Skeltek hat geschrieben: ↑28. Apr 2020, 16:28
Ich denke das ist Dreh- und Angelpunkt der ganzen Betrachtung, was den Mengenvergleich angeht.
Hallo Skel,
das verstehe ich zwar nicht, d.h. ich verstehe nicht, warum das der Dreh- und Angelpunkt der ganzen Betrachtung ist, aber lass mich erst die Konstruktion besser verstehen, auch wenn ich den Eindruck habe, dass ich sie bis auf Details weitgehend verstanden habe.
Aber vielleicht ist es auch umgekehrt und ich habe nur einige Details Deiner Konstruktion aber nicht die Konstruktion selber verstanden. Das ist der Grund, warum ich da immer wieder nachfrage.
Skeltek hat geschrieben: ↑28. Apr 2020, 16:28
Es ist zunächst richtig, daß beide Pfade einen Grenzwert haben.
ok, bis hierhin scheint mir das klar zu sein.
Skeltek hat geschrieben: ↑28. Apr 2020, 16:28
- bei der oberen Folge landet man bei einem Grenzwert im Intervall, weil die Folge existiert.
ok
Skeltek hat geschrieben: ↑28. Apr 2020, 16:28
- die untere Folge ist aber nicht enthalten.
Lassen wir das für den Moment mal offen, weil Du ja gleich näher darauf zu sprechen kommst und sich das dann vermutlich von alleine klärt.
Skeltek hat geschrieben: ↑28. Apr 2020, 16:28
Die Gesamtheit der Pfade, bei denen es ab irgendeinem Punkt nur noch nach oben geht, haben keinen Abschluss und sind offen.
Das kommt daher, dass Deine Intervalle nach oben offen sind.
Skeltek hat geschrieben: ↑28. Apr 2020, 16:28
Die Folgen existieren nicht.
Auch das kommt daher, dass Deine Konstruktion so gemacht ist, dass alle Intervalle nach oben hin offen sind.
Irgendwie riecht das ganze nach den Dedekindschen Schnitten, nicht wahr ? Wobei ich mich mit Dedekindschen Schnitten nie beschäftigt habe, sieht man von meiner allerersten Vorlesungsstunde überhaupt an der Uni ab, in der sie uns die ohne jede Vorwarnung an den Kopf geknallt haben und ich nur Bahnhof verstanden habe und ich insbesondere auch keinerlei Bezug zu den reellen Zahlen erkennen konnte. Reelle Zahlen habe ich mir immer als Vervollständigung der rationalen Zahlen via (konvergenten) Cauchy-Folgen definiert.
Skeltek hat geschrieben: ↑28. Apr 2020, 16:28
Die Menge all dieser Folgen, bei denen es ab irgeneiner Gabelung nur noch nach oben geht, stellen die Indefinitheit dar, welche zur Überabzählbarkeit führt.
"Definitheit" und "Indefinitheit" ist aber etwas anderes, nämlich im Kontext mit Bilinearformen, nicht wahr ? So sind beispielsweise Skalarprodukte positiv definite Bilinearformen, wenn ich mich recht entsinne.
Skeltek hat geschrieben: ↑28. Apr 2020, 16:28
Letzteres ist denke ich aber sehr schwer zu zeigen. Bzw ich muss mir erst noch kurz was einfallen lassen. Ist ja länger her, daß ich mich da gedanklich drin befand.
Der Beweis erfolgt m.E. über die Potenzmenge, auf welche Deine Konstruktion hinausläuft, d.h. die Menge aller Folgen ist natürlich gleichmächtig zur "lila Linie"; insbesondere aber ist sie
nicht abzählbar.
Es ist also nicht so, dass da eine abzählbare Menge auf der "linken Seite" irgendwie gleich gross wie eine überabzählbare Menge auf der "rechten Seite" wäre, sondern beide Mengen sind überabzählbar.
Freundliche Grüsse, Ralf