichtungen. Die Masse m, Ladung e und Spinbetrag 1/2 sind natürlich immer gleich. Damit bleibt ein Elektron auch immer ein Elektron.
Gruß
Tom

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Re: 3. Generelle Konzepte

Beitrag von tomS » 28. Feb 2009, 09:12

So, ich hab den Hilbert- und den Fockraum jetzt im ersten Abschnitt eingeführt und aus dem Hauptteil herausgenommen. Die Überarbeitungen sind mit
Erläuterung markiert.

Schau doch mal, ob es jetzt verständlicher ist.
Gruß
Tom

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Re: 3. Generelle Konzepte

Beitrag von gravi » 1. Mär 2009, 12:12

Prima, das sieht gelungen aus und kann jetzt nach meiner Ansicht so bleiben.
Danke für Deine Bemühungen!

Bezüglich der Impulse hast Du natürlich Recht, es leuchtet ein, dass ein Elektron beliebig viele Impulse annehmen und damit in vielen Zuständen in Erscheinung treten kann.

Gruß
gravi
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Re: 3. Generelle Konzepte

Beitrag von tomS » 1. Mär 2009, 20:07

Freut mich, wenn es inhaltlich so langsam klarer wird; ich ändere bzw. korrigiere gerne!

Du hast ja jetzt die neuen Formatierungen hier eingebaut; ich werde also sicher irgendwann umstellen; entweder auf TeX oder auf diese Formatierungen - muss mal testen, was mir besser gefällt ...
Gruß
Tom

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Re: 3. Generelle Konzepte

Beitrag von Maclane » 4. Mär 2009, 09:30

Darf ich mal ganz kurz was zwischenfragen?

Warum gibt es eigentlich nur ganzzahlige und halbzahlige Spins? Hab ich noch nicht ganz begriffen. Warum gibt es z.B. kein Spin 1/3?
Wird ein Spin von 1/3 von vornherein von der Theorie ausgeschlossen (wenn ja, in welcher Gleichung steht das?) oder sagt man einfach, Teilchen mit Spin 1/3 haben wir noch keine entdeckt, macht also keinen Sinn... ?

Blöde Frage, ich weiß. Aber ne Antwort darauf hab ich auch nicht.

Gruß Mac
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Re: 3. Generelle Konzepte

Beitrag von tomS » 4. Mär 2009, 10:51

Ich hoffe, das Thema wird in einem späteren Kapitel über Lie-Gruppen und Symmetrien klar. Ich werde das gleich nochmal daraufhin prüfen. Ich möchte ungern dieses Kapitel hier damit aufblähen, aber ich werde einen Hinweis einbauen, und auf das spätere Kapitel verweisen.

In Kürze: Die SU(2) ist die Gruppe, die diese Rotationssymmetrie beschreibt; sie enthält die Standard-Rotationen im dreidimensionalen Raum, die durch die SO(3) beschrieben wird. Nun führt man eine Klassifizierung der Hilbertraumvektoren nach ihrem Verhalten unter Symmetrietransformationen durch. D.h. man konstruiert Eigenvektoren zu einem sogenannten Generator T³ der SU(2).

T³|vec) = t³|vec)

T³ steht für den Generator der Rotation um die 3- bzw. z-Achse. t³ für den Eigenwert. Nun stellt man fest, dass die SU(2) Symmetrie in verschiedenen Ausprägungen = Darstellungen definieren kann. D.h. dass alle Eigenschaften der T-Matrizen gleich bleiben, nur dass sich die Dimension der Matrix ändert. Man kann also eine Darstellung mittels 2*2 Matrizen konstruieren (Pauli-Matrizen), 3*3 Matrizen (normale Rotationen im R³) usw. Das einzige, was sich ändert, ist der Eigenwert t³! Dieser Eigenwert ist nun genau der Spin in z-Richtung.

OK, es gibt noch eine Änderung nämlich den Gesamtbetrag des Drehimpulses bzw. Spins T²; dabei handelt es sich um den sogenannten Casimiroperator der SU(2). Nutzt man nun wieder die o.g. Matrizen in einer beliebigen Darstellung, so stellt man fest, dass in jeder Darstellung gilt

T² = t(t+1) 1

D.h. das Quadrat des Vektors T, wobei jede Komponente des Vektors eine Matrix ist, ist proportional zur Einheitsmatrix! Der Proportionalitätsfaktor ist t(t+1), wobei eben nur Werte t=0, 1/2, 1, 3/2, ... auftreten. Für jede Darstellung (die man nach Dimension der Matrizen sortieren kann) gibt es einen Wert t.

Für die Dimension 2, d.h. für die Paulimatrizen ist t=1/2, für die Dimension 3 ist t=1.
Gruß
Tom

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