Die einfachste Symmetriegruppe ist die Drehgruppe SO(2) für eine 2-dimensionale Ebene. Sie dreht Vektoren um den Koordinatenursprung, wobei die Länge unverändert bleibt. Zu ihrer Darstellung benötigt man einen Parameter, nämlich einen Drehwinkel, d.h.
Die Gruppeneigenschaft bedeutet nun,
- dass zwei Drehungen hintereinander ausgeführt wieder eine neue Drehung ergeben
- dass es zu jeder Drehung eine inverse = entgegengesetzte Drehung gibt
- und ein neutrales Element = die Identität, das „nichts tut“.
Mathematisch ist das
Das zweite Gleichheitszeichen in der ersten Gleichung, dass sich nämlich die beiden Drehwinkel einfach addieren, gilt im allgemeinen nicht, sondern hat etwas damit zu tun, dass die SO(2) eine extrem einfache Drehgruppe ist. Zwei Drehungen vertauschen, d.h.
Dies gilt für allgemeine Drehungen um verschiedenen Drehachsen in drei und mehr Dimensionen nicht; man kann das z.B. an einem Würfel leicht veranschaulichen.
Außerdem gilt für die SO(2), dass die transponierte (an der Hauptdiagonalen gespiegelte) Matrix gleich der inversen Matrix ist, also
Schreibt man die Vektoren als zweidimensionale Spaltenvektoren, so wird die SO(2) durch 2*2 Matrizen dargestellt. Dabei treten für die Drehung nun Sinus und Cosinus auf:
Die SO(2) ist die Symmetriegruppe eines Kreises um den Ursprung. Egal welche Drehung man durchführt, man überführt den Kreis wiederum in einen Kreis. Insbs. bleiben dabei die Winkel zwischen zwei Punkten auf der Kreislinie unverändert, d.h. wenn man zwei Vektoren hat, die ausgehend vom Ursprung zwei Punkte auf der Kreislinie markieren, dann bleibt der Winkel zwischen diesen beiden Vektoren durch die Drehung unverändert. Das kann man in der Matrixdarstellung unter zu Hilfenahme der Rechenregeln für Sinus und Cosinus explizit berechnen.
SO(3)
Man kann etwas Ähnliches auch in drei Dimensionen durchführen. Dabei hat man jedoch drei mögliche Drehachsen und daher auch drei Drehwinkel. Normalerweise wählt man die Darstellung über die sogenannten Eulerwinkel.
SO(N)
In N Dimensionen kann man sich die Drehungen natürlich nicht mehr so einfach vorstellen, aber man kann versuchen, die Zahl der Drehwinkel, also der Parameter der Drehgruppe zu ermitteln. Wenn man in der oben angegeben Matrixdarstellung die zwei Cosinus-Funktionen entlang der Hauptdiagonale verteilt, dann erhält man für SO(2) genau eine Möglichkeit, nämlich an der Position (11, 22) in der Matrix. Für die SO(3) erhält man drei Möglichkeiten (11, 22); (11, 33) und (22, 33). In vier Dimensionen für die SO(4) erhält man (11, 22), (11, 33), (11, 44), (22, 33), (22, 44), (33, 44), also sechs Möglichkeiten. Nach diesem Schema kann man dies auch in N Dimensionen tun und die sich ergebendem Möglichkeiten kombinatorisch abzählen.
Übergang von SO(4) zu SO(3,1)
In der SO(4) treten Sinus und Cosinus von insgs. sechs Drehwinkeln auf. Man zeichnet nun eine Dimension aus, sagen wir die vierte (in der Physik, d.h. der SRT / ART ist es häufig die Nullte, für die Zeit, aber das ist nur Konvention). Nun ersetzen wir in den drei Drehungen, die die vierte Dimension beeinflussen – das sind (11, 44), (22, 44) und (33, 44) – den Drehwinkel durch einen imaginären Drehwinkel, also
Man schreibt nun Sinus und Cosinus über die komplexe e-Funktion
um gemäß
Dadurch entsteht aus dem Sinus ein Sinus-Hyperbolicus und aus dem Cosinus ein Cosinus-Hyperbolicus
Die Eigenschaft, dass eine Drehung den Kreis invariant lässt, kann man schreiben als Bedingung, dass die Länge des Vektors unter einer Drehung unverändert bleibt. Setzt man die o.g. Drehmatrizen ein und berechnet die Länge eines Vektors vor und nach der Drehung über das Skalarprodukt so findet man
Führt man diese Rechnung explizit durch (Übung!) so stellt man fest, dass man irgendwann die Gleichung
ausnutzt. Dies ist die zentrale Gleichung, die die Symmetrie der SO(2) in Form der Winkelfunktionen ausdrückt und dafür sorgt, dass die Darstellung über die Drehmatrizen mit Sinus und Cosinus funktioniert.
Für die Hyperbelfunktionen gilt eine ähnliche Gleichung, nämlich
Das Minuszeichen ist nun dafür verantwortlich, dass man das Skalarprodukt anders berechnen muss. Nimmt man das ursprüngliche Skalarprodukt bzw. das Quadrat der Länge eines Vektors
für die SO(4) Drehung mit reellen Drehwinkeln, so muss man für die S(3,1) folgende Ersetzung durchführen:
Das Minuszeichen vor der vierten Komponente garantiert, dass zusammen mit der Gleichung für die Hyperbelfunktionen dieses neue Skalarprodukt invariant unter der neuen Symmetriegruppe ist.
Zusammengefasst kann man also für den Übergang von SO(4) zu SO(3,1) schreiben
- Für die drei Drehungen, die die vierte Komponente beeinflussen: Übergang von Drehwinkel zu i* Drehwinkel
- Dadurch Ersetzen von sin und cos durch sinh und cosh
- Ersetzen von + durch - vor der vierten Komponenten im Skalarprodukt
Damit ist nun aber auch die geometrische Figur, die invariant bleibt, kein vierdimensionaler Kreis mehr, sondern quasi eine Kombination aus einem dreidimensionalen Kreis (für die drei unveränderten Drehungen) mit einer Sattelfläche (für die komplexen Drehungen).
Bezug zur Lorentztransformation
Schreibt man nun Vierervektoren wie üblich als
so muss man wie oben erwähnt nun das Minuszeichen vor der nullten Komponente = der Zeitkomponente einführen. Man hat sich aber darauf geeinigt, den ganzen Ausdruck nochmals mit einem Minuszeichen zu multiplizieren, so dass nun drei Minuszeichen vor den Raumkomponenten und eines vor der Zeitkomponente auftreten.
Die Lorentzgruppe enthält nun sechs Drehungen, davon drei gewöhnliche, die auf die räumlichen Komponenten mit i=1,2,3 einwirken und die gewöhnliche Drehsymmetrie repräsentieren, sowie die drei Drehungen, die auf eine räumliche und eine zeitliche Komponenten einwirken. Dies sind die sogenannten Boosts. Sie mischen Raum und Zeit.
Üblicherweise schreibt man diese Boosts als (c=1)
sowie weitere Gleichungen, in denen analog x und y und z ersetzt wird.
Ich erkläre das hier für die Lorentzgruppe SO(1,1) mit einer räumlichen Dimension. Die Verallgemeinerung auf drei Dimensionen ist nicht besonders schwierig, aber die Schreibweise wird etwas unübersichtlich.
Dafür kann man eine Darstellung einführen, in der die Lorentztransformation L als Matrix erscheint:
Damit transformiert sich ein Vektor gemäß
Man kann nun aus dieser Darstellung den „imaginären Drehwinkel“ – genannt Rapidität – rekonstruieren, indem man die Gleichungen
löst.
Zunächst kann man durch Einsetzen nachprüfen, dass die Gleichung
erfüllt ist.
Man erhält die Rapidität aus dem Quotienten sinh / cosh:
Benutzt man nun die Rapidität statt der Geschwindigkeit, so gilt unmittelbar die Darstellung
Zusammenfassung
Ausgehend von der zweidimensionalen Drehgruppe SO(2) kann man Drehgruppen SO(N) für höhere Dimensionen konstruieren. Durch Ersetzen von Drehwinkeln durch „imaginäre Drehwinkel“ für eine Dimension, die mit der Zeit identifiziert wird, erhält man die entsprechende Gruppe SO(N-1,1). Statt des normalen Skalarproduktes muss ein modifiziertes Skalarprodukt mit gemischten Vorzeichen verwendet werden.
Die Gruppeneigenschaft bedeutet, dass das Produkt zweier Matrizen wieder eine neue Matrix ergibt, die sich ebenfalls wieder über die Drehwinkel bzw. „imaginäre Drehwinkel“ darstellen lässt. Zu jeder Matrix existiert eine inverse Matrix; am einfachsten sieht man dies im Falle der zweidimensionalen Darstellung SO(2) bzw. SO(1,1), wo man die inverse Matrix einfach durch den negativen Drehwinkel bzw. die negative Geschwindigkeit erhält. Das ist auch anschaulich klar: eine Transformation vom Ruhesystem in eines mit Geschwindigkeit v und anschließende Transformation von diesem in eines mit Geschwindigkeit -v ergibt wieder das Ruhesystem.
Die Lorentzgruppe SO(3,1) enthält drei gewöhnliche Drehungen, die nicht die Zeitkoordinate beeinflussen, sowie drei „imaginäre Drehungen“, die Raum und Zeit mischen.
